【公开课教案】初高中数学衔接教材---韦达定理公开课教学设计

《韦达定理及其应用》教学设计
一.教材分析
《韦达定理及其应 用》是初高中数学衔接教材的一节重要内容.本节内容是在初
中学过的二次项系数为1时根与系数的关系 的基础上进行的，教材通过一元二
次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2推导出韦达定 理，以及能够建立以数x1、
x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以 后的
知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二
次方程根的情 况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。运用韦达定理可以
进一步研究数学中的许多问题，有的将其 与三角函数、几何、二次函数等内容
综合起来，形成难度系数较大的压轴题。通过韦达定理的教学，可以 培养学生
的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理
论打下基 础。
二.学情分析
本课的教学对象是刚从初中升高一的学生，学生对事物的认识多是 直
观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征；在教
学中应多类比初 中学过的知识，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，使他们
在现代化的教学模式和传统的教学模式相结 合的基础上掌握一元二次方程根与
系数的关系。
根据教学内容的地位和作用结合学生的具体学习情况，我制定了如下的教
学目标和教学重难点：
三.教学目标
知识与技能：理解一元二次方程根与系数的关系，并会用根与系数的关系解决
各类数学问题。
第1页

过程与方法：经历观察——转化 ——类比的思维过程得出韦达定理，逐步掌握
从特殊到一般的转化思想。
情感态度与价值观： 激发求知欲，提高探索数学知识的积极性，通过合作学习，
培养学生的动手探究、交流合作的能力和探索 精神.

四.教学重、难点
教学重点：一元二次方程的根与系数的关系的应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的理解。
五.教学策略与手段
教学策略与方法：观察发现、类比引导、相互探究讨论，自我展示讲解的教学
方法.
教学手段：将多媒体技术和传统的教学手段相结合.其目的是充分发挥各种媒体
的特长，在优化组合的基 础上，提高教学效率，改善教学效果.


六.教学过程
教学
环节
创温 【复习】如果方程x
2
+px+q=0学生用已学知
设故 的两根是x
1
，x
2
，那么根与系识轻松的回答
情引 数的关系是：x
1
+x
2
= , 问题.
境新 x
1
x
2
=

第2页
教学过程预设 师生互动 设计意图
巩固旧知同时又
为新知埋下伏笔.

【问题】 教师---提出问引导学生在已有
如果一元二次方程题，引导学生的知识基础上在
ax
2
＋bx＋c＝0(a?0)< br>的根是
思考。 进行深入思考，给
学生创设问题情
境，使学生产生强
烈 的问题意识，从
而激发学生的求
知欲，积极主动地
探索新知.
x
1
、x
2
，那么
x
1
＋
x
2
与x
1
x
2
与方程
的二次项系数ａ、一次项系数
ｂ、常数 项ｃ有什么联系？











【探索】




1、 本设计采用“观
察——发现——
动手：学生在转化——类比”的
先把
ax2
＋bx＋c＝0(a?0)
转化 为
教师的提示过程，使学生既动
a=1的方程 下，自主动手 手又动脑，且又动
积极思考，并口，教师引导启
自合 再根据a=1根与系数的关系得 合作、交流成 发，避免注入式地
主作 x
1
+x
2
= , 果 讲授一元二次方
程根与系数的关
系，体现学生的主
体学习特性，培养
了学生的创新意
识和创新精神。2、第3页
学探
习究 x
1
x
2
=

本设计遵循由特
殊到一般，从实践
到理论（即从感性
认识上升到理性
认识） 的认知规
律。3、本设计注
重了学生的反思
过程，使学生将知
识系统化、格式
化。




类
得
比
出
归
【类比归纳】韦达定理： 教师----板书
一元二次方程的根与系数之间学生----加深
存在下列关系：如果对两个关系的
ax
2
＋bx＋c＝0(a?0)
的两个根
x
1
、x
2
记忆和理解，


提出推论1的意
那么
x
1
＋
x
2
= ，
x
1
x
2
= .
做好笔记.
这个关系通常叫做韦达定理。


2、推论1：

< br>学生：寻找新图是让学生思考
旧知识的区别初中所学根与系
数的关系和现在
所学 韦达定理的
结
如果
x
2
＋
px
＋< br>q
＝0
的两个根
与联系。
纳

论
那么
x
1
＋
x
2
= ，
联系与区别
第4页

x
1
x
2
= .







