导学案----初高中衔接教材(有详解)

重庆11中学初高中数学衔接教材
{新课标人教A版}

如何学好高中数学
一 高中数学与初中数学特点的变化
1 数学语言在抽象 程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离
生活很远，似乎很“玄”。确实，初、 高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是
以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下 子就触及抽象的集合语言、以及函数语
言等。
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方 法与初中阶段大不相同。初中阶段，很
多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几 步；因式分解先看什么，
再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别 确定了各自
的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维< br>形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展
是渐进 的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成
绩下降。高一新生一 定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩
证型思维。
3 知识内 容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。有数学1、
2、3、4、5，还有选修 课，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地造成学生不适应高中数
学学习，而影响成绩的提高。这就要 求：
第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。
第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。
第三， 因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不
会很好，因此要学会对知识 结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，
使知识结构一目了然；类化，由一例到一 类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同
构于同一知识方法。
第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。
二 科学地进行学习
高中学 生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效
率，才能变被动学习为主动 学习，才能提高学习成绩。
1 培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好 的学习习惯？
良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系
统小结和课外学习几个方面。
(1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳 扎稳打，它是推动主动学
习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安 排，执行过
程中严格要求自己，磨炼学习意志。
(2)课前自学是上好新课、取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，

而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质 量，力争在课
前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上 。
(3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，
课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该
记的地方才记 下来，而不是全抄全录，顾此失彼。
(4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多 方面查阅有关资料，强
化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进 行分析比
效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。
(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学
新知识的理解 和对新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学
知识由“会”到“熟”。
(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻
遗漏解 答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做
错的作业再做一遍。 对错误的地方要反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经
常把易错的知识拿来复习强化，作 适当的重复性练习，把求老师问同学获得的东西消化变成
自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活” 。
(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环
节 。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、
概括，揭示知识 间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，
能对所学知识由“活”到“悟 ”。
2 循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。
有的同学贪多求快，囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便
洋洋自得，遇 到挫折又一蹶不振。同学们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的
积累过程，决非一朝一夕可 以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能
取得好成绩，其中一个重要原因是他们的 基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了
自动化或半自动化的熟练程度。
3 注意研 究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维
能力、空间想象能力以及运用 所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有
高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对 能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只
看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本 知识既要能钻进去，又要能跳出来，
结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚” 和“由厚到薄”的学习
过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习 ）和一个
步骤（归纳总结）是少不了的。

一 数 与 式 的 运 算

知识要点：
1.绝对值的代数意义，绝对值的几何意义，两个数的差的绝对值的几何意义。
2.乘法公式 ：平方差公式：
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；平方差公式：
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；立方差公式：
(a?b)(a
2
?ab?b< br>2
)?a
3
?b
3
；
三数和平方公式
( a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2 (ab?bc?ac)
；
两数和立方公式
(a?b)
3
?a3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
333
两数差立方公式
(a?b)

?a?3a
2
b?3a
2
b?
．
b
3.二次根式：二次根式
a< br>2
的意义。分母（子）有理化：都乘以有理化因式
4.分式的意义,繁分式。
自学评价
：
1．如果
a?b?5
，且
a??1
， 则b＝________；若
1?c?2
，则c＝________.
2．化简：|x－5|－|2x
－
13|（x<5）
3. 计算：
(x?1)(x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
4．已知
a?b?c?4
，
ab?bc?ac?4
，
a?b?c
=
2
5．若
(5?x)( x?3)?(x?3)5?x
，则
x
的取值范围是_ _ ___；
222
6．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
精选题型：
1. 解下列不等式：（1）
x?2?1
（2）
x?1?x?3
＞4．


4222222
2. 计算： （1）
(a?2)(a?2)(a?4a?16)
（2）
(x?2xy?y) (x?xy?y)


2
3. 已知
x?3x?1?0
，求
x?
3
1
的值．
3
x

4 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?


5.设
x?


1
?2(0?x?1)
．
2
x
2?32?3
33
，求
x?y
的值．
,y?
2?32?3
x
2
?3x?96x?1
x
??6. 化简：（1） （2）
32
1?x
x?279?x6?2x< br>x?
1
x?
x


记住它，多想它：
(a?b)(a?b)?a?b
2

(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3< br>
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3

2

拓展练习:
1．
解不等式
x?3?x?2?7




2．
设
x?
11
3?2
,y?
3?2
， 求代数式
x
2
?xy?y
2
x?y
的值．



3．
当
3a
2
?ab?2b
2?0(a?0,b?0)
，求
aba
2
?b
2
b
?
a
?
ab
的值．



4． 设
x?
5?1
4
2
，求
x?x
2
?2 x?1
的值．



5．
计算
(x?y?z)(?x?y?z)(x?y?z)(x?y?z)




