研究性学习课题

高一数学研究性学习选题范围
问题1函数y=aX+bx的性质研究

问题2整理求定义域的规则及类型（特别是复合函数的类型）。
问题3 回顾解指数、对数方 程（不等式）的化归实质（利用外层函
数的单调性去掉两边的外层函数的符号），我们称之为“给函数更
衣”，于是我们可以随心所欲地将方程（不等式）进行演变。你能利
用这一点编拟一些好题吗。
问题4 用单位圆中的三角函数线能解决的三角问题。
问题5 一个三角公式不仅能正用，还需会逆用与变用，试将后者整
理之。
问题6 三角形的形状判 定中，对于含边角混合关系的条件，利用正、
余弦定理总有两种转化，即转化为角关系或边关系，探索其 中一种对
另一种解法的启示功能。
问题8对斐波那契数列的研究。
问题9用数形结合解数学题。
问题10求函数值域的方法。
问题11用函数图像解题。
问题12对函数y=(ax+b)(cx+d)的研究（分离系数 法化简，图像特
点，单调区间，对称中心等）。
问题13二次函数值域的求法。
问题14等差与等比数列性质的比较。

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数学研究性学习课题

1、银行存款利息和利税的调查
2、气象学中的数学应用问题
3、如何开发解题智慧
4、多面体欧拉定理的发现
5、购房贷款决策问题
6、有关房子粉刷的预算
7、日常生活中的悖论问题
8、关于数学知识在物理上的应用探索
9、投资人寿保险和投资银行的分析比较
10、黄金数的广泛应用
11、编程中的优化算法问题
12、余弦定理在日常生活中的应用
13、证券投资中的数学
14、环境规划与数学
15、如何计算一份试卷的难度与区分度
16、数学的发展历史
17、以“养老金”问题谈起
18、中国体育彩票中的数学问题
19、“开放型题”及其思维对策
20、解答应用题的思维方法

21、高中数学的学习活动——解题分析 A）从尝试到严谨、B）从一
个到一类
22、高中数学的学习活动——解题后的反思——开发解题智慧
23、中国电脑福利彩票中的数学问题
24、各镇中学生生活情况
25、城镇农村饮食构成及优化设计
26、如何安置军事侦察卫星
27、给人与人的关系（友情）评分
28、丈量成功大厦
29、寻找人的情绪变化规律
30、如何存款最合算
31、哪家超市最便宜
32、数学中的黄金分割
33、通讯网络收费调查统计
34、数学中的最优化问题
35、水库的来水量如何计算
36、计算器对运算能力影响
37、数学灵感的培养
38、如何提高数学课堂效率
39、二次函数图象特点应用
40、统计月降水量
41、如何合理抽税

42、市区车辆构成
43、出租车车费的合理定价
44、衣服的价格、质地、品牌，左右消费者观念多少？
45、购房贷款决策问题

研究性学习的问题与课题 （来自《数学百草园》，作者叶挺彪）
《 立几部分 》

问题1 平几中证点共线、线共点往往较难，通常出现在竞赛中。而
立几中的这类问题却是非简单，主要的依据仅 仅是平面的基本性质：
两个平面的公共点共线。可否将平几问题的这类问题进行升维处理。
即把 它转化为立几问世题加以解答。

问题2 用运变化的观点对待数学问题，将会发现问题的 实质及问题
之间的联系，但对于立几中的这方面还显得不够，可以通过整理、
收集这方面的材料 加以综合研究。

问题3 作为降维处理的一个例子：可考虑异面直线距离的几种转化，
如转化为线面距、点线距、面面距等。

问题4 异面直线的距离是：异面直线上两动点的连线中最短的线段
长度。所以可以 用函数的观点来解决。即建立一个两动点的距离函
数，利用求函数的最小值达到目的。

问题5 立几中的许多问题可化归为确定点在平面内的射影位置。如
点面距、点线距、体积等。于是确定点在平面内的射影显得非常重
要，试给出一种通用方法进行确定。

问题6 作二面角的平面角是立几中的难点，常用方法有：定义法、
三垂线法、垂面 法。其实质是以点定位，即当点在二面角的棱上时
用定义法、当点在一个半平面内时用三垂线法、当点在 空间时时用
垂面法。问题似乎已解决。但对于较复杂的图形，由于点的个数较
多，以哪个点作为 定位点就难以决定。试给出以线定位来作二面角
的平面角的方法及步骤。

问题7 等积变换在立几中大显上内身手，而非等积变换是它的一般
情形，作用更大，却被人们所忽视。利用非等 积变换能解决求体积、
求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的相应方法探索之。

问题8 将三垂线定理进行推广与引伸，即所谓三面角的正、余弦定
理及其特例直三面角的正、 余弦定理。以开阔眼界。


《解几部分 》

问题9 对于数学的公式，我们应当做到三会：即正用、变用和逆用。
如解几中 有许多公式如两点距离、点到直线距离公式，定比分点、
斜率公式等，考虑其逆用，就可得到构造法证题 ，试研究解几中的
各种公式逆用，以充实构造法证明。

问题10 我们对待任何 问题（包括解决数学问题）往往用自己的审美
意识去审视，以调节自己的行动计划。在解几中探索与搜集 以美的
启迪思维的题材，加以整理与综合研究。

