高中数学的重要组成部分-高中数学必修一黑白题
第1讲 公式法与分组分解法
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它
与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及
各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学
学习的一项基本技能。
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公
式和完全平方公式)外，
还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。
【知识梳理】
1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
（3）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（4）立方差公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b3
；
2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．
（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；
（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．
4．因式分解的思路：
（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；
（2）再看能否使用公式法；
（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；
（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；
（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止． <
br>5．因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）．
【高效演练】
1．将（a﹣1）﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．a（a﹣1） B．a（a﹣2）
2
C．（a﹣2）（a﹣1）
D．（a﹣2）（a+1）
【解析】原式=（a﹣1+1）（a﹣1﹣1）=a（a﹣2）．故选：B．
【答案】B
2．下列因式分解中，正确的个数为（ ）
①x+2xy+x=x（x+2
y）；②x+4x+4=（x+2）；③﹣x+y=（x+y）（x﹣y）
A．3个
B．2个 C．1个 D．0个
322222
3.已知2a﹣b=2，那么代数式4a﹣b﹣4b的值是（ ）
A．2 B．0 C．4
D．6
2222
22
【解析】∵2a﹣b=2，∴4a﹣b﹣4b=4a﹣（b+2
）+4=（2a+b+2）（2a﹣b﹣2）+4
=（2a+b+2）×（2﹣2）+4=4．故选：C．
【答案】C
4．多项式（
x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4
D．﹣4
【解析】（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）=（x+2）（2x﹣2）=（x+m）（2x+n），
可得m=2，n=﹣2，则m﹣n=2﹣（﹣2）=2+2=4，故选C
【答案】C
5．设M=a（a+1）（a+2），N=a（a﹣1）（a+2），那么M﹣N等于（ ）
A．（a+1）（a+2） B．a+a
C．（a+1）（a+2） D．a+a
2
2
【解析】∵M=a（a+1）（a+2），N=a（a﹣1）（a+2），
∴M﹣N=a（a
+1）（a+2）﹣a（a﹣1）（a+2）=a（a+2）[（a+1）﹣（a﹣1）]=a+a．故选：D．
【答案】D
6．式子2018﹣a+2ab﹣b的最大值是（ ）
A．2015
B．2016 C．2017 D．2018
22
2
【解析】2018﹣a+2ab﹣b=2018﹣（a﹣2ab+b）=20
18﹣（a﹣b），
∵（a﹣b）≥0，∴原式的最大值为：2018．故选：D．
【答案】D
7.
已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足ac－bc＝a－b，判断△ABC的形状( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D.
等腰三角形或直角三角形
222244
2
22222
8．长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，则ab+ab的值为 ．
【解析】∵长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，
∴ab=12，a+b=8，
∴ab+ab=ab（a+b）=12×8=96．
【答案】96
9．若x+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为
．
【解析】∵x+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，
∴2（3﹣m）=±10,解得：m=﹣2或8．
【答案】﹣2或8．
10.因式分解
（1）16(x－y)
2
－9(x＋y)
2
（2）
(a+b)
2
-2(a+b)+1
；
2
2
22
22
a
3
b
3
（3）
?
278
6
a
（4）
-64
【答案】（1）16(x－y)－9(x＋y)=[4(x－y)－3(x＋y)][4(x－y)+3(x
＋y)]=(x－7y)(7x－y)；
（2）
(a+b)
2
-2(a+b
)+1=(a+b-1)
2
；
22
aba
2
abb
2
（3）
(?)(??)
；
32964
（4）
a
6
-64=(a
2
-4)(a
4
+4a
2
+4<
br>2
)=(a+2)(a-2)(a
4
+4a
2
+16)
；
11．已知
a?b?
2
,ab?2
，求代数式
a2
b?2a
2
b
2
?ab
2
的值．
3
228
,ab?2
，代入原式可得。
3
3
22
22
【解析】
ab?2ab?ab?ab(a?2ab?b)
，由
a?b?<
br>12．证明：当
n
为大于2的整数时，
n?5n?4n
能被120整除
．
53
13．已知
a?b?c?0
，求证：
a?ac?bc?ab
c?b?0
．
【解析】因式分解可得；
a?ac?bc?abc?b?(a?ab?
b)(a?b?c)
因为
a?b?c?0
，所以成立。
322322
3223
第1讲 公式法与分组分解法
因式分解是
代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及
各种恒等变形中
起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的
提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，
还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相
乘法和分组分解法等。
【知识梳理】
1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)?a?2ab?b
．
222
（3）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（4）立方差公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．
（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；
（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．
4．因式分解的思路：
（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；
（2）再看能否使用公式法；
（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；
（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；
（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止． <
br>5．因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）．
探究一 公式法分解因式
公式法主要由乘法公式与因式分解的逆向关系，套用公式进行因式分解。
（1）平方差公式
a?b?(a?b)(a?b)
；
（2）完全平方公式
a
2
?2ab?b
2
?(a?b)
2
；
（3）立方和公式
a
3
?b
3
?(a
?b)(a
2
?ab?b
2
)
；
（4）立方差公式
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
.
【典例解析】分解因式：
（1）
a?b?2ab?1
；
（2）
?a?16
；
（3）
x-8x
；
【分析】由题观察式子结构可联系乘法公式，进行因式分解；
【解析】：
（1）<
br>a+b-2ab-1=
(a?b)
2
?1
＝
(a?b?1)(
a?b?1)
；
(2)
?a?16
=
4
2
?(a
2
)
2
?(4?a
2
)(4?a
2
)?(
4?a
2
)(2?a)(2?a)
；
(3)
x-8x=x(x-2)=x(x-2)(x+2x+4)
；
4332
4<
br>22
4
22
22
4
【解题反思】进行因式分解
首先要善于观察和联系，同时要熟记乘法公式，注意因式分解的一般步骤。
【变式训练】
1.分解因式：
（1）
2ab?4ab?2ab
；
（2）
x-5x
；
3
3223
（3）
1
-27b
3
；
8
34
（4）
3ab?81b
；
提示：（先提取公因式再运用立方和公式：
a?b?(a?b)(a?ab?b)
）
【点评】(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如
27b?
(3b)
，这里逆用了
法则
(ab)?ab
；(2)
在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．
探究2 分组分解法
（1）分组后能提取公因式的
【典例解析】把
ab(c?d)?(a?b)cd
分解因式。
【解析】：分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式。
2222
nnn
33
3322
ab(c
2
?d2
)?(a
2
?b
2
)cd?abc
2
?ab
d
2
?a
2
cd?b
2
cd
?abc
2
?b
2
cd?abd
2
?a
2cd?bc(ac?bd)?ad(bd?ac)?(ac?bd)(bc?ad)
【点
评】分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又
运用
了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。
（2）分组后能直接运用公式
【典例解析】把
2x?4xy?2y?8z
分解因式。
222
【点
评】如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，
它
们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式。
【变式训练】
1.分解因式：（1）
x?x?x?1
；
（2）
x?y?2x?2y
；
（3）
x?9?3x?3x
；
（4）
x?xy?3y?3x
；
（5）
x?5x?4
；
（6）
2x?xy?y?4x?5y?6
；
【解析】（1）
(x?1)(x?1)
；
（2）
(x?1)?(y?1)?(x?y)(x?y?2)
；
（3）
(x?3)(x?3)
；
（4）
(x-y)(x-3)
；
（5）
x?5x?4
＝<
br>x?4x?x?4
＝
(x
4
?x
2
)?4(x
2
?1)
＝
x
2
(x
2
?1)?4(x
2
?1)
＝
(x?1)(x?4)
＝
(x?1)(x?1
)(x?2)(x?2)
；
（6）
2x?xy?y?4x?5y?6
=2x?(y?4)x?y?5y?6
2222
22
42422
42
32
32
22
2
22
2
22
2
＝
2x?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2)
(x?y?3)
；
2
第2讲 十字相乘法
因式分解是代数式的
一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及
各种恒等变形中起着重要
的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因
式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，
还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分
组分解法等。
【知识梳理】
1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
（3）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（4）立方差公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b3
；
2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．
（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；
（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．
4．因式分解的思路：
（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；
（2）再看能否使用公式法；
（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；
（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；
（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止． <
br>5．因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）．
【高效演练】
1．将下列各式因式分解：
2
32
（1）
x?6x?7
；
（2）2x﹣6x+4x；
222
（3）
a?4ab?5b
；
（4）
x?2x?3
；
（5）
ax?10ax?16ax
；
（6）
ab?16ab?39
；
（7）
15x
2n
543
22
?7x
n
y
n?1
?4y
2n?2
；
（8）
x?3x
?
2
?
2<
br>?22
?
x
2
?3x
?
?72
；
【答案】(1)
(x?1)(x?7)
；
（2）2x（x﹣1）（x﹣2）；
（3）
(a?5b)(a?b)
；
（4）
x
2
?2x?1?4?(x?1)
2
?2
2
?(x?1?2)(x?1?2)?(x?3)(x?1)
；
（5）
ax(x?2)(x?8)
；
（6）原式
?
?ab
?
?16ab?39?
?
ab?3
??
ab?13
?
（7）原式
?3x?y
2
3
?
nn
?1
??
5x
??
2
n
?4y
n?1
?<
br>
（8）原式
?x?3x?4x?3x?18?
?
x?4
?
?
x?1
??
x?6
??
x?3
?
22
??
2.把
4xy?5xy?9y
分解因式的结果是___________
_____。
【解析】：
4xy?5xy?9y
42222
42
22
?y
2
?
4x
4
?5x
2
?9
?
?y4x?9x?1
2
?y
2
2
?
?
x
2
??
2
?
2
?1?
?
2x?3
??
2x?3
?
3.若
x?y?
mx?5y?6
能分解为两个一次因式的积，则m的值为________________。
【解析】：
x?y?mx?5y?6?
?
x?y
??
x?
y
?
?mx?5y?6
22
2
-6可分解成?
?2
?
?3
或
?
?3
?
?2
，因此，存在两种情况：
（1）x+y -2 （2）x+y
-3
x-y 3 x-y 2
由（1）可得：
m?1
，由（1）可得：
m??1
【答案】
?1
【解题反思】对二元二次多项式分解因式时，
要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定
系数法确定其系数，这是一种常用的方法。
4.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足
?
a?c
?
?4?
b?a
??
c?b
?
。
求证：
a?b?b?c
2
5.
若
x?5x?7x?a
有一因式
x?1
。求a，并将原式因式分解。
【解析】：
?x
?5
x
?7
x
?
a<
br>有一因式
x?1
∴当
x?1?0
，即
x??1
时，
x?5x?7x?a?0
?a?3
32
32
32
x
3<
br>?5x
2
?7x?3
?x
3
?x
2
?4x<
br>2
?4x?3x?3
?x
2
?
x?1
?
?4x
?
x?1
?
?3
?
x?1
?<
br>?
?
x?1
?
?
x?4x?3
?
2
?
?
x?1
??
x?1
??
x?3
??
?
x?1
??
x?3
?
【解题反思】由条件知，x??1
时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是
x?1
，
分解时尽量出现
x?1
，从而分解彻底。
6.已知：长方形的长、宽为x、
y，周长为16cm，且满足
x?y?x?2xy?y?2?0
，
求长方形的面积。
【分析】要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。
22
2
【解析】：
?x?y?x?
2
xy?y?
2
?<
br>0
22
?
?
x
2
?2xy?y
2
?
?
?
x?y
?
?2?0
?(x?y)?
?
x?y
?
?2?0
2
?
?
x?y?2
??
x?y?1
?
?0
?x?y?2?0
或
x?y?1?0
[
又
?x?y?8
?
x?y?2?0
?
x?y?1?0
或
?
?
?
x?y?8x?y?8
??
解得：
?
.
?
x?5
?
x?35
或
?
?
y?3
?
y?4.5
2
∴长方形的面积为15cm或
63
2
cm
4
222
7. 在多项式
x?1，x?2，x?3，x?2x?3，x?2x
?1，x?2x?3
，哪些是多项式
?
x
2
?2x
??10
?
x
2
?2x
?
?9
的因式？
42
【解析】：
?x
?2
x
?
2
?
4<
br>?10
?
x
2
?2
x
?
?9
2
?
?
x
2
?2x
?
?9
?
x
2
?2x
?
?1
22
???
2
?
2
?x?2x?3x?2x?3x?2x?1x?2x?1
<
br>2
2
2
?
?
?
x
2
??????<
br>?2x?3
?
?
x?3
??
x?1
??
x?
1
?
?
x?2x?1
?
2
22
?
∴其中<
br>x?1，x?3，x?2x?3，x?2x?1
是多项式
?
x
2?2x
?
?10
?
x
2
?2x
?
?9
的因式。
42
【解题反思】先正确分解，再判断。
8.
已知多项式
2x?x?13x?k
有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。
【解
析】：设
2x?x?13x?k?
?
2x?1
?
x?ax?b
322
32
??
则
2x?x?13x?k?2x??
2a?1
?
x?
?
a?2b
?
x?b
3232
?
2a?1??1
?
?
?
a?2b??13
?
b?k
?
?
a??1
?
解得：
?
b??6
?
k??6
?
?k??6
且
2x
3
?x
2
?13x?6?
?
2x?1
?
?
x
2<
br>?x?6
?
?
?
2x?1
??
x?3
??<
br>x?2
?
【解题反思】待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多
项式是三次式，已知有一个一次因式，
则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1
。
9. 分解因式：
3x?5xy?2y?x?9y?4
【解析】：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。
设
3x?5xy?2y?x?9y?4
22
22
?
?
3x?y?m
??
x?2y?n
?
?3x
2
?5xy?2y
2
?
?
m?3n
?
x?
?
2m?n
?
y?mn
?
m?3n?1
?
比较同类项系数，得：
?
2m?n?9
?
mn??4
?
?
m?4
解得：
?
n??1
?
?3x?5xy?2y?x
?9y?4?
?
3x?y?4
??
x?2y?1
?
22
.
，求
3x?12xy?9y
的值。 10.
已知：
x?y?0.5，x?3y?12
【解析】：
3x?12xy?9y
22
22
?3
?
x
2
?4
xy?3y
2
?
?3
?
x?y
??
x?3y
?
?x?y?
0.5，
x?
3
y?<
br>12.
?
原式
?3?0.5?12.?18.
【解题反思】用因式分解可简化计算。
11.证明：若
4x?y
是7的倍数
，其中x，y都是整数，则
8x?10xy?3y
是49的倍数。
【分析】：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。
【解析】：
证明一：
8x?10xy?3y?
?
2x?3y
??
4x?y
?
22
22
2
?
2x?3y
?
?4x?6y?4x?y?7y
∵
4x?y
是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）
∴
2
?
2x?3y
?
是7的倍数
而2与7互质，
因此，
2x?3y
是7的倍数，所以
8x?10xy?3y
是49的倍数。
22
第2讲 十字相乘法
因式分解是代数式的一种重
要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及
各种恒等变形中起着重要的作用
，是继续高中数学学习的一项基本技能。
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和
公式法(平方差公式和完全平方公式)外，
还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解
法等。
【知识梳理】
1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)?a?2ab?b
．
（3）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（4）立方差公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b3
；
2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．
（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；
222
（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．
4．因式分解的思路：
（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；
（2）再看能否使用公式法；
（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；
（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；
（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止． <
br>5．因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）．
【精讲深剖】
1．对于二次项系数为1的二次三项式
x+(p+q)x+pq
型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项
系
数是常数项的两个因数之和。
即；
x?(p?q)x?pq?x?px?qx?pq?x(x
?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)
注：这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项
”，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，
通常借助画十字交叉线的办法来确定，故称
为十字相乘法。
【典例解析】把下列各式因式分解：
(1)
x?5x?6
；
2
2
2
22
(2)
x?13x?12
；
(3)
x?5x?24
；
2
【解题反思】当常数项为
正数时，把它分解为两个同号因数的积，因数的符号与一次项的系数的符号相同；
当常数项为负数时，把
它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相
同。
【变式训练】
1.把下列各式因式分解：
（1）
x?5x?6?