6．化简或计算：
(1)
(18?4
1
?
13
2
2?3
)?
3




(2)
2
2
?2?(2?5)
2
1
3
?
5?2




(3)
xx?xyx?xy?y
xy?y
2
?
xx?yy




(4)
(a?
b?ababa?b
a?b
)?(
ab?b
?
ab?a
?
ab
)





7．（1）已知
a?b?c?0
， 求
a(
1
b
?
1
c
)?b(
1
c
?
1
a
)?c(
1
a
?
1
b
)
的值．





（2）若
x?
5
2
，
求
x?1?x?1x?1? x?1
x?1?x?1
?
x?1?x?1




8.若
?a?b?2ab??b??a
，则( )
（A）
a?b
（B）
a?b

（C）
a?b?0
（D）
b?a?0

9.计算
a?
1
a
等于 （ ）
（A）
?a
（B）
a

（C）
??a
（D）
?a

10．解方程
2(x
2
?
11
x
2
)?3(x?
x
)? 1?0
．





11

． 计算：
111
1?3
?
2?4
?
3?5
?
?
?
1
9?11
．




< br>12．试证：对任意的正整数n，有
11
1?2?3
?
2?3?
?
4
?
?
1
nn(?n1)(?

＜

1
4



．


















2)

二 因 式 分 解

知识要点：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：① 提公因式法②运用公式法③分组分解法④十字相乘法⑤一般二次三项式
ax
2
?bx? c
型的因式分解：
a
1
a
2
x
2
?(a< br>1
c
2
?a
2
c
1
)x?c
1c
2
?(a
1
x?c
1
)(a
2
x? c
2
)
⑥其他常用
的因式分解的方法：配方法，拆、添项法
自学评价
：
1．平方差公式 完全平方和公式 完全平方差公式
2． 分解因式：（1）x
2
－3x＋2= （2）x
2
＋4x－12
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
（4）
xy?1?x?y

3．分解因式：
x?9?3x?3x
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6

4．分解因式：
x?2x?1

5．分解因式：
x?5x?3

6．分解因式：
x?22x?3

2< br>2
2
32
a
3
?b
3
?

a
3
?b
3
?

精选题型：
1.分解因式（1）
b?c?2ab?2ac?2bc
； （2）
3x
2
?5xy?2y
2
?x?9y?4
．



222
2
?ABC
三边
a，
b
，
c
满足
a?b?c?ab?bc?ca
，试判定
?ABC
的形状．



3. 分解因式
1?x ?x?x
22
?
23
2
?
?x
3




4.分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)． 5. 分解因式
a
?
6a?11b?4
?
?b(3b?1)?2




6.分解因式
x?3x?4








5
9. 分解因式
x?x?1




记住它，多想它：
2
．
a
2
?b
2
?(a?b)(a?b)

a2
?2ab?b?(a?)b
2
2
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

a
3
?b
3
?(a?b)(a?ab?
2

b)
32

22
432
7. 分解因式
2x?3x?5x?3x?2
8. 分解因式
m?5m?3m?5m?2?36

????

拓展练习:
1．分解因式
ab(c
2
? d
2
)?cd(a
2
?b
2
)







2. 分解因式
x
2
?4mx?8mn?4n
2






3．分解因式
x
4
?64






4．分解因式
x
3
?11x
2
?31x?21






5．分解因式
x
3
? 4xy
2
?2x
2
y?8y
3







6．已知
a?b?
2
3
,ab?2
，求代数式
a
2
b?2a
2
b
2
?ab
2
的值．






7．现给出三个多项式，
1
2
x
2
?x?1
，
1
2
x
2
?3x?1
，
1
2
x
2< br>?x
，请你选择其中两
个进行加法运算，并把结果因式分解.







8.已知
a?b?c?0
，求 证：
a
3
?a
2
c?b
2
c?abc?b
3
?0
．








9.

