初高中衔接教材下教师版

第一讲 集合的概念
【学习目标】

l.通过实例了 解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择不同的集合语言形式描述具
体的问题,提高语言 转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识.
2.了解集合元素的确定性、互异性、 无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问
题，提高分析问题和解决问题的能力，培养 应用意识.
【知识要点】
1.集合的概念：我们把研究对象统称元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称集).
2.集合中元素的特性：
（1）确定性：集合的元素，必须是确定的.任何一个对象都能明确判断出它是或者不是
某个集合的元素.
（2）互异性:集合中的任意两个元素都是不相同的,也就是同一个元素在集合中不能重
复出现.
（3）无序性:集合与组成它的元素顺序无关.
3.集合与元素的关系 ：若
a
是集合A的元素，就说
a
属于A，记作
a?A
；若< br>a
不是集合A的元素，
就说
a
不属于A，记作
a?A
.
4.集合的表示法：
（1）列举法:即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为
{a
1
,a
2
,a
3
,???,a
n
}
，适用于有限集或元素间存在规律的无限集。
（2）描述法:即用集合所含元素的共同特征来表 示，基本形式为
{x?A|P(x)}
，既要关注代表元素
x
，也要把握其属 性
P(x)
，适用于无限集。
（3）图示法:韦恩(英国逻辑学家，John．Ve nn)图(几何方法)：用一条封闭的曲线的内部来表示
一个集合的方法。

5.常用的数集及其记法：
非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合。记作
N
．
N?
?
0,1,2,
?

正整数集：非负整数集内排除0
的集。记作
N
*
或
N
?
．
N
*
?
?
1,2,3,
?

整数集：全体整数的集合。记作
Z
．
Z?
?
0，?1，?2，
?

有理数集：全体有理数的集合。记作
Q
．
实数集：全体实数的集合。记作
R
．
6
.集合的分类：
①按集合中所含元素的个数分类
有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
空集：不含任何元素的集合。记作
?
，如 ：
{x|x
2
?1?0,x?R}
。
②按集合中元素的性质分类
数集：集合中元素是数值。如
{x|y?x
2
?1}
，
{y |y?x
2
?4}

点集：集合中的元素是点。如
{(x,y)|y ?x
2
?4}
，
{(x,y)|y?2x?1}

图形集等等
【精讲精练】
一．集合的概念
例1 观察下列对象：
（1）1～20以内所有的质数；（2）某汽车厂2013年生产的所有汽车；
（3）2014年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；
（4）所有的正方形；（5）到直线
l
的距离等于定长d的所有的点;
（6 ）方程
x
2
?3x?2?0
的所有实数根；（7）新华中学2013年9月入 学的高一学生的全体.
这些例子都能组成集合吗？它们有什么共同的特征？
【答案】：能 【解析】：相同特征元素一起

例2 问题
1 “
我们班中 高个子的同学
”“
接近
0
的数
”“
咱们必修
1教材中所有的难题能否分别组
成一个集合？为什么？

【答案】：不能【解析】：不确定
问题2 一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋 、衬衣、闹钟共计4个品种，第二批进货
是MP4、皮鞋、水杯、衬衣、台灯共计5个品种，问一共进了 多少个品种的货？是
不是4+5=9(种)呢？

【答案】：7
【解析】：4+5-2=7（种）
问题3 我们这个班重新调整座次之后，是否还是原来的班集体？
【答案】：是
【解析】：班级人员没有变化
变式 判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1）某服装店里出售的好看的衣服组成一个集合；
（2）
1,,,,?
3 61
242
1
这些数组成的集合有5个元素；
2
（3）由
a,b,c
组成的集合与由
b,a,c
组成的集合是同一集合
【答案】：（1）不对；（2）不对；（3）对
【解析】：（1）好看的衣服无法确定
（2）相同元素：
二．元素与集合的关系
例3 用适当 的符号填空：已知
A?{2，7,12,17}
，
B?{?1,5,11,17,23 }
，则有：
17 A； －5 A； 17 B.
【答案】：
?,?,?

