高中数学中的类比推理问题

类比推理问题—高考命题新亮点

类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是 指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的
比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中， 从而解决新问题。类比不仅是一种富有创
造性的方法，而且更能体现数学的美感。

（一）不同知识点之间的类比

数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之 间的联系需要教师通过自己的数学设计
展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。它不 仅可以在知识复习中使用，也可
以在新知识的学习中进行。

1
、立体几何中的类比推理

【
例
1
】若从点O
所作的两条射线
OM
、
ON
上分别有点
M
1
、
M
2
与点
N
1
、
N
2
，则三角形面积之
比为：若从点
O
所作的不在同一个平面内的三条射线
OP
、
OQ
和
OR
上分
别有点
P
1
、
P
2
与点
Q
1
、
Q
2
和
R
1
、
R
2
，则类似的结论为：

。

【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想

（证明略）


评注

本题主要考查由平面到空间的类比 。要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空
间三棱锥体积比的相应结论。


【
例
2
】在中有余弦定理：拓展到空间，类
的
3
个 侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱
的关系式，并予以证明。< br>

【分析】根据类比猜想得出
与

所成的二面角的平面角。

其中为侧面为
证明：作斜三棱柱的直截面
DEF
，则为面与面所成角，
·1·

在



即
中有余弦定理：，同乘以


，得

评注

本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三角柱的拓展推广，因为类比是数 学发现的
重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。

【
例
3
】

在平面几何中有
“
正三角形内 任一点到三边的距离之和为定值
”
，那么在立体几何中有
什么结论呢？

解析
“
正三角形
”
类比到空间
“
正四面体”
，
“
任一点到三边距离之和
”
类比到空间为
“
任一点到四
个面的距离之和
”
，于是猜想的结论为：正四面体内任一点到其各面距离 之和为定值。

图
1
如图
1
，设边长为的正三角形内任一 点到其三边的距离分别为、、，将
分割成三个小三角形，则有，即距离之和
·2·

为正三形的高（定值）

图
2
类似地，如图< br>2,
设棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离分别为、、、
，

将正四面体分割成以为顶点，以四个面为底面的小三棱锥，则有
，于是

所以为定值

【
例
4
】

在平面几何中 ，有勾股定理：设的两边、互相垂直，则
。拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面 积与底面面积间
的关系，可得出的正确结论是：
“
设三棱锥
直，则

答案为

的三个侧面、、两两互相垂
类比不仅可以提供探求新背景下结论的思 路，而且也为寻求结论的证明提供方法上的指导。将
平面图形中的三角形与立体图形中的多面体进行类比 ，使不同数学分支之间的知识得到了巧妙的沟
通，也使解题过程得到美化，让人有意犹未尽却又顺理成章 的感觉。

2
、解析几何中的类比推理


【
例
5
】已知两个圆：①

与②，则由①式减去②式可得上 述两
圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，既要求得到一个更一般的命题，而< br>已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为

。

·3·

【分析】将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况：

设圆的方程为③与④，其中或，
则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程。


评注

本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。

3
、数列中的类比推理

【
例
6
】定义
“
等和数列
”
：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列
和为
5
，那么的值 为

，这个数列的前
n
项和
，是等和数列，且，公
的计算公式为

。

故

【分析】由等和数列的定义，易知
当
n< br>为偶数时，；当
n
为奇数时，

评注

本题以“
等和数列
”
为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数 学
活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。

4
、函数中的类比推理

【
例
7
】设函数，利用课 本中推导等差数列前
n
项和公式的方法，可求得
的值

。

【分析】此题得用类比课本中推导等差数列前
n
项和公式的倒序 相加法，观察每一个因式的特
点，尝试着计算


∵


∴

·4·

发现正好是一个定值，∴，∴

评注

此题依据大纲和课本，在常 见中求新意，在平凡中见奇巧，将分析和解决问题的能力的
老本放在了突出的位置。本题通过弱化或强化 条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变
更出新的命题。这样，通过从课本出发，无论是对内 容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到
固本拓新之用，收到
“
秀枝一株，嫁接成 林
”
之效，从而有效于发展学生创新的思维。