__________________________________________________
。
（2）
x+7x+6=
__________________________
________________________。
（3）
x?5x?6?
__
________________________________________________。
（4）
x?5x?6?
____________________________
______________________。
（5）
x
2
?
?
a?1
?
x?a?
_________________________
_________________________。
（6）
x?11x?18?
_________________________________________________
_。
（7）
-x+12-x
_________________________
_________________________。
（8）
x
2
?x
y?6y
2
_____________________________________
_____________。
（9）若
x
2
?ax?b?
?x?2
??
x?4
?
则
a?
，
b?
。
（10）
x
2
?4x?
?
?
x?3
??
x?
?
【答案】（1）
(x?6)(x?1)
；
（2）
(x?6)(x?1)
；
（3）
(x?2)(x?3)
；
（4）
(x?6)(x?1)
；
2
2
2
2<
br>2
2
（5）
(x?a)(x?1)
；
（6）
(x?2)(x?9)
；
（7）
?(x?4)(x?3)
；
（8）
(x?3y)(x?2y)
；
（9）
a??2,b??8
；
（10）
?21,?7
；
【点评】注意，分解因数及十字相乘都有多种可能
情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三
项式能否用十字相乘法分解。
2．对于一般二次三项式
ax?bx?c
型的因式分解
因为，
(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)?a1
a
2
x?(a
1
c
2
?a
2
c
1
)x?c
1
c
2
．
反过来，就得到；a
1
a
2
x?(a
1
c
2
?a
2
c
1
)x?c
1
c
2
?(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)
22
2
a
1
我们发现，二次项系数
a
分解成
a<
br>1
a
2
，常数项
c
分解成
c
1
c<
br>2
，把
a
1
,a
2
,c
1
,c2
写成
a
2
2
?
c
1
c
2<
br>，这里按
斜线交叉相乘，再相加，就得到
a
1
c
2
?
a
2
c
1
，如果它正好等于
ax?bx?c
的一次项系数<
br>b
，那么
ax
2
?bx?c
就可以分解成
(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)
，其中
a
1
,c
1
位于上一行，
a
2
,c
2
位于下一行。
【典例解析】把下列各式因式分解：
(1)
12x?5x?2
；
(2)
5x?6xy?8y
【解析】：(1)
12x?5x?2?(3x?2)(4x?1)
2
22
2
3
4
22
?
?2
1
(2)
5x?6xy?8y?(x?2y)(5x?4y)
1
2y
5?4y
?
【解题反思】用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次
项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高
速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数
，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否
则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负
号。
【变式训练】
1.把下列各式分解因式：
(1)
m?4mn?5n
；
(3)
6x?7x?3
；
22
2
22
(2)
x?7x?18
22
42
；
(4)
2a?5ab?33b
；
2
（5）
8x?26xy?15y
； (6)
7(a?b)?5(a?b)?2
【点评】对于二次项系数不为1的二次三项式运用十字相乘法分解，需要更多尝试，达到熟练掌握。
第1讲 一元二次方程根的判别式
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念
、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及
根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解
析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二
次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。
【知识梳理】
一元二次方程的根的判别式
b
2
b
2?4ac
)?
一元二次方程
ax?bx?c?0
(a?0)
，用配方法将其变形为：
(x?
2
2a
4a
2
(1)
当
b?4ac?0
时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
2
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x
1
?,x
2
?
2a2a
2
(2) 当<
br>b?4ac?0
时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
x
1,2??
b
2a
(3)
当
b?4ac?0
时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用
b
?4ac
的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把
b?4ac
叫做一元二
次方程
22
2
ax
2
?bx?c?0
(a?0)
的根的判别式，表示为：
??b
2
?4ac
【高效演练】
1.关于
x
的方程
x
2
?2kx?k?1?0
的根的情况描述正确的是（）
A．
k
为任何实数，方程都没有实数根
B．
k
为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．
k
为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据
k
的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【解析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案：
∵一元二次方程
根的判别式为△=（2k）－4×（k－1）=4k－4k+4=（2k﹣1）+3＞0，
∴不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。
【答案】B
2.若关于x的方程
x?3kx?1?0
有实数根，则k的取值范围为（ ）
A. k≥0 B. k＞0 C.
k≥
?
2
222
44
D.
k＞
?
99
4
，
9
2
【解析】由题意
得
?(?3k)?4?1?(?1)?0
，得
?9k?4?0?k??
又k?k?0
，综上则选A
【答案】A
3.下列四个结论中，正确的是（ ）
1
x
1
B．方程
x+=1
有两个不相等的实数根
x
1
C．方程
x+=2
有两个不相等的实数根
x
1
D．方程
x+=a
（其中a为常数，且
a>2
）有两个不相等的实
数根
x
A．方程
x+=?2
有两个不相等的实数根
4.关于x的一元二次方程
kx?3x?1?0
有实数根
，则
k
的取值范围是（ ）
A.
k??
2
9999
B.
k??
且
k?0
C.
k??
D.
k??
且
k?0
4444
2
【解析】∵关于x
的一元二次方程
kx?3x?1?0
有实数根，
∴
{
k?0
9
k??
，解得，且
k?0
.故选B.
2
4
?3?4k?
?
?1
?
?0
【答案】B
5.若反比例函数
y?
k
与一次函数
y?x?2
的图像没有交点，则
k
的值可以是（
）
．．
x
C. 1 D. 2 A. -2
B. -1
【解析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取
值范围，找出符
合条件的k的值即可：
∵反比例函数
y?
k
与一次函数y=x+2的图象没有交点，
x
k
?
y? ①
k
?
2
∴
?
无解，即
=x?2
无解，整理得x+2x-k=0，
x
x
?
?
y?x?2②
∴△=4+4k＜0，解得k＜－1
。
四个选项中只有-2＜-1，所以只有A符合条件。故选A。
【答案】A。
6
.如图，直线
y
=
x
+2与双曲线
y
=
m?3在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为【 】
x
-2-10123
(A)
123
(C)
4
-2-1012
(B)
34
-2-104
-2-10123
(D)
4
<
br>【解析】因为直线
y
=
x
+2与双曲线
y
=
m?3
在第二象限有两个交点，联立两方程求出m的取值范围即可，
x
然后在
数轴上表示出m的取值范围：
由
x
+2=
m?3
x
得x
2
+2
x
+3﹣m=0，
∵
y
=
x
+2与
y
=
m?3
x
有两个交点，
∴方程
x
2
+2
x
+3﹣m=0有两不相等的实数根。
即△=4﹣4×（3﹣m）＞0，解得m＞2。
又∵双曲线在二、四象限，∴m﹣3＜0。∴m＜3。
∴m的取值范围为：2＜m＜3。故在数轴上表示为B。故选B。
【答案】B。
7
．已知关于
x
的一元二次方程
?
k?2
?
2
x2
?
?
2k?1
?
x?1?0
有两个不相等的实根，则
k
的取之范围为（
A.
k?
4
3
且k?2
B.
k?
4
3
且k?2
C.
k?
3
4
且k?2
D.
k?
3
4
且k?2
【解析】根据题意得k?2≠0且△＝（2k＋1）??4（k?2）?＞0，
解得：k＞
3
4
且k≠2．故选C．
【答案】C
8.若关于x的方程(k－1)x
2
＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是(
)
A. k＞5 B. k＜5且k≠1
C. k≤5且k≠1 D. k≤5
【解析】 关于
x
的方程<
br>?
k?1
?
x
2
?4x?1?0
有实数根,
当
k?1?0
时，方程是一元一次方程，有实数根.
当
k?1?0
时，方程是一元二次方程，
??4
2
?4?
?
k?1
?
?0,
）
解得：
k?5
且
k?1.
综上所述，
k?5
. 故选D.
【答案】D
9.方程x－(m＋6)x＋m＝0有两个相等的实数根，且满足x
1<
br>＋x
2
＝x
1
x
2
，则m的值是( )
A. －2或3 B. 3 C. －2
D. －3或2
22
【答案】C
10.方程ax+x+1=0有两个不等的实数根，则a的取值范围是________。
【解析】∵方程
ax?x?1?0
有两个不等的实数根，
∴
{
2
2
a?0
1
a?
，解得且
a?0
.
2
4
?1?4a?0
1
且a≠0
4
【答案】a＜
11.有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部
相同．现将
它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程
x
2
?2
?
a?1
?
x?a
?
a
?3
?
?0
有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数
y?x
2
?a
2
?1x?a?2
的图象不经
过点（1，0）的概率是
。
2
【解析】∵
x?2
?
a?1
?
x?a
?
a?3
?
?0
有两个不相等的实数根，∴△＞0。
??
∴[﹣2（a﹣1）]﹣4a（a﹣3）＞0，∴a＞﹣1。
22
将（1，0）代入
y?x?a?1x?a?2
；
2
?
?
得：a+a﹣2=0，解得a
1
=1，a
2
=﹣2。
2
3
可见，符合要求的点为0，2，3。∴P（符合要求）=。
7
3
【答案】。
7
12.二次函数
y?ax
2<
br>?bx
的图象如图，若一元二次方程
ax
2
?bx?m?0
有
实数根，则
m
的最大值为
【答案】3
13.已知关于
x
的方程
x?2
?
k
?3
?
x?k?4k?1?0.
22
（1）若这个方程有实数根，求实数k的取值范围；
（2）若方程两实数根分别
为x
1
、x
2
，且满足
x
1
?x
2
?x
1
x
2
?7
,求实数k的值.
【解析】分析：（1
）根据方程有实根可得△≥0，进而可得[-2（k-3）]-4×1×（k-4k-1）≥0，再解即可； <
br>（2）根据根与系数的关系可得x
1
+x
2
=2（k-3），x
1
?x
2
=k-4k-1，再由完全平方公式可得x
1
+x
2
=（x
1
+x
2
）-2x
1
x
2，
代入x
1
+x
2
=2（k-3），x
1
?x
2
= k-4k-1可计算出m的值．
解析：（1）∵x-2（k-3）x+k-4k-1=0有实数根，
∴△=4（k-3）-4
（k-4k-1）=4k-24k+36-4k+16k+4=40-8k≥0，
解得：k≤5；
（2）∵方程的两实数根分别为x
1
，x
2
，
∴x
1
+x
2
=2（k-3），x
1
?x
2
=
k-4k-1．
∵x
1
+x
2
=x
1
x
2
+7，
∴(
x
1
+
x
2
)-3x
1
x<
br>2
-7=0，
∴k-12k+32=0，解得：k
1
=4，k
2
=8．
又∵k≤5，∴k=4．【答案】（1）
k
≤5；（2）4.
22
14.已知a，b，c为一个三角形的三条边长，且方程
bx?1?2ax?cx?1?0
有两
个相等的实数根，
2
2
22
2
2222
22
2<
br>2222
22
22
????
22
试判断这个三
角形的形状。【解析】分析：把方程
bx?1?2ax?cx?1?0
化为一般形式可得：????
(b+c)x??2ax?b+c=0，由由b、c的实际意义可知b+c＞0，即原方程
是关于
x
的一元二次方程；由方程有两
个相等的实数根可得“△=0”，列出关系式化
简，由勾股定理逆定理可判断该三角形为直角三角形.
22
解析：方程
bx?1?2
ax?cx?1?0
化为一般形式可得：(b+c)x??2ax?b+c=0，
????
由b、c的实际意义可知：b+c＞0
∴原方程是关于
x
的一元二次方程，
∵原方程有两个相等的实数根,
∴△=(?2a)??4
?
(b+c)
?
(c?b)=0
整理,得：4a?+4b??4c?=0，即a?+b??c?=0，
移项,得：a+b=c
∴由直角三角形勾股定理逆定理可知：这个三角形是直角三角形.
【答案】直角三角形
222
第1讲 一元二次方程根的判别式
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元
二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断
式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函
数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一
元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进
行讲述。
【知识梳理】
一元二次方程的根的判别式
b
2
b2
?4ac
)?
一元二次方程
ax?bx?c?0
(a?0)
，用配方法将其变形为：
(x?
2
2a
4a
2
(1)
当
b?4ac?0
时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
2
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x
1
?,x
2
?
2a2a
2
(2) 当<
br>b?4ac?0
时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
x
1,2??
b
2a
(3)
当
b?4ac?0
时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用
b
?4ac
的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把
b?4ac
叫做一元二
次方
2
程
ax?bx?c?0
(a?0)
的根的判别式，表示为：
??b?4ac
2
22
2
【精讲深剖】
一元二次方程根的判别式即是判定方程根的情况的充分条件，也是求解方程根的一般方法。
【
典例解析】1.判定下列关于
x
的方程的根的情况（其中
a
为常数），如果方
程有实数根，写出方程的
实数根．
（1）
x
－3
x
＋3＝0；
（2）
x
－
ax
－1＝0；
（3）
x
－
ax
＋(
a
－1)＝0；
（4）
x
－2
x
＋
a
＝0．
【解析】（1）∵Δ＝3－4×1×3＝－3＜0，
∴方程没有实数根．
（2）该
方程的根的判别式Δ＝
a
－4×1×(－1)＝
a
＋4＞0，
22
2
22
22
a?a
2
?4a?a
2
?4<
br>所以方程一定有两个不等的实数根;
x
1
?
，
x
2
?
．
22
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝
a
－4×1×(
a
－1)＝
a
－4
a
＋4＝(
a－
2)，
所以，①当
a
＝2时，Δ＝0，
所以方程有两个相等的实数根：
x
1
＝
x
2
＝1；
②当
a
≠2时，Δ＞0，
所以方程有两个不相等的实数根：
x
1
＝1，
x
2
＝
a－
1．
222
【解题反思】在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着
a<
br>的取值的变化而变化，于是，在解题过程
中，需要对
a
的取值情况进行讨论，这
一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非
常重要的方法，在今后的解题中会经常
地运用这一方法来解决问题．
【变式训练】
1.已知关于
x
的一元二次方
程
3x?2x?k?0
，根据下列条件，分别求出
k
的范围：
(1) 方程有两个不相等的实数根；
(2) 方程有两个相等的实数根；
(3)方程有实数根；
(4) 方程无实数根．
【解析】
??(?2)?4?3?k?4?12k
2
2
(1)
4?12k?0?k?
1
；
3
(2)
4?12k?0?k?
1
；
3
(3)
4?12k?0?k?
1
；
3
1
．
3
(4)
4?12k?0?k?
【点评
】本题已知根的情况，运用根的判别式，求方程中参数的取值范围。需要逆向思考，体现了思维的
灵活性
。
2.（1）判断直线
y=x+1
与抛物线
y=x-3x+1
的交
点个数；
（2）若直线
y=2x+m
与抛物线
y=x
有两个不同的
交点，求
m
的范围。
【分析】有题意，曲线交点个数可转化为对应方程组的解的个数，可借助根的判别式进行解决；
2
2
ì
?
y=2x+m
2
2x+m=x
（2）由
í
，代入消元得；，
2
?