问题11 整理解几中常常被人 忽视和特例而使问题的解决不完整的
有素材，如用点斜式而忽视斜率存在，截距式而忽视截距为零等。

问题12 利用角参数与距离参数的相互转化以实现命题的演变，达到
以点带面，触类旁通的目的。

问题13 将与中点有关的问题及解决方法进行推广，使之适用于定比
分点的相应问题与方法。

问题14 研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。

问题15 关于斜率为 1的特殊直线的对称问题的简捷解法中，概括
出适用范围更加广阔的解题策略。

问题16 解决椭圆问题不如圆容易，能否使问题化归，即椭圆问题的
圆化处理，进而研究圆锥曲线（包括其退化情形如两条相交线，平
行线等）的圆化处理。

问题17 整理与焦半径有关的问题，并将之“纯代数化”，进而研究
其“纯代数解法”，从中探索新方法。

问题18 把点差法解中点弦问题进行推广，使之能解决“定比分点
弦”问题。

问题19 求轨迹问题中，纯粹性的简捷判别。

问题20 在定比分 点公式、弦长公式、点到直线的距离公式的推导过
程中隐含着“射影思想”，扩大这思想在解几中的地位 或功能。

问题21 对平移变换的解题功能进行综述。

问题22 与中点弦有关的圆锥曲线中的参数范围确定问题，往往需要
建立不等式进行求解，各种方法中以点在曲线 内部条件为隹。试将
这方法推广到定比分点弦的情形。

《函数部分 》

问题23 空集是一切集合的子集，但在解决关集合问题时，常常忽略
这一事实。试整理这方面的各类问题。

问题24 整理求定义域的规则及类型（特别是复合函数的类型）。

问题25 求函数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时，往往
希望将自变量在一个地方 出现，所以变量集中的原则就提供了解题
的方向，试研究所有与变量集中原则有关的类型（如配方法、带 余
除法等）。

问题26 总结求函数值域的有关方法，探索判别式法的一般情形——
实根分布的条件用于求值域。

问题27 利用条件最值的几何背景进行命题演变，与命题分类。

问题28 回 顾解指数、对数方程（不等式）的化归实质（利用外层函
数的单调性去掉两边的外层函数的符号），我们 称之为“给函数更
衣”，于是我们可以随心所欲地将方程（不等式）进行演变。你能
利用这一点 编拟一些好题吗。

问题29 探求“反函数是它本身”的所有函数。从而可解决一类含抽
象函数的方程，概括所有这种方程的类型。

问题30 在原点有定义的奇函数，其隐含条件是f(0)=0,试以这一事
实编拟、演变命题。

问题31 把两面镜子相对而立，若你处于其中，将看到许多肖像位置
呈现出周期性，你能把这 一事实数学化吗？若把轴对称改为中心对
称又怎么结论？

问题32 对于含参数 的方程（不等式），若已知解的情况确定参数的
取值范围，我们通常用函数思想及数形结合思想进行分离 参数，试
概括问题的类型，总结分离参数法。

问题33 改变含参数的方程（不等式）的主元与参数的地位进行命题
的演变。探索换主元的功能。


《三角部分 》

问题34 数形结合是数学中的重要的思想方法之一 ，而单位圆中的三

角函数线却被人们所遗忘，试探它在解决三角问题中的数形结合功能。

问题35 概括sinx cosx=a时相应x的取值范围，及问题条件中涉及
这一条件时的所隐含的结论。

问题36 整理三角代换的的类型，及其能解决的哪几类问题。

问题37 三角最值的构造证法中，型如 ，可转化成：1）动点
（）与定点（-d,-b）连线的斜率；2）或先化为 从而
转化为动点（）与定点 连线斜率等，考虑各种构造法的
背景的联系，能否以此联系用于解决几何问题。

问题38 一个三角公式不仅能正用，还需会逆用与变用，试将后者整
理之。

问题39 概括三角恒等式证明中的一次弦式、高次弦式和切式证明的
常用方法。

问题40 三角形的形状判定中，对于含边角混合关系的条件，利用正、
余弦定理总有两种转化 ，即转化为角关系或边关系，探索其中一种
对另一种解法的启示功能。

《不等式部分 》

问题41 一个数学命题若从正面入手分类情况较 多，运算量较大，甚
至无法求解，此时不妨考虑其反面进行求解得解集，然后再取其补
集即得原 命题的解。我们把它称为“补集法”，试整理常见的类型
的补集法。

问题42 概括使用均值不等式求最值问题中的“凑”的技巧 ，及拆
项、添项的技巧。

问题43 观察式子的结构特征，如分析式子中的指数、系数等启示证
题的的方向。

问题44 探求一此著名不等式（如柯西不等式、排序不等式等）和多
种证法，寻找其背景以加深对不等式的理解。

问题45 整理常用的一此代换（三角代换、均值代换等），探索它在
命题转化中的功能。

问题46 考虑均值不等式的变用，及改变之后的不等式的背景意义。

问题47 分母为多项式的轮换对称不等式，由于难以参于通分，证明
往往较难。探求一种代换 ，将分母为多项式的转化为单项式。

问题48 探索绝对值不等式和物理模拟法