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初高中数学衔接教材 分式不等式和高次不等式 导学案(学生版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 09:16
tags:初高中数学衔接教材

两边夹高中数学-高中数学必修1课本目录

2020年9月19日发(作者:董学熹)


高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式

分式不等式和高次不等式
(有*的选做)

【学习笔记】


姓名: 班级: 学号:

编写:兰炳根 审校:高一数学备课组

























1、了解分式不等式和高次不等式的概念
2、会解简单的分式不等式
3、会解高次不等式

1.分子、分母都是整式,并且分母含有未知数的不等式叫做分式不等式.
2.解分式不等式的方法是将之等价转化为解整式不等式
ax?b
﹥0
?
(ax+b)(cx+d) ﹥0
?
cx?d
ax?b
≥0
?
(ax+b)(cx+d) ≥0
cx?d
(cx+d)≠0
ax?b
<0
?
(ax+b)(cx+d) <0
cx?d
ax?b
≤0
?
(ax+b)(cx+d) ≤0
cx?d
(cx+d)≠0
3.高次不等式的解法:
引例:解不等式:(x-1)(x+4)(x-3)>0;
解:①检查各因式中x的符号均正;
②求得相应方程的根为:-4,1,3;
③列表如下:
x<-4 -4x+4
x-1
x-3
因式

-
-
-
-
+
-
-
+
+
+
-
-
x>3
+
+
+
+







④由上表可知,原不等式的解集为:{x|-43}.
小结:此法叫列表法,解题步骤是:

1









高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式

① 将不等式化为
(x?x
1
) (x?x
2
)(x?x
3
)?(x?x
n
)?0(?0)< br>形式(各项x
的符号化“+”), 求出方程
【学习笔记】











( x?x
1
)(x?x
2
)(x?x
3
)?(x?x
n
)?0
的各根
②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相应各因式 纵向
排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列);
③计算各范围内各因式的符号,最下面一行是乘积的符号;
④看下面积的符号写出不等式的解集.
思考:刚才引例中列表法的步骤我们还可以画图求解
称之为数轴标根法(穿针引线法)。
①将不等式化为
(x?x
1
) (x?x
2
)(x?x
3
)?(x?x
n
)?0(?0)< br>形式,并将各因
式x的系数化“+”;


②求方程
(x? x
1
)(x?x
2
)(x?x
3
)?(x?x
n< br>)?0
各根,并在数轴上表示出来

(从小根到大根按从左至右方向表示)。
③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点
④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”, 则找“线”在x轴上方的
区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.


-
+ -
x
2
-
x
3
+
x
n-1
+
x
n
+
-



















2

x
1
-
-
说明:注意不等式若带“=”号,点画为实心,解集边界处应有等号;

类型一 简单的分式不等式的解法。
【典例1】
解不等式:
x?3
x?3
?0
(2)
?0
(1)
x?7
x?7
x?3x?3
?1

(3)
2
<0
(4)
x?7
x?7







高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式











【学习笔记】






拨:归纳分式不等式的解法:(1)化分式不等式为标准型,(2)转化成


整式不等式解。
变式训练1

解不等式(1)







11
1?2x
?0
(2)

?

x2
x?1
类型二 高次不等式的解法
【典例2】解下列不等式:

(1)(x
2
?7x?12)(6?x?x
2
)?0

(2)x(x?1)
2
?0

解:(1)(x?3)(x?2)(x?3)(x?4)?0


?x??3或2?x?3或x?4


-3
23
4

(2)0?x?1或x?1



01




拨:解高次不等式的步骤有1.将不等式整理成一端为零,另一端最高次幂
○< br>
的系数为正2.进行因式分解,尽量分解成一次式的积3.穿根标线。画出数轴,

自右上方开始,依次穿过各个根,奇数次根穿过,偶数次根穿而不过。4.在数

3
轴上方的区间为正,下方的为负,写出解集。









































高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式

变式训练2:
解下列不等式:
(1)
(x+1)(1-x)(x-2)

0
(2) x(x-1)
2
(x+1)
3
(x+2)≤0



类型三 分式不等式和高次不等式的综合应用
*【典例3】
解不等式:


x

x?1
?1?a

解:
ax?(a?1)

x?1
?0
①当

a?0时,
1
?0,解集为(??

x?1
,1);
②当

a?0时,?1?
1
?1,?解集为(1?
1
,1);

aa
③当

a?0时,?1?
1
?1,?解集为(??,1 )?(1?
1
,??)。

aa
变式训练3:
解不等式:
(

x?5)(x?3)
2

(x?1)
2
(x?2)
?0







班次 姓名
一、选择题。
1.不等式
x?1
x?1
?0
的解是 ( )
A.x>-1 B.-1<x<0
C.x>1 D.-1<x或 x>1









4
【学习笔记】









































高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式

2.不等式
x?2
x?2
?0
的解是 ( )
A.x≤2 B.-2≤x≤2
C.-2<x≤2 D. x<-2或x≥2
3.不等式
x
2
?x?6
x?1
>0
的解为( )
A. x<-2或x>3
B. x<-2或1<x<3
C. -2<x<1或x>3
D. -2<x<1或1<x<3

二、填空题。
4.不等式
2?x
x?4
?0
的解是
5.不等式x(x+1)
2
(x-1)
3
<0的解

6.不等式
x?2
x
2
?2x?2
?0
的解是

三、解答题。
7. 解下列不等式:


(1)
5
?(2)
2x?1
?3

x
1
x?2

(3)x?2?
3

x















5
【学习笔记】









































高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式


*8.

若关于x的不等式x?
a
x
的解集

为(0,??),求a的范围。


解:
x
2
?a
?0

x

①当a?0时,解集为(0,??);


②当a?0时,解集为(?a,0)?(a,??),

不合题意。
?a?0。
分式不等式和高次不等式答案
合作探究
例 1
(1)∵
x?3
x?7
?0
?
(x?3)(x?7)?0

?

?7?x?3

(2)
?
x?3
x?7
?0

?
(x?3)(x?7)?0且x??7

?
?7?x?3

(3)
x?3
x
2
?7
<0
?
(x-3 )(x
2
+7)
<0

∵x
2
+7
﹥0 ∴x-3<0 ∴x<3

?
4
?
?
x?3
x?7
?1?
x?3
x?7
?1?0?
?10
x?7
?0 ?x??7
所以不等式的解是x
﹥-7
变式1
(1)
1?2x
x?1
?0
?
(2x-i)(x+1)
<0

?
-1<x<
1
2

(2)
1
?
1
?
11x?2
?
x2
x
-
2
<0?
2x
﹥0
x<0或x
﹥2



解:
2
(1)(x?3)(x?2)(x?3)(x?4)?0

?x??3或2?x?3或x?4



-3
23
4

(2)0?x?1或x?1

01
6
【学习笔记】










































高一数学《必修一》导学案
分式不等式和高次不等式


变式2(1)(x+1)(x-1)(x-2)>0
依图可得
-1<x<1或x
﹥2

(2)依图可得
x≤-2或-1≤x≤0或x=1

变式3
2?x?5
解:


12
5
3

课后演练
1.D 2.C 3.C 4. -4<x<2
5. 0<x<1
6. x≤-2
7.
5?x

解:(1)?0?x(x?5)?0?0?x?5

x

2x?1
(2)?3?0

x?2
x?7

??0??7?x??2

x?2

x
2
?2x?3
(3)?0
?x(x?1)(x?3)?0

x


?x??1或0?x?3




-103












7

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