初高中数学衔接教材 §3.3 圆(含答案)

3．3圆

3．3．1 直线与圆，圆与圆的位置关系
设有直线
l
和圆心为
O
且半径为
r
的圆，怎样判断直线l
和圆
O
的位置关系？
图3.3-1


观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离
d
和圆相离，如圆< br>O
与直线
l
1
；当圆心到直线的距离
d
图3.3-2
r
时，直线
r
时，直线和圆相切，如圆
O
与直线
l
2
；当圆心到直线的距离
dr
时，直线和圆相交，如圆
O
与 直线
l
3
。
在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B。若直线经过圆心 ，则AB为直径；若直
线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心
O
和弦
AB
的中点
M
的线段
OM
垂直于这条弦
AB
。
且在
RtOMA
中，
OA
为圆的半径
r
，
OM为圆心到直线的距离
d
，
MA
为弦长
AB
的一
半，根据勾股定理，有
r






当 直线与圆相切时，如图3.3-3，
PA,PB
为圆
O
的切线，可得
PA?PB
，
OA?PA.
，
且在
Rt?POA
中，
PO?PA?OA
。
222
2
d
2
(
AB
2
)
。
2
图3.3-3 图3.3-4
图3.3-5

如图3.3-4，
PT
为圆
O
的切线，
PAB
为圆
O
的割线，我们可以证得
?PAT~?PTB
，
因而
PT
2
?PA?PB
。
例1如图3.3-5，若⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm ，D是弧AB的中点，求弦BD的
长度。
解:连结OD，交AB于点E。
?
D是弧AB的中点,O是圆心，
?OD?AB,BE?AE?
1

AB?
3cm。
2
在
Rt?BOE
中，OB=5cm,BE =3cm,
?OE?OB
2
?BE
2
?4cm.

OD?5cm,?DE?1cm.
在
Rt?BDE
中，BE=3cm,DE=1cm,
?BD?10cm.

例2若圆的两条平行弦的长度分别为6和
46
，且这两条线的距离为3。求该圆的半
径。
解:设圆的半径为
r
，分两种情况（如图3.3-6）：
①若
O
在两条平行线的外侧，
如图（1），AB=6，CD=
46
，则由
OM
得
r
2
ON3
，
图3.3-6
9r
2
243
，解得
r5
。 （2）若
O
在两条平行线的内侧（含线上），AB=6，CD=
46
，
则由
OMON3
，得
r
2
?24?r
2
? 9?3
，无解。综上可得，圆的半径为5。
设圆
O
1
与圆
O
2
半径分别为
R,r(R?r)
，它们可能有哪几种位置关系？




图3.3-7 图3.3-8

观察图3.3-7，两圆的圆心距为
O
1
O
2
，不难发现：当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相内切 ，如
图（1）；当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相外 切，如图（2）；当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相内含，如
图（3）；当
R?r?O
1
O
2
?R?r
时，两圆 相交，如图（4）；当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相外切，如图（5）.
例3设圆
O
1
与圆
O
2
的 半径分别为3和2，
O
1
O
2
?4
，
A,B
为两圆的交点，试求两圆
的公共弦
AB
的长度。
解:连
AB交
O
1
O
2
于
C
，则
O
1< br>O
2
?AB
，且
C
为
AB
的中点，
设
AC?x
，则
O
1
C?9?x
2
,O
2
C?
解得
x?
4?x
2
,O
1
O
2
?9?x
2
?4?x
2
?4
，
315
。
8
315
。
4
故弦
AB
的长为
2x?
练习1 1.如图3.3-9，⊙ O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点
分别为D、C，求弦AC和BD 的长。












图3.3-9

2.已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，ABCD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半径等于
5cm，求梯形ABCD的面积。










AE?1cm,EB?5cm,?D EB?60,
3.如图3.3-10，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，
求CD长。








