高中数学的立体几何难吗-高中数学太好是怎样的体验
专题
09
一元二次函数的三种表示方式
一、知识点精讲
通过上一小节的学习,我们知道,一元二次函数可以表示成以下三种形式:
1
.一般式:
y
=
ax
2
+
bx
+
c(a
≠0)
;
2
.顶点式:
y
=
a(x
+<
br>h)
2
+
k (a≠0)
,其中顶点坐标是
(
-h
,
k)
.
除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,
我们先来研究二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+c(a≠0)
的图象与
x
轴交点个数.
当抛物线
y<
br>=
ax
2
+
bx
+
c(a≠0)
与
x
轴相交时,其函数值为零,于是有
ax
2
+
bx
+
c
=
0
.
①
并且方程①的解就是抛物线y
=
ax
2
+
bx
+
c(a≠0)
与
x
轴交点的横坐标(纵坐标为零),于是,不难发现,抛
物线
y
=<
br>ax
2
+
bx
+
c(a≠0)
与
x
轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的
判别式
Δ
=
b
2
-
4ac
有关,由此可知,抛物线
y
=ax
2
+
bx
+
c(a≠0)
与
x
轴
交点个数与根的判别式
Δ
=
b
2
-
4ac
存在下列
关系:
(
1
)当
Δ
>
0
时,抛物线y
=
ax
2
+
bx
+
c(a≠0)
与
x
轴有两个交点;反过来,若抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c(a≠0)
与
x
轴有两个交点,则
Δ>
0
也成立.
(
2
)当
Δ
=
0
时,抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+c(a≠0)
与
x
轴有一个交点(抛物线的顶点);反过来,若抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c(a≠0)
与
x
轴有一个交点,则
Δ
=
0
也成立.
(
3
)当
Δ
<
0
时,抛物线
y
=
ax2
+
bx
+
c(a≠0)
与
x
轴没有交点;反
过来,若抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c(
a≠0)
与
x
轴没有交点,则
Δ
<
0
也成立.于是
,若抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c(a≠
0)
与
x
轴有两个交点
A(x
1
,
0)
,
B(x
2
,
0)
,
则
x
1
,x
2
是方程
ax
2
+
bx
+
c
=
0
的两根,所以
x
1
+
x
2
=
?
以,
y
=
ax
2
+
bx
+
c
=
a(
x?
2
bcbc
,
x
1
x
2
=,即=-
(x
1
+
x
2
)
,
=
x
1
x
2
.所
aaaa
bc
x?
)
aa
= a[x
2
-
(x
1+
x
2
)x
+
x
1
x
2
]<
br>=
a(x
-
x
1
)
(x
-
x
2
)
.由上面的推导过程可以得到下面结论:
<
br>若抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c(
a≠0)
与
x
轴交于
A(x
1
,
0)
,<
br>B(x
2
,
0)
两点,则其函数关系式可以表示为
y
=
a(x
-
x
1
)
(x
-
x
2
)
(a≠0)
.这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法:
3
.交点式:
y
=
a(x
-
x
1
)
(x
-
x
2
) (a≠0)
,其中
x
1
,
x
2
是二次函数图象与
x
轴交点的横坐标.
今后
,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种
表达
形式中的某一形式来解题.
二、典例精析
【典例1】已知某一元二次函数
的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1),
1
求该一元二次函数的解析式.
【答案】见解析
【分析】:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成
顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数a.
【解析】∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,
∴顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y=x+1上,所以,2=x+1,∴x=1.
∴顶点坐
标是(1,2).设该二次函数的解析式为
y?a(x?1)
2
?2(a?0)
,
∵二次函数的图像经过点(3,-1),∴
?1?a(3?1)
2
?2
,解得a=-
3
.
4
3
335
∴二次函数的解析
式为
y??(x?1)
2
?2
,即y=-x
2
+x+. <
br>424
4
【说明】:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶
点坐标,然后设出二次函数
的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,
并巧妙地利用条件简捷地解
决问题.
【典例2】已知二次函数的图象过点(-3,0
),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.
【答案】见解析
<
br>【分析一】:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点
坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式.
【解析一】:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴可设二次函数为y=a(x+3)
(x-1) (a≠0),展开得 y
=ax
2
+2ax-3a,
?12a
2
?4a
2
??4a
, 顶点的纵坐标为
4a
1
.
