高中数学_《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计学情分析教材分析课后反思

3．2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计
一、学习目标
知识目标
1. 能结合实例对分类变量进行简单的数据处理.
2. 能运用2×2列联表、等高条形图直观判断两
个分类变量是否有关系.
3.了解随机变量K
2
的意义及求解方法.
4.了解独立性检验的基本思想和方法．
德育目标
通过主动探究、自主
学 习、小组合作交流，培
养积极思考，勇于探索的
科学精神；体会从特殊到
一般，一般到 特殊的哲学
思想．

素养目标
二、教学策略分析
本节课设置三 个教学环节：课前案、课堂案、课后研究性学习。课前案是任
务清单，明确学生的预习目标；课堂教学则 以“问题组”为主，“讲授式”为辅。
在“问题组”的指引下，学生经历统计的整个过程，层层递进的得 到用独立性检
验解决两个变量是否相关的问题的步骤。并在这个过程中，体会类比的数学思想，
经历从特殊到一般，再由一般到特殊的解决问题的过程。课堂学习中，以递进问
题组形式推进，环环相扣 层层递进让学生思维认知不断提升。有意识地培养学生
基于数据决定问题的素养和品质，能够依照数据来 探索事物的本质和规律。课后
案则是要求学生学以致用巩固本节学习成果，让学生在经历本节课之后，遇 到新
的统计案例，也有研究的方向和思路，能够就行自主的研究和探索，切实提升学
生用数学知 识解决实际问题。学生经历了整个统计研究的过程，同时也有意识地
培养了学生数学建模的素养。
三、课前任务单
教学环节
1.为了迎接新高考改革,我校2017级的学生进行< br>了物理、化学、生物、政治、历史、地理六科选课
走班，你认为学科的选择与性别是否有关系？请 小
组合作，以物理学科为例，用收集样本，分析样本
数据的方法说明你的判断．过程中请思考下 列问
题：

设计意图

从身边的实例引入，
激发学生的 学习兴
趣，为本节课的主要
问题—性别与选课
师生活动


学生通过预
习回忆起必修三
所学习的统计的
是否有关做好铺垫；基本思想：收集

问题组一
（1）研究过程中用到了哪些变量？变量的取值有
哪些？如何定义这种变量？
（2）你认为分析什么数据可以用以估计选课与性
别的关系？
（3）如何呈现数据更利于进行数据分析？
除了用表格，你还可以怎样研究你的数据特征？
（4）你认为物理学科的选择与否与性别有关吗？
2.结合你的研究，阅读课本P91-92页内容，完成
下列知识梳理：
（1）分类变量:变量的不同“值”表示个体所属
的 ，像这样的变量称为分类变量.
（2）列联表
①定义：列出的两个分类变量的 ，称为列联表.
②2×2列联表:一般地，假设有两个分类变量
x
和
使学生 体会数学的
应用价值，感受学习
数学新知识的必要
性。

数据，整理数据，
分析数据，让数
据说话。

教师收集学生学
案，批改后反馈
存在问题。





让学生体验读


预习新知，梳理
出知识点，知晓
本节课研究内
容。
取数据，分析数据，

整理数据，和用数据
说话的过程。


让学生经历获取
y
，它们的取值分别为
?
x
1< br>,x
2
?
和
?
y
1
,y
2
?
，其样
本频数列联表(也称为2×2列联表)为下表.
数据的过程，形
使学生明确研究
总体，确定分类变量
成统计的初步意
抽取样本，获取
识。
数据；整理数据，给

出直观判断
引导学生分析等
（3）与表格相比，图形更能直观地反映出两个分

高条形图的作
类变量间是否 ，常用等高条形图展示列联

表数据的 特征.
用，培养学生“数
物理选课与性别列联表

形结合”的意识。
调查对象 161班全体同学


女生 男生 总计

选修物理
未选修
总计

（4）做出你们调查样本的2×2列联表与等高条形
图，并给出你的直观判断.





