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初升高衔接教材

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 09:05
tags:初高中数学衔接教材

怎样做高中数学错题本-长沙高中数学哪家最好

2020年9月19日发(作者:尹宽)


中学初高中数学衔接教材


目 录
引 入 乘法公式
第一讲 因式分解
1. 1 提取公因式
1. 2. 公式法(平方差,完全平方,立方和,立方差)
1. 3分组分解法
1. 4十字相乘法(重、难点)
1. 5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解.

第二讲 函数与方程
一元二次方程
根的判别式
根与系数的关系(韦达定理)
2.2 二次函数
二次函数y=ax
2
+bx+c的图象和性质
二次函数的三种表示方式
二次函数的简单应用

第三讲 三角形的“四心”



乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2

(2)完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3

(2)立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3

(3)三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)

(4)两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3

(5)两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.
例1 计算:
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)


222
?
解法一:原式=
(x
2
?1)
?
(x?1)?x
??

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1

解法二:原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1

例2 已知
a?b?c?4
,< br>ab?bc?ac?4
,求
a
2
?b
2
?c
2
的值.
解:
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8

练 习
1.填空:
1
2
1
2
11

a?b?(b?a)
( )
9423
22
(2)
(4m?

)?16m?4m?(

)

2222
(3 )
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)

(1)
2.选择题:
1
mx?k
是一个完全平方式,则
k
等于 ( )
2
1
2
1
2
1
2
2< br>(A)
m
(B)
m
(C)
m
(D)
m

416
3
22
(2)不论
a

b
为何实数,
a?b?2a?4b?8的值 ( )
(1)若
x?
2
(A)总是正数 (B)总是负数
(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数






第一讲 因式分解

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法 、分组分解法,
另外还应了解求根法及待定系数法.
1.十字相乘法
例1 分解因式:
(1)x
2
-3x+2; (2)x
2
+4x-12;
(3)
x
2
?(a?b)xy?aby
2
; (4)
xy?1?x?y

解:(1)如图1.1-1,将二次项x
2
分解成图中的两个x的积,再将常数项
2分解成-1与-2的乘积,而图中的对角线上的两 个数乘积的和为-3x,就是
x
2
-3x+2中的一次项,所以,有


x
2
-3x+2=(x-1)(x-2).

1
x
x
1 -2
-1
-ay
-1


1
x
x
1 6
-2
-by
-2

图1.1-3
图1.1-1
图1.1-4
图1.1-2

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将 图1.1-1中的
两个x用1来表示(如图1.1-2所示).
(2)由图1.1-3,得
x
2
+4x-12=(x-2)(x+6).
(3)由图1.1-4,得

x
2
?(a?b)xy?aby
2

( x?ay)(x?by)

(4)
xy?1?x?y
=xy+(x-y)-1
=(x-1) (y+1) (如图1.1-5所示).
课堂练习
一、填空题:
1、把下列各式分解因式:
(1)
x?5x?6?
___________ _______________________________________。
(2)x?5x?6?
_____________________________________ _____________。
(3)
x?5x?6?
_____________ _____________________________________。
(4)
x?5x?6?
_______________________________________ ___________。
2
x
y
-1
1
图1.1-5
2
2
2
2
(5)
x?
?< br>a?1
?
x?a?
___________________________ _______________________。
(6)
x?11x?18?
_ _________________________________________________。
(7)
6x?7x?2?
___________________________ _______________________。
(8)
4m?12m?9?
_ _________________________________________________。
(9)
5?7x?6x?
___________________________ _______________________。
(10)
12x?xy?6y?
_________________________________________________ _。
2、
x?4x? ?
?
x?3
??
x?
?

2
22
2
2
2
2
3、若x?ax?b?
?
x?2
??
x?4
?

a?

b?

二、选择题:(每小题四个答案中只有一个是正确的)
2
1、在多项式(1)
x?7x?6
(2)
x?4x?3
(3)
x?6x?8
(4)x?7x?10

(5)
x?15x?44
中,有相同因式的是( )
A、只有(1)(2) B、只有(3)(4)
C、只有(3)(5) D、(1)和(2);(3)和(4);(3)和(5)
2、分解因式
a?8ab?33b
得( )
a?3
?
B、
?
a?11b
??
a?3b
?
C、
?
a?11b
??
a?3b
?
D、A、
?
a?11
??
22
2
2222
?
a?11b
??
a?3b
?
2
3、
?
a?b
?
?8
?
a?b
?< br>?20
分解因式得( )
a?b?2
?
B、
?
a?b?5
??
a?b?4
?
A、
?
a?b?10
??
a?b?10
?
D、
?
a?b?4
??
a?b?5
?
C、
?< br>a?b?2
??
2
4、若多项式
x?3x?a
可分解为
?
x?5
??
x?b
?
,则
a

b的值是( )


A、
a?10

b?2
B、
a?10

b??2
C、
a??10

b??2
D、
a??10

b?2

5、若
x
2
?mx?10?
?
x?a
??
x?b
?
其中
a

b
为整数,则
m
的值为 ( )
A、
3

9
B、
?3
C、
?9
D、
?3

?9

三、把下列各式分解因式
1、
6
?
2p?q
?
2
?11
?
q?2p
?
?3
2、
a
3
?5a
2
b?6ab
2





3、
2y
2
?4y?6
4、
b
4
?2b
2
?8






2.提取公因式法

例2 分解因式:
(1)
a
2
?
b?5
?
?a
?
5?b< br>?
(2)
x
3
?9?3x
2
?3x

解: (1).
a
2
?
b?5
?
?a
?
5?b
?
=
a(b?5)(a?1)

