第一讲 数与式(初高中衔接教材)

第一讲 数与式
在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表 示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简
称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式） 、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在
多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平 方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多
项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更 复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内
容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立 方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数
的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触 到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本
节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分 式”等有关内容．

一、乘法公式
【公式1】平方差公式：
a?b?(a?b)(a?b)

【公式2】完全平方公式：
(a?b)?a?2ab?b

【公式3】完全立方公式：
(a?b)?a?3ab?3ab?b

【公式4】
(a?b?c)?a?b?c?2ab?2bc?2ca
（完全平方公式）
证明：
?(a?b?c)?[(a?b)?c]?(a?b)?2(a?b)c?c


2222
2222
33223
222
22
?a
2
?2ab?b
2
?2ac?2bc?c
2
a
2< br>?b
2
?c
2
?2ab?2bc?2ca
.
?
等式成立
2
【例1】计算：
(x?2x?)

解：原式=
[x?(?2x)?]

1
3
2
12
3
111
?(x
2
)
2
?(?2x)
2
?()
2
?2x
2
(?2)x?2x
2
??2 ??(?2x)
333

8221
?x
4
?22x
3
?x
2
?x?.
339
2
2233
说明：多项式 乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．
【公式5】
(a?b)(a?ab?b)?a?b
(立方和公式)
证明:
(a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b
.
【公式6】
(a?b)(a?ab?b)?a?b
(立方差公式)
证明：< br>(a?b)(a?ab?b)?[a?(?b)][a?a(?b)?(?b)]?a?(?b)?a?b
.
【例2】计算：
22223333
2232222333
22 33
11111
n)(m
2
?mn?n
2
)
5225104
4222222
（3）
(a?2)(a?2)(a?4a?16)
（4）
(x?2xy?y)(x?xy?y)

（1）
(4?m)(16?4m?m)

2
（2）
(m?
解：（1）原式=
4?m?64?m
. < br>333
1
3
1
3
1
3
1
3
m?n
.
521258
24222336
（3）原式=
(a?4) (a?4a?4)?(a)?4?a?64
.
（2）原式=
(m)?(n)?
（4）原式=
(x?y)(x?xy?y)?[(x?y)(x?xy?y)]

2222
3
222
?(x?y)?x?2xy?y
.
说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．
【 例3】已知
x?3x?1?0
，求
x?
332636
1
的值 ．
3
x
1
2
解：
Qx?3x?1?0

?x?0

?x??3

x
2
3

1
2
111
)( x?1?
2
)?(x?)[(x?)
2
?3]?3(3
2
? 3)?18

xxx
x
说明：本题若先从方程
x
2
?3x?1?0
中解出
x
的值后，再代入代数式求值，则计算较烦．本题则根据条件< br>原式=
(x?
式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．
引申：
a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)


二、指数式
当
n?N
时，
a?a???a
.
?
?
?
a
???
n个a
?n
当
n ?Q
时，⑴零指数
a?1(a?0)
， ⑵负指数
a?
n
m
333222
n
0
1
(a?0)
.
a
n
⑶分数指数
a?
m
a
n
(a?0,m,n
为正整数).
mn m?n
幂运算法则：
(1)a?a?a
2
3
,(2)(a
m
)
n
?a
mn
,(3)(ab)
n
?a
n
b
n
(a,b?0,m,n?Z)
.

3
?
3
16
4
【例4】求下列各式的值：
8
，
100
，
()
81
?
1
2
解:
8?(2)?2
2
3
3
2
3
3?
2
3
16
?
327
2
?
2
?2?4
；
100?
1
1
?
1
1
?
1
；
(
81
)
4
?(
4
)
4
?
?3
?
3?
8
．
332
100
2
(10
2
)
2
10
2
?
1
2
1
6
5
6
4
3
?3
3
【例5】计算下列各式
⑴
(2ab)(?6ab)?(?3ab)
； ⑵
(p
解: ⑴
(2a
⑵
(pq

三、根式
式子
a(a?0)
叫做二次根式，其性质如下：


2
(1)
(a)?a(a?0)

1
4
2
3
1
2
1
2
1
3
1
4
q)．
b
11
5
??
236
3
?
88
2
3
b)(?6ab)?(?3ab)?4a
1
4
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
2 11
??
326
?4ab
0
?4a
；
3
?
8
8
)?(p)(q
8
3
?
8
8
)?pq
2?3
?
p
2
q
3
．
(2)
a
2
?|a|

(4)
bb
?(a?0,b?0)

a
a
n
如果有
x?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根，其中
n
为大于
1
的整数．
a,a?0
.
n
n< br>当n为奇数时，
n
a
n
?a
，当n为偶数时，
a?| a|?
?a,a?0
(3)
ab?a?b(a?0,b?0)

?
【例6】化简下列各式：
(1)
(3?2)
2
?(3?1)
2


解：(1) 原式=
|3?2|?|3?1|?2?3?3?1?1


(2)
(1?x)
2
?(2?x)
2
(x?1)

?
(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)
(2) 原式=
|x?1|?|x?2|?
?

(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2)
?
说明：请注意性质
a
2
?|a|
的使 用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
(1)
3
2?3
(2)
11
?

ab
(3)
2
x
?x
3
?8x

2

解：(1) 原式=
3(2?3)
(2?3)( 2?3)
?
3(2?3)
2?3
2
?6?33



a?ba
2
b?ab
2
?
(2) 原式=
abab
(3) 原式=
2
2x
?x?x
2
?2? 2
2
x?2x?xx?22x?32x?xx
.
2?2
说明：(1 )二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能
开得尽方的因 数或因式．
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分 解因数或因
3
x
式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如)或被 开方数有分母(如)．这时
2
2?3
x
x
可化为) ，转化为 “分 母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根
2
b2
3(2?3)
3
式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如化为，其中
2?3
(2?3) (2?3)
2?3
可将其化为形式(如
与
2?3
叫做互为有理化因式 )．

四、分式
当分式
a
AA
的分子、分母中至少有一 个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：
BB
(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．
x
【例8】化简
1?x
x ?
1
x?
x
x(x?1)
x?1xxxx
解法一：原式=
???
2
??
2
1?x(1?x)?xx
x
x?x ?xx
x?
2
x?
x?
x?1
(x?1)(x?1)
x?1
x?1
x
x(x?1)
xxxx?1
???
2?
解法二：原式=
(1?x)?xx(1?x)x
x
x?x?x
x?
x?x?
2
1
x?1
x?1
(x?)?x
x
说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式
AA?m
的基本性质
?
进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．
BB?m
x
2
?3x?96xx?1
??
【例9】化简 < br>x
3
?279x?x
3
6?2x
x
2
?3x ?96xx?116x?1
?????
解：原式=
(x?3)(x
2
?3x?9)x(9?x
3
)
2(3?x)x?3(x?3)(x?3)2(x?3 )
2(x?3)?12?(x?1)(x?3)?(x?3)
2
3?x
???
.
2(x?3)(x?3)2(x?3)(x?3)2(x?3)
说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；
(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．