分解因式
?
x?y?2xy
??
x?y?2
?
?
?
xy?1
?
2






10. 分解因式

x

3

?(2a?1)x
2
?(a
2
?2a?1)x ?a
2
?1






11. 分解因式
x
3
?9x
2
?23x?15







12. 分解因式
x
4
?x
3
?5x
2
?6x?4

三 一元二次方程根与系数的关系
知识要点：
1．一元二次方程的根的判断式 2．一元二次方程的根与系数的关系
自学评价
：
1．一元二次方程
ax
2
?bx?c?0 (a?0)
，用配方法将其变形为：
??b
2
?4ac
， （1）当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根：
（2）当Δ 0时，方程有两个相等的实数根：
（3）当Δ 0时，方程没有实数根．
2．定理：若方程
ax
2
?bx?c?0 (a?0)
的两个根为< br>x
1
,x
2
，那么：
x
1
?x
2< br>?

x
1
x
2
?
此定理称为”韦达定理”，其成立的前提是
??0
．
3．特别地：对于二次项系数为 1的一元二次方程x＋px＋q＝0，若x
1
，x
2
是其两根，由
2
韦达定理可知 x
1
＋x
2
＝－p，x
1
?x
2
＝q，即 p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
?x
2
，所以，方程x
2
＋px＋q＝0可化为 x－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
?x
2
＝0，因此有： 以两个数x
1
，x< br>2
为根的一元二次方
2
程（二次项系数为1）是 x－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
?x
2
＝0．
2
精选题型：
2
1. 已知关于
x
的一元二次方程
3x?2x?k?0
，根据下列条件，分别求出
k
的范围：
（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根
（3）方程有实数根； （4）方程无实数根．


2 . 已知实数
x
、
y满足
x
2
?y
2
?xy?2x?y?1?0
，试求x
、
y
的值．


2
3 若
x< br>1
,x
2
是方程
x?2x?2007?0
的两个根，试求下列 各式的值：
(1)
x
1
2
?x
2
2
； (2)
11
?
；
x
1
x
2
(3)
(x
1
?5)(x
2
?5)
； (4)
|x
1
?x
2
|
．


4.若 x
1
，x
2
是关于x的一元二次方程4kx
2
－4kx＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数
3
成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理 由；（2）求
2
x
xx
使
1
?
2
－2的值 为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，
?
?
1
，试求
?的值．
x
2
x
2
x
1
k，使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－


m
2
?0
．5．已知关于x的方程
x?(m?2)x?< br>（1）求证：无论m取什么实数时，这个方
4
2
程总有两个相异实数根；（2） 若这个方程的两个实数根x
1
，x
2
满足|x
2
|＝|x< br>1
|＋2，求m的值及
相应的x
1
，x
2
．


2
6．若关于
x
的方程
x
＋
x
＋
a
＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数
a
的取值范围．

记住它，多想它：如果ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x
1
， x
2
，那么x
1
＋x
2
＝
?
2
b c
，x·x＝
aa
12
2
．这一
关系也被称为韦达定理．以 两个数x
1
，x
2
为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0．

拓展练习:
1．若
x
1
,x
2
是方程
2x
2
?6x?3?0
的两个
根，则
1x
?
1
x
的值为( )
12
A．
2
B．
?2
C．
19
2
D．
2

2．若
t
是一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
的
根，则判别式
??b
2
?4ac
和完全平方式
M?(2a t?b)
2
的关系是( )
A．
??M
B．
??M

C．
??M
D．大小关系不能确定
3．若关于x的方程mx
2
＋ (2m＋1)x＋m＝0
有两个不相等的实数根，则实数m的取值范
围是 （ ）

A． m＜
1
4
B。m＞－
1
4

C．m＜
1
4
，且m≠0 D 。m＞－
1
4
，且m≠0
4．设
x
2
1
,x
2
是方程
x?px?q?0
的两实根，
x
2
1
?1,x
2
?1
是关于
x
的方程
x?qx?p?0
的两实根，则
p
= ___ __ ，
q
= _ ____ ．





5．已知实数
a,b,c
满足
a?6?b,c
2
?ab?9
，则
a
= ___ __ ，
b
= _____ ，
c
= _____ ．




6．已知关于
x
的方程
x
2
?3x? m?0
的两
个实数根的平方和等于11，求证：关于
x
的
方程
(k?3)x
2
?kmx?m
2
?6m?4?0
有
实数根 ．




7．若
x
1
,x
2
是关于
x
的方程
x
2
?(2k?1)x?k
2?1?0
的两个实数根，
且
x
1
,x
2
都大于 1．
(1) 求实数
k
的取值范围；

(2) 若
x
1
x
?
1
，求
k
的值．
2
2






8．试判定当 m取何值时，关于x的一元二
次方程m
2
x
2
－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相
等的实数根？有两个相等的实数根？没有
实数根？