【解析】：
17< br>在集合
A
中，
?5
不在集合
A
中，
17在集合
B
中
变式 用符号“∈”或“?”填空：
*
（1）< br>3.14______Q
；（2）
?
______Q
（3）
0 ____N
；（4）
0____N
；
3611
,
；
,|?|

2422
0*
（ 5）
(?2)____N
；（6）
23______Z
；（7）
23 ______Q
；（8）
23______R

：（
1
）< br>?
；（
2
）
?
；（
3
）
?
；（
4
）
?
；（
5
）
?
；（
6< br>）
?
；（
7
）
?
；（
8
）
?


【答案】
：
N
自然数集；
Z
整数 集；
Q
有理数集；
R
实数集


【解析】

例 4

若
?3?{a?3,2a?1,a2
?1}
，求实数
a
的值
【答案】：
{?1,0}

【解析】：当
a?3??3
，即< br>a?0
时，集合：
{?3,?1,1}

当
2a?1??3
，即
a??1
时，集合：
{?4,?3,2}

变式 已知
x
2
?{1,0,x}
，求实数
x
的值.
【答案】：
?1

【解析】：当
x?
1
， 即
x??1
时，若
x?1
，集合：；若
x??1
，集合：< br>{1,0,1}
（舍）
{1,0,?1}

当
x?
0
，即
x?0
时，集合：
{1,0,0}
（ 舍）
当
x?x
，即
x?0,1
时，舍
三．集合的表示方法
例5 用列举法表示下列集合
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程
x
2
?x
的所有实数根组成的集合；
（3）由
1~20
以内的所有质数组成的集合.
【答案】：（1）
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
；（2）
{0,1}
；（3）
{2 ,3,5,7,11,13,17,19}

【解析】：将满足条件元素列举出来
变式 用列举法表示下列集合
（1）能被3整除且小于10的正数组成的集合；
（2）方程
x
2
?2x?3?0
的所有实数根组成的集合.
【答案】：（1）
{3,6,9}
；（2）
{1,?3}

【解析】：将满足条件元素列举出来
例6 试分别用列举法和描述法表示下列集合
（1）方程
x
2
?2?0
所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.
【答案】：（1）列举法：
{?2,2}

描述法：
{x|x?2?0}

（2）列举法：
{11,12,13,14,15,16,17,18,19}

描述法：
{x?Z|10＜x＜20}

【解析】：（1）列举法：将满足条件元素列举出来
（2）描述法：满足性质表示出来
2
2
2
2

变式 选择适当的方法表示下列集合：
（1）使y=
1
有意义的实数x的集合；
2
x?x?6
（2）坐标平面上第一、第三象限内点的集合；
（3）
xx?x,x?Z,x?5
； （4）
x(2x?1)(x?2)(x
2
?1)?0,x?Z
2
??
??
.

【答案】：（1）描述法：
{x|x?x?6?0}
（2）描述法：
{(x,y)|x y＞0}

（3）列举法：
{0,1,2,3,4}

（4）列举法：
{?2}

例7 下列各组集合中，每个集合的含义是否相同？为什么？
?
5,1
?
,
?
?
5,1
?
?
（2）
?
xx?0
?< br>,
?
(x,y)x?0,y?R
?
（1）
?
1,5
?
,
?
?
1,5
?
?
，
（3）
x?Rx
2
?ax?1?0,a?Rx
2
?ax?1?0有实 数根

（4）
?
xx?2k?1,k?Z
?
,
?< br>xx?2k?1,k?Z
?
；
（5）
yy?x
2
? 1,xy?x
2
?1,(x,y)y?x
2
?1
.
【答案】：（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是；（5）不是
【解析】：（1）
{1,5}
和
{5,1}
相同，是两数集；
{(1,5)}
和
{(5,1)}
不相同，是两直角坐标点集
（2）
{x|x?0}
是数集；
{(x,y)|x?0,y?R}
是直角坐标系点集
（3）描述法表示的 元素不同，前面集合表示
{x}
，后面集合表示
{a}

（4）前后两个集合均表示奇数集合
（5）三个集合表示的元素不同，前两个表示数集，最后一个表示点集
变式 下列集合表示同一集合的是（ ）
A.
M?{(3,2)},N?{(2,3)}
B.
M?{3,2},N?{xx
2
?5x?6?0}

C.
M?{(x,y)y?x?1},N?{yy?x?1}
D.
M?{0},N??

【答案】：
B

【解析】：
B:
N?{2,3}

【思维拓展】
1. (山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A }中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
【答案】：
C

【解析】：
x?y?0,?1,?2,1,2

????
??????