4．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度。





图3.3-10
o

3．3．2 点的轨迹

在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形， 它是符合某个条件的所有点
组成的。例如，把长度为
r
的线段的一个端点固定，另一个 端点绕这个定点旋转一周就得到
一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于
r
； 同时，到定点的距离等于
r
的所有点
都在这个圆上。这个圆就叫做到定点的距离等于定 长
r
的点的轨迹。
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的 点的轨迹。这里含有
两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都 满足条件；
（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上。
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹。
从上面对圆的讨论，可以得出：
（1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆。
我们学过，线 段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段
两个端点的距离相等的点，都在 这条线段的垂直平分线上。所以有下面的轨迹：
（2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
（3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。
例3⊙O过两个已知点
A
、
B
，圆心
O
的轨迹是什么？画出它的图形。
分析：如图3.3- 11，如果以点
O
为圆心的圆经过点
A
、
B
，
那么
OAOB
；
OB
，
图3.3-11
反过 来，如果一个点
O
到
A
、
B
两点距离相等，即
OA
那么以
O
为圆心，OA为半径的圆一定经过
A
、
B
两点。
这就是说，过
A
、
B
点的圆的圆心的轨迹，就是到
A
、
B
两点距离相等的点的轨迹，
即和线段
AB
两个端点距 离相等的点的轨迹。
答：经过
A
、
B
两点的圆的圆心O的轨迹是线 段
AB
的垂直平分线。
练习2
1.画图说明满足下列条件的点的轨迹：
①到定点
A
的距离等于
3cm
的点的轨迹； ②到直线
l
的距离等于
2cm
的点的轨迹；

③已知直线
ABCD
，到
AB
、
CD
的距离相等的点的 轨迹。
2.画图说明，到直线
l
的距离等于定长
d
的点的轨迹。
习题3.3
A组1.已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（ ）
A．
3
B．
5
2
C．3 D．4
2.在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A．
43
B．
33
C．
23
D．
3

为⊙O的 直径，弦
CD?AB
，E为垂足，若BE=6，AE=4，则CD等于（





















）

A．
221
B．
46
C．
82
D．
26

4.如图3.3-12，在⊙O中，E是 弦AB延长线上的一点，已知OB=10cm,OE=12cm，
?OEB?30
o
,
求AB。









B组1.如图3.3-13，已知在
Rt?ABC
中，
?C?90 ,AC?5cm,BC?12cm,
以C为圆
心，CA为半径的圆交斜边于D，求AD。








2.如图3. 3-14，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓
形的弦AB的长。




图3.3-14
图3.3-13
o
图3.3-12

3.如图3.3 -15，
?ABC
内接于⊙O，D为弧BC的中点，
AE?BC
于E。
求证：AD平分
?OAE
。








4.如图3.3-16，
?AOB?90
，C、D是 弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、
F，求证：AE=BF=CD。









5.已知线段
AB
图3.3-16
o
图3.3-15
4 cm
。画出到点
A
的距离等于
3cm
的点的轨迹，再画出到点
B
的距
离等于
2cm
的点的轨迹，指出到点
A
的距离等于
3cm
，且到点
B
的距离等于
2cm
的点，这
样的 点有几个？

答案：
练习1
1.取AB中点M，连CM，MD，则
CM?AB,DM?AB
，且 C，O，M，D共线，
OM?17
2
?15
2
?8
, CM?25
,
DM?9
,
AC?534cm,BD?334cm
。
2．O到AB
，
CD的距离分别为3cm,4cm，梯形的高为1cm或7cm， 梯形的面积为7或49
cm
。
3. 半径为3cm，OE=2cm。,OF=
3,CD?26cm
。
4.外公切线长为12，内公切线长为
43
。
练习2
1.(1) 以A为圆心，3cm为半径的圆；（2）与
l
平行，且与
l
距离为2cm的两 条平行线；（3）
与AB平行，且与AB,CD距离相等的一条直线。
2.两条平行直线，图略。
习题3.3
A组
1．B 2.A 3.B =16cm。
B组
1.作
CM?AD
于M，AB=13cm,
CM?
=80cm。
3.先证
?BAO??EAC
，再证
?OAD??DAE
。
4．先证明
?AEC??ACE?75,
再证AE=BF=AC=CD。
5．有2个，图略。


o
2
6050
,
AD?cm
。
1313