?
y=x
整理得；
x-2x-m=0
，
由题意可得；
D=(-2)+4创1m>0
，解得
m>-1
， 即当
m>-1
时，直线
y=2x+m
与抛物线
y=x
有
两个不同的交点。
【点评】判断两曲线交点个数问题时，基本方法为直接求解法，判别式法即图像法。
而判别式法在解决二
次曲线交点个数问题时更为高效。
2
2
2
3．已知关于
x
的一元二次方程
x?
?
3k?1
?
x?2k?2k?0
.
22
（1）求证：不管
k
为何值，方程总有实数根；
（2）若等腰
三角形ABC的一边长
a?6
,另两边长
b,c
恰好是这个方程的两个根，求
此三角形的周长.
【答案】（1）
?
?
k?1
?
?0；（2）16或22.
【分析】（1）计算出“根的判别式△的值”，然后通过配方可知无论k去
何值，△的值恒大于或等于0，由
此可得结论；
（2）因为题目中没有告诉等腰△ABC中边
a
是腰还是底，故要分两种情况讨论：①当
a
为腰时，则
b、c中
有一边为腰，即原方程有一根为6，代入方程可解得k的值，进一步可求得方程的另一根，从而可
求△ABC
的周长；②当
a
为底时，则
b、c
都为腰，此时原方程有
两个相等的实数根，则△=0，由此可求出k的值，
代入原方程求解，从而可求△ABC的周长. 【解析】(1)∵在方程
x?
?
3k?1
?
x?2k?2k?0
中，
22
222
2
9k?6k?1?8k?8kk?2k?1<
br>=
?
k?1
?
，
?
?3k?1?4?1?2k?2
k
△=
?
==
??
??
2
2
??
2
∴无论k为何值，△
?
0 ，
∴不管k为何值，原方程总有实数根；
②当
a?6
为底时，则
b,c
两边均为腰，即原方程有两
个相等的实数根，
2
所以
?(k?1)?0
，解得
k?1
，
此时原
方程为：
x?4x?4?0
，解得：
x
1
?x
2
?
2
即
b,c
两边均为2，因为
2?2?6
，此时
a,b,c
三边围不成三角形，此种情况不成立；
综合①②可得的周长为16或22
2
【点评】问题从一元二次根的判别式“△”入手，通过化简、配方法等将“△”表达
式转化为可判断其符
号的形式，从而就可以判断原一元二次方程根的情况了；（2）这类问题通常要分“
已知边是等腰三角形的
腰和底”两种情况分别讨论，同时要特别注意在涉及三角形三边的问题中，求出三
边后，一定要用三角形
三边间的关系进行检验，看能否围成三角形.
第2讲
根与系数的关系（韦达定理）
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，
而一元二次方程的根的判断
式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有
着重要应用．本专题将对一
元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。
【知识梳理】
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
的两个根为：
2
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x?,x?
2a2a
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
所以：
x
1
?x
2
????
，
2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2?4ac(?b)
2
?(b
2
?4ac)
2
4acc<
br>x
1
?x
2
????
2
?
2
2a2aa
(2a)4a
2
定理：如果一元二次方程
ax?bx?c?0
(a?0)
的两个根为
x
1
,x
2
，那么：
bc
x
1
?x
2
??,x
1
x
2
?<
br>
aa
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通
常把此定理称为”韦
达定理”．上述定理成立的前提是
??0
．
【高效演练】
1.若
x
1
，x
2
是一元二次方程
x?2x?3?0
的两个根，则
x
1
·x
2
的值是( )
A．2
B．－2 C．4 D．－3
【解析】：方程的两根为
x
1
，
x
2
，根据题意得
x
1
x
2
?
【答案】D
．
2．若α，β是方程
x
﹣2
x
﹣3=0的两个实数根，则α+β
的值为（ ）
222
2
c
??3
．故选D．
a
A. 5 B. 7
C. 9 D. 10
【解析】∵α，β是方程
x﹣2
x
﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，
∴α+β=（α+β）﹣2αβ=2﹣2×（﹣3）=10．故选D．
【答案】D
3．关于x的一元二次方程x＋px＋q＝0的两根同为负数，则( )
A.
p＞0且q＞0 B. p＞0且q＜0
C. p＜0且q＞0 D. p＜0且q＜0 <
br>【解析】试题解析：设x
1
，x
2
是该方程的两个负数根，则有x1
+x
2
＜0，x
1
x
2
＞0，
∵
x
1
+x
2
=-p，x
1
x
2
=q
∴-p＜0，q＞0
∴p＞0，q＞0．故选A．
【答案】A
4.方程
x－(m＋6)x＋m＝0有两个相等的实数根，且满足x
1
＋x
2
＝x1
x
2
，则m的值是( )
A. －2或3
B. 3 C. －2 D. －3或2
22
2
2222
2
5.规定：如果关于
x
的一元二次方程
ax?bx?c?0
（
a
≠0）有两个实数根，且其中一个
根是另一个根的
2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程
x?2x?8?0
是倍根方程；
②若关于
x
的方程
x?ax?2?0
是倍根方程，则
a
=±3；
2
③若关于
x
的方程
ax?6ax?c?0
（
a
≠0）是倍根方程，则
抛物线
y?ax?6ax?c
与
x
轴的公共点的坐
2
22
2
标是（2，0）和（4，0）；
④若点（
m
，
n
）在反比例函数
y?
4
2
的图象上，则关于
x
的方
程
mx?5x?n?0
是倍根方程．
x
上述结论中正确的有（ ）
A．①② B．③④
C．②③ D．②④
【解析】
2
③关于
x
的方程
ax?6ax?c?0
（
a
≠0）是倍根方程，∴
x
2
=2
x
1
，∵抛物线
y?ax?6ax?c
的对称轴是<
br>2
2
直线
x
=3，∴抛物线
y?ax?6ax?c
与
x
轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确；
④∵点（
m，
n
）在反比例函数
y?
428
2
的图象上，∴
mn
=4，解
mx?5x?n?0
得
x
1
=﹣，
x
2
=﹣，∴
x
2
=4
x
1
，
x
mm
∴关于
x
的方程
mx?5x?n?0
不是倍根方程；故
选C．
【答案】C．
6.已知关于
x
的一元二次方程
x?x?3
?0
的两个实数根分别为
?
,
?
，则
?
?
?1
??
?
?1
?
=__________.
2
2
【解析】∵关于
x
的方程：
x?x?3?0
的两个实数根分别为
?
、
?
，
2
，
??
??3
， ∴
?
?
?
?
1
∴
?
?
?1
??
?
?1
?
?<
br>??
?
?
?
?
?
?
?1??3?1?1??
3
.
【答案】-3
7.若方程
x
2
?x?1?0
的两实根为
a
、
b
，则
2
11
?
的值为
_______。
ab
【解析】∵方程
x
–
x
–1=0的
两实根为
a
、
b
，
∴
a
+
b
=1，
ab
=–1，
∴
11a?b1
?????1
．
abab?1
【答案】-1
8．设
m,n
是方程
x+x-
2018=0
的两个实数根，则
m+2m+n
的值为_______。
【解析】由
m,n
是方程
x+x-2018=0
的两个实数根， <
br>2
22
则
m+n=-1,
且
m+m-2018
=0
，
又
m+2m+n=m+m+m+n=2018-1=2017
【答案】2017
9.关于
x
的一元二次方程
x?2x?2m?1
?0
的两实数根之积为负，则实数
m
的取值范围
是
．
2
22
2
10.一元二次方程
x?4x?a?0有两个实根，一个比3大，一个比3小，
a
的取值范围为_______。
y
x=2
2
0
3
x
【解析】解一：由
解二：设
【答案】
a?3
?
?
?0
?
?
(x
1
?3)(x
2
?3)?0
解得：
a?3
f(x)
?x
2
?4x?a
，则如
图所示，只须
f(3)?0
，解得
a?3
11．若关于
x
的一元二次方程
x
–4
x
+
k
–3=0的两个实数
根为
x
1
、
x
2
，且满足
x
1
=
3
x
2
，试求出方程的两个实
数根及
k
的值．
【解析】由根与系数的关系，得
2
x
1
+
x
2<
br>=4①，
x
1
x
2
=
k
–3②
又∵
x
1
=3
x
2
③，
?
x?3
联立①、③，解方程组得
?
1
，
x?1
?
2
∴
k
=
x
1
x
2
+
3=3×1+3=6
则方程两根为
x
1
=3，
x
2
=1；
k
=6．
【答案】
x
1
=3，
x
2
=1；
k
=6．
12.已知关于
x
的方程
x
?2
?
k?3
?
x?k?4k?1?0.
22
（1）若这个方程有实数根，求实数k的取值范围；
（2）若方程两实数根分别
为x
1
、x
2
，且满足
x
1
?x
2
?x
1
x
2
?7
,求实数k的值.
【解析】分析：（1
）根据方程有实根可得△≥0，进而可得[-2（k-3）]-4×1×（k-4k-1）≥0，再解即可； <
br>（2）根据根与系数的关系可得x
1
+x
2
=2（k-3），x
1
?x
2
=k-4k-1，再由完全平方公式可得x
1
+x
2
=（x
1
+x
2
）-2x
1
x
2，
代入x
1
+x
2
=2（k-3），x
1
?x
2
= k-4k-1可计算出m的值．
解析：（1）∵x-2（k-3）x+k-4k-1=0有实数根，
∴△=4（k-3）-4
（k-4k-1）=4k-24k+36-4k+16k+4=40-8k≥0，
解得：k≤5；
2222
22
2
2222
22
22
13.已知关于
x
的方程
x?(k?1)x?
(1)
方程两实根的积为5；
(2) 方程的两实根
x
1
,x
2
满足
|x
1
|?x
2
．
2
1
2
k?1?0
，根据下列条件，分别求出
k
的值．
4
【解析】(1) ∵方程两实根的积为5
1
2
?
2
??[?(k?1)]?4(k?1)?0
?
3
?
4?k?,k??4
∴
?
2
?
xx?
1
k<
br>2
?1?5
12
?
?4
所以，当
k?4
时，
方程两实根的积为5．
(2) 由
|x
1
|?x
2
得知：
①当
x
1
?0
时，
x
1
?x
2<
br>，所以方程有两相等实数根，故
??0?k?
3
；
2
②当<
br>x
1
?0
时，
?x
1
?x
2
?x<
br>1
?x
2
?0?k?1?0?k??1
，由于
??0?k?
3
，故
k??1
不合题意，舍去．
2
综上可得，
k?
3
时，方程的两实根
x
1
,x
2
满足
|x
1
|?x
2
．
2
3
.
2
【答案】（1）
k?4
；（2）
k?
2
14.已
知关于
x
的一元二次方程
x?(k?5)x?1?k?0
，其中
k
为常数．
（1）求证：无论
k
为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数
y?x?(k?5)x?1?k
的图象不经过第三象限，求
k
的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求
k
的最大整数值．
2
解析：（1）证明：∵△=（
k
﹣5）﹣4（1﹣
k<
br>）=
k
﹣6
k
+21=（
k
﹣3）+12＞0，∴无
论
k
为何值，方程总有两
个不相等实数根；
222
（2）解：∵二次函数
y?x?(k?5)x?1?k
的图象不经过第三象限，∵二次项系数<
br>a
=1，∴抛物线开口
方向向上，∵△=（
k
﹣3）+12＞0，∴抛
物线与
x
轴有两个交点，设抛物线与
x
轴的交点的横坐标分别为
2<
br>2
x
1
，
x
2
，∴
x
1
+
x
2
=5﹣
k
＞0，
x
1
x
2<
br>=1﹣
k
≥0，解得
k
≤1，即
k
的取值范围是k
≤1；
（3）解：设方程的两个根分别是
x
1
，
x
2
，根据题意，得（
x
1
﹣3）（
x
2
﹣
3）＜0，即
x
1
x
2
﹣3（
x
1
+x
2
）+9＜0，
又
x
1
+
x
2=5﹣
k
，
x
1
x
2
=1﹣
k
，代入得，1﹣
k
﹣3（5﹣
k
）+9＜0，解得
k
＜<
br>【答案】（1）证明见解析；（2）
k
≤1；（3）2．
【解题反思】：本题
考查了抛物线与
x
轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，
根的判别式，根与系数的关系，综合性较强。
15.已知
x
1
,x
2
是一元二次方程
4kx?4kx?k?1?0
的两个实数根．
(1)
是否存在实数
k
，使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)??
2
5
．则
k
的最大整
数值为2．
2
3
成立？若存在，求出
k
的值；若不存在，请说明理由．
2
(2) 求使
x
1
x
2
??2
的值为整
数的实数
k
的整数值．
x
2
x
1
3
2
成立．∵
一元二次方程
4kx?4kx?k?1?0
2
【解析】(1) 假设存在实数
k
，使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x<
br>2
)??
的两个实数根，∴
?
?
4k?0
?
??(?4k)?4?4k(k?1)??16k?0
2
?k?0
，又
x<
br>1
,x
2
是一元二次方程
?
x
1
?x
2
?1
?
4kx
2
?4kx?k?1?0
的两个实数根，
∴
?
k?1
xx?
12
?
4k
?
222
∴
(2x<
br>1
?x
2
)(x
1
?2x
2
)?2(x1
?x
2
)?5x
1
x
2
?2(x
1
?x
2
)?9x
1
x
2
??
k?939<
br>???k?
，但
k?0
．
4k25
∴不存在实数
k
，使
(2x
1
?x
2
)(x
1
?2x2
)??
3
成立．
2
第2讲
根与系数的关系（韦达定理）
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，
而一元二次方程的根的判断
式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有
着重要应用．本专题将对一
元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。
【知识梳理】
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程
ax?bx?c?0 (a?0)
的两个根为：
2
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x?,x?
2a2a
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
所以：
x
1
?x
2
????
，
2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2?4ac(?b)
2
?(b
2
?4ac)
2
4acc<
br>x
1
?x
2
????
2
?
2a2aa
(2a)
2
4a
2
定理：如果一元二次方程
ax?bx?c?0
(a?0)
的两个根为
x
1
,x
2
，那么：
bc
x
1
?x
2
??,x
1
x
2
?<
br>
aa
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通
常把此定理称为”韦
达定理”．上述定理成立的前提是
??0
．
【典例解析
】1.已知方程
5x
2
?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及k
的值．
【分析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出
k<
br>的值，再由方程解出另一个根．但由
于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于
已知了方程的一个根及方程的二次项系数和
常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两
根之和求出
k
的值．
【解析】解法一：
∵2是方程的一个根，
∴5×2＋
k
×2－6＝0，
∴
k
＝－7．
所以，方程就为5
x
－7
x
－6＝0，解得
x
1
＝2，
x
2
＝－
2
2
3
．
5
所以，方程的另一个根为－
3
，
k
的值为－7．
5
6
，
5
解法二：设方程的另一个根为
x
1
，则 2
x
1
＝－
∴
x
1
＝－
33k
．由
（－）＋2＝－，得
k
＝－7．
555
所以，方程的另一个根为－
3
，
k
的值为－7． <
br>5
【解题反思】本题两种解法进行比较，解法一将已知的根代入方程求解出
k
的
值，再求另一个根；而解法
二直接运用韦达定理，建立二元一次方程求解更加高效。
2.
若
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程2
x
＋
5
x
－3＝0的两根．
（1）求
x
1
?x
2
的值；
（2）求
3
2
11
?
