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专题09 一元二次函数的三种表示方式 初升高衔接教材系列二(解析版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 09:25
tags:初高中数学衔接教材

高中数学的立体几何难吗-高中数学太好是怎样的体验

2020年9月19日发(作者:甘风子)



专题
09
一元二次函数的三种表示方式

一、知识点精讲

通过上一小节的学习,我们知道,一元二次函数可以表示成以下三种形式:

1
.一般式:
y

ax
2

bx

c(a ≠0)


2
.顶点式:
y

a(x
+< br>h)
2

k (a≠0)
,其中顶点坐标是
(
h

k)


除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,

我们先来研究二次函数
y

ax
2

bx
c(a≠0)
的图象与
x
轴交点个数.

当抛物线
y< br>=
ax
2

bx

c(a≠0)

x
轴相交时,其函数值为零,于是有
ax
2

bx

c

0




并且方程①的解就是抛物线y

ax
2

bx

c(a≠0)

x
轴交点的横坐标(纵坐标为零),于是,不难发现,抛
物线
y
=< br>ax
2

bx

c(a≠0)

x
轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的
判别式
Δ

b
2

4ac
有关,由此可知,抛物线
y
ax
2

bx

c(a≠0)

x
轴 交点个数与根的判别式
Δ

b
2

4ac
存在下列 关系:


1
)当
Δ

0
时,抛物线y

ax
2

bx

c(a≠0)

x
轴有两个交点;反过来,若抛物线
y

ax
2

bx

c(a≠0)

x
轴有两个交点,则
Δ
0
也成立.


2
)当
Δ

0
时,抛物线
y

ax
2

bx
c(a≠0)

x
轴有一个交点(抛物线的顶点);反过来,若抛物线
y

ax
2

bx

c(a≠0)

x
轴有一个交点,则
Δ

0
也成立.


3
)当
Δ

0
时,抛物线
y

ax2

bx

c(a≠0)

x
轴没有交点;反 过来,若抛物线
y

ax
2

bx

c( a≠0)

x
轴没有交点,则
Δ

0
也成立.于是 ,若抛物线
y

ax
2

bx

c(a≠ 0)

x
轴有两个交点
A(x
1

0)

B(x
2

0)


x
1
x
2
是方程
ax
2

bx

c

0
的两根,所以
x
1

x
2

?
以,
y

ax
2

bx

c

a(
x?
2
bcbc

x
1
x
2
=,即=-
(x
1

x
2
)



x
1
x
2
.所
aaaa
bc
x?
)
aa
= a[x
2

(x
1
x
2
)x

x
1
x
2
]< br>=
a(x

x
1
) (x

x
2
)
.由上面的推导过程可以得到下面结论:
< br>若抛物线
y

ax
2

bx

c( a≠0)

x
轴交于
A(x
1

0)
,< br>B(x
2

0)
两点,则其函数关系式可以表示为
y

a(x

x
1
)
(x

x
2
) (a≠0)
.这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法:

3
.交点式:
y

a(x

x
1
) (x

x
2
) (a≠0)
,其中
x
1

x
2
是二次函数图象与
x
轴交点的横坐标.

今后 ,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种
表达 形式中的某一形式来解题.

二、典例精析

【典例1】已知某一元二次函数 的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1),

1



求该一元二次函数的解析式.
【答案】见解析

【分析】:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成
顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数a.
【解析】∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,
∴顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y=x+1上,所以,2=x+1,∴x=1.
∴顶点坐 标是(1,2).设该二次函数的解析式为
y?a(x?1)
2
?2(a?0)

∵二次函数的图像经过点(3,-1),∴
?1?a(3?1)
2
?2
,解得a=-
3

4
3
335
∴二次函数的解析 式为
y??(x?1)
2
?2
,即y=-x
2
+x+. < br>424
4
【说明】:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶 点坐标,然后设出二次函数
的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件, 并巧妙地利用条件简捷地解
决问题.

【典例2】已知二次函数的图象过点(-3,0 ),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.
【答案】见解析
< br>【分析一】:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点
坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式.
【解析一】:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴可设二次函数为y=a(x+3) (x-1) (a≠0),展开得 y
=ax
2
+2ax-3a,
?12a
2
?4a
2
??4a
, 顶点的纵坐标为
4a
1

2
1313
所以,二次函数的表达式为y=x
2
?x?
,或y=-
x
2
?x?