2
1313
所以,二次函数的表达式为y=x
2
?x?
,或y=-
x
2
?x?
.
2222
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,∴|-4a|=2,即a=
?
【
分析二】:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线x=-1,又由顶点到x轴
的
距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后
再利
用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.
【解析二】:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴对称轴为直线x=-1.
又顶点到x轴的距离为2,∴顶点的纵坐标为2,或-2.
于是可设二次函数为y=a(x+
1)
2
+2,或y=a(x+1)
2
-2,
2
由于函数图象过点(1,0),∴0=a(1+1)
2
+2
,或0=a(1+1)
2
-2.∴a=-
所以,所求的二次函数为y=
-11
,或a=.
22
11
(x+1)
2
+2,或y=
(x+1)
2
-2.
22
【说明】:上述两种解法分别从与x轴的交点坐标
及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解
题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选
择恰当的方法来解决问题.
【典例3】已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(
2,8),求此二次函数的表达式.
【答案】见解析
【解析】设该二次函数为y=
ax
2
+bx+c(a≠0).由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),
?
?22?a?b?c,
?
(2,8),可得
?
?8?c,
解得 a=-2,b=12,c=-8.
?
8?4a?2b?c,
?
所以,
所求的二次函数为y=-2x
2
+12x-8.
【说明】通过上面的几道例题,同学
们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交
点式来求二次函数的表达式?
三、对点精练
1.选择题:
(1)函数y=-x
2
+x-1图象与x轴的交点个数是
( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个
(D)无法确定
【答案】
A
【解析】
?1
2
?4?(?
1)?(?1)??3?0
,∴函数
y
=-
x2
+
x
-
1
图象与
x
轴的交点个数
是0个。故选A
1
(2)函数y=- (x+1)
2
+2的顶点坐标是
( )
2
(A)(1,2) (B)(1,-2)
(C)(-1,2) (D)(-1,-2)
【答案】
C
1
【解析】据二次函数的顶点式方程可得函数y=-
(x+1)
2
+2的顶点坐标是(-1,2) 故选C
2
2.填空: <
br>(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y
= .
【答案】
y?a(x?1)(x?2),(a?0)
3
【解析】据二次函数的交点式方程可得该二次函数的解析式可设为
y
?a(x?1)(x?2),(a?0)
.
(2)二次函数y=-x
2
+23x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为
.
【答案】
4
【解析】设二次函数y=-x
2
+23x+1的函
数图象与x轴两交点横坐标分别为
x
1
,x
2
,则
x
1
?x
2
?23,x
1
x
2
??1
,<
br>x
2
?x
1
?(x
1
?x
2
)2
?4x
1
x
2
?4
3.根据下列条件,求二次函数的解析式.
(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6);
(2)当x=3时,函数有最小值5,且经过点(1,11);
(3)函数图象与x轴交于两点(1-2,0)和(1+2,0),并与y轴交于(0,-2).
【答案】见解析
【解析】
(
1
)设该二次函数
为
y
=
ax
2
+
bx
+
c(a≠0).由函数图象过点
(1
,-
2)
,
(0
,-
3
)
,
?
a?b?c??2
?
a??1
??
?
?
b?2
(-1
,
-6)
,可得
?<
br>c??3
?
a?b?c??6
?
c??3
??
所以,
所求的二次函数为
y
=-
x
2
+
2x
-
3
.
2
(
2
)设二次函数为
y?a(x?3)2
?5,(a?0)
,则
11?a(1?3)?5?a?
3
,所
以,所求的二次函数为
2
3
y?(x?3)
2
?5.
.
2
(
3
)设二次函数为
y?a(x?1?2)(x?1?2)
,(a?0)
,则
?2?a(0?1?2)(0?1?2)?a?2
,所以,所
求的二次函数为
y?2(x?1?2)(x?1?2).
3
4.设二次函
数的图像的顶点式
(?2,)
,与x轴的两个交点间的距离为6,求该二次函数的表达式。
2
【答案】见解析
【解析】据题意对称轴为
x??2
,又
与
x
轴的两个交点间的距离为
6
,∴
x
轴的两个交点分别为
(?5,0),(1,0)
,
设二次函数为
y?a(x?5)(x?1),(
a?0)
,则
31
?a(?2?5)(?2?1)?a??
26<
br>11
2
25
所以,所求的二次函数为
y??(x?5)(x?1)??
x?x?.
6636
4