9．求一个一元二次方 程，使它的两根分别
是方程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．









10．已知
a< br>2
?8a?16?|b?1|?0
，当k
取何值时，方程kx
2
＋ax＋b＝0有两个
不相等的实数根？






11．已知方程x
2
－3x－1＝0的两根为x
1
和x
2
，求(x
1
－3)( x
2
－3)的值．

四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数
知识要点：
平面直角坐标系 函数图象
自学评价
：
1．平面直角坐标系内的对称点：点（m,n）①关于
x
轴对称点的坐标为 ②关
于y轴对称点的坐标为 ③关于原点对称点的坐标为 ④关于点
(a,b)
对称点
的坐标为 ⑤关于直线
x?a
对称点的坐标为 ⑥关于直线
y?b
对称点的
坐标为 ⑦关于直线
y?x
对称点的坐标为 ⑧关于直线
y??x
对称点的
坐标为
2．函数图象
(1)一次函数
y?kx?b
(k、b是常数，k≠0)特别的，当
b
=0 时，称
y
是
x
的正比
例函数。
(2)正比例函数的图象与性质：函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是 的
一条直线，当 时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而 ；当
时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而 ．
(3)一 次函数的图象与性质：函数
y?kx?b
(k、b是常数，k≠0)的图象是过点(0，
b)且与直线y=kx平行的一条直线.设
y?kx?b
(k≠0)，则当 时，y随x的增大
而 ；当 时， y随x的增大而 ．
(4)反比例函数的图象与性质：函数
y?
k
(k≠0)是双曲线，当 时，图象在
x
第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而 ；当 时，图象在第二、
第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而 ．双曲线是轴对称图形，对称轴是
直线 与 ；又是中心对称图形，对称中心是 ．

精选题型：
1 .已 知
A
?
2,y
1
?
、
B
?
x2
,?3
?
，根据下列条件，求出
A
、
B
点坐 标．
(1)
A
、
B
关于x轴对称；(2)
A
、
B
关于y轴对称；(3)
A
、
B
关于原点对称．





2.已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于
A
、
B
两点，
O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。






3.如图，反比例函数y?
k
，
的图象与一次函数
y?mx?b
的图象交于
A (1

3)
，
x
O
y
A
x
B(n，?1)
两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当
x
取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．




记住它，多想它：平面直角坐标系内的对称点


B
图（12）

拓展练习:
1．函数
y?kx?m
与
y?
m
x
(m?0)
在同
一坐标系 内的图象可以是（ ）

2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐
标原点 ，D在第一象限角平分线上，又知
AB?6
，
AD?22
，求
B,C ,D
点的
坐标．




3．如图，已知直 线
y?
1
2
x
与双曲线
y?
k
x
(k?0)
交于
A，B
两点，且点
A
的
横坐标为
4
．
（1）求
k
的值；
（2）过原点
O
的另一条 直线
l
交双曲线
y?
k
x
(k?0)
于
P ，Q
两点（
P
点在第一
象限），若由点
P
BQA为顶点组成 的四边
形面积为
24
，求点
P
的坐标．




y




A



O

x


B




4.如图，一次函数y=－
3
3
x+1的图象与x
轴、y 轴分别交于点A、B，以线段AB?为边
在第一象限内作等边△ABC．
（1）求△ABC的面积．
（2）如果在第二象限内有一点P（a，
1
2< br>），
请用含a的式子表示四边形ABPO的面积，?
并求出当△ABP的面积与△ABC 的面积相等
时a的值．
[来源:Z。xx。]












5.已知反比例函数y=
k
2x
和一次函数y=2x
－1， 其中一次函数的图象经过(a,b)，
(a+k，b+k+2)两点。
(1)求反比例函数的解析式？
(2)已知A在第一象限，是两个函数的交
点，求A点坐标？
(3)在x轴上是否存 在点P，使△AOP为等
腰三角形？如存在请写出
[
P点的坐标，如不
存在请 说明理由．

五 二 次 函 数
知识要点：
二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质 分段函数
自学评价
：
1.当a＞0时，函数y＝ax
2
＋bx＋c图象开口向上；顶点
坐标为 ，对称轴为直线 ；当x＜
?
y随着x的增大而 ；当x＞
?
而 ；当x＝
?
b
时，
2a
b
时，y随着x的增大
2a
2.当a＜0时，函数y＝ax
2
＋bx ＋c图象开口向下；顶点坐标为 ，对称轴
为直线 ；当x＜
?
大而 ；当x＝
?
b
时，函数取最小值y＝ ．
2a
bb
时，y随着x的增大而 ；当x＞
?
时，y随着x的增
2a2a
b
时，函数取最大值y＝ ．
2a
3.二次函数的三种表示方式：一般式 顶点式 交点式

注：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法， 在选择把二次函数的关系式设成
什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的 关系式可设如下三
种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用 顶点
式来求．③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点
(x
1
,0)
.
(x
2
,0)
时可利用交点式来求．
4.
一般地，如 果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫
作分段函数．

精选题型：
1 . 求二次函数y＝
－
3x
2
－6x＋1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），
并指出当x取何值时，y随x的增大而增大 （或减小）？并画出该函数的图象．