【课外作业】
1.有下列说法：（1 ）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为
{1,2,3}
或{3,2,1}
；
（3）方程
(x?1)
2
(x?2)?0的所有解的集合可表示为
{1,1,2}
；（4）集合
{x4?x?5}
是有限集。 其
中正确的说法是（ ）
A．只有（1）和（4） B．只有（2）和（3）
C．只有（2） D．以上四种说法都不对
【答案】：
C

【解析】：（1）
0
表示数，
{0}
表示集合
（2）集合中元素具有无序性
（3）集合中元素具有互异性，
{1,2}

（4）是无限集
2.下列各组中的两个集合M和N, 表示同一集合的是（ ）
A．
M?{
?
}
,
N?{3.14159}
B．
M?{2,3}
,
N?{(2,3)}

C．
M?{x|?1?x?1,x?N}
,
N?{1}
D．
M?{1,3,
?
}
,
N?{
?
,1,|?3|}

【答案】：
D

【解析】：
D
中均是
1,3,
?
这三个元素
3.已知集合
M?
?
a,b,c
?
中的三个元素可构成某个三角 形的三条边长，那么此三角形一定不是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】
B

【解析】：集合中元素具有互异性
4.设a,b是非零实数，那么
【答案】：
{2,?2,0}

【解 析】：当
a,b＞0
时，
a
a
?
b
b
可能 取的值组成的集合是________.
|a||b||a||b|
??2
；当a,b＜0
时，
???2
；当
a,b
异号时，
abab
|a||b|
??0

ab
?
x
2
?4< br>?
??
?1有唯一解
?
,试用列举法表示集合A.
5.已知 集合
A?
?
a
??
?
x?a
?
【答案】：
{4,?4,?
17
}

4
2
【解析】：当为一元 二次方程时，
x?x?a?4?0
有唯一实数根

??1?4a?16?0
，即
a??
17
时有唯一解。
4
当为一元一次方程时，
a??4

第二讲 集合间的基本关系
【学习目标】
l.理解集合之间包 含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用
类比发现新结论的能力.
2.在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强从具体到抽象的
思维能力，树立数形结合的思想.
【知识要点】
l.子集：对于两个集合A、B ，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们也说集合A是
集合B的子集，记作
A?B
（或
B?A
）.
2.集合相等：如果集合A是集合B的子集（
A ?B
），且集合B是集合A的子集（
B?A
），我们
就说集合A等于集合B， 记作
A?B
.
3.真子集：如果集合
A?B
，但存在元素
x?B
，且
x?A
，我们就说集合A是集合B的真子集，记
作
A< br>?
B
.
4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为
?
.
5.子集的性质：
（1）任何一个集合是它本身的子集，即
A?A
.
（2）空集是任何集合 的子集，即对任何集合A,都有
??A
；空集是任何非空集合的真子集，即对
任何集合 A,若
A??
，则
?
?A.
（3）对于集合A，B，C，如果A?B
，
B?C
，那么
A?C
.
（
4
）含有
n
个元素的集合的子集个数是
2
n
，真子集个数是
2
n
?1
，非空真子集个数是
2
n
?2
.

【精讲精练】
一．理解子集、真子集
例1 写出集合
?
a,b
?
的所有子集。
【答案】：
?
，
{a}
，
{b}
，
{a,b}

【解析】：子集概念，注意空集
变式 试写出集合
{a,b,c}
的所有子集。
【答案】：
?
，
{a}
，
{b}
，
{c}
，
{a,b}
，
{b,c}
，
{a,c}
，
{a,b,c}

【解析】：子集概念，注意空集

例2 试写出满足条件
?
?M?
{0,1,2}
的M的集合.
【答案】 ：
{0}
，
{1}
，
{2}
，
{0,1}
，
{0,2}
，
{1,2}

【解析】：由题意得，求
{0,1,2}
的非空真子集
变式1 集合
A?{y?Ny??x
2
?4,x?N}
的真子集个数为______.
【答案】：7
【解析】：当
x?0
，
y?4
；当
x?1
，
y?3
；当
x?2
，
y?0
.
集合中有3个元素。
二．元素与集合
例3 用适当的（
?
,
?
,?,?,＝,≠）符号填空：
（1）
{1,3}____{x|x
2
?4x?3?0};