的值；
x
1
2
x
2
2
3
2
（3）
x
1
＋<
br>x
2
．
【解析】∵
x
1
和
x
2<
br>分别是一元二次方程2
x
＋5
x
－3＝0的两根，
∴
x
1
?x
2
??
53
，
x
1
x
2
??
．
22
5
2
2
2222
（1）∵|
x
1
－
x
2
|＝
x
1
+
x
2
－2
x
1
x
2
＝(
x
1<
br>＋
x
2
)－4
x
1
x
2
＝
(?)?4?(?)
＝
3
2
2549
＋6＝，
4
4
∴|
x
1
－
x
2
|＝
7
．
2
2
1
2
1
2
（2）
x?x
2
11
??
x
1
2
x
2
2
x?x<
br>2
2
33
5325
(?)
2
?2?(?)?3
(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
37224
．
????
3
2
9
(x
1
x
2
)
2
9
(?)
24
2
22 2
（3）
x
1
＋
x
2
＝(
x
1
＋<
br>x
2
)(
x
1
－
x
1
x
2
＋
x
2
)＝(
x
1
＋
x
2)[ (
x
1
＋
x
2
)－3
x
1<
br>x
2
]
＝(－
55
2
3215
)×[(－)－3×(
?
)]＝－．
2228
【解题反思】为了解题简便，我们探讨出一般规律：
设
x
1
,x
2
分别是一元二次方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）的根，则运用根与系数的关系以下变形需掌握；
2
①
x
1
?x
2
?(x
1
?x<
br>2
)?2x
1
x
2
②
(x
1?x
2
)?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
③
22
222
11
x
1
?
x
2
??
x
1
x
2
x
1
x
2
(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
；或
④
x
1
?x
2
?
b
2
?4ac?
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac<
br>??
x
1
?x
2
???
|a||a|2a2a2a
【变式训练】
1.若
x
1
,x
2
是方程
x?2x?2018?0
的两个根，试求下列各式的值；
（1）
x
1
?x
2
；
（2）
22
2
11
?
；
x
1
x
2
（3）
(x
1
?5)(x
2
?5)
；
（4）
x
1
?x
2
；
【分析】本题若运用求根公式先求解，运算量太大，借助韦达定理是一条更加高效的解题思路；
【点评】掌握韦达定理的常见变形可帮助我们提升解题速度。
2.已知关于
x
的方程
x
＋2(
m－
2)
x
＋
m＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积
大21，求
m
的值．
【分析】本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比
两个根的积大21得到关于
m
的方程，从而解得
m
的
值．但在解题中
需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
【解析】设
x
1
，
x
2
是方程的两根，由韦达定理，得；
x
1
＋
x
2
＝－2(
m－
2)，
x
1·
x
2
＝
m
＋4．
2
22
<
br>∵
x
1
＋
x
2
－
x
1
·<
br>x
2
＝21，
∴(
x
1
＋
x
2
)－3
x
1
·
x
2
＝21，
即
[－2(
m－
2)]－3(
m
＋4)＝21，
化简，得
m
－16
m
－17＝0，
解得；
m
＝－1，或
m
＝17．
当
m
＝－1时，方程为
x
＋6
x
＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当
m
＝
17时，方程为
x
＋30
x
＋293＝0，Δ＝30－4×1×293＜0，
不合题意，舍去．
综上，
m
＝17．
【点评】（1）在本题的解题过程中
，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两
个实数根的平方和比两个根的积
大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解
题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因
为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根
．
3.已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
【分析】我们可以设出这两个数分
别为
x
，
y
，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
22
2
2
22
2
22
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程；
x
－4
x
－12＝0的两个根．
解这个方程，得；
x
1
＝－2，
x
2
＝6．
所以，这两个数是－2和6．
【点评】从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
2
第1讲 二次函数的图像与性质
二次函数
y?ax?bx?c
(a?0)
是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基
础．
【知识梳理】
1.二次函数解析式的三种形式：
一般式：
y
＝<
br>ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0).
顶
点式：
y
＝
a
(
x
－
m
)＋
n<
br>(
a
≠0)，顶点坐标为(
m
，
n
).
零
点式：
y
＝
a
(
x
－
x
1
)(<
br>x
－
x
2
)(
a
≠0)，
x
1，
x
2
为
f
(
x
)的零点.
2.二次函数的图象和性质
解析式
2
2
2
y<
br>＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
>0)
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
<0)
图象
对称性
函数的图象关于
x
＝－对称
2
a
b
3
.二次函数
y
＝
a
(
x
＋
h
)＋
k
(
a
≠0)中，
a
决定了二次函数图象的开口大小及方向；
h
决定了二次函数图象的
左右平移，而且“
h
正左移，
h
负右移”；
k
决定了二次函数图象的上下平移，而且“
k
正上移，
k
负下移”。
【高效演练】
1. 抛物线
y
＝(
x
－2)
2
+3的顶点坐标是（ ）．
A. (2,3)
B. (－2,3) C. (2，－3) D. (－2，－3)
【解析】二次函数 y ＝ a ( x － h )
2
+ k ( a
≠0)的顶点坐标是( h ， k )，
所以y ＝( x －2)
2
+3的顶点坐标是(2，3)，故选：A.
【答案】A
2. 把抛物线
y
＝－
x
向右平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）．
A.
y
＝－(
x
－1) +3
B.
y
＝－(
x
+1) +3
C.
y
＝－(
x
－1)
2
－3
D.
y
＝－(
x
+1)
2
－3
【解析】根据二次函数的图象平移规律可知：
把抛物线
y??x
2
向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，
则平移后抛物线的解析式为：
y??(x?1)
2
?3
故选C.
【答案】C
2 2
2
2
3．对于二次函数y=（x﹣1）+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下
C．顶点坐标是（1，2）
2
2
B．对称轴是x=﹣1
D．与x轴有两个交点 【解析】二次函数y=（x﹣1）+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物
线
与x轴没有公共点．故选：C．
【答案】C
4．已知反比例函数y=（a≠0
），当x＞0时，它的图象y随x的增大而减小，那么二次函数y=ax﹣ax的
图象只可能是（ ）
2
A B．
C． D．
5．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x+bx+c
的顶
点，则方程x+bx+c=1的解的个数是（ ）
2
2
A． 0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2
【解析】分三种情况：
点M的纵坐标小于1，方程x
2
+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；
点M的纵坐标等于1，方程x
2
+bx+c=1的解是2个相等的实数根；[]
点M的纵坐标大于1，方程x
2
+bx+c=1的解的个数是0．
故方程x
2
+bx+c=1的解的个数是0，1或2．故选：D．
【答案】D
6．若抛物线y=2x
2
﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m= 8 ．
【解析】由题意得，﹣=2，解得m=8．
【答案】8
7. 已知抛物线
y
＝
ax
2
+
bx
+
c
(
a
＞0)的对称轴为直线
x
＝1，且经过点(－1，
试比较
y
1
和
y
2
的大小：
y
1
__________
y
2
(填“＞”“＜”或“＝”)．
【解析】试题解析：∵二次函数y=ax
2
+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，
而1-（-1）=2，2-1=1，
∴点（-1，y
1
）离对称轴的距离比点（2，y
2
）要远，
∴y
1
＞y
2
．
【答案】＞
8．如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），
则抛物线的对称轴是 ；若y＞2，则自变量x的取值范围是 ．
【解析】∵抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），
∵对称轴为x==；
∵抛物线与y轴的交点坐标分别为（0，2），对称轴为x=，
∴抛物线还经过点（1，2），
∴y＞2，则自变量x的取值范围是 0＜x＜1，
y
1
)，(2，
y
2
)，
【答案】x=，0＜x＜1．
9.某商场以每件30元的价格购进一种商品，
试销中发现这种商品每天的销售量
m
(件)与每件的销售价
x
(元)满足一次
函数
m?162?3x,30?x?54
．
(1)
写出商场卖这种商品每天的销售利润
y
与每件销售价
x
之间的函数关系式；
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
10.在数学拓展课上，小明同学根据学习函数的经验，对新函数y=x﹣2|x|的图象和
性质进行了探究，探究
过程如下：
【初步尝试】求二次函数y=x﹣2x的顶点坐标及与x轴的交点坐标；
【类比探究】当函数
y=x﹣2|x|时，自变量x的取值范围是全体实数，下表为y与x的几组对应值．
x
y
…
…
﹣3
3
﹣
﹣2 ﹣1 0 1
0
2
3 …
3 …
2
2
2
﹣1 0 ﹣1 0
①根据表中数据，在如图所示的平面直
角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图
象的另一部分；
②根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质．
【深入探究】若点M（m，y
1<
br>）在图象上，且y
1
≤0，若点N（m+k，y
2
）也在图象上，且满
足y
2
≥3恒成立，
求k的取值范围．
【分析】
利用配方法将y=x﹣2x化为顶点式，即可求出顶点坐标，令y=0，解方程x﹣2x=0，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标；
类比探究：①根据表中数据描点连线，即可画出该函数图象的另一部分；
②根据画出的函数图象，结合二次函数的性质即可写出该函数的两条性质；
深入探究：根据图
象可知y
1
≤0时，﹣2≤m≤2；y
2
≥3时，m+k≤﹣3或m+k≥3
，根据不等式的性质即可求
出k的取值范围．
【解析】【初步尝试】∵y=x﹣2x=（x﹣1）﹣1，
∴此抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；
令y=0，则x﹣2x=0，
解得x
1
=0，x
2
=2，
∴此抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）；
【类比探究】①如图所示：
2
22
22
②函数图象的性质：
1．图象关于y轴对称；
2．当x取1或﹣1时，函数有最小值﹣1；
【深入探究】根据图象可知，
当y
1
≤0时，﹣2≤m≤2，
当y
2
≥3时，m+k≤﹣3或m+k≥3，
则k≤﹣5或k≥5．
故k的取值范围是k≤﹣5或k≥5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的
图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用
数形结合是解题的关键．
11. 【问题情
境】已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小
值是多少
？
【数学模型】
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为y=2（x+）（x＞0）．
【探索研究】
小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+的图象性质．
（1）结合问题情境，函数y=x+的自变量x的取值范围是x＞0，下表是y与x的几组对应值．
x
y
…
…
4
3
2
1
2
2
2
3
3
m
4
…
…
①写出m的值；
②画出该函数图象，结合图象，得出当x= 1 时，y有最小值，y
最小
= 2 ；
提示：在求二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过
配方得到．试
用配方法求函数y=x+（x＞0）的最小值，解决问题（2）
【解决问题】
（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．
2
【分析】
（1）①由题意可得m=4；②根据图象所反映的特点写出即可；根据完全平方公式（a+b）=a+2ab+b
，
进行配方即可得到最小值；
（2）根据完全平方公式（a+b）=a+2ab+b，进行配
方得到y=2[（
【解析】（1）①由题意m=4．
②函数y=x+的图象如图：
222
222
﹣）+2
2
]，即可求出答案；
观察图象可知，当x=1时，函数y=x+（x＞0）的最小值是2． 故答案为1，2．
y=x+==+2
∵x＞0，所以 ≥0，
所以当x=1时，的最小值为0，
∴函数y=x+（x＞0）的最小值是2．
（2）∵y=2[（
∴当
∴当x=
=
﹣）+2
2
]=2（﹣
，
，
）+4
2
，
时，
y的值最小，最小值为4
时，y的值最小，最小值为4
答：矩形的面积为a（a为常数，a＞0
），
当该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值是4 ．
【点评】本题主要考查对完全平
方公式，反比例函数的性质，二次函数的最值，配方法的应用，一次函数
的性质等知识点的理解和掌握，
能熟练地运用学过的性质进行计算是解此题的关键．
第2讲
二次函数的最值
二次函数
y?ax?bx?c (a?0)
是初中函
数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基
础．当自变量
x
在某个范围
内取值时，求函数
y
的最大（小）值，这类问题称为最值问题问题．最值问题
在实际生
活中也有广阔的应用．
【知识梳理】
1.二次函数解析式的三种形式：
一般式：
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0).
顶点式：
y
＝
a
(
x
－
m<
br>)＋
n
(
a
≠0)，顶点坐标为(
m
，
n<
br>).
零点式：
y
＝
a
(
x
－
x<
br>1
)(
x
－
x
2
)(
a
≠0)，<
br>x
1
，
x
2
为
f
(
x
)的
零点.
2.二次函数的图象和性质
解析式
2
2
2y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
>0)
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
<0)
图象
对称性
函数的图象关于
x
＝－对称
2
a
3.二次函数的最值
b
b4ac?b
2
（1）.当a
＞0时，函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
图象开口向上；顶点坐标为
(?,)
，对称轴为直线
x
＝－
2a4a
2
bbbb
；当
x
＜
?
时，
y<
br>随着
x
的增大而减小；当
x
＞
?
时，
y随着
x
的增大而增大；当
x
＝
?
时，函
2a2
a2a2a
4ac?b
2
数取最小值
y
＝．
4a
b4ac?b
2
,)
，对称轴为直线
x
＝－（2）.当
a<
br>＜0时，函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
图象开口向下；顶点坐标为
(?
2a4a
2
bbbb
???
；当
x
＜时，
y
随着
x
的增大而增大；当
x
＞时，
y
随着
x
的增大而减小；当
x
＝时，函
2
a2a2a2a
4ac?b
2
数取最大值
y
＝．
4a
【高效演练】
1.二次函数的图象过点(
0，1)，对称轴为
x
＝2，最小值为－1，则它的解析式是
y
＝_____
___.
【解析】设
y
＝
a
(
x
－2)－1(<
br>a
＞0)，
1
当x＝0时，4
a
－1＝1，
a
＝，
2
11
22
所以
y
＝(
x
－2)－1＝
x
－2
x
＋1.
22
1
2
【答案】
x
－2
x
＋1
.
2
2.已知函数y=
x
＋2<
br>ax
＋1－
a
(
x
∈[0，1])有最大值2，则
a
＝________.
【解析】函数
f
(
x
)＝－
x
＋2
ax
＋1－
a
＝－(
x
－
a)＋
a
－
a
＋1，其图象的对称轴方程为
x
＝
a
.
当a<0时，
f
(
x
)
max
＝<
br>f
(0)＝1－
a
，所以1－
a
＝2，所以
a
＝－1.
1±5
222
当0≤a≤1时，
f
(
x
)
max
＝
f
(
a
)＝
a
－
a
＋1，所以
a
－
a
＋1＝2，所以
a
－
a
－1＝0，所以
a
＝(舍去)．
2
当a>1时，f(
x<
br>)
max
＝
f
(1)＝
a
，所以
a
＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
【答案】－1或2
.