2. 已知函数
y?x
2
,?2?x?a
，其中
a??2
，求该函数的最大值与最小值，并 求出函数
取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．


3 . 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）；
（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2；
（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．



4 .在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超 过40g付邮资160
分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤1 00）的信应付多少邮资
（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．




记住它，多想它：

1．一般式：y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0)，其中顶点坐标是
(－h，k)． 3．交点式：y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)，其中x
1
，x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

10.如图所示，在边长为2的正方形ABCD
1下列各式中y是关于
x
的二次函数的是( )
的边上有一个动点P，从点A出 发沿折线
A.
xy?x
2
?1

B.
x
2
?y?4?0

ABCD移动一周后，回到A点．设点 A移
C．
y
2
?ax??2
D．
x
2
?y
2
?1?0

动的路程为x，ΔPAC的面积为y．
2
（1）求函数y的解析式；
2．把y=3x先向上平移2个单位，再向右平
（2）画出函数y的图像；
移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
2 2
A．y=3（x+3）－2 B．y=3（x+2）+2
（3）求函数y的取值范围．

C．y=3（x－3）
2
－2 D．y=3（x－3）
2
+2

3.函数y＝2x
2
＋4x－5中，当－3≤x＜2时，

则y值的取值范围是 （ ）
D

(A) －3≤y≤1 （B）－7≤y≤1

（C）－7≤y≤11 （D）－7≤y＜11

2

4.若二次函数
y?mx?x?m(m?2)
的

图象经过原点，则
m
的值必为 ( )

A
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定

2
图
2.2
－
10
5.如果抛物线y=x－6x+c－2的顶点到x轴

的距离是3,那么c的值等于（ ）

A．8 B．14 C．8或14 D．－8或－14

2

6.二次函数
y?ax?bx?c
的图象如图所

示，则下列结论中正确的是：（ ）

A．a>0 b<0 c>0 B．a<0 b<0 c>0

C．a<0 b>0 c<0 D． a<0 b>0 c>0




1
2
5
y?x?x?6
的图象与x11.二次函数

42

轴从左到右两个交点依次为A、B，与y

轴交于点C，

（1）求A、B、C三点的坐标；
7.如图，△P
1
OA
1
, △P
2
A
1
A
2
都是等腰直角三角
（2）如果P(x，y)是抛物线上AC之间的动拓展练习:
[来
C
P
B
[来源:Z&xx&]
形，点P
1
，P
2
在函数
y?
4
(x?0)
的图像上，
x
斜边OA
1
,A
1
A
2
都 在x轴上，则点A
2
的坐标
是 ．
8.已知(－2,y
1
),(－1,y
2
),(3,y
3
)是二次函
2
数y=x+x+m上的点,则y
1
,y
2
,y
3
从 小到大用
“<”排列是 ．
9.如图，直线y=2x+2与x轴，y轴分别 相交
于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转
90°得到△A
1
OB1
（1）在图中画出△A
1
OB
1。

（2）求经过A，A
1
，B
1
三点的抛物线的解析
式．






[来源:]
点，O为坐标原 点，试求△POA的面积S
与x之间的函数关系式，并写出自变量x
的取值范围；
（ 3）是否存在这样的点P，使得PO=PA，若
存在，求出点P的坐标；若不存在，说
明理由．












六 二 次 函 数 的 最 值 问 题

知识要点：
b
处取得最小
2a
b
4ac?b
2
4ac?b
2
值，无最大值；当
a?0
时， 函数在
x??
处取得最大值，无最小值．
2a
4a4a
次函数在自 变量
x
取任意实数时的最值情况(当
a?0
时，函数在
x??
自学评价
：
1．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定
a
的符号，
a
＞0有最小值，
a
＜0有最
大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
2．求二次函数在某一范围内的最值． 如：
y?ax
2
?bx?c
在
m?x?n
（其中
m ?n
）
的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：
x?x
0；第二步：讨论：
(1)若
a?0
时求最小值或
a?0
时求最 大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于
m
即
x
0
?m
，即对称轴在
m?x?n
的左侧； ②对称轴
m?x
0
?n
，即对称轴在
m?x?n
的
内部,③对称轴大于
n
即
x< br>0
?n
，即对称轴在
m?x?n
的右侧。
(2)若
a?0
时求最大值或
a?0
时求最小值，需分两种情况讨论：①对称轴
x0
?
即对称轴在
m?x?n
的中点的左侧；②对称轴
x
0
?
的右侧；
m?n
，
2
m?n
，即对称轴在< br>m?x?n
的中点
2
精选题型：
1.求下列函数的最大值或最小值．
（1）
y?2x
2
?3x?5
； （2）
y??x
2
?3x?4
．



