人教a版高中数学必修一教案百度云盘-昆明高中数学教师普岗招聘真题
第一讲 数与式
在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表
示数,用代数式也可以表示数,我们把实数和代数式简
称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式)
、分式、根式.它们具有实数的属性,可以进行运算.在
多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平
方差公式与完全平方公式),并且知道乘法公式可以使多
项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更
复杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内
容,补充三个数和的完全平方公式、立方和、立
方差公式.在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数
的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触
到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本
节中要补充.基于同样的原因,还要补充“繁分
式”等有关内容.
一、乘法公式
【公式1】平方差公式:
a?b?(a?b)(a?b)
【公式2】完全平方公式:
(a?b)?a?2ab?b
【公式3】完全立方公式:
(a?b)?a?3ab?3ab?b
【公式4】
(a?b?c)?a?b?c?2ab?2bc?2ca
(完全平方公式)
证明:
?(a?b?c)?[(a?b)?c]?(a?b)?2(a?b)c?c
2222
2222
33223
222
22
?a
2
?2ab?b
2
?2ac?2bc?c
2
a
2<
br>?b
2
?c
2
?2ab?2bc?2ca
.
?
等式成立
2
【例1】计算:
(x?2x?)
解:原式=
[x?(?2x)?]
1
3
2
12
3
111
?(x
2
)
2
?(?2x)
2
?()
2
?2x
2
(?2)x?2x
2
??2
??(?2x)
333
8221
?x
4
?22x
3
?x
2
?x?.
339
2
2233
说明:多项式
乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列.
【公式5】
(a?b)(a?ab?b)?a?b
(立方和公式)
证明:
(a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b
.
【公式6】
(a?b)(a?ab?b)?a?b
(立方差公式)
证明:<
br>(a?b)(a?ab?b)?[a?(?b)][a?a(?b)?(?b)]?a?(?b)?a?b
.
【例2】计算:
22223333
2232222333
22
33
11111
n)(m
2
?mn?n
2
)
5225104
4222222
(3)
(a?2)(a?2)(a?4a?16)
(4)
(x?2xy?y)(x?xy?y)
(1)
(4?m)(16?4m?m)
2
(2)
(m?
解:(1)原式=
4?m?64?m
. <
br>333
1
3
1
3
1
3
1
3
m?n
.
521258
24222336
(3)原式=
(a?4)
(a?4a?4)?(a)?4?a?64
.
(2)原式=
(m)?(n)?
(4)原式=
(x?y)(x?xy?y)?[(x?y)(x?xy?y)]
2222
3
222
?(x?y)?x?2xy?y
.
说明:在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.
【
例3】已知
x?3x?1?0
,求
x?
332636
1
的值
.
3
x
1
2
解:
Qx?3x?1?0
?x?0
?x??3
x
2
3
1
2
111
)(
x?1?
2
)?(x?)[(x?)
2
?3]?3(3
2
?
3)?18
xxx
x
说明:本题若先从方程
x
2
?3x?1?0
中解出
x
的值后,再代入代数式求值,则计算较烦.本题则根据条件<
br>原式=
(x?
式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算.
引申:
a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)
二、指数式
当
n?N
时,
a?a???a
.
?
?
?
a
???
n个a
?n
当
n
?Q
时,⑴零指数
a?1(a?0)
, ⑵负指数
a?
n
m
333222
n
0
1
(a?0)
.
a
n
⑶分数指数
a?
m
a
n
(a?0,m,n
为正整数).
mn
m?n
幂运算法则:
(1)a?a?a
2
3
,(2)(a
m
)
n
?a
mn
,(3)(ab)
n
?a
n
b
n
(a,b?0,m,n?Z)
.
3
?
3
16
4
【例4】求下列各式的值:
8
,
100
,
()
81
?
1
2
解:
8?(2)?2
2
3
3
2
3
3?
2
3
16
?
327
2
?
