高中数学必修五《不等式的证明》教案

6.3不等式的证明
第二课时
教学目标
1．进一步熟练掌握比较法证明不等式；
2．了解作商比较法证明不等式；
3．提高学生解题时应变能力.
教学重点 比较法的应用
教学难点 常见解题技巧
教学方法 启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评．
（学生活动）思考问题，回答．
［字幕］1．比较法证明不等式的步骤是怎样的？
2．比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？
3．用比较法证明不等式的步骤中 ，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法
吗？
[点评 ]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形．在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配
方、通分，还有因式分解．这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想 的应
用．（板书课题）
设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评．
（学生活动）尝试解决问题．
[问题]
1．化简

2．比较

与

（

）的大小．
（学生解答问题）
［点评］
①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化．
②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小．
设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系．
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程．
（学生活动）分析，研究问题．
［字幕］例题3 已知
a
，
b
是正数，且

，求证

［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形．
证明：（见课本）
［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法．此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表< br>达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范．
[字幕]例4试问：

与

（

）的大小关系．并说明理由．
［分析］作差通分，对分子、分母因式分解，然后分类讨论确定符号．
［点评］解这道题在判断符 号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法．要理解为什么分类，怎样分类．分
类时要不重不漏 ．
［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点．甲有一半时间以速度
m
行走，另一半时间以速度
n
行走；有一半路程乙以速度
m
行走，另一 半路程以速度
n
行走，如果

，问甲、乙两人谁先到达指定地点．
[分析]设从出发地点至指定地点的路程为

的问题，只要比较

、

的大小就可以了．
，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为

，

，要回答题目中
解：（见课本）
［点评］此题是一个实际问题，学习了如何 利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题．要培养自己学
数学，用数学的良好品质．

设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定 符号的方法．培养学生应用
知识解决实际问题的能力．
【课堂练习】
（教 师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题
情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题．
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．
［字幕］练习：1．设

，比较

与

的大小．
2．已知

，

，求证


设计意图：掌握比较法证明不等式及思 想方法的应用．灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号．反
馈信息，调节课堂教学．
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、 确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解
题步骤．
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．
1．比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法．
2．对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．
3．会用分类讨论的方法确定差式的符号．
4．利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方 程解应用题的步骤．②分析题意，设未知数，找出数量关系
（函数关系，相等关系或不等关系），③列出 函数关系、等式或不等式，④求解，作答．
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系．
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法．
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．
本节课学习了对差式变形的一种常用方法——因式分 解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实
际问题．
通过学习比较法证明 不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式
中所蕴含的重 要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养
用 数学知识解决实际问题的能力．
设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学 的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数
学思想方法．

（四）布置作业
1．课本作业：P17 7、8。
2，思考题：已知

，求证


3．研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的 时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假
设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变 ）
设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想．研究性题是使学生理论联系实 际，用数学解决
实际问题，提高应用数学的能力．
（五）课后点评
1．教 学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生
主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动．
2．教 学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续
学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生 对所
学的知识会应用．例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用．