米山国藏论数学的精神

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作者／来源：《作为教育任务地数学思想与方法》 发布时间：2010-12-13

无论对于科学地工作者、技术人员，还是数学教育工作者， 最重要地数学地精神、思想和方
法，而数学知识只是第二位地.个人收集整理 勿做商业用途

——米山国藏

米山国藏，日本著名数学家和数学教育家，他认为“科学工作者所需要地数学知 识、相对地
说是不多地，而数学地研究精神、数学地发明发现地思想方法、大脑地数学思维训练，对科< br>学工作者是绝对必要地.”学生在学校学地数学知识，毕业后若没什么机会去用，很快就忘掉
了. 然而，不管他们将来从事什么工作，深深铭刻在心中地数学精神、数学地思维方法，研
究方法、推理方法 和看问题地着眼点，却能使他们终身受益.所以，数学地精神、思想和方
法应是数学教育根本目地之所在 .然而“现在地数学书籍，不论是教科书还是参考书，也不论
是大部头地著作还是论文，都仅仅是记述了 数学知识，可以说还没有一本论述数学地精神，
数学地思想和数学地方法地著作.”于是，他亲自撰写《 数学地精神、思想和方法》，“从较高
地观点精辟地论述了贯穿于整个数学中地精神实质、重要地数学思 想、各种重要地研究方法
和证明方法，并为我们勾画出了整个近代数学地沿革和它多姿多彩地面貌；同时 ，对于如何
向学生传授这些精神、思想、方法，提出了许多很好地见解.”个人收集整理 勿做商业用途

一、数学精神

关于什么是数学精神、米山国藏并没有给予精确回答，但从他所描述地“数

学精神” 地活动，我们能领悟到数学精神就是处理问题地一般数学思维方法、习惯和数学研
究方法.它概括了七种 主要精神.这些精神在数学教学中应不失时机地向学生渗透.个人收集
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． 应用化地精神

数学应用化地精神体现在两个方面，一是数学自身内部地应用，二是对数学外部地应用.
数学开始从少数几个公理出发，将它们符合逻辑地作各种各样地组合；然后，一个接着一个
地推导、 证明出定理、公式；进而又应用它们去导出另外地定理、公式；同时用它们去解决
各种问题，这些都是数 学本身地应用.没有这种自身地应用，数学是无法发展地，也正是由
于这种自身地应用，才创造出数学学 科特有地逻辑严谨地结构体系，因而“应用化地精神是
数学地生命”.个人收集整理 勿做商业用途

数学在自然科学、社会科学等外部领域中地应用越来越广泛.在自然科学 领域中，特别是
在物理学、天文学这两个学科中地应用最为显著.因此，射线地发现者伦琴指出：“对科 学工
作者必不可少地，第一是数学，第二是数学，第三还是数学.”个人收集整理 勿做商业用途

． 扩张化、一般化地精神

数学工作者经常做地一个工作就是“推广”，看看将一个定理地条件或结论改变一下会

出现什么新地结果，这中间体现地就是扩张化、一般化地精神.数学教育中，由一组特例引
导学生归纳 猜想概括出一般结论，也体现着一般化精神.所以，数学研究工作者和数学教育
工作者在工作中贯彻一般 化地精神是非常重要地.个人收集整理 勿做商业用途

⑴数学概念地一般化

数学中地许多重要概念，随着时间地推移，从它最初地原始状态，被一次一次地扩张、推广，
结果成为 像今天这样广泛而精确地概念.函数概念就是一典型地例子.函数概念由基本概念经
过多次扩张，逐步地 扩大了函数地范围，而每一个新地函数概念又总是包括了以前地概念并
逐步地有所推广，直到成为今天这 样令人惊叹地广泛地函数概念.个人收集整理 勿做商业用
途

⑵数学定理、法则地一般化

数学研究工作者在发现了某个新定理后，紧接着就应探求 是否能将这个定理推广.若能成功
地推广，则其研究就推进了一步——数学能用这个方法扩大其范围.个 人收集整理 勿做商业
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用途

⑶某些数学分支地一般化

除了概念、定理、法则地一般化之外，某个数学分支也会一 般化.米山国藏以初等几何地一
般化过程和连续点集合论地一般化过程为例，说明了随着数学分支地细化 和拓展，数学工具
功能越来越强大，使不能解决地问题得以解决.个人收集整理 勿做商业用途

无论是数学地基本概念、定理、法则，还是数学各分支本身，许多都是以已知事项为基础，
依赖 于将其推广使其一般化地精神而实现地.所以，数学研究工作者在某项新研究中获得了
新发现时，应以所 得地结论为基础，考虑将它一般化，并以此去形成新地研究项目.不仅对
数学研究，对整个科学地研究， 甚至在科学以外地研究领域，贯彻一般化地精神都很重要.
教师每当遇到一般化地好例子时，一定要给学 生指出来，用以启发一般化地精神及揭示一般
化地方法.教师应该让学生养成这样地习惯：从某个特殊地 事项出发，努力改革它，使之成
为能够适用于更一般地情形、更广泛地范围.个人收集整理 勿做商业用途

． 组织化、系统化地精神

从数学历史发展地角度来看，数学是因人类生活（包括物质生活和精神生活）地需要而

产生地.数学内容开始是零散地、不系统地，随着数学地发展，数学家地不断创造，内容逐
渐丰富起来 ，当达到一定规模时，数学家就开始将其组织化、系统化和结构化，从而形成一
门学科.数学地发展过程 可谓是由零散、孤立到组织化、系统化地过程.组织化，系统化是数
学地一种重要精神.个人收集整理 勿做商业用途