(2)
x< br>3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x2
)?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)


x
3
?9?3x
2
?3x

(x
3
?3x
2
?3x?1)?8

(x?1)
3
?8

(x?1)
3
?2
3


[(x?1)?2][(x?1)
2
?(x?1)?2?2
2
]< br>

(x?3)(x
2
?3)

课堂练习:
一、填空题:
1、多项式
6x
2
y?2xy
2
?4xyz
中各项的公因式是_______________。
2、< br>m
?
x?y
?
?n
?
y?x
?
?< br>?
x?y
?
?
__________________。
3 、
m
?
x?y
?
2
?n
?
y?x
?
2
?
?
x?y
?
2
?
________ ____________。
4、
m
?
x?y?z
?
?n
?
y?z?x
?
?
?
x?y?z
?
?_____________________。
5、
m
?
x?y?z
?
?x?y?z?
?
x?y?z
?
?
______ ________________。
6、
?13ab
2
x
6?39a
3
b
2
x
5
分解因式得__________ ___________。
7.计算
99
2
?99
=
二、判断题:(正确的打上“√”,错误的打上“×” )
1、
2a
2b?4ab
2
?2ab
?
a?b
?
……………………… …………………………………
2、
am?bm?m?m
?
a?b
?
……………………………………………………………
3、
?3x
3
?6x
2
?15x??3x
?
x
2
?2x?5
?< br>……………………………………………
4、
x
n
?x
n?1
?x
n?1
?
x?1
?
………………………………………… ……………………

3:公式法








例3 分解因式: (1)
?a
4
?16
(2)
?
3x?2y
?
?
?
x?y
?
< br>22
解:(1)
?a
4
?16
=
4
2
?(a
2
)
2
?(4?a
2
)(4?a
2
)?(4?a
2
)(2?a)(2?a)

(2)

?
3x?2y
?
?
?
x?y
?
=
(3x?2 y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y)


课堂练习

222233
一、
a?2ab?b

a ?b

a?b
的公因式是___________________________ ___。
22

二、判断题:(正确的打上“√”,错误的打上“×” )
2
1、
4
9
x
2
?0.01?
?
?2
?
3
x
?
?
?
?
?
0.1
?
2
?
?
?
2
??
2
?
?
3
x?0.1
?
?

?
?
3
x?0.1
?
?
………………………… (
2、
9a
2
?8b
2
?
?
3a
?
2
?
?
4b
?
2
?
?
3a?4b
??
3a?4b
?
………………………………… (
3、< br>25a
2
?16b?
?
5a?4b
??
5a?4b
?
………………………………………………… (
4、
?x
2
?y
2
??
?
x
2
?y
2?
??
?
x?y
??
x?y
?
………………………………………… (
5、
a
2?
?
b?c
?
2
?
?
a?b?c
??
a?b?c
?
……………………………………………… (
五、把下列各式分解
1、
?9
?
m?n
?
2?
?
m?n
?
2
2、
3x
2
?
1
3


3、
4?
?
x
2
?4x?2
?
2
4、
x
4
?2x
2
?1











4.分组分解法
例4 (1)
x
2
?xy?3y?3x
(2)
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6

(2)
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
2 x
2
?(y?4)x?y
2
?5y?6

=
2x
2
?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2) (x?y?3)


2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5 y)?6

=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)


课堂练习 :用分组分解法分解多项式(1)
x
2
?y
2
?a
2
?b
2
?2ax?2by

(2)
a
2
?4ab?4b
2
?6a?12b?9











5.关于x的二次三项式ax
2
+bx+c(a≠0)的因式分解.
若关于 x的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1

x
2
,则二次三项式
ax
2
?bx?c(a ?0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
例5 把下列关于x的二次多项式分解因式:
(1)
x
2
?2x?1
; (2)
x
2
?4xy?4y
2

解: (1)令
x
2
?2x?1
=0,则解得
x
1
??1?2
,< br>x
2
??1?2

???

x< br>2
?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?

=
(x?1?2)(x?1?2)

(2)令
x
2
?4x y?4y
2
=0,则解得
x
1
?(?2?22)y

x
1
?(?2?22)y


x
2
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]

练 习
1.选择题:
多项式
2x?xy?15y
的一个因式为 ( )
(A)
2x?5y
(B)
x?3y
(C)
x?3y
(D)
x?5y

2.分解因式:
(1)x
2
+6x+8; (2)8a
3
-b
3

(3)x
2
-2x-1; (4)
4(x?y?1)?y(y?2x)

22
习题1.2
1.分解因式:
(1)
a?1
; (2)
4x?13x?9

22
(3)
b?c?2ab?2ac?2bc
; (4)
3x?5xy?2y?x?9y?4

22
342
2.在实数范围内因式分解:
2
(1)
x?5x?3
; (2)
x?22x?3

2
(3)
3x?4xy?y
; (4)
(x?2x)?7(x?2x)?12

3.
?ABC
三边
a

b

c
满足
a?b?c?ab?bc?ca< br>,试判定
?ABC
的形状.
4.分解因式:x
2
+x-(a
2
-a).


