高中数学研究性学习报告-田启航

数学综合研究性学习报告


数学中的黄金分割


班级：
高三（5）班
组长：
田启航

课题研究组其他成员：
（为保护隐私已略去）

指导老师：
（为保护隐私已略去）


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高中数学研究性学习课题开题报告
主课题：数学中的黄金分割
子课题名称：数学中的黄金分割
主导课程：数学中的黄金分割
课题组成员：田启航、（为保护隐私已略去）
组长：田启航 班级：高三（5）班 指导教师：（为保护隐私已略去）
相关课程：无
简要背景说明（课题是如何提出来的）：
黄金分割是世界上最优美的比例之一，是将一条线段分成不相等的两段，使较小线段与较大线
段 的比等于较大线段与整个线段的比。我们被黄金分割的美深深吸引，决定从数学的角度研究
它。
课题的目的与意义：能够增强我们的数学能力，丰富我们的知识，激励我们成长。
1） 任务分工：
整理材料：（为保护隐私已略去）
编写文章：田启航
思考总结：田启航
2）活动步骤：分 3 阶段实施
阶段
活

动

计

划
整理资料
编写文章
思考总结
时间（周）
1
2
3
主要任务
查找有关资料并筛选
编写黄金分割的文章
总结并思考本次研究
阶段目标
整理好资料
编写好文章
思考好研究
3）计划访问的专家：校内 1 位，如 （为保护隐私已略去） ， 等
校外 0 位，如： ， ， 等
4）活动所需的条件：
图书资料如______《数学课本》 、《中国大百科全书·数学》________________
实验室（设备）如________无__________
交通工具如____________无_________________
其他（如计算机上网等）_______计算机上网_____________
预期成果： 完成2种以上的黄金分割的分析
展现形式： 研究报告



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第一部分：数学中的黄金分割
黄金分割概述
黄金分割是一种 数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例
性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取1.6 18，这个数
值在建筑、管理、工农业生产、科学实验、经济等各个方面有着不可
忽视的作用。
《中国大百科全书·数学》单独列出黄金分割（golden section）词
条：“分已 知线段为两部分，使其中一部分是全线段与另一部分的比
例中项。这就是黄金分割问题。”黄金分割数是 一个无理数，通常用
Φ表示，它的前20位为1.68948482。
与黄金分割相关的一个 例子就是斐波那契数列：l，l，2，3，5，
8，13，21，34，55，89，144，···。 有趣的是：这样一个完全是自然
数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割比
0.618。斐波那契数列具有以下一 些特点：（1）数列中任一数字都是
由前两个数字之和构成。（2）数列中前一数字与后一数字之比例， 趋
近于一固定常数，即0.618；后一数字与前一数字之比例，趋近于
1.618。（3）1 .618与0.618互为倒数，其乘积则约等于l。除能反映黄
金分割的两个基本比值0.618和1 .618以外，还有0.236、0.382、1.236、
1.382、2.618、4.236等。 0.236是0.618的三次幂；0.382是斐波那契
序列中的项与其后第二项的比值的极限值，也 是0.618的二次幂，同
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时也是1与0.618的差；1.23 6是0.618的两倍；2.618是斐波那契序
列中的项与其前第二项的比值的极限值，也是1.61 8的二次幂，同时
也是1与1.618的和；4.236是1.618和2.618的积，也是0.23 6的倒
数。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，
他被人称 作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》一
书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学 理论的欧洲人。

黄金分割理论的产生和发展
黄金分割的起源要追溯到公元前六世纪 的古希腊数学家毕达哥
拉斯。相传毕达哥拉斯有一次从一家铁匠铺路过时，发现铺子中发出
的叮 叮当当的打铁声似乎隐匿着什么秘密，于是他走进铺子，测量了
一下铁锤和铁砧的尺寸，惊奇地发现它们 之间存在着一种很和谐的关
系。回到家后，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分成两段，在铁锤和
铁砧尺寸比例的启发下，他最后确定把一根线按1:0.618的比例截断
最优美。而且，古希腊的毕达 哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形
的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至 掌
握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金
分 割问题，并建立起比例理论，根据欧德莫斯在《几何学史》中的记
载，他在研究这一问题时应用了分析法 。黄金分割的系统论述，最早
见于欧几里得《几何原本》。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，4 10

意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德< br>国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。到19世纪，黄金分割这
一名称才逐渐通行。黄金分割 数有许多有趣的性质，人类对它的实际
应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.61 8法，
是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在
中国推广。
第二部分：现实生活中的黄金分割

（一）人体中的黄金分割
一些数据的陆 续发现，表明人体其实是世界上最美的物体。德国
美学家泽辛对人体做了大量的计算，发现人体的黄金分 割点竟然有四
处，即为肚脐、咽喉、膝关节和肘关节。
就人体的整体结构而言，从脚底往上量 ，人整体身高的0.618处
正好在肚脐附近。而在中医中，人体中两个个重要的穴位：“气海”
（又称“丹田”）、“命门”都在这个位置附近。肚脐以下与一个人整体
身高的比为0.618:1， 就构成了黄金分割，这样的比例会给人以舒服、
优美的感觉。除此之外，人体上还存在3处黄金分割。一 处是咽喉，
是肚脐以上部分的黄金分割点。咽喉至头顶与咽喉至肚脐长度的比为
0.618:1 。另一处是膝盖，是肚脐以下部分的黄金分割点。膝盖至脚后
跟与肚脐至膝盖长度的比为0.618:1 。再有一处是肘关节，是上肢部
分的黄金分割点。肩关节至肘关节与肘关节至中指指尖长度的比也为0.618:1。如果一个人这四处结构的比例都符合黄金分割律，那么这个
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