熟悉公式：
说一说 ※ 算一算：
学生----思考
并展示
本环节的设计
是为了引导学生
及时巩固新知 1、说出下列各方程的两根之和
与两根之积：
2
教师----展示
1
2
（１）x- 2x - 1=0 学生的答案并
点评易错的题.

熟运
x
1
＋
x
2
= ，
x
1
x
2
=
悉用 （2） 2x
2
- 3x + 12 =0


公自

x
1
＋
x
2
= ，
x
1
x
2
=
式
如

（3）2x
2
- 6x =0

x
1
＋
x
2
= ，
x
1
x
2
=
（4）3x
2
= 4

x
1
＋
x
2
= ，
x
1
x
2
=
2、已知x
1
= 3, x
2
= -6是方程
3x
2
+px+q=0 的两个根，求出 p
和 q 的值。






设计这5道题是
为了考察学生灵

【典型例题】 韦达定理的应用
1、求代数式的值
例1: 已知3x
2
+2x-9=0的两根是学生经过独立活运用知识解决
第5页

11
思考-- 小组解问题能力，让学生
2
x
1
, x
2
。求：（1）< br>＋
；（2）
x
1
＋x
2
2

x
1
x
2
疑、合理分工、感受到
【变式训练】
精彩讲解、提根与系数的关系
已知 m
2
+2m-2009=0，
出 质疑等过在解题中的运用，
n
2
+2n-2009=0（m≠n），求
程，自 主完成同时也考察学生
(m-1)(n-1).
题目。
2、求根或系数

例2、 已知方程


2 ,求此方程的另一个根及a的
老师----学生与系数的关系，体
值。
讲解后，老师会“整体代入”思
3、构造一元二次方程
进行关键性的想在
例3 、请构造一元二次方程，
点评和补充
使它的两根分别为以下各组数.
起到简便运算的
，３
（1）1 , 2 （2）
２
例
题
讲
解

3x
2
-(2a-5)x-3a- 1=0的一个根是
思维的严密性，根
据情况
还进一步进行变
式进一步巩固根
解题中的运用，可
作用


.这一过程体现了
推论2：以
x
1
，x
2
为根的一 元二
次方程(二次项系数为1)是：
x
2
x+ =0
4、解方程
学生的主体作用，
例4、已知两数之和为14，乘
举一反三，提高了
积-51，求这两数.
学习兴趣.
5．研究方程根的情况
另外学生的互
例5：已知方程
评、教师的点评会
第6页

x
2
-2(k-1)x+k
2
-2=0，k 为何值时，
方程有一正根和负根？
让学生认识到解
题的灵活性，培养
学生的思维.






课
堂
本节课我们学习了：
1、韦达定理的具体形式：
学生自我总结
本节课所学内
本设计的目的是帮助学生回忆本
节所学的内容，
加深对本节内容
的理解，掌握韦
达定理的 应用。

x
1
＋
x
2
= ，
x
1
x
2
=
容.
2、韦达定理的应用:
小 （1）求代数式的值
结 （2）求方程的根或系数
（3）构造一元二次方程
（4）解方程
（5）研究方程根的情况

作业必做题：同步练习 1，3,4，5题；
设
计
选做题：同步练习 2，6，7题.

作业的布置注意
到分层，满足不同
层次学生的需要.
第7页

板
书
设
计






课题：韦达定理及其应用
一．知识回顾
二．韦达定理的概念
推论1：
推论2：
三．应用
（1）求代数式的值
（2）求方程的根或系数
（3）构造一元二次方程
（4）解方程
（5）研究方程根的情况
简明扼要的板书
让学生对所学知
识一目了然，也有
利于知识的记忆，
例题关键分析
例1： 例4：


例2： 例5：


例3：

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