222
22222
































第二讲 函数与方程

一元二次方程

根的判别式

{情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法,
如求方程的根(1)
x?2x?3?0
(2)
x?2x?1?0
(3)
x?2x?3?0
}
222

我们知道,对于一元二次方 程ax
2
+bx+c=0(a≠0),用配方法可以将其变
形为
b
2
b
2
?4ac

(x?)?
. ①
2a4a
2
因为a≠0,所以,4a
2
>0.于是


(1)当b
2
-4ac>0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1

2
=;
2a
(2)当b
2
-4a c=0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数

x
1
=x
2
=-
b

2a
b
2
)
2a
(3)当b
2
-4ac<0时,方程①的右端是一个负数,而 方程①的左边
(x?
一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根.
由此可知,一元 二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由b
2
-4ac< br>来判定,我们把b
2
-4ac叫做一元二次方程ax
2
+bx+c=0 (a≠0)的根的判别式,
通常用符号“Δ”来表示.
综上所述,对于一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0),有
(1) 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1

2
=;
2a
(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根
b
x
1
=x
2
=-;
2a
(3)当Δ<0时,方程没有实数根.
例1 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实
数根,写出方程的实数根.
(1)x
2
-3x+3=0; (2)x
2
-ax-1=0;
(3) x
2
-ax+(a-1)=0; (4)x
2
-2x+a=0.
解:(1)∵Δ=3
2
-4×1×3=-3<0,∴方程没有实数根.
(2 )该方程的根的判别式Δ=a
2
-4×1×(-1)=a
2
+4>0,所以方 程一定有
两个不等的实数根
a?a
2
?4a?a
2
?4< br>x
1
?

x
2
?

22
(3)由于该方程的根的判别式为
Δ=a
2
-4×1×(a- 1)=a
2
-4a+4=(a

2)
2

所以,
①当a=2时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根
x
1
=x
2
=1;
②当a≠2时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根
x
1
=1,x
2
=a

1.
(3)由于该方程的根的判别式为
Δ=2
2
-4×1×a=4-4a=4(1

a),
所以
①当Δ>0,即4(1

a) >0,即a<1时,方程有两个不相等的实数根

x
1
?1?1?a

x
2
?1?1?a


②当Δ=0,即a=1时,方程有两个相等的实数根
x
1
=x
2
=1;
③当Δ<0,即a>1时,方程没有实数根.
说明:在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而
变化,于是,在解题过程中,需要对a的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类
讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题
中会经常地运用这一方 法来解决问题.
















根与系数的关系(韦达定理)

若一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?

x
2
?

2a2a
则有

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
????

x
1
?x
2
?
2a2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b
2
?4ac)4acc
???
2
?

x
1
x
2
?
2a2a4a< br>2
4aa
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:



b
如果ax
2
+bx+c=0(a≠0)的两根分 别是x
1
,x
2
,那么x
1
+x
2
?
,x
1
·
x
2
a
c
=.这一关系也 被称为韦达定理.
a
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x
2
+ px+q=0,若x
1
,x
2
是其
两根,由韦达定理可知
x
1
+x
2
=-p,x
1
·
x2
=q,
即 p=-(x
1
+x
2
), q=x
1
·
x
2

所以,方程x
2
+px+q=0可化为 x
2
-(x
1
+x
2
)x+x
1
·
x
2
=0,由于x
1,x
2
是一
元二次方程x
2
+px+q=0的两根,所以,x< br>1
,x
2
也是一元二次方程x
2
-(x
1
+ x
2
)x
+x
1
·
x
2
=0.因此有
以两个数x
1
,x
2
为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x
2
-(x
1
+x
2
)x+x
1
·
x
2
=0.
例2 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
分析:由于 已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k的值,再
由方程解出另一个根.但由于我们学习了 韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,
即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是 可以利用两根之
积求出方程的另一个根,再由两根之和求出k的值.
解法一:∵2是方程的一个根,
∴5×2
2
+k×2-6=0,
∴k=-7.
3
所以,方程就为5x
2
-7x-6=0,解得x< br>1
=2,x
2
=-.
5
3
所以,方程的另一个根为-,k的值为-7.
5
63
解法二:设方程的另一个根为x
1
,则 2x
1
=-,∴x
1
=-.
55
3k
由 (-)+2=-,得 k=-7.
55
3
所以,方程的另一个根为-,k的值为-7.
5

例3 已知关于x的方程x
2
+2(m

2)x+m
2
+4
=0有两个实数根,并且这
两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.
分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到
关于m的方程,从 而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的
方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大 于零.
解:设x
1
,x
2
是方程的两根,由韦达定理,得
x
1
+x
2
=-2(m

2),x1
·x
2
=m
2
+4.

x1
2
+x
2
2
-x
1
·x
2
=21,
∴(x
1
+x
2
)
2
-3 x
1
·x
2
=21,
即 [-2(m

2)]
2
-3(m
2
+4
)=21,
化简,得 m
2
-16m-17=0,
解得 m=-1,或m=17.
2


当m=-1时,方程为x
2
+6 x+5=0,Δ>0,满足题意;
当m=17时,方程为x
2
+30x+293=0 ,Δ=30
2
-4×1×293<0,不合题意,
舍去.
综上,m=17.
说明:(1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对
应的m的范围,然 后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值,
取满足条件的m的值即可.
(1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的
判别式Δ是否大于或大于零. 因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实
数根.
例4 已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
分析:我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二 元方程求解出这两个数.也
可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.
解法一:设这两个数分别是x,y,
则 x+y=4, ①
xy=-12. ②
由①,得 y=4-x,
代入②,得
x(4-x)=-12,
即 x
2
-4x-12=0,
∴x
1
=-2,x
2
=6.
?
x
1
??2,
?
x
2
?6,

?

?

?
y
1
?6,
?
y
2
??2.
因此,这两个数是-2和6.
解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程
x
2
-4x-12=0
的两个根.
解这个方程,得
x
1
=-2,x
2
=6.
所以,这两个数是-2和6.
说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)
要比解法一简捷.
例5 若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
+5x-3=0的两根.
(1)求| x
1
-x
2
|的值;
11
(2)求
2
?
2
的值;
x
1
x
2
(3)x
1
3
+x
2
3

解:∵x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
+ 5x-3=0的两根,
53

x
1
?x
2
??

x
1
x
2
??