3.已知函数y=x﹣2x+3，求下列情况下二次函数的最值
（1）2≤x≤3；
（2）-2≤x≤2．
【分析】（1）根据二次函数y=x﹣2x+3的图象和性质，分析当
2≤x≤3时，y递增，进而可得y的最大值、
最小值；
（2）根据二次函数y=x﹣2x+
3的图象和性质，分析当-2≤x≤2．时，函数的单调性，进而可得y的最大值、
最小值．
2
2
2
222
2
2
【点评】熟练掌握二次函数的图象和性质是求取最值的关键。
4.二次函数y=ax+bx+c
（1）若a=1，b=﹣1，c=﹣2，求此抛物线与坐标轴的交点坐标．
（2）若a=1，
b=﹣4m，c=1﹣2m，当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点，求m的取值范围．
（3）若a=1，b=﹣4m，c=3，当﹣1＜x＜1时，二次函数的值恒大于1，求m的取值范围．
【分析】（1）将a=1，b=﹣1，c=﹣2代入原式，得到二次函数的解析式，令y=0即可求出函
数与x轴的交
点；
（2）将a=1，b=﹣4m，c=1﹣2m代入解析式，由于抛物线开口
向上，分类讨论列不等式组解答：
①△=0，x=1时，y＞0；x=﹣1时，y＞0；
②x=1时，y＜0；x=﹣1时，y＞0；
③x=1时，y＞0；x=﹣1时，y＜0．
（3）将a=1，b=﹣4m，c=3代入解析式，令△＜0，x=1时，y＞0；x=﹣1时，y＞0
，列不等式组解答即可．
2
（2）将a=1，b=﹣4m，c=1﹣2m代入解析式得，
y=x﹣4mx+1﹣2m，
∵当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点，
∴可得以下几种情况：
2
①，解得m=．
②，解得m＞．
③，解得m＜﹣1．
∴综上，m＞，m＜﹣1或m=时当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点．
2
（3）将a=1，b=﹣4m，c=3代入解析式得，y=x﹣4mx+3，
∵当﹣1＜x＜1时，二次函数的值恒大于1，
∴，
解得﹣1＜m＜或﹣＜m＜．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点坐标及函数图象与不等式组的关系，根据题意转化为相应的不等
式组是解题的关键．
5.已知二次函数
y?ax
2
?bx?c(a
?0)
，其两根分别为0,5，且当
?1?x?4
时，最大值为12.
(1)求函数的解析式；
(2) 当
t?x?t?1
时，求函数的最小值．
【解析】(1)因为是二次函数，两根分别为0,5,所以可设
y
＝
ax(
x
－5)(
a
＞0)，
所以当
?1?x?4
时,的最大值是
f
(－1)＝6
a
.
由已知得6
a＝12，所以
a
＝2，所以
y
＝2
x
(
x－5)＝2
x
－10
x
.
5
?
5
?
25
(2)由(1)知
y
＝2
x
－10
x
＝2
?
x
－
?
－，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为
x
＝.
22
?
2
?
2
2
2
53<
br>①当
t
＋1≤，即
t
≤时，
y
在
t?x?t
?1
上单调递减，
22
所以
h
＝2(
t
＋1)－
10(
t
＋1)＝2
t
－6
t
－8；
5
2
②当
t
≥时,y在
t?x?t?1
上单调递增，所以
h<
br>＝2
t
－10
t
；
2
535525
③当<
br>t
＜＜
t
＋1，即＜
t
＜时，
y
在
x
＝处取得最小值，所以最小值为－.
22222
22
?
?
2535
综上所述，
h
＝
?
－，＜
t
＜，
222
5
?
2
t
－10
t
，
t
≥.
?
2
2
3
2
2
t
－6
t－8，
t
≤，
2
6.已知
y
＝
ax
－2
x
(0≤
x
≤1)．
(1)求函数的最小值； 2
(2)若
y
≥－1恒成立，求
a
的取值范围；
【解析】 (1)①当
a
＝0时，
y
＝－2
x
在[
0，1]上递减，所以
y
min
＝－2.
1
2
②当
a
>0时，
y
＝
ax
－2
x
的图象的开口方向向
上，且对称轴为
x
＝.
a
1
?
1
?
2<
br>当0<≤1，即
a
≥1时，
f
(
x
)＝
ax
－2
x
的图象的对称轴在[0，1]内，所以
y
在
?
0，
?
上递减，
a
?
a
?
121
?<
br>1
?
在
?
，1
?
上递增．所以y
min＝－＝－.
?
a
a
?
aaa
1
2
当
>1，即0<
a
<1时，
y
＝
ax
－2
x
的图象的对称轴在[0，1]的右侧，所以y在[0，1]上递减．
所以
y
min
＝
a
－2.
(2)只需
y
min
≥－1，即可．
由(1)知，当
a<
br><1时，
a
－2≥－1，所以
a
≥1(舍去)；
1
当
a
≥1时，－≥－1恒成立，所以
a
≥1.
a
故
a
的取值范围为
a
≥1.．
7.已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点。
（1）求k的取值范围；
（2）若x
1
，x
2
是函数图象
与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x
1
+2kx
2
+k+2=4x
1
x
2
．
①求k的值；
②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值。
【分析】（1）分两种情
况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数
为二次函数，若与
x轴有交点，则△≥0。
（2）①根据（k﹣1）x
1
+2kx
2
+k+2=4x
1
x
2
及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。
②充分利用
图象，直接得出y的最大值和最小值。
【解析】（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。
2
2
2
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y=0得（k﹣1）x﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k）﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。
综上所述，k的取值范围是k≤2。
（2）①∵x
1
≠x
2
，由（1）知k＜2且k≠1。
由题意得（k﹣1）x
1
+（k+2）=2kx
1
（*），
将（*）代入（k﹣1）x
1
+2kx
2
+k+2=4x
1
x
2
中得：2k（x
1
+x
2
）=4x
1
x
2
。又∵x
1
+x
2
=
=4?
22
2
2
2kk+22k
，x
1
x
2
=
，∴2k?
k?1k?1k?1
k+2
，
k?1
解得：k
1
=﹣1，k
2
=2（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣1。
1
2
3
）+，且﹣1≤x≤1，
22
13
由图象
知：当x=﹣1时，y
最小
=﹣3；当x=时，y
最大
=。
22
3
∴y的最大值为，最小值为﹣3。
2
②如图，∵k
1
=﹣1，y=﹣2x+2x+1=﹣2（x﹣
2
【点评】抛物线与x轴的
交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数
的最值。
8.
如图，已知抛物线y=﹣x+2x经过原点O，且与直线y=x﹣2交于B，C两点.
(1)求抛物线的顶点A的坐标及点B，C的坐标；
(2)求证：∠ABC=90°； (3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不
存在，
请说明理由；
2
【答案】(1) A(1，1)
，B(2，0)，C(﹣1，﹣3) (2)见解析 （3）(，)
【分析】（1）把抛物线解析式化
为顶点式可求得A点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标；
（2）由A、B、C的坐
标可求得AB
2
、BC
2
和AC
2
，由勾股定理的逆定理可
判定△ABC是直角三角形；
（3）过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，设出P点坐标，则可表
示出G点坐标，从而可表示出PG的长，
则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大
值时P点坐标.
【解析】（1）∵y=-x
2
+2x=-（x-1）
2
+1，
∴抛物线顶点坐标A（1，1），
联立抛物线与直线解析式可得
∴B（2，0），C（-1，-3）；
，解得或，
（3）如图，过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，
设P（t，-t
2
+2t），则G（t，t-2），
∵点P在直线BC上方，
∴PG=-t+2t-（t-2）=-t+t+2=-（t-）+，
∴S△PBC
=S
△PGB
+S
△PGC
=PG[2-（-1）]=
PG=-（t-）+，
∵-＜0，
∴当t=时，S
△PBC
有最大值，此时P点坐标为（，），
即存在满足条件的点P，其坐标为（，）
【点评】：本题为二次函数的综合应用，涉及二次函
数的性质、函数图象的交点、勾股定理及其逆定理、相
似三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识
．在（1）中联立两函数解析式可求得其交点坐标，在（2）
中利用勾股定理分别表示出AB、AC、B
C是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的
关键．
2
222
第2讲 二次函数的最值
二次函数
y?ax?bx?c (a?0)
是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高
中学习的重要基
础．当自变量
x
在某个范围内取值时，求函数
y
的最
大（小）值，这类问题称为最值问题问题．最值问题
在实际生活中也有广阔的应用．
【知识梳理】
1.二次函数解析式的三种形式：
一般式：
y
＝<
br>ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0).
顶
点式：
y
＝
a
(
x
－
m
)＋
n<
br>(
a
≠0)，顶点坐标为(
m
，
n
).
零
点式：
y
＝
a
(
x
－
x
1
)(<
br>x
－
x
2
)(
a
≠0)，
x
1，
x
2
为
f
(
x
)的零点.
2.二次函数的图象和性质
解析式
2
2
2
y<
br>＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
>0)
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
<0)
图象
对称性
3.二次函数的最值
函数的图象关于
x
＝－对称
2
a
b
b4ac?b
2
,)
，对称轴为
直线
x
＝－（1）.当
a
＞0时，函数
y
＝
ax<
br>＋
bx
＋
c
图象开口向上；顶点坐标为
(?
2a4a
2
bbbb
；当
x
＜
?
时，
y
随着
x
的增大而减小；当
x
＞
?
时，
y
随着
x
的增大而增大；当
x
＝
?
时，函
2a2a2a2a
4ac?b
2
数取最小值
y
＝．
4a<
br>b4ac?b
2
（2）.当
a
＜0时，函数
y
＝ax
＋
bx
＋
c
图象开口向下；顶点坐标为
(?,)<
br>，对称轴为直线
x
＝－
2a4a
2
bbbb
；当x
＜
?
时，
y
随着
x
的增大而增大；当
x
＞
?
时，
y
随着
x
的增大而减小；当
x
＝
?
时，函
2a2a2a2a
4ac?b
2
数取
最大值
y
＝．
4a
【典例解析】求下列函数的最值
2
（1）当
?2?x?2
时，求函数
y?x?2x?3
的最大值和最小值； <
br>2
（2）当
1?x?2
时，求函数
y??x?x?1
的最大值
和最小值。
【分析】作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到
函数的最大值、
最小值及函数取到最值时相应自变量
x
的值．
【解析】（
1）作出函数的图象．当
x?1
时，
y
min
??4
，当<
br>x??2
时，
y
max
?5
．
（2）作出函数的图
象．当
x?1
时，
y
min
??1
，当
x?2时，
y
max
??5
．
【解题反思】由上述两例可
以看到，二次函数在自变量
x
的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那
么最高
点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数
在所给自变量
x
的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
【变式训练】1.当
x?0
时，求函数
y??x(2?x)
的取值范围．
【点评】本题看似不是最值问题，但只要求出了最值，函数的取值范围自然可确定。
2.当<
br>t?x?t?1
时，求函数
y?
1
2
5
x?x?的最小值(其中
t
为常数)．
22
【分析】由于
x
所
给的范围随着
t
的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即
t?1?1?t?0
时：
当
x?t?1
时，
y
min
?
151
(t?1)
2
?(t?1)??t
2
?3
．
222
<
br>?
1
2
?
2
t?3,t?0
?
综上所述：<
br>y?
?
?3,0?t?1
?
15
?
t2
?t?,t?1
2
?
2
【点评】本题所给的
x
取值范围不确定，但函数确定，即对称轴固定，可分情况讨论
x
取值相对于对称轴
的
位置即：在轴的左、右、包含对称轴三种情况求出最值，为轴定
x
取值变问题。
3.提出问题：当x＞0时如何求函数y=x+的最大值或最小值？
分析问题：前面我们刚刚
学过二次函数的相关知识，知道求二次函数的最值时，我们可以利用它的图象进
行猜想最值，或利用配方
可以求出它的最值．
例如我们求函数y=x﹣2
﹣2=（）﹣2
2
（x＞0
）的最值时，就可以仿照二次函数利用配方求最值的方法解决问题；y=x
+1﹣1=（﹣1）﹣1即当
x=1时，y有最小值为﹣1
2
﹣2
解决问题
借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y=x+（x＞0）的最大（小）值．
（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y=x+（x＞0）的图象：
x
y
…
…
1
2
3
4
…
…
（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想
当x=
时，函数y=x+（x＞0）有最 值（填“大”或“小”），是 ．
（3）推理论证：利用上述
例题，请你尝试通过配方法求函数y=x+（x＞0）的最大（小）值，以证明你的
猜想．知识能力运用
：直接写出函数y=﹣2x﹣
“小”），是 ．
（x＞0）当x= 时，该函数有最
值（填“大”或
【分析】（1）由x的值计算出y的值，填表即可；用描点法画出图象即可；
（2）用配方法
得出y=x+=（
（3）用配方法得出y=﹣2x﹣
﹣
=﹣（
）+2，即可得
出结果；
﹣）﹣2，即可得出结果．
2
2
【解析】（1）当x=时，y=x+=+4=4；
当x=时，y=x+=+3=3；
当x=时，y=x+=+2=2；
当x=1时，y=x+=1+1=2；
当x=2时，y=x+=2+=2；
当x=3时，y=x+=3+=3；
当x=4时，y=x+=4+=4；
填表如下：
x
y
…
…
1
2
2 3 4 …
…
1
4
4
1
3
3
1
2
2
1
2
2
1
3
3
1
4
4
函数图象如图所示：
【点评】本题是函数综合题目，考查了用描点法画函数的图象、函数的最值问题、配方法的应
用；本题综
合性强，难度较大，用配方法求出函数的最值是解决问题的关键．
第1讲
简单的二次方程组的解法
在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程
组的解法，掌握了用消元法解二
元一次方程组．高中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．
因此，本讲讲介绍简单的二元二
次方程组的解法．
【知识梳理】
1.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．
2.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，
叫做二元二次方程组。
3.解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和 “降次”将二元转化为一元是
消元，
将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些
方法和技巧是解二元二
次方程组的关键。
【高效演练】
1.下列方程组是二元二次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
?
y?x
2
2．方程组
?
有两组不同的实数解，则（
）
y?x?m
?
A、
m
≥
?
11
B、
m
＞
?
44
C、
?
11
＜
m
＜
D、以上答案都不对
44
?
y?x
2
2
【解析】方程组<
br>?
有两组不同的实数解，两个方程消去y得，
x?x?m?0
，
?<
br>y?x?m
需要△＞0，即1+4m＞0，所以
m
＞
?
【答案
】B
3.请你写出一个以和为解的二元二次方程组，这个方程组可以是 ．
1
4
.
【分析】根据两方程知x和y的值相等且平方和为2，据此可得．
【解析】解：这个方程组可以是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查列方程组的能力，根据已知方程得出x、y间满足的数量关系是解题的关键．
4.阅读材料，解答问题：
我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，
实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下：
解：由②得：y=2x﹣5 ③
将③代入①得：x+（2x﹣5）=10
整理得：x﹣4x+3=0，解得x
1
=1，x
2
=3
将
x
1
=1，x
2
=3代入③得y
1
=1×2﹣5=﹣3，y
2
=2×3﹣5=1
∴原方程组的解为，．
2
22
（1）请你用代入消元法解二元二次方程组：；
（2）若关x，y的二元二次方程组有两组不同的实数解，求实数a的取信范围．
【分析】（
1）先消去一个未知数再解关于另一个未知数的次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即
可； <
br>（2）先消去一个未知数，得到关于另一个未知数的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解答即可
．
（2）由①得，y=1﹣2x③，
把③代入②得，ax+（1﹣2x）+2x+1=0，
整理得，（a+4）x﹣2x+2=0，
由题意得，4﹣4×2×（a+4）＞0，
解得a＜﹣，
∵a+4≠0，
∴a≠﹣4，
∴a＜﹣且a≠﹣4． <
br>【点评】本题考查的是高次方程的解法，掌握代入消元法的一般步骤和一元二次方程根的判别式的应用是<
br>解题的关键．
5.解下列方程组
2
22
?
x
2
?y
2
?26
(1)
(1)
?
?
xy?5
(2)
（2）
?
?
x?2y?4 (1)
；
?
2xy??21
(2)
?
x
2
?4xy?4y
2
?x?2y?2?0
(1)
（3）
?
；
3x?2y?11?0
(2)
?