5
、排列组合中的类比推理

【
例
8
】已知数列
（
1
）求和：

（
n
为正整数）的首项为，公比为的
q
等比数列。


（
2
）由（
1
）的结果，归纳概括出关于正整数
n
的一个结论，并加以证明。

【分析】本题由（
1
）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：

（
1
）


（
2
）归纳概括的结论为：若 数列是首项为，公比为
q
的等比数列，则

（证明略）

评注

本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力，突出了创新能力的考查； 通过抓住
问题的实质，探讨具有共同的属性，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。

6
、新定义、新运算中的类比


【
例
9
】若记号
“*”
表示两个实数
a
与
b
的算术平均的运算，即 ，则两边均含有运
算符号
“*”
和
“+”
，且对于任意
3< br>个实数
a
，
b
，
c
都能成立的一个等式可以是

。


【分析】由于本题是探索性和开放性问题，问 题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不
，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等 式两边惟一。这题要把握住
均含有运算符号
“*”
和
“+”
，则可容 易得到

·5·

正确的结论还有：
【
例
10
】对于直角坐标平面内的任意两点

等。

，定义它们之间的一种
“
距离
”
：


给下列三个命题：

①若点
C
线段
AB
上，则②在
③在
中，若
中，
°
，则

;
;
其中真命题的个数为（

）



A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【分析】对于直角坐标平面内的任意两点
① 若点
C
在线段
AB
上，设
C
点坐标为
定义它们之间 的一种
“
距离
”
：

，在、之间，

在、之间，则


③在中，



∴命题 ①成立，命题③错误。而命题②在在中，若则明显不成
立，选
B
。


【
例
11
】设
P
是一个数集，且至少含有两个数，若对任意
（除数）则称
P
是一个数域，例如有理数集
Q
是数域，数集
，都有

也是数域。有下列命题：


①整数集是数域；

②若有理数集
,
则数集
M
必为数域；

·6·

③数域必为无限集；

④存在无穷多个数域。

其中正确的命题的序号是

。（把你认为正确的命题的序号都填上）

【分析】①错。
4,5
是 整数，但
成，则
1,
则
，但是
，所以
不是整数。②错。设< br>M
由有理数集合
Q
和元素
，其中一个必定不等于零，设
组，不属于
M
。③正确。设
所以，所以所有负整数
都属于
P
，而负整数有无穷多个，所以③正确。④正确。把数域
为，仍是数域，有无穷多个。

故应填③④。

（二）数学知识与实际生活问题的类比

中的改学生在处理常规数学问题时较易上手，而对有生活背景的问题则
“
怵
”
。 数学知识与生活问题本身
存在这样那样的联系，如果注意挖掘，那么对于培养学生的应用意识是十分有利 的。

【
例
12
】从
1
楼到
2
楼 总共有
20
级台阶，如果规定每步只能跨上一级或二级，问从
1
楼爬上
2
楼共有几种不同的走法？

解析

这是生活中常见的一个问题 ，直接思考觉得走法太多，所以思考这个问题能否在数学中
找到相应的模型，记上第级台阶共有
第
19
级跨一级而到达，所以
种方法，若想上第
20
级台阶，则可从 第
18
级跨两级或从
，类似地，
….
注意到
，运用以上递推 关系（斐波那契数列），逐项计算得
种方法。

，那上
2
楼共有10946
生活中的不少问题往往可以找到其数学根源，通过思考将这种联系（数学模型）挖掘出来 ，就
把生活中的问题与数学知识、方法进行了类比，有意识在引导或发现这种思考方法，有利于增加学< br>生的数学应用意识和解决实际问题的能力。

·7·

（三）结束语

讲解双曲线的性质时常用椭圆的性质来类比，讲解等比 数列的时候用等差数列来类比。不仅数
学知识如此，实际上惠更斯提出的波动说，就是与水波、声波类比 而受到的启发。英国医生詹纳发
现的种牛痘可以预防天花，就是从挤奶女工感染了牛痘而不患天花中得到 启发，从树叶的锯齿形状
发明了锯，从雄鹰的飞起到制造飞机上天等，总之，类比思想方法博大精深，能 够收到严格逻辑推
理所不能达到的效果，它能提高人们的数学素质，改善思维品质，既富有创造性，又让 人产生柳暗
花明又一村的美感。


·8·