22
53
(1)∵| x
1
-x
2
|
2
=x
1
2
+ x
2
2
-2 x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
-4 x
1
x
2

(?)
2
?4?(?)

22
49
25
=+6=,
4
4


∴| x
1
-x
2
|=
7

2
2
1< br>2
1
22
5325
(?)
2
?2?(?)?3
x?x
2
(x
1
?x
2
)?2x
1
x< br>2
1137
22
?
4
(2)
2
?
2
?

???
22
39x
1
x
2
x?x
2
(x
1
x
2
)9
(?)
2
24
3322 2
(3)x
1
+x
2
=(x
1
+x
2
)( x
1
-x
1
x
2
+x
2
)=(x
1
+x
2
)[ ( x
1
+x
2
)-3x
1
x
2
]
553215
=(-)×[(-)
2
-3×(
?
)]=-.
2228
说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会
遇到求这一个量的问题,为了 解题简便,我们可以探讨出其一般规律:
设x
1
和x
2
分别是一元 二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0),则
?b?b
2
?4a c?b?b
2
?4ac
x
1
?

x
2?

2a2a
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac
??
∴| x
1
-x
2
|=
2a2a2a
b
2
?4ac?

?

?
|a||a|
于是有下面的结论:
若x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0),则 | x
1
-x
2
|=
?
(其
|a|
中Δ= b
2
-4ac).
今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论.
例6 若关于 x的一元二次方程x
2
-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数
a的取 值范围.
解:设x
1
,x
2
是方程的两根,则
x
1
x
2
=a-4<0, ①
且Δ=(-1)
2
-4(a-4)>0. ②
由①得 a<4,
17
由②得 a<
4
.∴a的取值范围是a<4.
练 习
1.选择题:
(1)方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是 ( )
(A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根
(2)若关于x的方程mx
2
+ (2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值
范围是 ( )
(A)m<
22
11
(B)m>-
44
11
(C)m<,且m≠0 (D)m>-,且m≠0
44
2.填空:


(1)若方 程x
2
-3x-1=0的两根分别是x
1
和x
2
,则
11
?
= .
x
1
x
2
(2 )方程mx
2
+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 .
(3)以-3和1为根的一元二次方程是 .
3.已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
,当k取何值时, 方程kx
2
+ax+b=0有两个不相等的实
数根?
4.已知方程x
2
-3x-1=0的两根为x
1
和x
2
,求(x
1
-3)( x
2
-3)的值.




习题
A 组
1.选择题:
(1)已知关于x的方程x
2
+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根是( )
(A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2
(2)下列四个说法:
①方程x
2
+2x-7=0的两根之和为-2,两根之积为-7;
②方程x
2
-2x+7=0的两根之和为-2,两根之积为7;
③方程3 x
2
-7=0的两根之和为0,两根之积为
?
7

3
④方程3 x
2
+2x=0的两根之和为-2,两根之积为0.
其中正确说法的个数是 ( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
(3)关于x的一元二次方程a x
2
-5x+a
2
+a=0的一个根是0,则a的值是( )
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1
2.填空:
(1)方程kx
2
+4x-1=0的两根之和为-2,则k= . < br>(2)方程2x
2
-x-4=0的两根为α,β,则α
2
+β
2
= .
(3)已知关于x的方程x
2
-ax-3a=0的一个根是-2,则它的另一个根是

(4)方程2x
2
+2x-1=0的两根 为x
1
和x
2
,则| x
1
-x
2
|= .

3.试判定当m取何值时,关于x的一元二次方程m
2
x
2< br>-(2m+1) x+1=0有两个不相等的实
数根?有两个相等的实数根?没有实数根?
4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x
2
-7x-1=0各根的相反数.
B 组
1.选择题:
若关于x的方程x
2
+(k
2
-1) x+k+1=0的两根互为相反数,则k的值为
( )
(A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0
2.填空:
(1)若m,n是方程x
2
+2005x-1=0的两个实数根 ,则m
2
n+mn
2
-mn的值等
于 . < br>(2)如果a,b是方程x
2
+x-1=0的两个实数根,那么代数式a
3+a
2
b+ab
2
+b
3
的值
是 .
3.已知关于x的方程x
2
-kx-2=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根为x
1
和x
2
,如果2(x
1
+x
2
)>x
1
x2
,求实数k的取值范围.


4.一元二次方程ax
2
+ bx+c=0(a≠0)的两根为x
1
和x
2
.求:
(1)| x
1
-x
2
|和
x
1
?x
2

2
(2)x
1
3
+x
2
3

5 .关于x的方程x
2
+4x+m=0的两根为x
1
,x
2
满 足| x
1
-x
2
|=2,求实数m的值.
C 组
1.选择题:
(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x
2
-8x+7=0的两根,则这个直
角三角形的斜边长等于 ( )
(A)
3
(B)3 (C)6 (D)9
(2)若x
1
,x
2
是方 程2x
2
-4x+1=0的两个根,则
x
1
x
2
?
的值为 ( )
x
2
x
1
3
(A)6 (B)4 (C)3 (D)
2
(3)如果关于 x的方程x
2
-2(1-m)x+m
2
=0有两实数根α,β,则α+β的取 值范围为
( )
(A)α+β≥
11
(B)α+β≤ (C)α+β≥1 (D)α+β≤1
22
c
(4)已知a,b,c是ΔABC的三边长,那么方程 cx
2
+(a+b)x+=0的根的情况是
4
( )
(A)没有实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根
2.填空:
若方程x
2
-8x+m=0的两根为 x
1
,x
2
,且3x
1
+2x
2
=18, 则m= .
3. 已知x
1
,x
2
是关于x的一元二次方程 4kx
2
-4kx+k+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实数k,使(2x
1
-x
2
)( x
1
-2 x
2
)=-
在,说明理由;
3
成立? 若存在,求出k的值;若不存
2
x
1
x
2
?
-2的 值为整数的实数k的整数值;
x
2
x
1
x
(3)若k=- 2,
?
?
1
,试求
?
的值.
x
2
(2)求使
m
2
?0
. 4.已知关于x的方 程
x?(m?2)x?
4
2
(1)求证:无论m取什么实数时,这个方程总有 两个相异实数根;
(2)若这个方程的两个实数根x
1
,x
2
满足 |x
2
|=|x
1
|+2,求m的值及相应的x
1
,x2