【解析】（1） (1) +(2)
?2
得：
x?y?2x
y?36?(x?y)?36?x?y?6或x?y??6
，
(1) -(2)
?
2
得：
x?y?2xy?16?(x?y)?16?x?y?4或x?y??4
．
解此四个方程组，得原方程组的解是：
222
222
?x
1
?5
?
x
2
?1
?
x
3
??1
?
x
4
??5
．
,
?
,
?
,
??
?
y
1
?1
?
y
2
?5
?
y
3
??5
?
y
4
?
?1
（2）∵方程①是x与2y的和,方程②是x与2y的积,
∴x与2y是方程z-4z
-21=0的两个根解此方程得:z
1
=-3,z
2
=7,
∴
?
2
?
x??3
?
x?7
或
?
,
?
2y?7
?
2y??3
?
x
1<
br>??3
?
x
2
?7
??
∴原方程组的解是
?
7
,
?
3
y?y??
12
?
?2
?
?2
（3）(用代入法)
由②得:
y?
11?3x
③
2
)
2
+x--2=0. 把③代入①得:
x
2
-
整理得:4x
2
-21x+27=0
∴x
1
=3 x
2
=.
+4(
把x=3代入③ 得:y=1
把x=代入④ 得:y=.
9<
br>?
x?
?
x
1
?3
?
?
2
4
,
?
∴原方程组的解为:
?
17
y?1<
br>?
1
?
y?
2
?
8
?
2
ì
?
y-4x-2y+1=0......(1)
6.k为何值时，方程组
í<
br>
y=kx+2......(2)
?
?
（1）有两组相等的实数解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解。
【分析】分析：先用代入
法消去未知数y，可得到关于x的一元方程，如果这个一元方程是一元二次方程，
那么就可以根据根的判
别式来讨论。
【解析】（1）将(2)代入(1)，整理得kx+(2k-4)x+1=0....
..............(3)
22
2
ì
?
k
?
0
当
í
时，方程(3)有两个相等的实数根。
?<
br>?
V=0
2
ì
?
k
?
0
即
í
22
?
(2k
-
4)
-
4k
=
0
?
ì
?
k
?
0
解得：
í<
br>
?
?
k=1
k=1。
∴
当k=1时，原方程组有两组相等的实数根。
2
ì
?
k
?
0
（2）当
í
时，方程(3)有两个不相等的实数根。
?
?V>0
2
ì
?
k
?
0
即
í
22
?
?
(2k
-
4)
-
4k
>
0
ì
?
k
?
0
解得：
í
k<1且k≠0.
k<1
?
?
∴当k<1且k≠0时，原方程组有两组不等实根。
（3）因为在（1）、（2）中已知方程组有两组解，可以确定方程(3)是一元二次方程，
但在此问中不能确定方程(3)是否是二次方程，所以需两种情况讨论。
2
ì?
k
?
0
(i)若方程(3)是一元二次方程，无解条件是，
í
，
?
?
V<0
2
ì
ì
?
k?
0
?
k
?
0
即
í
；解得：
í
22
?
?
?
k>1
?
(2k
-
4)
-
4k
<
0
k>1。
(ii)若方程(3)不是二次方程，则k=0，此时方程(3)为-4x+1=0，它有实数根.
x=
综合(i)和(ii)两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根。
1
4
【点评】使用判别式“Δ”的前提条件是能确定方程为一元二次方程
，不是一元二次方程不能使用Δ。
7.二元二次方程组
求常数n，t的值．
【分析
】将y
1
=2，y
1
=2，代入原方程组可以得到x与n的关系，然后代入，
可以求得y
2
的值，
有两个实数解和，其中y
1
=2，且，
再将方程组
的值．
中的x消去即可得到关于y的一元二次方程，然后根据韦达定理即可求得n和t
由方程组
2222
，消去x，
得（n+4）y+4ny+4（n﹣t）=0，
由韦达定理，得，
解得．
【点评】本题考查高次方程，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
第1讲
简单的二次方程组的解法
本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习
的需要，共同学习简单的二次方程组及一
元二次不等式的解法。
探究一
简单的二次方程组的解法
在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方
程组的解法，掌握了用消元法解二
元一次方程组．高中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法
．因此，本讲讲介绍简单的二元二
次方程组的解法．
【知识梳理】
1.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．
2.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，
叫做二元二次方程组。
3.解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和 “降次”将二元转化为一元是
消元，
将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解
二元二
次方程组的关键。
探究1:
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组
一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的
方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：
将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．
?
2x?y?0
(1)
【典例解析】解方程组
?
2
2
?
x?y?3?0 (2)
【分析】由于方程(1)是二元一次方
程，故可由方程(1)，得
y?2x
，代入方程(2)消去
y
．
【解析】 由(1)变形得：
y?2x
(3)
将(3)代入(2)得
：
x?(2x)?3?0
，解得：
x
1
?1或x
2
??1
把
x?1
代入(3)得：
y
2
?2
；把
x??1
代入(3)得：
y
2
??2
．
∴
原方程组的解是：
?
22
?
x
1
?1
?
x
1
??1
．
或
?
?
y
1
?2<
br>?
y
1
??2
【解题反思】 (1)
解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：
①由二元一次方程变形为用
x
表示
y
的方程，或用
y
表示
x
的方程(3)；
②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；
③解消元后得到的一元二次方程；
④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；
⑤写出答案．
(2) 消
x
，还是消
y
，
应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小
的，如方程
x
?2y?1?0
，可以消去
x
，变形得
x?2y?1
，再代入消元．
(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方
程求
另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．
【变式训练】解方程组
?
?
x?y?11 (1)
?
xy?28 (2)
【分析】本题可以用代入消元法解方程组
，但注意到方程组的特点，可以把
x
、
y
看成是方程
z
2
?11z?28?0
的两根，则更容易求解．
【点评】(1) 对于这种对称性的方程组
?
知数要换成异于
x
、<
br>y
的字母，如
z
．
(2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解
?
?
x?y?a
，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未
xy?b
?
?
x?4
?
x?7
，则必有解
?．
?
y?7
?
y?4
探究2:由两个二元二次方程组成的方程组
（1）可因式分解型的方程组
方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原
方程组可转化为两个方程组，其中每
个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．
22
?
?
x?y?5(x?y)
(1)
【典例解析】解方程组
?
2
2
?
?
x?xy?y?43 (2)
22【分析】注意到方程
x?y?5(x?y)
，可分解成
(x?y)(x?y?5)
?0
，即得
x?y?0
或
x?y?5?0
，
则可得到两个二
元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．
【解题反思
】由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方
程，则原方
程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．
2
?
?
x?xy?12
(1)
【变式训练】解方程组
?
2
?
?
xy?y?4 (2)
【分析】本题的
特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的
方程．对其因式
分解，就可以转化为上例．
【解析】(1)
–(2)
?3
得：
x?xy?3(xy?y)?0
即
x?2xy?3y?0?(x?3y)(x?y)?0
∴
x?3y?0或x?y?0
22
22
?
x?3y?0
?
x?y?0
∴
原方程组可化为两个二元一次方程组：
?
．
,
?
22
?<
br>xy?y?4
?
xy?y?4
?
x
1
?3
?
x
2
??3
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：
?
．
,
?
y?1y??1
?
1
?
2
【点
评】若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中
的任
一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．
（2）可消二次项型的方程组
【典例解析】解方程组
?
?
xy?x?3
(1)
?
3xy?y?8 (2)
【分析】注意到两个方程都
有
xy
项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元
一次方
程和一个二元二次方程组成的方程组．
【解题反思】若方程组的两个方程的
二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一
次方程，把它与原方程组的任意一个
方程联立，解此方程组，即得原方程组的解．二元二次方程组类型多
样，消元与降次是两种基本方法，具
体问题具体解决。
【变式训练】1.解二元二次方程组．
【分析】
2
，②﹣①×2可得：y=2﹣3x，
代入①化为：11x﹣46x+8=0，解得x，进而解得y．
【解答】
②﹣①×2可得：y=2﹣3x，
代入①化为：11x﹣46x+8=0，
解得x=，x=4．
2
，
∴，或．
∴原方程组的解为：，或．
【点评】观察方程组通过加减消元法，消去二次项，得到二元一次方程，代入可解，先降次再消元。
2.解二元二次方程组．
【分析】，①﹣②×2可得：x﹣x=0，解得x，进而解得y．
2
【解答】解：
2
，
①﹣②×2可得：x﹣x=0，解得x=0或1．
∴，，，
，
．
，，． ∴原方程组的解为：
【点评】观察方程组通过加减消元法，消去二次项，进而求解。考
查了推理能力与计算能力。
第2讲 一元二次不等式的解法
本专题在初
中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一
元二次不等式
的解法。
【知识梳理】
一元二次不等式的解：
函数、方程与不等式
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
＞0)的图象
一元二次方程
有两相等实根
有两相异实根
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0
(
a
＞0)的根
x
1
＝
x
2
＝
－
x
1
,
x
2
(
x
1
＜
x
2
)
无实根
b
2
a
b
一切实数
ax
2
＋
bx
＋
c
＞0
(
a
＞0)的解集
x
或
x
>
x
2
x≠－
2
a
无解
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0
(
a
＞0)的解集
x
1
＜
x
＜
x
2
无解
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次<
br>项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的
结论去解不等式．
【高效演练】
1.下列哪个不等式是一元二次不等式（ ）
A．x+
2
2
x＜﹣1
B．x+
2
+1＜0
C．x++1＜0
【解析】只有
D．x+1＜0
是一元二次不等式，而+1＜0含有根式，没有定义次数，
0是分式不等式，不定义次数，
x+1＜0是一元一次不等式．故选：A．
【答案】A
2．不等式
?x
2
?3x?2?0
的解集是（
）
A．
x?2
或
x?1
C．
1?x?2
2
B．
x?2
或
x?1
D．
1?x?2
2
【解析】由
?x?3x?2?0
，可得；
x?3x?2?0?(x
?1)(x?2)?0
，
所以原不等式的解集为
1?x?2
。
【答案】C
3.一元二次不等式ax+bx+c＜0的解集为R，则必有（ ）
A．
B．
2
C．
D．
【分析】由题意，结合图象与二次函数的性质得到答案．
4.一元二次不等式2kx+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围是（
）
A．
?3?k?0
B．
?3?k?0
2
C．
?3?k?0
D．
k??3或k?0
【分析】由二次项系数小于0，对应的判别式小于0联立求解．
【解答】解：由一元二次不等式2kx+kx﹣＜0对一切实数x都成立，
2
则，解得﹣3＜k＜0．
2
综上，满足一元二次不等式2kx+kx﹣＜
0对一切实数x都成立的k的取值范围是
?3?k?0
【答案】A
【点评
】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了“三个二次”的结
合解题
。
5.已知二次函数y=﹣x+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x+2x
+m＜0的解集为 ．
22
【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数图象与
x轴的另一个交点，再写出x轴下方部分的x的取值
范围即可．
【点评】本题考查
了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性以及数形结合的思想，难点在于先
求出函数图象与x
轴的另一个交点坐标．
6.解下列不等式：
(1)
x
－7
x
＋12＞0；
(2)
x
－2
x
＋1＜0；
2
2
(3)－
x
－2
x
＋3≥0；
(4)
x
－2
x
＋2＞0.
【解析】(1)方程
x
－7
x
＋12＝0的解为
x
1
＝3，
x
2
＝4.
而
y
＝
x
－7
x
＋12的图象
开口向上，可得原不等式
x
－7
x
＋12＞0的解集是
x
＜
3或
x
＞4.
(2)方程
x
－2
x
＋1＝0有两
个相同的解
x
1
＝
x
2
＝1.
而
y＝
x
－2
x
＋1的图象开口向上，可得原不等式
x
－2
x
＋1＜0的解集为无解
(3)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为
x
＋2
x
－3≤0.
方程
x
＋2
x
－3＝0的解为
x
1
＝－3
，
x
2
＝1.
而
y
＝
x
＋2
x
－3的图象开口向上，可得原不等式－
x
－2
x
＋3≥0的解集是－
3≤
x
≤1．
(4)因为Δ＜0，所以方程
x
－2
x＋2＝0无实数解，而
y
＝
x
－2
x
＋2的图象开口向
上，
可得原不等式
x
－2
x
＋2＞0的解集为一切实数。
7.已知一元二次不等式x﹣ax﹣b＜0的解集是1＜x＜3；
（1）求实数a，b的值；
（2）解不等式 ．
2
2
2
22
22
2
2
22
2
22
2
2
2
【分析】（1）由题意可得1
和3是x﹣ax﹣b=0的实数根，利用韦达定理求得 a和b的值．
（2）不等式即＞1，即＞0，即（x﹣3）?（x+7）＞0，解一元二次不等式，求得x的范围．
2
【解答】解：（1）因为不等式 一元二次不等式x﹣ax﹣b＜0的解集是1＜x＜3；
∴1和3是x﹣ax﹣b=0的实数根，
∴1+3=a，1×3=﹣b，即
a=4，b=﹣3．
（2）不等式＞1，即为＞1，即＞0，
2
即（x﹣3）?（x+7）＞0，
∴x＞3，或 x＜﹣7，
故原不等式的解集为x＞3或 x＜﹣7．
【点评】本题主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题． <
br>8．不等式
x
－
ax
－
b
<0的解集为2<
x
<3，求
bx
－
ax
－1>0的解集为.
【解析】由题
意知2,3是方程
x
－
ax
－
b
＝0的解，
?<
br>?
2＋3＝
a
，
∴
?
?
2×3＝－
b
.
?
2
2
22
?
?
a
＝5，
∴
?
?
b
＝－6.
?
2
2
∴不等式
bx
－
ax
－1>0为－
6
x
－5
x
－1>0,6
x
＋5
x
＋1<
0，
∴ 解集为
-
11
23
9.解关于
x
的不等式：
ax
－(
a
+1)x
+1＜0
【解析】若
a
=0，原不等式
?
－
x
+1＜0
?
x
＞1；
若
a
＜0，原不等式<
br>?
x?(1?)x?
2
2
1
a
111
?0?
(x?)(x?1)?0?x?
或
x?1
；
aaa
11
?0?(x?)(x?1)?0
，
aa
若a
＞0，原不等式
?
x?(1?)x?
2
1
a
其解的情况应由
1
与1的大小关系决定，故
a
（1）当a=1时，原不等式
?
无解；
（2）当
a
＞1时，原不等式
?
