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高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式
分式不等式和高次不等式
(有*的选做)
【学习笔记】
姓名: 班级:
学号:
编写:兰炳根 审校:高一数学备课组
1、了解分式不等式和高次不等式的概念
2、会解简单的分式不等式
3、会解高次不等式
1.分子、分母都是整式,并且分母含有未知数的不等式叫做分式不等式.
2.解分式不等式的方法是将之等价转化为解整式不等式
ax?b
﹥0
?
(ax+b)(cx+d) ﹥0
?
cx?d
ax?b
≥0
?
(ax+b)(cx+d) ≥0
cx?d
(cx+d)≠0
ax?b
<0
?
(ax+b)(cx+d) <0
cx?d
ax?b
≤0
?
(ax+b)(cx+d) ≤0
cx?d
(cx+d)≠0
3.高次不等式的解法:
引例:解不等式:(x-1)(x+4)(x-3)>0;
解:①检查各因式中x的符号均正;
②求得相应方程的根为:-4,1,3;
③列表如下:
x<-4 -4
x-1
x-3
因式
积
-
-
-
-
+
-
-
+
+
+
-
-
x>3
+
+
+
+
④由上表可知,原不等式的解集为:{x|-4
小结:此法叫列表法,解题步骤是:
1
高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式
① 将不等式化为
(x?x
1
)
(x?x
2
)(x?x
3
)?(x?x
n
)?0(?0)<
br>形式(各项x
的符号化“+”), 求出方程
【学习笔记】
(
x?x
1
)(x?x
2
)(x?x
3
)?(x?x
n
)?0
的各根
②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相应各因式
纵向
排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列);
③计算各范围内各因式的符号,最下面一行是乘积的符号;
④看下面积的符号写出不等式的解集.
思考:刚才引例中列表法的步骤我们还可以画图求解
称之为数轴标根法(穿针引线法)。
①将不等式化为
(x?x
1
)
(x?x
2
)(x?x
3
)?(x?x
n
)?0(?0)<
br>形式,并将各因
式x的系数化“+”;
②求方程
(x?
x
1
)(x?x
2
)(x?x
3
)?(x?x
n<
br>)?0
各根,并在数轴上表示出来
(从小根到大根按从左至右方向表示)。
③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,
则找“线”在x轴上方的
区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
-
+ -
x
2
-
x
3
+
x
n-1
+
x
n
+
-
2
x
1
-
-
说明:注意不等式若带“=”号,点画为实心,解集边界处应有等号;
类型一
简单的分式不等式的解法。
【典例1】
解不等式:
x?3
x?3
?0
(2)
?0
(1)
x?7
x?7
x?3x?3
?1
(3)
2
<0
(4)
x?7
x?7
高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式
【学习笔记】
○
点
○
拨:归纳分式不等式的解法:(1)化分式不等式为标准型,(2)转化成
整式不等式解。
变式训练1
:
解不等式(1)
11
1?2x
?0
(2)
?
x2
x?1
类型二 高次不等式的解法
【典例2】解下列不等式:
(1)(x
2
?7x?12)(6?x?x
2
)?0
(2)x(x?1)
2
?0
解:(1)(x?3)(x?2)(x?3)(x?4)?0
?x??3或2?x?3或x?4
-3
23
4
(2)0?x?1或x?1
01
点
○
拨:解高次不等式的步骤有1.将不等式整理成一端为零,另一端最高次幂
○<
br>
的系数为正2.进行因式分解,尽量分解成一次式的积3.穿根标线。画出数轴,
自右上方开始,依次穿过各个根,奇数次根穿过,偶数次根穿而不过。4.在数
3
轴上方的区间为正,下方的为负,写出解集。
高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式
变式训练2:
解下列不等式:
(1)
(x+1)(1-x)(x-2)
<
0
(2)
x(x-1)
2
(x+1)
3
(x+2)≤0
类型三 分式不等式和高次不等式的综合应用
*【典例3】
解不等式:
x
x?1
?1?a
解:
ax?(a?1)
x?1
?0
①当
a?0时,
1
?0,解集为(??
x?1
,1);
②当
a?0时,?1?
1
?1,?解集为(1?
1
,1);
aa
③当
a?0时,?1?
1
?1,?解集为(??,1
)?(1?
1
,??)。
aa
变式训练3:
解不等式:
(
x?5)(x?3)
2
(x?1)
2
(x?2)
?0
班次 姓名
一、选择题。
1.不等式
x?1
x?1
?0
的解是 ( )
A.x>-1 B.-1<x<0
C.x>1 D.-1<x或
x>1
4
【学习笔记】
高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式
2.不等式
x?2
x?2
?0
的解是 ( )
A.x≤2 B.-2≤x≤2
C.-2<x≤2 D.
x<-2或x≥2
3.不等式
x
2
?x?6
x?1
>0
的解为(
)
A. x<-2或x>3
B. x<-2或1<x<3
C.
-2<x<1或x>3
D. -2<x<1或1<x<3
二、填空题。
4.不等式
2?x
x?4
?0
的解是
5.不等式x(x+1)
2
(x-1)
3
<0的解
是
6.不等式
x?2
x
2
?2x?2
?0
的解是
三、解答题。
7. 解下列不等式:
(1)
5
?(2)
2x?1
?3
x
1
x?2
(3)x?2?
3
x
5
【学习笔记】
高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式
*8.
若关于x的不等式x?
a
x
的解集
为(0,??),求a的范围。
解:
x
2
?a
?0
x
①当a?0时,解集为(0,??);
②当a?0时,解集为(?a,0)?(a,??),
不合题意。
?a?0。
分式不等式和高次不等式答案
合作探究
例
1
(1)∵
x?3
x?7
?0
?
(x?3)(x?7)?0
?
?7?x?3
(2)
?
x?3
x?7
?0
?
(x?3)(x?7)?0且x??7
?
?7?x?3
(3)
x?3
x
2
?7
<0
?
(x-3
)(x
2
+7)
<0
∵x
2
+7
﹥0
∴x-3<0 ∴x<3
?
4
?
?
x?3
x?7
?1?
x?3
x?7
?1?0?
?10
x?7
?0
?x??7
所以不等式的解是x
﹥-7
变式1
(1)
1?2x
x?1
?0
?
(2x-i)(x+1)
<0
?
-1<x<
1
2
(2)
1
?
1
?
11x?2
?
x2
x
-
2
<0?
2x
﹥0
x<0或x
﹥2
例
解:
2
(1)(x?3)(x?2)(x?3)(x?4)?0
?x??3或2?x?3或x?4
-3
23
4
(2)0?x?1或x?1
01
6
【学习笔记】
高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式
变式2(1)(x+1)(x-1)(x-2)>0
依图可得
-1<x<1或x
﹥2
(2)依图可得
x≤-2或-1≤x≤0或x=1
变式3
2?x?5
解:
12
5
3
课后演练
1.D 2.C 3.C 4. -4<x<2
5. 0<x<1
6. x≤-2
7.
5?x
解:(1)?0?x(x?5)?0?0?x?5
x
2x?1
(2)?3?0
x?2
x?7
??0??7?x??2
x?2
x
2
?2x?3
(3)?0
?x(x?1)(x?3)?0
x
?x??1或0?x?3
-103
7
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