5.若关于x的方程x
2
+x+a=0的一个大于1、零一根小于 1,求实数a的取值范围.











































2.2 二次函数

二次函数y=ax
2
+bx+c的图象和性质

{情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象,
如作图(1)
y?x
(2)
y??x
(3)
y?x?2x?3
教师可采用计算机绘图软件辅助教
学}
222

问题1 函数y=ax
2
与y=x
2
的图象之间存在怎样的关系?
1
为了研究这一问题,我们可以先画出y=2x
2
,y=x
2
,y=-2x< br>2
的图象,通
2
过这些函数图象与函数y=x
2
的图象之间的 关系,推导出函数y=ax
2
与y=x
2

图象之间所存在的关系.


先画出函数y=x
2
,y=2x
2
的图象.
先列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
x
2
… 9 4 1 0 1 4 9 …
2x
2
… 18 8 2 0 2 8 18
从表中不难看出,要得到2x
2
的值,只要把相应
y
2
2
y=x
2

的x的值扩大两倍就可以了.
y=2x
再描点、连线,就分别得到了函数y=x
2
,y=
2x< br>2
的图象(如图2-1所示),从图2-1我们可以
得到这两个函数图象之间的关系:函 数y=2x
2
的图
象可以由函数y=x
2
的图象各点的纵坐标变为原 来
的两倍得到.
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y
1
x
O
=x
2
,y=-2x
2
的图象,并研究这两个函数图象
2

与函数y=x
2
的图象之间的关系.
通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
y
22
二次函数y=ax(a ≠0)的图象可以由y=x
y=2(x+1)
2
+1
的图象各点的纵坐标变 为原来的a倍得到.在
二次函数y=ax
2
(a≠0)中,二次项系数a决定了
y=2(x+1)
2

图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的
y=2x
2

大小.
问题2 函数y=a(x+h)
2
+k与y=ax
2
的图
象之间存在怎样的关系?
同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象
之间的关系来研究它们之 间的关系.同学们可
以作出函数y=2(x+1)
2
+1与y=2x
2
的图象(如
x
-1
O
图2-2所示),从函数的同学我们不难发现,
只要把函数y=2x
2
的图象向左平移一个单位,

再向上平移一 个单位,就可以得到函数y=2(x
+1)
2
+1的图象.这两个函数图象之间具有“ 形状相同,位置不同”的特点.
类似地,还可以通过画函数y=-3x
2
,y=-3 (x-1)
2
+1的图象,研究它们
图象之间的相互关系.
通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
二次函数y=a(x+h)
2
+ k(a≠0)中,a决定了二次函数图象的开口大小及方向;
h决定了二次函数图象的左右平移,而且“ h正左移,h负右移”;k决定了二次
函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.
由上面的结论,我们可以得到研究二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象的方
法:
b
2
b
2
bb
222
由于y=ax+bx +c=a(x+
x
)+c=a(x+
x

2
)+c-
4a
4a
aa
b
2
b
2
?4ac

?a(x?)?

2a4a
所以,y=ax
2
+bx+c (a≠0)的图象可以看作是将函数y=ax
2
的图象作左右平


移、上 下平移得到的,于是,二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)具有下列性质:
2
b4ac?b
,)
,(1)当a>0时,函数y=ax
2
+bx+c 图象开口向上;顶点坐标为
(?
2a4a
bbb
对称轴为直线x=-;当x<
?
时,y随着x的增大而减小;当x>
?
时,y随着
2a2a2a< br>4ac?b
2
b
x的增大而增大;当x=
?
时,函数取最小值 y=.
4a
2a
b4ac?b
2
2
,)
, (2 )当a<0时,函数y=ax+bx+c图象开口向下;顶点坐标为
(?
2a4a
bb b
对称轴为直线x=-;当x<
?
时,y随着x的增大而增大;当x>
?时,y随着
2a2a2a
4ac?b
2
b
x的增大而减小;当x =
?
时,函数取最大值y=.
4a
2a
上述二次函数的性质可 以分别通过图2.2-3和图2.2-4直观地表示出来.因此,在
今后解决二次函数问题时,可以借助 于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.

2

y
b4ac?b
y
b
,)
A
(?

x=-
2a4a
2a





O
x
O
x


b4ac?b
2
b
(?,)
A
x=-

2a4a
2a









例1 求二次函数y=

3x
2
-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、
最大值(或最小值),并指出当x取何值时,y随x的增大而增大 (或减小)?并
画出该函数的图象.
解:∵y=

3x
2
-6x+1=-3(x+1)
2
+4,
A(-1,4)
y
∴函数图象的开口向下;
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标为(-1,4);
当x=-1时,函数y取最大值y=4;
当x<-1时,y随着x的增大而增大;当x>
D(0,1)
-1时,y随着x的增大而减小;
采用描点法画图,选顶点A(-1,4)),与x轴
O
B
x
C
23?323?3
,0)
和C
(?,0)
,与y轴的交交于点B(
33
x=-1
图-5


点为D(0,1),过这五点画出图象(如图2-5所示).
说明:从这个例 题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直
接选出关键点,减少了选点的盲目性,使画图 更简便、图象更精确.