1
?x?1
；
a
第2讲 一元二次不等式的解法
本专题在初中学
习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一
元二次不等式的解
法。
问题1：
二次函数
y
＝
x
－
x
－6的对应值表与图象如下：
2
x
y
－3
6
－2
0
－1
－4
0
－6
1
－6
2
－4
3
0
4
6
观察：由对应值表及函数图象可知
当
x
＝－2，或
x
＝3
时，
y
＝0，即
x
－
x
＝6＝0；
当
x
＜－2，或
x
＞3时，
y
＞0，即
x
－
x
－6＞0；
当－2＜
x
＜3时，
y
＜0，即
x<
br>－
x
－6＜0．
思考：这就是说，如果抛物线
y
=
x
－
x
－6与
x
轴的交点是(－2，0)与(3，0)，
那么一元二次方程
x
－
x
－6＝0的解就是
x
1
＝
－2，
x
2
＝3；
同样，结合抛物线与
x
轴的相关位置，
可以得到一元二次不等式
x
－
x
－6＞0的解是
x
＜－2，
或
x
＞3；一
元二次不等式
x
－
x
－6＜0的解是－2＜
x
＜3．
上例表明：由抛物
线与
x
轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．
问题2：对于一般的一元二次不等式
ax
＋
bx
＋
c
＞0(
a
≠0)怎样解呢？
【归纳总结】
一元二次不等式的解：
函数、方程与不等式
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
2
2
2
2
2
2
2
2
二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
＞0)的图象
一元二次方程
有两相等实根
有两相异实根
ax
＋
bx
＋
c
＝0
(
a
＞0)的根
2
x
1
＝
x
2
＝
－
x
1
,
x
2
(
x
1
＜
x
2
)
无实根
b
2
a
b
一切实数
ax
2
＋
bx
＋
c
＞0
(
a
＞0)的解集
x
或
x
>
x
2
x≠－
2
a
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0
(
a
＞0)的解集
x
1
＜
x
＜
x
2
无解
无解
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论
直接求解；如果二次
项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零
的形式，再利用上面的
结论去解不等式．
【典例解析】解下列一元二次不等式：
（1）
x
＋2
x
－3≤0；
（2）
x－x
＋6＜0；
（3）4
x
＋4
x
＋1≥0；
（4）
x
－6
x
＋9≤0；
（5）－4＋
x
－
x
＜0．
2
2
2
2
2
（4）整理，得(
x
－3)≤0.由于当
x
＝3时，(
x
－3)＝0成立；而对任意的实数x
，(
x
－3)＜0都不成立，
∴原不等式的解为
x
＝3．
（5）整理，得
x
－
x
＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．
【解题反思】注意一元二次不等式的
解题步骤为一看（二次项系数的正负）；二判（Δ的情况）；三算（有
根求根）； 四写出解集。
【变式训练】
1.解下列不等式：
（1）
?x?2x?2?0
；
2
2
222
x?1
?0
；
（2）
x?3
【解析】（1）原不等式可化为
x?2x?2?0
，
∵
??12?0
，方程
x?2x?2?0
的两根是
2
2
x
1
?1?3,x
2
?1?3
，
∴原不等式的解集为
x?1?3或x?1?3
．
?
(x?1)(x
?3)?0
x?1
?0?
?
（2）原不等式等价于
；
x?3
?
x?3?0
∴原不等式的解集为
?3?x?1
．
2.已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图所示
），其中图象与横轴
的正半轴交点为（2，0），由图象可知：
①当
时，函数值随着x的增大而减小；
②关于x的一元二次不等式ax+bx+c＞0的解是 ．
2
2
【分析】①根据二次函数的开口方向以及对称轴得出答案即可；
②利用关于x的一元二次不等式ax+bx+c＞0的解，即为：y＞时，求出x的取值范围求出即可．
【解析】∵二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2），图象与横轴的正半
轴交点为（2，0），
∴图象的对称轴为：x=﹣1，图象与横轴的负半轴交点为：（﹣4，0）；
①∵图象开口向上，∴a＞0，∵图象的对称轴为：x=﹣1，
∴当x＜﹣1时，函数值随着x的增大而减小；
②关于x的一元二次不等式ax+
bx+c＞0的解即为：y＞时，求出x的取值范围：x＞2或x＜﹣4．
故答案为：①＜﹣1；②x＞2或x＜﹣4．
2
2
2
【点评】主要考查了利用函数图象求自变量
的取值范围以及二次函数的增减性等知识，根据图象得出是解
题关键
2
3.已知不等
式
ax?bx?c?0(a?0)
的解是
x?2,或x?3
求不等式
bx?ax?c?0
的解．
2
【点评】本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
4.关于x的一元二次不等式2kx+kx﹣＜0的解集为R，求实数k的取值范围．
2
【分析】（1）由题意得
【解析】由题意得：
，
，由此能求出实数k的取值范围．
不等式（2）化作：k+3k＜0，
解得：﹣3＜k＜0．
则实数k的取值范围是﹣3＜k＜0．
【点评】已知不等式解集的情况，求参数。可通过根的判别式来建立不等式求参数值。
5.解关于
x
的一元二次不等式
x?ax?1?0(a
为实数).
【分析】对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要
求,
欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式
?
的符号,而这里的
?是关于未知系数的代数式,
?
的符号取
决于未知系数的取值范围，因此,再根据
解题的需要,对
?
的符号进行分类讨论.
【解析】由
?
?a?4
,
①当
??0,即a??2或a?2时,
方程
x?ax?1?0
的解为；
2
2
2
2
?a?
a
2
?4?a?a
2
?4
x
1
?,x
2<
br>?.
22
?a?a
2
?4?a?a
2
?4
所以,原不等式的解集为
x?
；
,
或
x?
22
②当Δ＝0，即
a
＝±2时，原不等式的解为
x
≠－ ；
2
综上,当
a
≤－2，或
a
≥2时，为原不等式的解。 <
br>【点评】求解
x?ax?1?0
，由于
?
含有参数，使
?的值不确定，故需要对
?
分三种情况处理。
2
a
第1讲
解直角三角形
三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，
很多较复杂的图形问
题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等
部分都有密切的联系，
因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。
【知识梳理】
知识点1. 三角形及其性质
（1）由不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，称为三角形；
（2）三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（3）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
知识点2. 解直角三角形
在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，∠
A
，∠B
，∠
C
的对边分别为
a
，
b
，
c<
br>.
222
(1)三边之间的关系：
a
＋<
br>b
＝
c
；
(2)两个锐角之间的关系：∠
A
＋∠
B
＝90°；
(3)边角之间的关系：sin
A
＝，cos
A
＝，tan
A
＝； sin
B
＝，cos
B
＝，tan
B
＝.
（4）三角函数值之间的关系
sin
α
22
①同角三角函数之间的关系：sinα＋cosα＝1；tan α＝.
cos
α
②互余两角的三角函数关系：若∠
A
＋∠
B
＝90°，则sin
A
＝cos
B
或sin
B
＝cos
A
.
（5）特殊锐角的三角函数值
α
30°
45°
60°
直角三角形是一种特殊的三角形，因为
有勾股定理及锐角三角函数的运用，使它的边角关系更加丰富，
同时也为高中学习解三角形和三角函数，
提供了很好的阶梯。
【高效演练】
1.
在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为( )
sin α
cos α
tan α
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
3
3
1
a
c
b
c
a
b
b
c
a
c
b
a
3
A. B.
C. D.
【解析】分析：根据格点的特征及勾股定理结合余弦的定义即可求得结果.
由图可得
【答案】B
，故选B.
2.如图，已知
l
1
∥
l
2
∥
l
3
，相邻两条平行直线间
的距离相等，若等腰直角△
ABC
的三个顶点分别在这三条平
行直线上，则sin
α的值是( )
16510
A.
B. C. D.
317510
【答案】D
【解题反思】根据锐角三角函数的定义，代入边的长度求出三角函数值，最好用数
形结合的思想画出图形
帮助分析求解决此类问题的关键是将所求的角放在直角三角形中，并求出直角三角
形的边长.
3.
如图，AB是电线杆BC的一根拉线，测得BC＝6米，∠ABC＝42°，则拉线AB的长为( )
A. 6·cos42°米 B. 米
C. 米 D. 米
，代【解析】分析：首先根据电线杆一定与地面垂直可知△AB
C是直角三角形，然后再根据cos∠ABC＝
入相关数值即可得出结论.
在Rt△ABC中，BC=6，∠ABC=42°，
∴cos∠ABC=
即cos42°=
∴AB=
【答案】D
，
，
m. 故选：D.
4．如图，在四边形
ABCD中，
E
，
F
分别是
AB
，
AD
的中点
，若
EF
＝2，
BC
＝5，
CD
＝3，则tan
C
等于( )
3434
A.
B. C. D.
4355
【解析】：如图所示，
连结
BD
.由三角形中
位线定理，得
BD
＝2
EF
＝2×2＝4.
又∵
BC＝5，
CD
＝3，∴
CD
＋
BD
＝
BC
，
∴△
BDC
是直角三角形且∠
BDC
＝90°，
222
BD
4
∴tan
C
＝＝.故选B.
CD
3
【答案】B
5．在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，
AB
＝2
BC
，现给出下列结论：①sin
A<
br>＝
＝3，其中正确的结论是 (只需填上正确结论的序号)．
【解
析】∵在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，
AB
＝2
BC
，∴∠
A
＝30°，∠
B
＝60°，
113
∴sin
A
＝，cos
B
＝，tan
A
＝，tan
B
＝3，故②③④正确．
223
【答案】②③④
313
；②cos
B
＝；③tan
A
＝；④tan
B
223
AB<
br>2
6．如图，将矩形
ABCD
沿
CE
折叠，点
B恰好落在边
AD
的
F
处，如果＝，那么tan∠
DCF
的值
BC
3
是 ；
7． 如图，在小山的东侧
A
点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米分的速度
沿与地面成75°角的
方向飞行，25分钟后到达
C
处，此时热气球上的人测得小山西
侧
B
点的俯角为30°，则小山东西两侧
A
，
B
两点间的距
离为 米．
【解析】：如图，过点
A
作
AD
⊥
BC
，垂足为
D
，
在Rt△
ACD
中，∠
ACD
＝75°－30°＝45°，
AC
＝30×25＝750(米
)，
∴
AD
＝
AC
·sin 45°＝3752(米)．
在Rt△
ABD
中，∵∠
B
＝30°，∴
AB
＝2
AD
＝7502(米)．
【答案】7502
8. 如图所示，已知⊙O是△AB
C的外接圆，AD是⊙O的直径，连结CD，若AD＝3，AC＝2，则cosB的值为
_______
_．
【解析】分析：根据圆周角定理的推论，得∠B=∠D．根据直径所对
的圆周角是直角，得∠ACD=90°．在直
角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD=，则cosD
=
解：∵
AD
是⊙
O
的直径，
∴∠
ACD
=90°.
∵
AD
=3，
AC
=2，
∴
CD
=.
∴cos
D
==
=，由同弧所对的圆周角相等即可求得cosB的值．
∴cosB=，故答案为：.
【答案】
【解题反思】：本题考查了圆周角定理：再
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径
）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，也考查了
勾股定理和锐角三角函数..
9. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于点E.若BC
＝4，△AOE的面积
为5，则sin∠BOE的值为________．
【解析】如图，过点O作OH⊥AE于点H，连接CE。
∵矩形ABCD中，AO=BO，AB⊥BC，BC=4，
∴由三角形的中位线定理，得OH=2。
∵△AOE的面积为5，∴AE=5。
∵AO=OC，OE⊥AC，即EO是AC的垂直平分线，∴CE= AE=5。
在Rt△EBC中，BC=4，CE=由勾股定理得EB=3。
∵OE⊥AC，AB⊥BC，即∠EBC=∠EOC=90
0
，
∴点O，C，B，E在以CE为直径的圆上，∴∠BOE=∠BCE。
∴sin∠BOE=sin∠BCE=
【答案】
10.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，AB＝5
CE＝7.
求（1）AE的长；
（2）sin∠BCE的值．
，点E在AB上，∠AED＝45°，DE＝6，
。
【解析】分析：已知
Rt△DAE中，∠AED=45°，DE=6，利用∠AED的余弦，即可求出AE的长度；由图形中
的隐含条件BE=AB-AE可求出BE的长，接下来在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义，即可得到s
in∠BCE
的值.
1
11．如图，在△
ABC
中，<
br>AD
是
BC
边上的高，
AE
是
BC
边上的中
线，∠
C
＝45°，sin
B
＝，
AD
＝1.
3
(1)求
BC
的长；
(2)求tan∠
DAE
的值．
【解析】
(1)在△
ABC
中，∵
AD
是
BC
边上的高，
∴∠
ADB
＝∠
ADC
＝90°.在△
ADC
中，
∵∠
ADC
＝90°，∠
C
＝45°，
AD
＝1，
∴
DC
＝
AD
＝1.在△
ADB
中，
1
∵∠
ADB
＝90°，sin
B
＝，
AD
＝1，
3
∴
AB
＝＝3，∴
BD
＝
AB
－
AD
＝22，
sin
B
∴
BC
＝
BD
＋
DC
＝22＋1.
(2)∵
AE
是
BC
边上的中线，
11
∴
CE
＝
BC
＝2＋，
22
1∴
DE
＝
CE
－
CD
＝2－，
2
A
D
22
DE
1
∴tan∠
DAE
＝＝2－.
AD
2
12． 如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的
知识测量侧面支架的最高点
E
到地面的距离
EF
.经测量，支架的立柱
BC
与地面垂直，即∠
BCA
＝90°，且
BC
＝1.5
m，点
F
，
A
，
C
在同一
条水平线上，
斜杆
AB
与水平线
AC
的夹角∠
BAC
＝30°，
支撑杆
DE
⊥
AB
于点
D
，该支架的边
BE
与
AB
的夹角∠
EBD
＝60°，
又测得
AD
＝
1 m．请你求出该支架的边
BE
及顶端
E
到地面的距离
EF
的长度．
【解析】如图，过点
B
作
BH
⊥
EF
于点
H
，∴四边形
BCFH
为矩形，
BC
＝
HF<
br>＝1.5 m，
∠
HBA
＝∠
BAC
＝30°.
在Rt△
ABC
中，∵∠
BAC
＝30°
，
BC
＝1.5 m，∴
AB
＝3 m．∵
AD
＝1 m，
∴
BD
＝2 m．在Rt△
EDB
中，∵∠
EBD
＝60°，∴∠
BED
＝90°－60°＝30°，∴
EB
＝2
BD
＝2×2＝4(m)．又
∵∠
HBA
＝∠
BAC
＝30°，
∴∠
EBH
＝∠
EBD
－∠
HBD
＝30°，
1
∴
EH
＝
EB
＝2(m)，
2
∴EF
＝
EH
＋
HF
＝2＋1.5＝3.5(m)．
答：该支架的边
BE
为4
m，顶端
E
到地面的距离
EF
的长度为3.5 m.
第1讲
解直角三角形
三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，
很多较复杂的图形问
题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等
部分都有密切的联系，
因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。
【知识梳理】
知识点1. 三角形及其性质
（1）由不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，称为三角形；
（2）三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（3）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
知识点2. 解直角三角形
在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，∠
A
，∠B
，∠
C
的对边分别为
a
，
b
，
c<
br>.
2
(1)三边之间的关系：
a
＋
b
＝
c
；
22
(2)两个锐角之间的关系：∠
A
＋∠
B
＝90°；
(3)边角之间的关系：sin
A
＝，cos
A
＝，tan
A
＝； sin
B
＝，cos
B
＝，tan
B
＝.
（4）三角函数值之间的关系
a
c
b
c
a
b
b
c
a
c
b
a
sin α
22
①同角三角函数之间的关系：sinα＋cosα＝1；tan α＝.
cos
α
②互余两角的三角函数关系：若∠
A
＋∠
B
＝90°，则sin
A
＝cos
B
或sin
B
＝cos
A
.
（5）特殊锐角的三角函数值
α
30°
45°
60°
直角三角形是一种特殊的三角形，因为
有勾股定理及锐角三角函数的运用，使它的边角关系更加丰富，
同时也为高中学习解三角形和三角函数，
提供了很好的阶梯。
3
【典例解析】1.在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，若
AB
＝4，sin
A
＝，求斜边上的高CD.