2222
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,∴|-4a|=2,即a=
?
【 分析二】:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线x=-1,又由顶点到x轴 的
距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后 再利
用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.
【解析二】:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴对称轴为直线x=-1.
又顶点到x轴的距离为2,∴顶点的纵坐标为2,或-2.
于是可设二次函数为y=a(x+ 1)
2
+2,或y=a(x+1)
2
-2,

2



由于函数图象过点(1,0),∴0=a(1+1)
2
+2 ,或0=a(1+1)
2
-2.∴a=-
所以,所求的二次函数为y=
11
,或a=.
22
11
(x+1)
2
+2,或y= (x+1)
2
-2.
22
【说明】:上述两种解法分别从与x轴的交点坐标 及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解
题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选 择恰当的方法来解决问题.
【典例3】已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),( 2,8),求此二次函数的表达式.
【答案】见解析

【解析】设该二次函数为y= ax
2
+bx+c(a≠0).由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),
?
?22?a?b?c,
?
(2,8),可得
?
?8?c,
解得 a=-2,b=12,c=-8.
?
8?4a?2b?c,
?
所以, 所求的二次函数为y=-2x
2
+12x-8.
【说明】通过上面的几道例题,同学 们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交
点式来求二次函数的表达式?
三、对点精练

1.选择题:
(1)函数y=-x
2
+x-1图象与x轴的交点个数是 ( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无法确定
【答案】
A
【解析】
?1
2
?4?(? 1)?(?1)??3?0
,∴函数
y
=-
x2

x

1
图象与
x
轴的交点个数

是0个。故选A
1
(2)函数y=- (x+1)
2
+2的顶点坐标是 ( )
2
(A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2)
【答案】
C
1
【解析】据二次函数的顶点式方程可得函数y=- (x+1)
2
+2的顶点坐标是(-1,2) 故选C
2
2.填空: < br>(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y
= .
【答案】
y?a(x?1)(x?2),(a?0)


3



【解析】据二次函数的交点式方程可得该二次函数的解析式可设为
y ?a(x?1)(x?2),(a?0)

(2)二次函数y=-x
2
+23x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 .
【答案】
4
【解析】设二次函数y=-x
2
+23x+1的函 数图象与x轴两交点横坐标分别为
x
1
,x
2
,则
x
1
?x
2
?23,x
1
x
2
??1
,< br>x
2
?x
1
?(x
1
?x
2
)2
?4x
1
x
2
?4

3.根据下列条件,求二次函数的解析式.
(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6);
(2)当x=3时,函数有最小值5,且经过点(1,11);
(3)函数图象与x轴交于两点(1-2,0)和(1+2,0),并与y轴交于(0,-2).
【答案】见解析

【解析】


1
)设该二次函数 为
y

ax
2

bx

c(a≠0).由函数图象过点
(1
,-
2)

(0
,-
3 )


?
a?b?c??2
?
a??1
??
?
?
b?2
(-1

-6)
,可得
?< br>c??3
?
a?b?c??6
?
c??3
??
所以, 所求的二次函数为
y
=-
x
2

2x

3


2

2
)设二次函数为
y?a(x?3)2
?5,(a?0)
,则
11?a(1?3)?5?a?
3
,所 以,所求的二次函数为
2
3
y?(x?3)
2
?5.

2

3
)设二次函数为
y?a(x?1?2)(x?1?2) ,(a?0)
,则
?2?a(0?1?2)(0?1?2)?a?2
,所以,所
求的二次函数为
y?2(x?1?2)(x?1?2).

3
4.设二次函 数的图像的顶点式
(?2,)
,与x轴的两个交点间的距离为6,求该二次函数的表达式。
2
【答案】见解析

【解析】据题意对称轴为
x??2
,又 与
x
轴的两个交点间的距离为
6
,∴
x
轴的两个交点分别为
(?5,0),(1,0)

设二次函数为
y?a(x?5)(x?1),( a?0)
,则
31
?a(?2?5)(?2?1)?a??

26< br>11
2
25
所以,所求的二次函数为
y??(x?5)(x?1)?? x?x?.

6636


4

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