2
2.当
1?x?2
时，求函数
y??x?x?1
的最大值和最小值 ．



3.当
x?0
时，求函数
y??x(2?x)
的取值范围．



4.当
t?x?t?1
时，求函数
y?1
2
5
x?x?
的最小值(其中
t
为常数)．
22



5.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发 现这种商品每天的销售量
m
(件)与每
件的销售价
x
(元)满足一次 函数
m?162?3x,30?x?54
．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润
y
与每件销售价
x
之间的函数关系式；
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利
润为多少？


?ax
2
?bx?c
在
m?x?n
（其中
m?n
）
的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：
x?x
0
；第二步：讨论

记住它，多想它：求二次函数在某一范围内的最值．如：
y

拓展练习:
1．抛物线
y?x
2
?(m?4)x?2m?3
，当
m
= _____ 时，图象的顶点在
y
轴上；当
m
= _____ 时，图象的顶点在
x
轴上；当
m
= _____ 时，图象过原点．




2．用一长度为
l
米的铁丝围成一个矩形，则
其所围成的最大面积为 _____






3．设
a?0
，当
?1?x?1
时，函数
y??x
2
?ax?b?1的最小值是
?4
，最大
值是0，求
a,b
的值．











4．已知函数
y?x
2
?2ax?1
在
?1?x?2
上的最大值为4，求
a
的值．












5．求函数
y?3?5x?3x
2
?2
的最大值
和最小值．






6．已知关于
x
的 函数
y?x
2
?(2t?1)x?t
2
?1
，当
t
取何值时，
y
的最小值为0？














7 .已知关于
x
的函数
y?x
2
?2ax?2
在
?5 ?x?5
上．
(1) 当
a??1
时，求函数的最大值和最
小值；
(2) 当
a
为实数时，求函数的最大值．










8．函数
y?x
2
? 2x?3
在
m?x?0
上的
最大值为3，最小值为2，求
m
的取值范围．









9．求关于
x
的二次函数
y?x
2
?2tx?1
在
?1?x?1
上的最大值(
t
为常数)．

七 不 等 式
知识要点：
一元二次不等式及其解法 简单分式不等式的解法 含有字母系数的一元一次不等式
自学评价
：
1.一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：
(1) 将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象．①如果图象与
x
轴有两个交点
(x
1
,0),(x
2
,0)
，(
x
1
?x
2
)此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根
x
1< br>,x
2
(也可由根
的判别式
??0
来判断)则
ax
2
?bx?c?0(a?0)?

ax
2
?bx?c?0(a?0)?

②如果图象与< br>x
轴只有一个交点
(?
b
,0)
，此时对应的一元二次方程有 两个相等的实数根
2a
b
(也可由根的判别式
??0
来判断)则ax
2
?bx?c?0(a?0)?
2a
如果图象与
x
轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有
ax
2
?bx?c?0(a?0)?
③
实数根 (也可由根的判别式
??0
来判断) ．则
ax
2
?bx?c?0(a?0)?

xx
?x
2
??
ax
2
?bx?c?0(a?0)?
2.解一元二次不等式的步骤是：(1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分 解成两
个一次因式的积，则求出两根
x
1
,x
2
．那么“< br>?0
”型的解为
x?x
1
或x?x
2
(俗称两根之外 )；
“
?0
”型的解为
x
1
?x?x
2
( 俗称两根之间)
3．简单分式不等式的解法: 解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等 价
转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.
4．含有字母系数的一元一次不等式最终可以化为
ax?b
的形式,再讨论。
精选题型：
1. 解下列不等式：(1)
x?x?6?0
(2)
(x?1)(x?2)?(x?2)(2x?1)



222
2 解下列不等式：(1)
x?2x?8?0
(2)
x?4x?4?0
(3)
x?x?2?0



2
3 已知对于任意实数
x
，
kx?2x?k
恒为正数， 求实数
k
的取值范围．


4 解下列不等式： (1)
2
2x?3
?0

x?1
(2)
1
?3

x?2




2
5 求关于
x
的不等式
mx?2?2mx?m
的解．









记住它，多想它：1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的
内部，它到三角形的三边的距离相等，2.三角形中角平分线分对边和角的两边对应成比例.