三、课堂探究
教学环节
问题组二
（1）结合级部汇总数据，做出历史学科与性别列
联表，画出等高条形图， 直观判断二者是否有关
系？（已知我校高二级部参与选课共345人，其中
男生158人，女生 187人）
最终选课结果统计




描述判断两 个
分类变量有关的可
靠性是独立检验的
关键，这个问题的设
计是为了引出独立
性检验的必要性。
让学生体会样
设计意图




巩固预习成果，
能制出2×2列
联表，绘出等高
条形图，并基于< br>师生活动
男生 女生 合计
126 156 历史 30
（2）学科之间的差异说明什么问题？

选修
未选修
总计
女生



男生



总计








（3）不同样本间的差异说明什么问题？


本并不能代替总体，分析给出 直观
但是样本可以估计
总体，估计总体也要
研究它的可靠性。
该环节让学生 自主
完成两个分类变量
是否有关的第一层
次的推断，即：用频
率近似概率，从 数据
判断；
教师引导分析
取样的随机性，
独立性检验的
必要性

上的粗略估算，让学
生先略有成功的喜
悦同时提升学生对
数据的分析素养.
问题组三
（1）结合列联表与等高条形图，你给出选修历史
在这个过程中
让 学生再次感受实
教师引出
独立性检验的
思想，首先做出
假设。它来自于
统计上的假设
检验思想。
学生分组讨论，
研究独立性判
断的核心条件；< br>再由频率一般
化为概率。学生
研究两个事件
相互独立的等
价关系（选修
2-3内容）回答
上述问题。
教师分析
K
的
意义。给出< br>K
2
与性别有关系的判断的依据是什么？ 际问题中的 “ 用频率
（2））推广为更一般情况，若两个分类变量没有关
系，即相互独立，则在2×2列联表 中，应满
估计概率”（必修3
内容）。
充分锻炼学生足 ，因此 越小，关系越弱；
越大，关系越强.
（3）以频率近似为概率研究：记样本容量为< br>从表格中读取数据
的能力。能够利用数
，
据说明问题。
n?a?b? c?d
，设A表示事件“性别为女生”
B表示事件“选修历史课程”，事件AB表示“女生选择历史课程”则
P(AB)
=
P(A)P(B)
= ，
二者越接近，即 则
A,B
独立的可能性就越大.
（4）你的这 种判断可靠吗？推断错误的概率有多
大？（样本数据具有随机性，需要检验提供判断犯
错误的概 率信息）





上面这种利用随机变量
K< br>来判断“两个分类变量
有关系”的方法称为独立性检验.
2
通过表格中数据的
一般化（换成
a,b,c,d）,用a,b,c,d
表示，得到假设成立
的等 价关系式ad≈
bc。
引出卡方检验的检
验指标，并应该有一
个标准来衡量 。从而
引出
K
的的临界值
表，让学生全面了解
统计学家研究独立性检验的完整经验。
其实这也在不断遵
2
2
的临界值表。教
师对 此作出解
释。公式中其它
内容也是为了
协调样本容量

【应用体验】
例1.能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认
为选择历史课程与性别有关系？

P(K
2
≥k
0
)
k
0


再思考：你能否有99％的把握认为选择历史与性
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
循前面提到的统计
案例研究的一般过
程。

0.005

7.879


的大小，由科学
家经过不断研
究试验得到的。
学生经历计
算过程，体会卡
方检验的基本
步骤，临界表的
使用 学生讨论辨
析，99％的把握
到是对什么问
题的把握。独立
性检验的结果
的实际含义。教
师总结。
让学生学会准
确的下统计学的结
别有关？
论，同时体会数学的
辨析：若在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集、
严谨性。 < br>整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并
且有99%以上的把握认为这个结论是成立的， 则下
列说法中正确的是( )
A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B．1个人吸烟，这个人有99%的概率患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
让学生通过对
新、旧知识的对比辨
（1）独立性检验的基本原理
析，建立新知识与已
有相关知识的实质
反证法 在假设H
0
下，如果推出一个矛盾，
性联系，将新知合理
纳入原有知识结构。
原理 就证明了H
0
不成立.
引领学生在回顾、总
独立性
结、反思的过程中，