（2）
{x|2x?5?0}____{x|x?2.5}

（3）
{x?Z|?1?x?3}____{0,1}

（4）
{x|y?x?1}____{y|y?x
2
?4x?1}

【答案】：（1）
?
；（2）
?
；（3）?；（4）?
【解析】：由集合与集合间关系

变式 下列八个关系式中正确的个数为（ ）
①
{a，b}
?
{a，b}< br>；②
{a，b}
＝
{b，a}
；③
?
{0}；④0< br>?
{0}；⑤
?
?
{0}；
⑥
?
＝{0} ；⑦
{x|x?6k?1,k?Z}?{x|x?6k?5,k?Z}
；
⑧
{x|x?
k1k1
?，k?Z}
＝
{x|x??，k?Z}
．
2442
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】：
B

【解析】：⑤
?
和
{0}
是集合间关系，不能用“属于”符号
⑦
x?6k?1?6(k?1)?5

⑧
x?

k12k?1k1k?2
??
，
x???

244424

三．判断集合相等
例4 已知集合
A?{x| ?1?x?3,x?Z}
，
B?{m,m
2
?m,2}
，其中
m?0
,且
A?B
,求
m

【答案】：1
【解析】：
A?{0,1,2}
，若
A?B
，则集合中元素相同
?
m?1

?
2
∴
m?1

m?m?0
?
b
变式1 含有三个实数的集合 可表示为
{a,,1}
，也可表示为
{a
2
,a?b,0}
，求
a
与
b

a
【答案】：
a??1,b?0

b
2
【解析】： 由
?0
，即
b?0
，此时集合为
{a,0,1}
，
{a,a,0}

a
2
a?1
，得
a??1
。当< br>a?1
时，集合不满足互异性


四．求参数的取值范围
例5 设
A?xx
2
?8x?15?0,B ?
?
xax?1?0
?
，若
B?A
，求实数
a组成的集合.
【答案】：
{0,,}

【解析】：
A?{3,5}
，若
B?A

（1）
B?
?
，此时
a?0
；
??
11
35
1
a?
B?{3}
（2），此时
3
；
1
（3）
B?{5}
，此时
a?
。

5
变式 设
A?{x|x
2
?4x?0,x?R}B?{x|x2
?2(a?1)x?a
2
?1?0,x?R}
，若
B?A，求实数
a
的
值。
【答案】：
a??1

【解析】：
A?{0,4}

（1）当
??4(a?1) ?4(a?1)＜0
，即
a＜?1
时，
B?
?
；
（2）当
??4(a?1)?4(a?1)?0
，即
a??1
时，
B ?{0}

（3）当
??4(a?1)?4(a?1)＞0
，即
a＞ ?1
时，若
B?A
，则
B?{0,4}

综上：
a??1

22
22
22

【思维拓展】
1.已知集合
A?
?
x?2?x?5
?
,B?
?
xm?1?x?2m?1
?
,且
B?A
,求实数
m
的取值范围.
?
m?1?2m?1
?
【解析】：
B?
?
时，
m?1
即
m＜2
；
B?
?
时，
?
m?1??2
，得
2?m?3
综上，
＞2m?1
，
m?3

?
2m?1?5
?
【课外作业】
1．设集合
A?{(x, y)x?0,y?0},B?{(x,y)xy?0},C?{(x,y)x?y?0}
，则（ ）
A.
A?B?C
B.
A?C?B

C.
A?B
但
A?C
D.
A?B,A?C

【答案】：
D
【解析】：集合
A
：直角坐标系第一象限；集合
B
：直角坐标系第一、三象限

集合
C
：第二、四象限角平分线上方

2．若集合A＝{－1,1} ，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为 （ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】：
C
【解析】：
z??1,1,3

3．集合M?{xx
2
?2x?a?0,x?R}
,且
?
?M,则实数< br>a
的取值范围是（ ）
A.
a??1
B.
a?1
C.
a??1
D.
a?1

【答案】：
C
【解析】：
??4?4a?0

4．已知集合
A?{xx?a
2
?2a?4,a?R},B?{yy?b
2
?4b ?7,b?R}
，则A、B间的关系是（ ）
A. M ?N B. N?M C. M =N