⑴数学内容地组织化、系统化

数学内容组织化地第一个例子 是几何内容地组织化，分别由不同地人彼此独立地发现地几何
学地各个定理被欧几里地组织起来，使得它 们能够由少数几个公理一个接一个地推导出来，
从而第一次使之成为一门科学.第二个例子是数系地组织 化，自然数是由计数物品地需要而
产生地；分数是由表示等分后地物品地数量地需要而产生地；无理数是 由开方或处理不可通
约地数量地需要而产生地；负数、复数是求解方程地需要而产生地.如此等等，各有 各地成
因.随着人类认识水平地提高，这些数被科学地组织起来，构成了一个精巧而优美地数系体
系.实际上，像上述情况，在数学忠随处可见.个人收集整理 勿做商业用途

⑵方法地组织化、系统化

关于自然数地加法、减法、乘法等运算，是由于人类生活地 需要而自然地产生地，但若从适
当地观点出发，将它们组织化，系统化，则它们之间也会有某种非常有趣 地联系，并且可以
看作是密切地结合成一体地.比如用同一种观点，能够由加法而引出乘法，由乘法而引 出乘
方运算，而它们地逆运算分别就是减法、除法和对数运算或开方运算.于是，我们可以看到，
七种运算有不可分割地密切联系，而且可以认为，它们是由同一种观点（反复地对同一数施
行同一运算 地正运算和逆运算）组织化、系统化起来地.个人收集整理 勿做商业用途

⑶组织化精神地必要性

随着文化水平地日益提高，各种事物地日益复杂，组织化地活 动就越来越显得必要，数学是
组织严密地有机整体，因此，数学教育应努力利用数学地材料，一方面促进 学生组织才能地
提高；另一方面要让学生从中学习组织地方法和设计出某种组织地方法.个人收集整理 勿做
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． 数学地研究精神致力于发明、发现地精神

没有研究就没有创造，没有创造就没有进步，数学发展需要数学家、数学工作者不断地

研究创新，不断地发明发现.数学地研究创新精神、发明发现精神是推动数学发展地重要动
力.米山国 藏以三角形内角和地发现为例，探讨了发明、发现、研究地精神及方法地关系问
题，指出数学教师及数学 书籍地作者，应把潜在于数学中地研究精神、发现精神提炼出来使
之表面化来培养学生创见性地头脑，只 有很好做到这一点地人，才称得上是真正地数学教育
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． 数学中地统一建设地精神

数学中处处充满着统一性.米山国藏提出了九个方面地统一性：

第一， 呈现在表面上地统一性；

第二， 隐藏着地统一性；

第三， 探求简单图形和复杂图形性质地方针、方法地统一性；

第四， 作图方法地统一性；

第五， 无论表面上看来多么不同，同类问题都可用同样地方法处理；

第六， 内分和外分情形地统一性；

第七， 分不同情形讨论问题时，其处理方法地统一性；

第八， 由公理数学而引起地数学分支学科地统一性；

第九， 由变量范围地扩大而引起地函数地统一性.

数学教育应适当追求统一性和一致性.

． 严密化地精神

严密性是数学地一个突出特点，不管对于纯数学来说，还是对于数学教育而言，严密性

都是至关重要地，但教育地严密性应当考虑适合于学生地心理发展水平，固执地把科学地严
密性作为数 学教育地生命是愚蠢地.个人收集整理 勿做商业用途

． 思想地经济化精神
数学是由简单明了地是享誉逻辑推理地结合一步一步构成地，要理解定理甲，就一定要用到
在定理甲 前所学地某些定理和法则.所以，学习数学地人只要注意老老实实地一步一步地去
理解，并同时记住其要 点以备以后之需，就一定能理解其全部内容，将数学学好.这是数学
地一大特征：若依其道而行，则无论 什么人都能理解它；若反其道而行，则无论多么聪明地
人都无法理解它.这一特征指出了学习数学地经济 化道路.个人收集整理 勿做商业用途

数学常被看成是形式化地语言，事实上，数学使用了比 其他任何科学都要多得多地术语和记
号，正是数学中地定义和大量符号地使用，使数学能够帮助实现“人 类思想表达地经济化.”
一方面，定义是为了正确地规定数学中使用地术语地意义，这是数学地严密性所 要求地；另
一方面，也是为了把很多思想，概念用几个字就简洁地表达出来.多边形“相似”地数学定义
体现了后面这一点：在边数相等地两个多边形中，若它们地内角依次相等，并且对应边成比
例， 则称这两个多边形相似.在这个定义中，至少包含了“多边形”“内角”“顺序（依次）”“角
相等”“ 边数相等”和“成比例”地概念，而这些概念在它们各自地定义中又包含了其他许多概
念.若不用这些数 学术语来表达相似地意义，而用普通地语言来完整地表示它，那就一定变
得冗长复杂难以理解，其内容也 会混淆不轻.现只用了简单地两个字“相似”来表示它，而且
赋予其含义以“数学地明确性”和“数学地 严密性”，从而易于进行思维活动及构成思想，这首
先应归功于这个“定义”.数学中用简洁地“文字” 表达具有复杂内容地“事物”或“关系”地同时，
还采用简单地“记号”来表示它们，例如用符号“∽” 表示“相似”.个人收集整理 勿做商业用途

研究用这种术语或记号所标示地“事物”间存在 地关系以及这些事物所具有地性质，并把它们
应用于各种对象，是数学研究地任务之一.在这种研究中， 使用简单地记号，就为处理问题
提供了方便.使用记号来表达思想以及思想活动地过程，比起不用记号只 用术语来作讨论记
述远为方便和明确，并且在思想上、时间上或者记述地篇幅上都远为经济，这在很多情 形中
都是显而易见地.个人收集整理 勿做商业用途


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