将所学知识条理化、
检验原理
系统化，使自己的认

知结构更趋合理．注
重学生数学核心素
养的提升，可使学生
（2）根据以上的分析，请梳理一下判断两个分类
逐渐把经验内化为< br>能力，从而走向一个
变量是否有关的一般步骤.
新的至高点．







任何事物都有两面
性，不同的结果可以
得到不同的结论。同
样也要做出正确的
判断。
课堂小结：




让学生总
结，补充，最后
教师做出总结。
再 次让学生经
历从一般到特
殊，再从特殊到
一般的过程。
鼓励学生们通
过自己所学不
断探索新知，得
到新结论做出
新决策。

1．对于 分类变量X与Y的随机变量K
2
的观测值k，
1.独立性检验的思
下列说法正 确的是( )
想

A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小

B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小

C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度

越小


D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大

2．用等高条形图粗略估计两个 分类变量是否相关，
2.体会等高条
观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是
形 图在直观判断中
的作用。
( )




























3. 网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少

年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区
3.让学生亲自
教育主管部门从辖区初中生 中随机抽取了1 000
解决身边的问题，体
人调查，发现其中经常上网的有200人，这20 0
人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有
会数学建模的过程，
学会利用新 知解决
120人不及格.
问题，得出结论。
(1) 利用图形判断学生经常上网与学习成绩是否

有关；
【反馈检测】

学生经历整个
统计的过程：
如何分析问题，
构建数学模型；
如何获 取样本；
如何认识样本；
如何整理数据；
根据统计的结
果能够获得何
种结论。

学生独立完成
(2) 能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下
认为经常上网与学习成绩有关系？

四、课后作业
教学环节
一、请小组各选择一 个学科，合作完成.根据该学
科课程选择与性别的有关数据，得出列联表和等高
条形图，并判断 能否在犯错误概率不超过0.05的
前提下认为该学科的课程选择与性别有关？ 完成
统计分析 报告．（已知我校高二级部参与选课共
345人，其中男生158人，女生187人）
最终选课结果统计







统计分析报告


让学生亲自解
决身边的问题，体会
数学 建模的过程，学
会利用新知解决问
题，得出结论。
学生经历整个
统 计的过程：如何分
析问题，构建数学模
型；如何获取样本；
如何认识样本；如何
整理数据；根据统计
的结果能够获得何
设计意图

学生合作完成。

老师给予指导，
并使学生体会样
本的局限性。






















师生活动







物理
化学
生物
政治
历史
男生 女生 合计
84
85
64
63
30
54
96
93
138
181
156






110 174
126 156
116 226 地理 110
________年________月________日______组 种结论。
研究课题 高中生选修____课程与性别的关系
完成调查分析报

选择____
数据整理
(列联表)
未选择___
女生

男生 合计
告不单纯是对独立

性检验思想的应用，
更是课堂内容的一
通过学生自

个延伸，
己统计数据，分析数
合计

等高条形图

计算
K
的

观测值
结论


2

据，参与整个独立性
检验的全过程，可以
开阔学 生的视野，对
独立性检验思想有
一个较全面科学的

认识．

二.在生活中，你还有哪些最感兴趣的问题想拿来
研究？
请每个小组至少拿出一个感兴趣的问题，通过调查
分析研究形成一份研究报告。


统计分析报告
________年________月________日______组
研究课题

数据整理
(列联表)