函数
y

ax
2
bx

c
图象作图要领:
(1) 确定开口方向:由二次项系数a决定
b
(2) 确定对称轴:对称轴方程为
x??

2a
(3) 确定图象与x轴的交点情况,①若△>0则与x轴有两个交点,可
由方程
x
2

bx

c=0
求出②①若△=0则与x轴有一个交点,可由
方程< br>x
2

bx

c=0
求出③①若△<0则与x轴有无 交点。
(4) 确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c,所以交点坐标为(0,
c)
(5) 由以上各要素出草图。

练习:作出以下二次函数的草图
(1)
y?x?x?6
(2)
y?x?2x?1

22
(3)
y??x?1

2

例2 某种产 品的成本是120元件,试销阶段每件产品的售价x(元)与产
品的日销售量y(件)之间关系如下表所 示:
x 元 130 150 165
70 50 35
y件
若日销 售量y是销售价x的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,
每件产品的销售价应定为多少元?此 时每天的销售利润是多少?
分析:由于每天的利润=日销售量y×(销售价x-120),日销售量y 又是销售
价x的一次函数,所以,欲求每天所获得的利润最大值,首先需要求出每天的利
润与销 售价x之间的函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的
最大值.
解:由于y是x的一次函数,于是,设y=kx+

B


将x=130,y=70;x=150,y=50代入方程,有
?
70?130k?b,

?
?
50?150k?b,
解得 k=-1,b=200.
∴ y=-x+200.
设每天的利润为z(元),则
z=(-x+200)(x-120)=-x
2
+320x-24000
=-(x-160)
2
+1600,
∴当x=160时,z取最大值1600.
答:当售价为160元件时,每天的利润最大,为1600元.
例3 把二次函数y=x< br>2
+bx+c的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到
函数y=x
2
的图像,求b,c的值.
b
2
b
22
解法一:y=x+ bx+c=(x+)
?c?
,把它的图像向上平移2个单位,再向左平移4
4
2
bb
2
2
个单位,得到
y?(x??4)?c??2
的图 像,也就是函数y=x
2
的图像,所以,
24


?
b
??4?0,
?
?
2

?
解得b=-8,c=14.
2
b
?
c??2?0,
?
4
?
解法二: 把二次函数y=x
2
+bx+c的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,
得到 函数y=x
2
的图像,等价于把二次函数y=x
2
的图像向下平移2个单位, 再向右平移4
个单位,得到函数y=x
2
+bx+c的图像.
由于把二次 函数y=x
2
的图像向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到函数y=
(x-4 )
2
+2的图像,即为y=x
2
-8x+14的图像,∴函数y=x
2
-8x+14与函数y=x
2
+bx+c
表示同一个函数,∴b=-8,c =14.
说明:本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以,同学们要
牢固掌握二次函数图像的变换规律.
这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一,是直接利用条 件进行正向的思维来解
决的,其运算量相对较大;而解法二,则是利用逆向思维,将原来的问题等价转化 成与之等
价的问题来解,具有计算量小的优点.今后,我们在解题时,可以根据题目的具体情况,选择恰当的方法来解决问题.
例4 已知函数y=x
2
,-2≤x≤a,其中a ≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函
数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.
分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对a的取值进行讨论.
解:(1) 当a=-2时,函数y=x
2
的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最
大值和最小值都是4,此时x=-2;
(2)当-2<a<0时,由图2.2-6①可知,当x=-2 时,函数取最大值y=4;当x
=a时,函数取最小值y=a
2

(3)当 0≤a<2时,由图2.2-6②可知,当x=-2时,函数取最大值y=4;当x=0
时,函数取最小 值y=0;
(4)当a≥2时,由图2.2-6③可知,当x=a时,函数取最大值y=a
2
;当x=0时,
函数取最小值y=0.

y
y
y
y


4




4

a
2

2
a
明:在


本例
x O
a
2
x
O
O
a
x
-2
a
-2
-2
中,利








用了分




类讨论
图-6
的方
法,对
a的所有可能情形 进行讨论.此外,本例中所研究的二次函数的自变量的取值不
是取任意的实数,而是取部分实数来研究, 在解决这一类问题时,通常需要借助
于函数图象来直观地解决问题.
练 习
4
a
2
1.选择题:
(1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( )
(A)y=2x
2
(B)y=2x
2
-4x+2
(C)y=2x
2
-1 (D)y=2x
2
-4x
(2)函数y=2(x-1)
2
+2是将函数y=2x
2
( )
(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的


(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2.填空题
(1)二次函数y=2x
2
-mx+n图象的顶点坐标为(1,-2),则m= ,n= .
(2)已知二次函数y=x
2
+(m-2)x-2m,当m= 时,函数图象的顶点在y轴上;当
m= 时,函数图象的顶点在x轴上;当m= 时,函数图象经过原点.
(3)函数y=-3(x+2)
2
+5的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标
为 ;当x= 时,函数取最 值y= ;当x
时,y随着x的增大而减小.
3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小) 值及y随x的变化情况,
并画出其图象.
(1)y=x
2
-2x-3; (2)y=1+6 x-x
2

4.已知函数y=-x
2
-2x+ 3,当自变量x在下列取值范围内时,分别求函数的最大值
或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对 应的自变量x的值:
(1)x≤-2;(2)x≤2;(3)-2≤x≤1;(4)0≤x≤3.

























二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式:
1.一般式:y=ax
2
+bx+c(a≠0);
2.顶点式:y=a(x+h)
2
+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).
除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种
表示方式,我们先来 研究二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数.

当抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)与x轴相交时,其函数值为零,于是有
ax
2
+bx+c=0. ①
并且方程①的解就是抛物线y=a x
2
+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标(纵坐
标为零),于是,不难发现,抛 物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与方程①
的解的个数有关,而方 程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ=b
2
-4ac有
关,由此可知,抛物线y =ax
2
+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ=b
2
-4a c存在下列关系:
(1)当Δ>0时,抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)与x 轴有两个交点;反过来,
若抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点 ,则Δ>0也成立.
(2)当Δ=0时,抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)与 x轴有一个交点(抛物线的
顶点);反过来,若抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0 )与x轴有一个交点,则Δ=0也成
立.
(3)当Δ<0时,抛物线y=ax
2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点;反过来,若
抛物线y=ax
2
+bx+c (a≠0)与x轴没有交点,则Δ<0也成立.
于是,若抛物线y=ax
2
+bx+ c(a≠0)与x轴有两个交点A(x
1
,0),B(x
2
,0),
则x
1
,x
2
是方程ax
2
+bx+c=0的两根,所以
bc
x
1
+x
2

?
,x
1x
2
=,
aa
bc
即 =-(x
1
+x
2
), =x
1
x
2

aa
bc
所以,y=ax
2
+bx+c=a(
x
2
?x?
)
aa
2
= a[x-(x
1
+x
2
)x+x
1
x
2
]
=a(x-x
1
) (x-x
2
).
由上面的推导过程可以得到下面结论:
若抛物线y=ax
2
+b x+c(a≠0)与x轴交于A(x
1
,0),B(x
2
,0)两点,则其函 数
关系式可以表示为y=a(x-x
1
) (x-x
2
) (a≠0).
这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法:
3.交点式:y=a(x-x
1
) (x-x
2
) (a≠0),其中x
1
,x
2
是二次函数图象与x轴交
点的横坐标.
今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一
般式、顶点式、交点 式这三种表达形式中的某一形式来解题.
例1 已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线 y=x+1上,并且图象经过点
(3,-1),求二次函数的解析式.
分析:在解本例时,要 充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以
将二次函数设成顶点式,再由函数图象过 定点来求解出系数a.


解:∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,
∴顶点的纵坐标为2.
又顶点在直线y=x+1上,
所以,2=x+1,∴x=1.
∴顶点坐标是(1,2).
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)

∵二次函数的图像经过点(3,-1),

?1?a(3?2)
2
?1
,解得a=-2.
∴二次函 数的解析式为
y??2(x?2)
2
?1
,即y=-2x
2
+8x-7.
说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然< br>后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,
并巧 妙地利用条件简捷地解决问题.
例2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点 到x轴的距离等于2,求此二
次函数的表达式.
分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的 图象所过的两点实际上就是二次函数的图
象与x轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式.
解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
∴可设二次函数为y=a(x+3) (x-1) (a≠0),
展开,得 y=ax
2
+2ax-3a,
?12a
2
?4a
2
??4a
, 顶点的纵坐标为
4a
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,
∴|-4a|=2,即a=
?
1

2
1
2
313
x?x?
,或y=-
x
2
?x?

2222
所以,二次函数的表达式为y=
分析二:由于二次函数的图象过点(-3, 0),(1,0),所以,对称轴为直线x=-1,又
由顶点到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2 ,或-2,于是,又可以将二次函数的表达
式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(-3,0),或( 1,0),就可以求得函数的表达式.
解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
∴对称轴为直线x=-1.
又顶点到x轴的距离为2,
∴顶点的纵坐标为2,或-2.
于是可设二次函数为y=a(x+1)
2
+ 2,或y=a(x+1)
2
-2,
由于函数图象过点(1,0),
∴0=a(1+1)
2
+2,或0=a(1+1)
2
-2.
∴a=-
11
,或a=.
22
11
(x+1)
2
+2,或y=(x+1)
2
-2.
22
说明:上述两种解法分别 从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,
利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中, 要善于利用条件,选择恰当
的方法来解决问题.
例3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函
数的表达式.
解:设该二次函数为y=ax
2
+bx+c(a≠0).
由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得
所以,所求的二次函数 为y=


?
?22?a?b?c,
?

?
?8?c,
?
8?4a?2b?c,
?
解得 a=-2,b=12,c=-8.
所以,所求的二次函数为y=-2x
2
+12x-8.
通过上面的几道例题 ,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的
一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式?

练 习
1.选择题:
(1)函数y=-x
2
+x-1图象与x轴的交点个数是 ( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无法确定
1
(2)函数y=- (x+1)
2
+2的顶点坐标是 ( )
2
(A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2)
2.填空:
(1)已知二次函数的图象 经过与x轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可
设为y=a (a≠0) .
(2)二次函数y=-x
2
+23x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 .
3.根据下列条件,求二次函数的解析式.
(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6);
(2)当x=3时,函数有最小值5,且经过点(1,11);
(3)函数图象与x轴交于两点(1-2,0)和(1+2,0),并与y轴交于(0,-2).















二次函数的简单应用


一、函数图象的平移变换与对称变换
1.平移变换

问题1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研
究二次函数的图象平移?
我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象
的位置 、不改变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象
的顶点式研究其顶点 的位置即可.