5
sin α
cos α
tan α
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
3
3
1
3
【分析】在Rt△
ABC
中，由
AB
与sin
A
的值，求出
BC
的长，根据勾股定理求出
AC
的长，
再根据面积法求出斜边上的高
CD
的长．
31216
【解析】
sin
A
＝，
AB
＝4，∴
BC
＝
AB
·sin
A
＝.由勾股定理可得
AC
＝，
555
48
由面
积法，∵
AB
·
CD
＝
AC
·
BC
，∴<
br>CD
＝.
25
【解题反思】解直角三角形时，结合图形，尽可能使用题目中给
出的原始数据，一般常把锐角三角函数与
勾股定理结合使用.
【典例解析】2.天塔是天津市
的标志性建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，他们在点
A
处测得天塔的最高
点
C
的仰角为45°，再往天塔方向前进至点
B
处测得天塔的最高点
C
的仰角为54°，
AB
＝112
m．根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度
CD
.(tan
36°≈0.73，结果保留整数)
【分析】在等腰三角形ADC
中，
AD
＝
CD
，而
AD
＝
A
B
＋
BD
＝112＋
BD
，所以
BD
＝
C
D
－112，故又可以在直角三
角形
BDC
中，利用∠
BCD
的正切把
BD
和
CD
联系在一起．
【解题反思】仰角
、俯角问题是常见的实际问题，一般题目中会出现两个不同的仰角、俯角或一个仰角、
一个俯角.解决此
类问题时，一般是先设出未知数，用同一个未知数表示问题中不同的未知量，然后根据问
题中的数量关系
列出方程求解.
【变式训练】1.如图，在△
ABC
中，
AD<
br>⊥
BC
于点
D
，
AB
＝8，∠
ABD
＝30°，∠
CAD
＝45°，求
BC
的长．
【分析
】问题为求BC，结合AD⊥BC，可转化到图中的Rt△ABD和Rt△ADC中分别解直角三角形求得； <
br>【解析】∵
AD
⊥
BC
于点
D
，∴∠
ADB
＝∠
ADC
＝90°.
在Rt△
ABD
中，∵
A
B
＝8，∠
ABD
＝30°，
1
∴
AD
＝
AB
＝4，
BD
＝3
AD
＝43.
2
在Rt△
ADC
中，∵∠
CAD
＝45°，
∴
DC
＝
AD
＝4.∴
BC
＝
BD
＋
DC
＝43＋4.
【点评】解三角形问题需增强图形的观察能力，将所求的线段分解是一种常见的思路。
【变式训练】2.将一副三角板如图所示叠放在一起，求的值.
BE
CE
【分析】由问题所求的线段比分别在两个三角形中，需联系相似将线段比转化为可求出得线段比；
【点评】问题较为复杂时，图形观察提供了很好的解题直觉，本题运用相似完
成了线段比的转换，然后再
运用解直角三角形解决。
【变式训练】3.某学校校门是伸缩门(
如图①)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校
门关闭时，每个菱形的锐角度
数为60°(如图②)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如
图③)．问：校门
打开了多少米？
(结果精确到1米，参考数据：sin
5°≈0.087 2，cos 5°≈0.996 2， sin 10°≈0.173 6，cos
10°≈0.984
8)
∴校门打开的宽度为6－1.046
4＝4.953 6≈5(米)．故校门打开了5米．
【点评】对于应用性问题，需通过阅读题意，转化为相应的数学模型，然后运用解三角形的知识解决。
第2讲 三角形的重心、垂心、外心和内心
三角形是最重要的基本平面图形，它包
含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问
题可以化归为三角形的问题。三角形与高中
三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，
因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步
学习的基础。
初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些
性质。如三角形角平
分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端
点的距离相等，诸如
此类。
在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高
线交点（垂心）、三条边的垂直平分
线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要
进一步了解它们的性质。
【知识梳理】
三角形的四心
(1)角平分线：三角形的
三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．
(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心．
(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．
(4)垂直平分线：三角
形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距
离相等．
【高效演练】
1．如图所示，在△
ABC中，点
P
是△
ABC
的内心，则∠
PBC
＋∠
PCA
＋∠
PAB
＝ 度．
2．设
M
为
△ABC
的重心，且
AM?3
，
BM?4
，
CM?5
，则
△ABC
的面积为 ．
【解析】由
AM?3
，
BM?4
，
CM?5
，有
AM
2
?BM
2
?CM
2
，
知两中线
AD
，
BE
垂直．
于是
S
△ABC
?
【答案】18
3．已知
H、
O
分别为锐角
△ABC
的垂心和外心，
OD?BC
，
垂足为
D
，则
AH∶OD?
________．
【解析】可延长<
br>BO
交
△ABC
的外接圆于
E
，证明四边形
AHCE
为平行四边形即可．
【答案】2∶1
4.
如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，在OB上任取一点P，连结AP，过D作AP垂线
交OA于Q点．
求证：OP＝OQ．
3
?AM?BM?18
．
2
【解析】
在△APD中，由AO⊥PD，DQ⊥AP可知，点Q是△APD的垂心，连结PQ，必有PQ⊥AD．
∵AB⊥AD，∴PQ∥BA，
∴
OPOQ
?
OBOA
又∵OA＝OB，∴OP＝OQ．
5.
如图3，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D作DE⊥AC于点E，G是DE的中点，
求证：AG⊥BE．
6.求证：三角形的三条高交于一点.
已知
VABC
中，
AD^BC于D,BE^AC于E，
AD与
BE
交于
H
点.
求证
CH^AB
.
证明
以
CH
为直径作圆，
QAD^BC,BE^
AC,?HDC
D、E
在以
CH
为直径的圆上，
?HEC90
o
,
?FCB?DEH
.
?BAD
. 同理，
E
、
D
在以
AB
为直
径的圆上，可得
?BED
?BCH?BAD
，
又
VABD
与
VCBF
有公共角
?B
，
?CFB?ADB90
o
，即
CH^AB
.
7.（1）设G是△ABC的重心，证明：△GBC，△GAC，△GAB的面积相等．
（2）利用（1）的结论，证明：三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍．
【分析】（1）设三条中线为AD，BE，CF，三中线交于G点，G是重心，由同底等高得
到S
△GBC
=2S
△GCD
，S
△GAC
=2S
△GCD
，
由此能证明△GBC，△GAC，△GAB的面积相等．
（2）设三条中
线为AD，BE，CF，三中线交于G点，G是重心，由S
△GBC
=S
△GAC，S
△GBC
=2S
△GCD
，得到S
△GAC
=2S
△GCD
，
由此能证明三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍．
（2）证明：设三条中线为AD，BE，CF，三中线交于G点，G是重心，
∵△GBC，△GAC，△GAB的面积相等，
∴S
△GBC
=S
△GAC
，
∵BD=CD，∴S
△GBC
=2S
△GCD
，
∴S
△GAC
=2S
△GCD
，
∵△AGC和△DGC在分别以AG和DG为底时，高都是点C到边AD的距离，
∴AG=2GD，同理可证CG=2GF，BG=2GE，
∴三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍．
【点评】本题考查三角形面
积相等的证明，考查三角形重心定理的证明，解题时要注意三角形面积公式的
合理运用
8.已
知三角形的三边a，b，c，三角形的重心到外接圆的距离为d，外接圆半径为R，求证：a+b+c+9d=9
R．
【分析】以△ABC的外心为原点建立坐标系，可令A、B、C的坐标依次是：（Rcosα，R
sinα）、（Rcosβ，
Rsinβ）（Rcosγ，、Rsinγ）．令AB中点为D、△ABC
的重心为（Gm，n），求出m，n，进而可证明a+b+c+9d=9R．
22222
22222
于是：
a=（Rcosβ﹣Rcosγ）
+（Rsinβ﹣Rsinγ）=R（2﹣2cosβcosγ﹣2sinβsinγ）
b=（Rco
sα﹣Rcosγ）+（Rsinα﹣Rsinγ）=R（2﹣2cosαcosγ﹣2sinαsinγ），
c=（Rcosα﹣Rcosβ）+（Rsinα﹣Rsinβ）=R（2﹣2cosαcosβ﹣2s
inαsinβ）．
9d=9[（m﹣0）+（n﹣0）]=9{[R（cosα+cosβ+cos
γ）﹣0]+[R（sinα+sinβ+sinγ）﹣0]}
=R[（cosα+cosβ+cosγ）+（sinα+sinβ+sinγ）]
=R（3
+2cosαcosβ+2cosβcosγ+2cosαcosγ+2sinαsinβ+2sinβsinγ
+2sinαsinγ）．
∴a+b+c+9d=9R．
9.一条直线截三角形，把周长<
br>l
与面积
S
分为对应的两部分：
l
1
与
l<
br>2
，
S
1
与
S
2
．
求证：直线过
三角形内心的充要条件是
l
1
S
1
?
．
l
2
S
2
22222
2
222
22222
2222
2222
2222
A
m
P
I
QC
图 12-3
n
B
【解析】证明： 必要性：如图1，设<
br>I
是
△ABC
的内心，过
I
的直线交
AB
于
P
，交
AC
于
Q
．
记
BC?a
，
CA?b
，
AB?c
，
AP?m
，
AQ?n
，
1
内
切圆半径为
r
，则
S
△ABC
?(a?b?c)?r?s
，
2
1
S
△APQ
?S
△API
?S
△AQ
I
?(m?n)?r
．
2
1
(a?b?c)?r
lS
S
2
a?b?cl
由
???
，有
1
?
1
．
1
l
2
S
2
S
1
m?nl
1
(m?n)?r
2
充分性：设直线
PQ
把△ABC
的周长
l
与面积
S
分为对应的两部分成等比
且
与
AB
交于
P
，与
AC
交
Q
，与
?A
的平分线交于
I
．
记
BC?a
，
CA?b<
br>，
AB?c
，
AP?m
，
AQ?n
，
l
1
S
1
?
，
l
2
S
2
I
到
AB
，
AC
的距离为
r
，
I
到
BC
的距离为
d
．
1111
(a?b?c)
?rb?r?c?r?a?d
l?lS?S
2
2
a?b?c
222<
br>由
12
?
得
1
??
111
l1
m?nS
1
(m?n)?rm?r?n?r
222
注意到l
1
?l
2
S
1
?S
2
?
，
从而有
ad?ar
，即
d?r
，
l
1
S
1
故
I
为
△ABC
的内心，即直线
PQ
过内心．
第2讲 三角形的重心、垂心、外心和内心
三角形是最重要的基本平面图形，它包
含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问
题可以化归为三角形的问题。三角形与高中
三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，
因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步
学习的基础。
初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一
些性质。如三角形角
平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的
点到这条边两个端点的距离相等，诸
如此类。
在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点
（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分
线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的
问题，因而有必要进一步了解它们的性质。
【知识梳理】
三角形的四心
(1)角
平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．
(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心．
(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．
(4)垂直平分线：三角
形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距
离相等．
【典例解析】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已
知：D、E、F分别为△ABC三边
BC
、
CA
、
AB
的中
点，
求证：
AD
、
BE
、
CF
交于一点，且都被
该点分成2：1.
【解析】
证明：
连结
DE
，
设
AD
、
BE
交于点
G
，
Q
D
、
E
分别为
BC
、
AE
的中点，
则
DE
AB
，且
DE=
1
AB
，
2
VGDE
∽
VGAB
，且相似比为1：2，
AG=2GD,BG=2GE
.
设
AD
、
CF
交
于点
G'
，同理可得，
AG'=2G'D,CG'=2G'F.
则
G
与
G'
重合，
AD
、<
br>BE
、
CF
交于一点，且都被该点分成
2:1
.
【
解题反思】三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，
恰好是每条中线的三等分点.
【变式训练】求证重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
已知：
G
为
VABC
的重心,
求证：
S
VABG
=S
VACG
=S
VACG
A
C
1
G
B
1
B
A
1
C
【分析】
可联系重心的性质，重心为中线的三等分点即；
GB
1
=
明；
1
BB
1
,在运用 等底，高成比例完成证
3
【点评】将重心的性质借助相似比，推出了重心关于三角形面积的性质。同时应当想到它还有其它性质。
【典例解析】已知
VABC
的三边长分别为
BC=a,AC=b,AB=c<
br>，I为
VABC
的内心，且I在
VABC
的边
BC、AC、A
B
上的射影分别为
D、E、F
，
求证：
AE=AF=
b+c-a
.
2
<
br>【解析】证明：作
VABC
的内切圆，则
D、E、F
分别为内切圆在三
边上的切点，
QAE,AF
为圆的从同一点作的两条切线，
AE=AF
，
同理，
BD
=
BF
，
CD
=
CE
.
b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD=AF+AE=2AF=2AE
；
即
AE=AF=
b+c-a
.
2
【解题反思】三角形的三
条角平分相交于一点，这个交点称为三角形的内心。内心到三角形三边的距离相
等。
【变式训练】1.若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知：
O
为三角形
ABC
的重心和内心.
求证：三角形
ABC
为等边三角形.
【解析】证明：
如图，连
AO
并延长交
BC
于
D
.
Q
O
为三角形的内心，故
AD
平分
?BAC
，
ABBD
=
（角平分线性质定理）
ACDC
Q
O
为三角形的重心，
D
为
BC
的中点，即
BD
=DC
.
AB
=1
，即
AB=AC
.
AC
同理可得，
AB
=
BC
.
VABC
为等边三角形.
【点评】等边三角形具有四心合一的性质。
【变式训练】2.在三角形ABC中，G为重心，I为内心，若AB=6， BC=5，CA=4，求<
br>三角形重心性质可得：3GI=AI+BI+CI﹣（AG+BG+CG），求得GI后代入求值即可．
2222222
的值．【分析】根据
【点评】本题考查了三角形的五心的知
识，解题的关键是了解三角形重心性质：3GI=AI+BI+CI﹣
（AG+BG+CG）．
【典例解析】在
△ABC
中，
H
为垂心，
BC?a
，CA?b
，
AB?c
，
R
为
△ABC
外接圆半
径，
求证:
AH
2
?a
2
?BH
2
?b
2
?CH
2
?c
2
．
222
2222
A
H
O
C
B
M
注此性质的证明，或由勾股定理有
AH
2
?BC
2
?AE
2
?HE
2
?B
E
2
?CE
2
=
?
AE
2
?EB
2
?
?
?
HE
2
?CE
2
?
?A
B
2
?CH
2
等，即可．
【解题反思】三角形的三条高线相交于一点为垂心，通过探究也具有丰富的性质。
【变式训练】设
△ABC
的外接圆半径为
R
，则
求证：<
br>AH?2R?cosA
，
BH?2R?cosB
，
CH?2R?cos
C
【解析】证明当
△ABC
为锐角三角形时，如图，
A
F
H
E
B
D
C
显然有
?AHE??ACB
，从而
sin?
ACB?sin?AHE?
AE
．
AH
在
Rt△ABE
中，
AE?AB?cos?BAC
，
AB?cos?BAC2R?sin?ACB?cos?BAC
??2R?cos?BAC?2
R?cosA
． 故
AH?
sin?ACBsin?ACB
同理，
B
H?2R?cosB
，
CH?2R?cosC
．
当
△ABC
为钝角三角形时，不妨设
?A
为钝角．
此时，
只需调换图中字母
A
与
H
，
E
与
F
的位置
，图形不变，
即得
AH=2R?cosA
，
BH?2R?cosB
，
CH?2R?cosC
．
当
△ABE
为直角三角形时，不妨设<
br>?A
为直角，此时，垂心
H
与
A
，
E
，F
重舍．
显然
AH?2R?cosA
，
BH?2R?cosB
，
CH?2R?cosC
．