合计

等高条形图

计算
K
的

观测值
结论











2






鼓励学生从身边的
事物中发现问题，并
用所学知识研究解
决，体会数学建模过








合计
程。











让学生通过身边
的事物出发，获
得研究来源，进行研究分析，形
成研究报告。将
研究结果服务于
生活。

学情分析

本节课是在学生理解掌握了初中数学的统计知识以及《数学3》
(必修)中的统计知识，尤其是 事件的独立性后继续对统计内容进行学
习.在知识的逻辑联系上，学生比较容易衔接.从生活中的选课实 例入
手，层层探究，符合学生的认知规律.但独立性检验中的卡方公式及
临界值的确定，基本超 出目前绝大多数高中生对新知的探究能力，因
此在教学上采用的是让学生个体精读思考——相互交流讨论 、教师集
中解答释疑的教学模式.通过与反证法的联系，让学生了解独立性检
验的基本思想，但 学生对在一次试验中小概率事件几乎不可能发生而
引发的矛盾这一思想的理解可能存在一定的难度。 < br>学生已经学习了相互独立事件的概率乘法，也有了一定的数据分
析能力和利用样本估计总体的统计 学思想；通过课前任务布置，学生
能够初步了解分类变量的概念，以及能将数据整理为2×2列联表的< br>形式、能够利用画出等高条形图。课堂主要对独立性检验的思想及操
作过程进行学习。
效果分析
本节课基本完成了课前设计的教学目标，达到了如下教学效果：
1.了解2×2列联表，并能根据等高条形图来直观判断两个分类
变量的关系.
2.学生通过合作交流，初步了解独立性检验的基本思想并掌握独
立性检验基本步骤.
3.通过例题讲解，学生进一步加深对独立性检验的基本思想的理

解，会用独立性检验解决基本的实际问题.
4.通过实际问题的解决，让学生 经历统计的整个过程：明确总体
确定变量→抽取样本获取数据→整理数据直观判断→设立规则制定
标准→实际分析做出决策。同时鼓励学生体验用多种方法（等高条形
图和独立性检验法）解决同一问题 ，并对各种方法进行比较，让学生
感受数学与现实生活的联系，使学生认识统计方法在决策中的应用；
5.在学生亲身体验感受和不断参与的过程中，让学生不断经历特
殊到一般，再从一般到特殊的 过程，同时提高学生的直观想象、数据
分析、数学运算、逻辑推理、数学抽象、数学建模核心素养。

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教材分析
统计是研究如何合理地收集、整 理、分析数据的学科.它可以为
人们制定决策提供依据.在生活中，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，做出合理的决策.为了体现统计学科
的这一特点，在教学中需要通过 案例进行教学。
本节课是人教A版（选修）2—3第三章第二单元的内容，本单
元内容是在学 生们学习了初中统计知识以及《数学3》(必修)中的统
计知识后的进一步的学习，并与本册课本前面提 到的事件的独立性一
节关系紧密，此外还涉及到与《数学2-2》(选修)中讲到的“反证法”
类似的思想——独立性检验.利用独立性检验进一步分析两个分类变
量之间是否有关系，是高中数学知识 中体现统计思想的重要课节。本
节的主要内容就是两个分类变量是否有关系的推断，从生活实例出发，< br>

发现数学概念、方法与结论，体现数学来源于生活，数学又服务于生
活. 本节的教学中，重点放在了独立性检验的统计学原理上，理解独
立性检验的基本思想，明确独立性检 验的基本步骤。难点是独立性检
验过程中
K
2
的获得及其意义的理解。本节内 容一课时，通过对典型
案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和解决问题的一般
步骤 。独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成
立，反证法是在假设结论不成立基础上推 出矛盾从而证得结论成立，
而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小
概 率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的。因为小概率事
件在一次试验中通常是不会发生的，所 以有利于结论成立的小概率事
件的发生为否定假设提供了有力的证据。但在全部逻辑推理正确的情
况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误.
独立性检验的具体的操作步骤就是：明确 问题→确定犯错误概率
的上界
?
及
K
2
的临界值
k
0
→收集数据→整理数据→制列联表→计算
统计量
K
2
的观 测值
k
→比较观测值
k
与临界值
k
0
并给出结论. 这是一
种非常重要的推断方法，不仅有相当广泛的应用，也开启了人类认识
世界的一种新的思维 方式.
学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本
思想、方法及其初步应 用，使学生认识统计方法在决策中的作用”.
这是因为，随着现代信息技术飞速发展，信息传播速度快， 人们每天

都会接触到影响我们生活的统计方面信息，所以具备一些统计知识已
经成为现代人应具备的一种数学素养。

评测练习
一、反馈检测
1．对于分类变量X与Y的随机变量K
2
的观测值k，下列说法正确的
是( )
A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大
2．用等高条形图粗略估计两个分类变量是 否相关，观察下列各图，
其中两个分类变量关系最强的是( )