拓展练习:
1．解下列不等式：
(1)
2x
2
?x?0



(2)
x
2
?3x?18?0



(3)
?x
2
?x?3x?1



(4)
x(x?9)?3(x?3)




2．解下列不等式：
(1)
x?1
x?1
?0



(2)
3x?1
2x?1
?2



(3)
2
x
??1




(4)
2x
2
?x?1
2x?1
?0





3．解下列不等式：
(1)
x
2
?2x?2x
2
?2
(2)
1
2
x
2
?
11
3
x?
5
?0






4．解关于
x
的不等式
(m?2)x?1?m
．








5．已知关于
x
的 不等式
mx
2
?x?m?0
的
解是一切实数，求
m
的取值范围．








6．若不等式
x?2x?
k
?1?
3
k
2
的解是
x?3
，
求
k
的值．






7．
a
取何值时，代数式
(a?1)
2
?2(a?2)?2
的值不小于0？






8.已知函数
y?x
2
?2ax?1
(a为常数)在
－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示
出来．





9.解关于x的不等式x
2
＋2x＋1－a
2
≤0（a为
常数）．






< br>10.不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解是
x?2 ,或x?3
求不等式
bx
2
?ax?c?0
的解．

专题一、数与式的运算
自学评价
1、±4；－1或3 2、x―8； 3、x
6
―1 ； 4 、8 ；5、―3≤x≤5；6、＞
精选题型
1、⑴ 1＜x＜3；⑵、x＜0或x＞4
2、⑴ a
6
―64 ⑵、x
6
＋2 x
3
y
3
＋y
3
3、18 4、
5?1

5、2702
6、
(1)、
x?13?x

、(2)、
x2(x?3)
拓展练习
1、－4＜x＜3 2、
-
133
3、－3或－2 4、
3?5

6
5、
?x
4
?y
4
?z
4
? 2x
2
y
2
?2x
2
z
2
?2y
2
z
2

6、⑴－3 ⑵
x?y
43
(3)(4)b?a

3y
7、⑴－3 ⑵
5

8、D 9、C
10、
x?2或
?
136
11
?
11
11、 12、
?
?
?
2
55
n(n?1)(n?2) 2
?
n(n?1)(n?1)(n?2)
?
?
专题二、因式分解
自学评价
1、
a
2
?b
2
?(a?b)(a?b)

22
a
2
?2ab?b?(a?)b

22
a
2
?2ab?b?(a?)b

a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

2
a
3
?b
3
?(a?b)(a?ab?
2
b)

2、（1）（x－2）(x－1) (2) （x＋6）(x－2)（3）（x－ay）(x－by) (4) (x－1) (y＋1）
3、（1）（x＋3）(x
2
＋3) (2) （2x－y＋4）(x＋2y－1)
4、
(x?1?2)(x?z?2)
(x?
5、
5?135?13
)(x?)

22
精选题型
1、
(1)(2a?b?c)(b?c)

(2)(x3?y?4x)?(y2?

2、等边三角形
3、
(x
2
?x?1)(x
4
? x
3
?x?1)

4、
(x?a)(x?a?1)

5、
?
3a?b?1
??
2a?3b?2
?

6、
?
x?1
??
x?2
?

2
7、(2x
2
?3x?2)
?
x
2
?3x?1
?< br>
8、(m
2
?5m?7)
?
m?6
?
(m ?1)

9、(x
2
?x?1)(x
3
?x
2?1)

拓展练习
1、(ac?bd)(bc?ad)

2 、(x?2n)x(?2n?4m
3、
)
(x
2
?4x?8)(x< br>2
?4x?8)

4、(x?1)(x?3)(x?7)
5、(x?2y)x(?
28
2
2y)
6、
7、x(x?4)< br>2

9、

(x?y?xy?1)
3
10、( x?1)(x?a?1)(x?a?1)11、(x?1)(x?3)(x?5)
12、(x
2
?x?1)(x
2
?2x?4)

三 一元二次方程根与系数的关系
自学评价、
b
b
2
b
2
?4ac
?b? b
2
?4ac
x??
1、(x?)?
x?
2
2 （2）=,
1、
2a
；(3)＜
2a4a
2
、 （1）＞；
1、
2a
bc
?、
2、
aa

精选题型
1、
(1)k?
1111
(2)k?(3)k?(4)k?