D. M ,N无包含关系
【答案】：
C
【解析】：
x?(a?1)?3?3
，
y?( b?2)?3?3

22
y
5．已知
x,y?R
，且
y?0
，集合
A?{x
2
?x?1,?x,?x?1}
，集合
B?{?y,?,y?1}
，若A?B
，试
2
求
x
2
?y
2
的值。
2
＞
0
∴
x?x?1?y?1
又
?x?1＜?x
，
?y＜?
【答案】：5【解析】：
x?x?
1
2
y

2
?< br>?
x
2
?x?1?y?1
?
x?1
?
∴
?
?x?1??y
解得：
?

?
y?2< br>?
y
?
?x??
2
?

第三讲 集合间的基本运算
【学习目标】
l.理解两个集合的并集与交集、全集的含义， 掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定
子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内 容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力.
2.通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算. 体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养
数形结合的思想.
【知识要点】
l.交集：
由所有属于集合
A
且属于集合
B
的元素所组成 的集合，叫做
A
与
B
的交集，记作
A
AB?
?x|x?A且x?B
?
。
B
．即
重要性质:
AB?A?A?B


2.并集：
由所有属于集合
A
或属于集合
B
的元素所组成 的集合，叫做
A
与
B
的并集，记作
A
AB?
?x|x?A或x?B
?
。
B
，即

重要性质：
AB?A?B?A

3.全集：
如果集合
S
含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合 就可以看作一个全集，全集通常
用
U
表示。
4.补集：
已知全集
U
，集合
A?U
，由
U
中所有不属于
A
的 元素组成的集合，叫做集合
A
在集合
U
中的补
集，记作
C< br>U
A?{xx?U且x?A}
。

重要性质：（1） 对偶原理：
C
U
AC
U
B?C
U
(A
（2 ）有限集合
A
Card(A
B)
，
C
U
AC
U
B?C
U
(AB)
。
B
中元素个数的计算公式：
B)?Card(A)?Card(B)?Card(AB)

【精讲精讲】
一．并集、交集、补集的概念及应用
例1 设
U?{1,2 ,3,4,5,6,7,8}
，
A?{3,4,5}
，
B?{4,7,8}< br>，求:
AB
，
AB
,
C
U
A
, < br>C
U
B
,
(C
U
A)(C
U
B)< br>,
(C
U
A)(C
U
B)
,
C
U< br>(AB)
,
C
U
(AB)
．
【答案】：
A ?B?{4}
；
A?B?{3,4,5,7,8}
；
C
U
A ?{1,2,6,7,8}
；
C
U
B?{1,2,3,5,6}

(C
U
A)
?
(C
U
B)?C
U
(A
?
B)?{1,2,6}


(C
U
A)
?
(C
U
B)?C
U
(A
?
B)?{1,2,3,5,6,7,8}

【解析】：集合的交、并、补运算
变式 设集合
A?{x?Z?10?x??1}
,
B?{x?Zx?5}
，则
AB
中的元素个数是（
A. 11 B. 10 C. 16 D. 15
【答案】：
C

【解析】：
A?{?10,?9,?8,?7,?6,?5,?4,?3,?2,?1}


B?{?5,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5}

例2 设
A?{x?4?x?2}
,
B?{x?1?x?3}
,
C?{xx?0或x ?
5
2
}
，求
(AB)C

【答案】：
{x|?4?x?0或
5
2
?x?3}

【解析】：
A?B?{x|?4?x?3}
，
(A?B)?C?{x|?4?x?0 或
5
2
?x?3}

变式1 设
U?R,A?
?< br>x|?2?x?4
?
,B?
?
x|8?2x?3x?7
?,
求（1）
C
U
(AB)

（2）
(C
U
A)(C
U
B)
.
【答案】：（1）
{x|x?4}
；（2）
{x|x?4}

【解析】：
B?{x|x?3}
，
A?B?{x|x＜4}


(C
U
A)
?
(C
U
B)?C
U
(A
?
B)?{x|x?4}



）

例3 已知：集合
A?{xx
2
?3x?18?0 }
，
B?{yy?x
2
?2x,x?A}
．求
A
【 答案】：
A?B?{x|?3＜x＜24}
；
A?B?{x|?1?x＜6}

【解析】：
A?{x|?3＜x＜6}
，
B?{y|?1?y＜24}


A?B?{x|?3＜x＜24}
，
A?B?{x|?1?x＜6}

变式1 集合
P?{(x,y)x?y?0}
,
Q?{(x,y)x?y?2 }
,则
P
B
,
AB
.
Q?
_________.
【答案】：
{(1,?1)}
【解析】：
?
二．韦恩图的应用
?
x?y?0
?
x?1
，得
?