例1 求把二次函数y=x
2
-4x+3的图象经过 下列平移变换后得到的图象所对应的函数
解析式:
(1)向右平移2个单位,向下平移1个单位;
(2)向上平移3个单位,向左平移2个单位.
分析:由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次
项系数),所以只 改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项),所
以,首先将二次函数的解析式变形为顶点 式,然后,再依据平移变换后的二次函
数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式.
解:二次函数y=2x
2
-4x-3的解析式可变为
y=2(x-1)
2
-1,
其顶点坐标为(1,-1).
(1)把函 数y=2(x-1)
2
-1的图象向右平移2个单位,向下平移1个单位
后,其函数图 象的顶点坐标是(3,-2),所以,平移后所得到的函数图象对应的
函数表达式就为
y=2(x-3)
2
-2.
(2)把函数y=2(x-1)
2
- 1的图象向上平移3个单位,向左平移2个单位
后,其函数图象的顶点坐标是(-1, 2),所以,平移后所得到的函数图象对应
的函数表达式就为
y=2(x+1)
2
+2.


2.对称变换
解:(1 )如图2.2-7,把二次函
数y=2x
2
-4x+1的图象关于直线x=
- 1作对称变换后,只改变图象的顶点
位置,不改变其形状.
O
x
22
由于y=2x-4x+1=2(x-1)-
A(1,-1)
A
1
(-3,-1)
2
1,可知,函数y=2x-4x+1图象的
顶点为A(1,-1),所以,对称后所得到
图-7
图象的顶点为A
1(-3,1),所以,二
次函数y=2x
2
-4x+1的图象关于直线x=-1对 称后所得到图象的函数解析式为
y=2(x+3)
2
-1,即y=2x
2+12x+17.
(2)如图2.2-8,把二次函数y=2x
2
-4x
y
+1的图象关于直线x=-1作对称变换后,只改
B(1,3)
变图象的顶点位置和开口方向,不改变其形状.
由于y=2x
2
-4x+1=2(x-1)
2
-1,可知,函
y=1
数y=2x
2
-4x+1图象的顶点为A(1,-1),所以,
对称后所得到 图象的顶点为B(1,3),且开口向


问题2 在把二次函数的图象关于与坐标 轴平行的直线进行对称变换时,有什么特点?
依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移?
我们不难发现:在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这
样的特 点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图
象的对称变换问题时 ,关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题.
例2 求把二次函数y=2x
2
-4x+1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数
解析式:
y
(1)直线x=-1;
x=-1
(2)直线y=1.

O
A(1,-1)
图-8
x


下,所以,二次函数y=2x
2
-4x+1的图象关于直线y=1对称后所得到图象的函
数解析式为y=-2(x- 1)
2
+3,即y=-2x
2
+4x+1.

练 习
1.选择题:
(1)把函数y=-(x

1)
2
+4 的图象向左平移2个单位,向下平移3个单位,所得图象对
应的解析式为 ( )
(A)y= (x+1)
2
+1 (B)y=-(x+1)
2
+1
(C)y=-(x-3)
2
+4 (D)y=-(x-3)
2
+1


第三讲 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形
的问题.

图 图
如图 ,在三角形△ABC中,有三条边
AB,BC,CA
,三个顶 点
A,B,C
,在三
角形中,角平分线、中线、高(如图)是三角形中的三种重要线段 .
三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心
在三角形的内部,恰好是每条中线的三等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分
成的两段长度之比为2:1.

已知 D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中
点,
求证 AD、BE、CF交于一点,且都被该点分成2:1.
证明 连结DE,设AD、BE交于点G,
Q
D、E分别为BC、AE的中点,则
1
DE
DE=AB
V GDEVGAB
AG=2GD,BG=2GE
2
设AD、CF交于点
G',同理可得,
AG'=2G'D,CG'=2G'F.



G

G'
重合,

AD、BE、CF交于一点,且都被该点分成
2:1
.


三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的


内心. 三角形的内心在三角形的内部,它到三角形的三边的距离相等.(如图)




例2 已知
VABC
的三边长分别为
BC=a,AC=b,A B=c
,I为
VABC
的内心,
且I在
VABC
的边
BC、AC、AB
上的射影分别为
D、E、F
,求证:
b+c-a
.
AE=AF=
2
证明 作
VABC
的内切圆,则
D、E、F
分别为内切
圆在三边上的切点,
QAE,AF
为圆的从同一点作的两条切线,
AE=AF

同理,BD=BF,CD=CE.
b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD- CD
=AF+AE=2AF=2AE


b+c-a
.
2
例3 若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形.
已知 O为三角形ABC的重心和内心.
求证 三角形ABC为等边三角形.
证明 如图,连AO并延长交BC于D.
Q
O为三角形的内心,故AD平分
?BAC

ABBD
(角平分线性质定理)
=
ACDC
Q
O为三角形的重心,D为BC的中点,即
BD=DC.
AB
=1
,即
AB=AC
.
AC

同理可得,AB=BC.
VABC
为等边三角形.

三角形的三 条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形
的垂心一定在三角形的内部,直角三角形 的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的
垂心在三角形的外部.(如图)

AE=AF=



例4 求证:三角形的三条高交于一点.
已知
VABC
中,
AD^BC于D,BE^AC于E,
AD与BE交于H点.
求证
CH^AB
.
证明 以CH为直径作圆,
QAD^BC,BE^AC,?HDC?HEC90
o
,

D、E
在以CH为直径的圆上,
?FCB?DEH
.
同理,E、D在以AB为直径的圆上,可得
?BED?BAD
.
?BCH?BAD


VABD

VCBF
有公 共角
?B

?CFB

?ADB
o

90
,即
CH^AB
.
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆 ,该圆是三角形ABC的外接圆,
圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边 的垂直平
分线的交点.


练习1
1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形.

2. (1) 若三角形ABC的面积为S,且三边长分别为
a、b、c
,则三角形的内
切圆 的半径是___________;
(2)若直角三角形的三边长分别为
a、b、c
(其中
c
为斜边长),则三角形
的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.


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