3333
2
(3)?1972(4)22008

2007
2、x＝－1
3、（1）4018
(2)
4、⑴不存在 ⑵k=－2、－3、－5 ⑶
?
?3?22

5、（2）
①m?4时，x
1
?1?5 ，x
2
?1?5
①m?0时，x
1
?0,x
2
?? 2

6、a＜－2
拓展练习
1、A 2、A 3、D 4、p＝－1 q＝－3
5、a＝3 b＝3 c＝0 6 m＝1
3
且k?1

(2k

)?7
4
111
8、
①m>-②m=-③m<-

444
7、
(1)k?
2
9、
x?7x?1?0
10、
k?4且k?0
11、－1
四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数
自学评价
1、 ①（m,－n）②（－m,n）③（－m,－n）④（2a－m,2b－n）
⑤（2a－m, n）⑥（a,2b－n）⑦（b,a）（－b,－a）
2、（2）过原点，
k＞0，增大，k＜0，减小 （3）k＞0，增大，k＜0，减小
（4）k＞0，减小, k＜0，y＝x，y＝－x 原点
精选题型
1、（1）A
（2, 3）
B
（2, －3）
（2）A
（2, －3）
B
（－2, －3）
（3）A
（2, 3）
B
（－2, －3）
2、y＝x＋2 3、（1）y＝x＋2，
y?
拓展练习
3

（2）0＜x＜1或x＜－3
x
1、B 2、
B
（6,0）
C
（8, 2）
D
（2, 2）
3、（1）k＝8 (2)
P
（8, 1）
Q
（2, 4）
4、
(1) 3;(2)S?
5、
(1)y?
3a33
?,a??

22 2
1
;(2)A(1,1),(3)(1,0)(2,0)(2,0)(?2,0)

x
五 二 次 函 数
自学评价

b4ac?b
2
b4ac?b
2
)，当x=?,减小，增大，
1、< br>(?,

2a4a2a4a
b4ac?b
2
b4ac?b2
,)，当x=?,增大，减小，
2、
(?

2a4a2a4a
3、y＝ax
2
＋bx＋c y＝a(x－h)
2
＋k y＝a(x－x
1
) (x－x
2
)
精选题型
1、
向下 ，x＝－1，（－1,4）,4,x＜－1，增大，x＞－1，减小
2、
①－2≤a≤ 0时，
y
max
?4,y
min
?a
2

②0≤a≤2时，
y
max
?4,y
min
?0

③a≥2时，
y
max
?a
2
,y
min
?0
31
(x?1)
2
?2(2)y??(x?1)
2
? 2
(3)y?2x
2
?12x?8

42
?
80( 0?x?20)
?
160(20?x?400)
?
?
4、
y ?
?
240(40?x?60)

?
320(60?x?80)?
?
?
400(80?x?100)
3、
(1)y??
拓展练习
1、B 2、D 3、D 4、A 5、C 6、D 7、
(42,0)
8、
y
2
?y
1
?y
3

9、（2）
y??
1
(x?1)(x?2)

2
?
x(0?x?2)
?
4?x(2?x?4)
?
10、
(1) y?
?

?
x?4(4?x?6)
?
?
8? x(6?x?8)
11、（1）A
（4, 0）
B
（6, 0）
C
（0, 6）
(2)

(2)S?x
2
?5x?12(0?x?4)
(3)(2，2)
六 二 次 函 数 的 最 值 问 题
精选题型
1、
(1)y< br>max
??
1
2
4925
,(2)y
min
?

84
2、
1)y
max
??1,y
min??5
3、y≥－1

4、t＜0时，y
min
?
1
2
15
t?3
； 0≤t≤1时，
y
min
??3
； t＞1时
y
min
?t
2
?t?

222
5、（1）
y??3x
2
?252x?4860(30?x?54)
（2）42；（3）432
拓展练习
311
l
2
1、4，14或2， 2、 3、a＝2、b＝－2 4、
a??或?

242
16
5、
y
max
?3,y
min
?3?
3
6
6、
t??
5
4
7、
(1)y
max
?37, y
min
?1(2)a?0时，y
max
?27?10a
，
a?0时，y
max
?27?10a

8、－2≤m≤－1 9、
t?0时，y
max
?2?2t;t?0时，y
max
?2?2t

七 不 等 式
自学评价
1、
x?x
1
或x>x
2
，
x
1
2
，
x??
b
,
无解，全体实数，无解
2a
精选题型
1、（1）
x??3或x>2
；
(2)0
2、（1）
-2
3、k＞1 4、
(1)-1
5、①
m?2
1
或m<0时，x>
拓展练习
1、
(1)- < br>2、
(1)x??1或x>1;(2)x?
3
2
5
3
11
；②
m?2
时无解，③
m?0
时全体实数，④
0
mm
1
2
1
或x>3;(3)x??2或x> 0;(4)x>1

2
3、（1）无解；（2）一切实数
4、
m?2时，x>
5、
m<-
1?m1?m

m?2时，一切实数
，
m?2时，x<

m?2m?2
1
6、k＝5 7、
a?1或a?-5
8、①
a??2时，n=5+2a

2
2
②
-2?a?2时，n?1?a
③
a?1时，n?2?2a

9、①
a?0时，-(1-a)
②
a?0时，-(1+a)
③
a?0时，x?1

6
10、
?1
5