?
x?y?2
?
y??1
例4 下列四个推理：①
a?(A B)?a?A
；②
a?(AB)?a?(A
③
A?B?AB?B
；< br>B)
；
④
AB?A?AB?B
.其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】：
C
【解析】：①
a?(A?B)?a?A或a?B

变式1 全集
U?R,A?
?
x|x(x?3)?0
?
,B ?
?
x|x??1
?
，下图中阴影部分表示的集合为( )



A.
?
x|?3?x??1
?
B.
?
x|?3?x?0
?
C.
?
x|?1?x?0
?
D.
?
x|x??3
?
【答案】：
C
【解析】：
A?{x|?3＜x＜0}
阴影部分：C
A
(A?B)?{x|?1?x＜0}
三．集合的运算性质及运用
例5 设集合
A?{?4,2a?1,a
2
}
，
B?{9, a?5,1?a}
，若
A
【答案】：
?3

【解析】：当< br>2a?1?9
，即
a?5
时，
A?{?4,9,25}
，B?{9,0,?4}
，舍
当
a?9
，即
a??3
时；
若
a? 3
，
A?{?4,5,9}
，
B?{9,?2,?2}
，舍
若
a??3
，
A?{?4,?7,9}
，b?{9,?8,4}

2
B?
?
9
?
，求实数
a
的值.

变式 已知集合
A?a
2
,a?1,?3,B?a?3,2a ?1,a
2
?1
，若
A
【答案】：
a??1

????
B?
?
?3
?
，求实数
a
< br>【解析】：当
a?3??3
，即
a?0
时，
A?{0,1,? 3}
，
B?{?3,?1,1}
，舍
当
2a? 1??3
，即
a??1
时，
A?{1,0,?3}
，
B?{ ?4,?3,2}

例6 设集合
A?x|x
2
?4x?0,B?x |x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0
.
（1）若
AB?B
，求
a
的值；
（2）若
AB?B
，求
a
的值
【答案】：（1）
{a|a??1或a?1}
；（2）
a?1

【解析】：（1）
AB?B
?B?A

当
??8a?8＜0
，即
a＜?1
时，
B?
?

当
??8a?8?0
，即
a??1
时，
B?{0}

当
??8a?8?0
，即
a??1
时，B?{0,?4}
，此时
a?1

综上：
{a|a??1或a?1}

（2）
AB?B
?A?B
，∴
a?1

变式 设
U ?R
，
A?x|x
2
?3x?2?0
，
B?x|x
2
?(m?1)x?m?0
，若
(C
U
A)
值。
【答案】：
m?1或2

【解析】：由题意得：
B?A


A?{?1,?2}
，
B?{x|(x?1)(x?m) ?0}
∴
m?1或2


【思维拓展】
1. 设全集U?{(x,y)x,y?R}
,集合
M?{(x,y)
(C
U
M)(C
U
N)
等于____________
????
????
B??
，求
m
的
y?2
?1}
，
N??
(x,y)y?x?4
?
,那么
x?2
【答案】：{(2,?2)}
【解析】：集合
M
表示直线
y?x?4
去掉点
(2,?2)

集合
N
表示平面直角坐标系去掉直线
y?x?4

【课外作业】
1．已知全集
U?{0,1,2,3,4,5,6,7 ,8,9}
，集合
A?{0,1,3,5,8}
，集合
B?{2,4,5,6 ,8}
，则
(C
U
A)
为（ ）
A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6}
【答案】：
B

