初高中数学衔接教材 二次函数(学生版)

高一数学必修一导学案 第二章 函数
【学习笔记】



姓名： 班级： 学号：


编写：陈雪娇 审校：高一数学组

【学习目标】

1.理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系；

2.能通过二次函数的图像写出一元二次不等式的解集；

3.了解数形结合思想在解题中的应用。

【学习过程】

一、预习导航，要点指津


1、回顾二次函数的图像和性质

2
（1）二次函数
y?x?2x?3
的开口方向、顶点坐标、与
x
轴 的交点坐标


及对称轴分别是什么？并作出它的草图.
y

?开口方向： ；
6

5

?顶点坐标： ；
4
3

2
?与
x
轴的交点坐标： ；

1

④对称轴为： ，
- 6-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
56
x
-1

-2
⑤单调增区间为 ，
-3

-4
-5

单调减区间为 。
-6

（2）、根据草图填空：

2
?当
x?
或 时，
y?0
，即
x?2x?3?0
；


?当
x?
时，函数的图像位于
x
轴的下方，则
y

0
，


22
即
x?2x?3

0
（填
?
或
?
）.故不等式
x?2x?3?0
的解集是 ；


?当
x?
时，函数的图像位于
x
轴的上方，则
y

0
，


22
即
x?2x?3

0
（填< br>?
或
?
）.故不等式
x?2x?3?0
的解集是


2
总结归纳：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式
ax ?bx?c?0
或


2
ax?bx?c?0
(a?0)
的解集。利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是：

先求对应方程的根，再画出不等式所对应的二次函数的图像，并标出图像与
x
轴交点


的横坐标，曲线在 ，就是不等式大于零的解集；

曲线在 ，就不是不等式小于零的解集。
2.4.2 二次函数（第2课时）导学案(有*的选做)

6

高一数学必修一导学案 第二章 函数
2、三个二次的关系
完成以下表格。
【学习笔记】



2
??0??0??0

??b?4ac



2
y?ax?bx?c


二次函数
y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c


2
y?ax?bx?c



a?0
（）的图象








一元二次方程

有两相异实根 有两相等实根

ax
2
?bx?c?0

无实根
b
x
1
?x
2
??

x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)


2a
?
a?0
?
的根


ax
2
?bx?c?0




(a?0)的解集


ax
2
?bx?c?0


(a?0)的解集


二、自主探索，独立思考（约10分钟）

例1、解下列不等式：

2
2

?
x?3x?4?0
?
x?2x?3?0


2
2

?
4x?4x?1?0
④
?x?x?1?0






2
22

练习、?
x?4
； ?
4x?x?0
； ?
?1?x?2x?1?2








2

【总结】解一 元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)
，当
a?0
时，其相应一元二

次方程的判别式
??0
，则求两根或分解因式，根据“大于在两边，小于夹中间”

写出解集；若
??0
或
??0
，这时利用一元二次函数的 图像写出不等式的解集。


7

高一数学必修一导学案 第二章 函数

x?12?x1
【学习笔记】

?
0
?
?0
?
?1

?

x?2x?3x








*
例2、解下列关于
x
的不等式



（1）
(x?1)(x?a)?0
（2）
ax
2
?(2a?1)x?2?0
















【总结】当不等式中含有参数时，必须分类讨论。分类是由不确定和不统一而引

起的，分类标准是根据需要而设定的，“需要”可能是：是什么不等式（一元一


次？一元二次？）；开口方向如何；根的判别式的正、负；根的大小等。


例3、已知二次函数
f(x)
的二次项系数为
a
，且不等式
f(x)??2x
的解集为


（1, 3）。



（1）若方程
f(x)?6a?0
有两个相等的根，求
f(x)< br>解析式；


（2）若
f(x)
的最大值为正数，求
a
的取值范围。











2

*
例4、已知不等式
ax?2ax?1?0
，


（1）若对于所有的实数
x
不等式恒成立，求实数
a
的取值范围；

（2）若对于
x?(1,2]
不等式恒成立，求实数
a
的取值范围；



（3）若对于
a?[?1,1]
不等式恒成立，求实 数
x
的取值范围。








变式迁移：解下列不等式。

8

高一数学必修一导学案 第二章 函数

【总结】关于一元二次不等式恒成立问题，可以利用数形结合法，根据对 称轴和
区间的位置关系，列出不等式求解；也可转化为函数在某区间上的最大值恒小于
零或最小 值恒大于零的问题，通过求最值解决。

三、小组合作探究，议疑解惑（约5分钟）
各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑
解惑。

四、展示你的收获（约8分钟）
由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作
探究的结论、解题方法、知识技巧。（即学习成果）

五、重、难、疑点评析（约5分钟）
由教师归纳总结点评
六、达标检测（约8分钟）
1、解下列关于
x
的不等式。
?
2
x?x?
1
?
0
?
?3x?2x?8?0



?
12
x?x?
1
?
0
④



2、?已知一元二次不等式
ax?bx?6?0
的 解集为
{x|?2?x?3}
，
求
a
，
b
的值.
?关于
x
的不等式
a x?2x?4?0
的解集为R,求
a
的取值范围。












2
2
22
2
11
?2

*
⑤
?a

x?1x

【学习笔记】




















































9

高一数学必修一导学案 第二章 函数

七、课后练习
1、设集合
M?{x|x?3x?4? 0},N?{x|0?x?5}
，则
M?N?

2

【学习笔记】


















1
*
2、若
0?t?1
，则不等式
( x?t)(x?)?0
的解集为（ ）
t
1
1
1
A.
{x|?x?t}

B.
{x|x?
1
或x?t}

C.
{x|x?t或x?}

D.
{x|t?x?}
< br>t
t
t
t
3、已知不等式
ax?bx?2?0
的解集 为
{x|?1?x?2}
，则不等式
2
2x
2
?bx?a?0
的解集为（ ）
A.
{x|?1?x?}
B.
{x|x??1或x?}

C.
{x|?2?x?1}
D.
{x|x??2或x?1}

4.已知函数
y?6x?2x
2
?m
的值恒小于零，那么（ ）
A. m=9 B.
m?
1
2
1
2
999
C.
m?
D.
m?

222







*
6、在R上定义运算：
x?y?x(1?y)
.若不 等式
(x?a)?(x?a)?1
对任意实数
x


恒成立，则
a
的取值范围是


2
7、已知
f(x)?x?2x?3
在闭区间
[0,m]
上有最大值3，最小值2，


则
m
的取值范围是

22

8、
*
设
A?{x|x?2x?3?0},B?{x|x?ax?b?0}< br>，若
A?B?R
，


A?B?(3,4]
，则
a?b
等于

2

9、
*
解关于
x
的不等式
(1?ax)?1
.










10

?
x
2
?4x?6,x?0
5、 设函数
f(x)?
?
，则不等式
f(x)?f(1)
的解集是
?
x?6,x?0

高一数学必修一导学案 第二章 函数

*
10、若不等式
(1?a)x
2
? 4x?6?0
的解集是
{x|?3?x?1}
.
（1）解不等式
2x
2
?(2?a)x?a?0
；
（2）
b
为何值时，
ax
2
?bx?3?0
的解集为R。










11、函数
f(x)?x
2
?ax?3
。
（1）当
x?R
时，
f(x)?a
恒成立，求
a
的取值范围；
（2）当
x?[-2,2]
时，
f(x)?a
恒成立，求
a
的取值范围。


















11


【学习笔记】