2
?2?4
;
100?
1
1
?
1
1
?
1
;
(
81
)
4
?(
4
)
4
?
?3
?
3?
8
.
332
100
2
(10
2
)
2
10
2
?
1
2
1
6
5
6
4
3
?3
3
【例5】计算下列各式
⑴
(2ab)(?6ab)?(?3ab)
; ⑵
(p
解:
⑴
(2a
⑵
(pq
三、根式
式子
a(a?0)
叫做二次根式,其性质如下:
2
(1)
(a)?a(a?0)
1
4
2
3
1
2
1
2
1
3
1
4
q).
b
11
5
??
236
3
?
88
2
3
b)(?6ab)?(?3ab)?4a
1
4
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
2
11
??
326
?4ab
0
?4a
;
3
?
8
8
)?(p)(q
8
3
?
8
8
)?pq
2?3
?
p
2
q
3
.
(2)
a
2
?|a|
(4)
bb
?(a?0,b?0)
a
a
n
如果有
x?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根,其中
n
为大于
1
的整数.
a,a?0
.
n
n<
br>当n为奇数时,
n
a
n
?a
,当n为偶数时,
a?|
a|?
?a,a?0
(3)
ab?a?b(a?0,b?0)
?
【例6】化简下列各式:
(1)
(3?2)
2
?(3?1)
2
解:(1)
原式=
|3?2|?|3?1|?2?3?3?1?1
(2)
(1?x)
2
?(2?x)
2
(x?1)
?
(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)
(2)
原式=
|x?1|?|x?2|?
?
(x?1)?(x?2)?1
(1?x?2)
?
说明:请注意性质
a
2
?|a|
的使
用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.
【例7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):
(1)
3
2?3
(2)
11
?
ab
(3)
2
x
?x
3
?8x
2
解:(1) 原式=
3(2?3)
(2?3)(
2?3)
?
3(2?3)
2?3
2
?6?33
a?ba
2
b?ab
2
?
(2) 原式=
abab
(3) 原式=
2
2x
?x?x
2
?2?
2
2
x?2x?xx?22x?32x?xx
.
2?2
说明:(1
)二次根式的化简结果应满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数不含能
开得尽方的因
数或因式.
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种:①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分
解因数或因
3
x
式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式(如)或被
开方数有分母(如).这时
2
2?3
x
x
可化为) ,转化为 “分
母中有根式”的情况.化简时,要把分母中的根
2
b2
3(2?3)
3
式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(如化为,其中
2?3
(2?3)
(2?3)
2?3
可将其化为形式(如
与
2?3
叫做互为有理化因式
).
四、分式
当分式
a
AA
的分子、分母中至少有一
个是分式时,就叫做繁分式,繁分式的化简常用以下两种方法:
BB
(1)
利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.
x
【例8】化简
1?x
x
?
1
x?
x
x(x?1)
x?1xxxx
解法一:原式=
???
2
??
2
1?x(1?x)?xx
x
x?x
?xx
x?
2
x?
x?
x?1
(x?1)(x?1)
x?1
x?1
x
x(x?1)
xxxx?1
???
2?
解法二:原式=
(1?x)?xx(1?x)x
x
x?x?x
x?
x?x?
2
1
x?1
x?1
(x?)?x
x
说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式,解法二则是利用分式
AA?m
的基本性质
?
进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法.
BB?m
x
2
?3x?96xx?1
??
【例9】化简 <
br>x
3
?279x?x
3
6?2x
x
2
?3x
?96xx?116x?1
?????
解:原式=
(x?3)(x
2
?3x?9)x(9?x
3
)
2(3?x)x?3(x?3)(x?3)2(x?3
)
2(x?3)?12?(x?1)(x?3)?(x?3)
2
3?x
???
.
2(x?3)(x?3)2(x?3)(x?3)2(x?3)
说明:(1)
分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简;
(2)
分式的计算结果应是最简分式或整式.