【解析】：
C
U
A?{2,4,6 ,7,9}
，
C
U
B?{0,1,3,7,9}
，
(CU
A)(C
U
B)
?{7.9}

(C
UB)
2．设全集
U?Z
，
M?{xx?2k,k?Z}
，
P?{xx?2k+1,k?Z}
则下列关系式:①
M?P
②
C
U
M?C
U
P
③
C
U
M?P
④
C< br>U
P?M
.其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】：
B< br>【解析】：集合
M
表示全体偶数，集合
N
表示全体奇数
3． 设全集为
R
，集合
A?{xx?1}
，
B?{x
1
?0}
，则（ ）
x?2
A.
A
?
B
B.
B
?
A
C.
C
R
A
?B D.
A
?
C
R
B

＜x＜1}
，
B?{x|x＞2}
【答案】：
D
【解析】：
A?{x|?1

4．已知全集
U ?R
,集合
M?{x?2?x?1?2}
，
N?{xx?2k?1,k?1, 2,}
的的韦
恩（Venn）图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个
【答案】：
B
【解析】：
M?{x|?1?x?3}
，集合
N
表示正奇数阴影部分
M?N?{1,3}

5．已知集合
A?{x|a?1?x?2a?1}
，
B?{x|0?x?1}
，
（1）若
a?
1
，求
A
2
（2）若
AB??
，求实数
a
的取值范围.
B
；
1}
；【答案】：（1）
A?B?{x|0＜x＜
（2）
{a|a??或a?2}

【解析】：（1）若
a?
1
2
11
1}
，集合< br>A?{?＜x＜2}
，
A?B?{x|0＜x＜
22
（2）当
A?
?
时，
a?1?2a?1
，
a??2

当
A?
?
时，
a?1?2a?1
，
a??2


2a?1?0
或
a?1?1
，即
a? ?
11
或a?2
综上：
a??或a?2

22

第四讲 函数的概念
【学习目标】
l.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；
2.掌握构成函数的三要素，会求判断相等的函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.能根据函数解析式求函数值
【知识要点】
1.函数的定义：
一般地 ,设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数
x，在集合B 中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作
y?f(x),x?A
，其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与 x的值相对应
的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则
3．f(x)与f(a)的区别：
f (a)表示当x=a时函数f(x)的值（即函数值）。在一般情况下，f(x)是一个变量（随着x的值而变化 ），
而f(a)是常量。通常求f(a)只需要令f(x)中的x=a并求出最后结果就行.
【新知探究】
探究：阅读下面材料，回答问题
（1）一枚炮弹发射后,经过
26s
落到地面击中目标.炮弹的射高为
845m
,且炮弹距地面的高度
为
h
(单位:
m
)随时间
t
(单位:
s
)变 化的规律是
h?130t?5t
.时间
t
的变化范围是数集A={
t
|0≤
t
≤26},
h
的变化范围是数集
B?
?< br>h|0?h?845
?
.则有对应
f:t?h?130t?5t,t?A,h? B.

2
2
（2）近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问 题.图1中的曲线显示了南极上
空臭氧层空洞的面积S(单位:10
km
)随时间
t
(单位:年)从1991~2001年的变化情况.
62

图1

根据图1中的曲线,可知时间t的变化范围是数 集A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面积S的变化范
围是数集
B?
?
S|0?S?26
?
,则有对应:
f:t?S,t?A,S?B.

（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生< br>了显著变化.
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数y 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
根据上表,可知时间
t
的变化范围是数集A={t| 1991≤t≤2001},恩格尔系数
y
的变化范围是数集
B={S|37.9≤S ≤53.8}.则有对应:
f:t?y,t?A,y?B.

思考：分析归纳以上三个实例，他们有什么共同特点？
函数的定义
一般地,设A、 B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,
在集合B中都有唯 一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作
y?f(x) ,x?A
,其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函
数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
说明:
①A、B是非空数集. 并且对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有
唯一确定的元素y与之对 应.
②函数的三要素:函数是由定义域、值域以及定义域到值域的对应法则三部分组成的映射，故称定
义域、值域、对应法则为函数的三大要素。
③函数值:
a?A
，则f(a )表示为函数值。函数的值域是指当x取遍定义域中所有的值求得的值的
集合。
④f(x)是 表示关于变量x的函数,又可以表示自变量x对应的函数值,是一个整体符号,分开符号f(x)
没有什 么意义.符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.

f(a)表示当x=a时函数f (x)的值（即函数值）。在一般情况下，f(x)是一个变量（随着x的值而变
化），而f(a)是常 量。通常求f(a)只需要令f(x)中的x=a并求出最后结果就行