3.网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中
学生学习成绩 的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取
了1 000人调查，发现其中经常上网的有20 0人，这200人中有80
人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格.
(3)
(4)
利用图形判断学生经常上网与学习成绩是否有关；
能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为经常上网与
学习成绩有关系？

二、课后研究性学习
【研究分析报告】
一、请小组各选择一个学科，合作完成.
根据该学科课程选择与性别的有关
数据，得出列联表和等高条形图，
并判断能否在犯错误概率不超过
0.05的前提下认为该学科的课程
选择与性别有关？ 完成统计分析报
告．（已知 我校高二级部参与选课共345
人，其中男生158人，女生187人）
统计分析报告
________年________月________日______组
研究课题 高中生选修____课程与性别的关系

选择____课程
数据整理(列联
没有选择___课
表)
程
合计

女生

男生

合计









男生 女生

最终选课结果统计
合
计
54 138
96 181
110 174
93 156
126 156








物理 84
化学 85
生物 64
政治 63
历史 30
地理 110 116 226

等高条形图

计算K
2
的观测值
结论

二.在生活中，你还有哪些最感兴趣的问题想拿来研究？
请每个小组至少拿出一个感兴趣的问题，通过调查分析研究形成一份
研究报告
统计分析报告
________年________月________日______组
研究课题


数据整理(列联表)

合计











合计




等高条形图

计算K
2
的观测值
结论

课后反思
本节课的教学构思源于课本，但又不囿于课本 ．改变课本问题，
提出以选课为背景的问题分析，让学生感觉亲切、自然。整个教学过
程循序渐 进、在质疑中激发学生思维，在生生交流、师生思维碰撞中
寻找解决问题的方法，在活动探究中明确独立 性检验的基本步骤，领
会独立检验的含义，感悟统计思想的应用，在轻松愉快的生生合作、
师生 合作中完成课程多维目标。
本节课教学中有几点收获：
1.独立性检验作为检验两个分类变 量是否有关系的统计学方法，
是全新的知识.学生可能的疑问：“为什么要学习这个方法？”而典型案例的引入可以让学生消除疑问，体会本节课知识的应用性。
2.学生对于随机变量
K< br>2
的引入及其构造产生困惑，所以学习中
选择直接告诉学生，这个公式的构造用到了许多 统计学的知识，现在
我们可以先记住结果，有兴趣的同学可以在今后进行进一步的学习。
3. 教材上是先对某一个临界值进行讲解，而后给出临界表，这对
于学生来说比较难理解。所以我采用“先入 为主”的思想，通过设置
问题串对学生进行引导，使学生在问题串的引导下先接受表格意义，
再 用概率知识解读格的含义，让学生先接受知识，而后在应用过程中
加深对知识的理解。
4.本节课的难点是对独立性检验基本思想的理解.学生思维活跃，

有较强的自主探究，合作交流的能力.因此，我通过问题串引导学生
进行讨论交流，使学生在讨论交流中 进行思维碰撞，而后师生共同总
结，以此来突破难点。
5.统计学对数据的处理大多需要借助 信息技术完成，所以课堂设置的
问题有很大局限性。因为采用实际样本，在没有对数据进行预处理的情况下，学生徒手计算有很大困难，所以卡方值直接给出，而在课后
习题中给出了适合计算的数据。
《独立性检验的基本思想及其初步应用》课标分析


2017版普通高中 数学课程标准要求通过本节课的学习能进一步
了解统计的思想，运用统计的方法解决简单的实际问题。通 过实例，
理解2×2列联表的统计意义；通过实例了解2×2列联表独立性检验
及其应用。通过 具体案例，引导学生理解2×2列联表检验两个随机
变量的独立性的思想及应用；使学生参与数据分析的 全过程，鼓励学
生使用相应的统计软件。使学生掌握运用2×2列联表的方法，解决
独立性检验 的简单实际问题；重点提升数据分析、数学建模、逻辑推
理、数学运算和数学抽象素养。