【精讲精练】
一．函数的概念
例1 下列式子中不能表示函数
y?f(x)
的是( )
A．
x?y
2
?1
B．
y?2x
2
?1
C．
x?2y?6
D．
x?y
【答案】：

x
y
A
【解析】：由函数定义：对于每一个，有唯一与之对应
例2 下列图象可以作为函数
y?f(x)
的图象的是( )

【答案】：
A
【解析】：由函数定义，做一条与
x
轴垂直的直线与图像只有一个交点。
变式 下列图象是函数图象的有( )

图1
A．3个 B．4个 C．5个 D．7个
【答案】：
B
【解析】：由函数定义 ，做一条与
x
轴垂直的直线与图像只有一个交点。
二．函数的三要素
例3 （1）判断
f(x)?x
2
与
g(x)?x
2
是否相等 < br>（2）
f(x)?x
2
(x?0)
，
g(x)?x
2
(x?0)
，
h(x)?x
2
(x?N)
是否相等，并说明 理由
【答案】：（1）相等；（2）不相等
【解析】：（1）相等，函数三要素都相同；（2）不相等，定义域不同

例4 判断下列各组中的函数
f(x)
与
g(x)
是否相等，并说明理由．
（1）
f(x)?(x?1)
0
,g(x)?1
（2）
f(x)?x
2
,g(x)?(x?1)
2

（3）
f(x)?6x,g(x)?6
3
x
3
（ 4）
f(x)?x
2
?2x?1,g(t)?t
2
?2t?1

x
2
?9
（5）
f(x)?,g(x)?x?3
（6）
f(x)?x,g(t)?t
2
，
x?3
（7）
f(x)?x?x+1,g(x)?x
2
?x
.
【答案】：相等：（3）（4）（6）
【解析】：（1）定义域不同；（2）解析式不同；（5）定义域不同；（7）定义域不同

变式 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为
A．
y
1
?
(x?3)(x?5)
,y
2
?x?5
B．
f(x)?x,g(x)?x
2

x?3
C．
f(x )?
3
x
4
?x
3
,F(x)?x
3
x? 1
D．
f
1
(x)?(2x?5)
2
,f
2
(x)?2x?5

【答案】：
C

【解析】：
A
定义域不同；
B
解析式不同；
D
定义域不同
三．求函数值
例5 已知
（fx)?
（其中
a?0
）
x+3?
1
，则
f(?3)?_____,f(a)?_______,f(a?1)?_____< br>
x?2
11
，
a?4?

a?2a?3
11
【解析】：
f(?3)??3?3?

?1
，
f(x)?a?3?
?3?2a?2
1

f(a?1)?a?4?

a?3
【答案】：
1
，
a?3?
变式 已知函数
f(x)?x
2
，
（1）若
f(a)?9
，求
a

（2）集合
A?{ x?Zx?3}
，则
{yy?f(x),x?A}?
______
【答案】：（1）
?3
；（2）
{4,1,0}

【解析】：（1）
f(a)?a?9
，
a??3
；
（2）
A?{?2,?1,0,1,2}
，则
y
的取值
{4,1,0 }

2

例6 已知
f(x)?x?2
，则
f{f[f(?2)]}?________

【答案】：4
【解析】：
f{f[f(?2)]}?f{f[0]}?f{2}?4

变式 设函数
f(n)?k(k?N),k
是π的小数点后的第n位数字,π=3.14159265 35…,则
*
f{f[f(10)]}?_________
.
【答案】：3
【解析】：
f{f[f(10)]}?f{f[5]}?f{9}?3

例7 已知
f(x)?x
2
?1
，求
f(a+1)
，
f( x+1)

22
a?2ax
【答案】：，
?2x

2222
f(a?1)?(a?1)?1?a?2af(x?1)?(x?1)?1?x?2x
【解析】：，
变式 已知
f(x)?3x?1
，
g(x)??x
2< br>，求
f(?1)
，
g(x?1)
，
f(g(?2))
，
f(g(x))

【答案】：
?4,?(x?1),?13,?3x?1

【解析】：
f(?1)??4
；
g(x?1)??(x?1)
；

f(g(?2))?f(?4)??13
；
f
(< br>g
(
x
))
??
3
x?
1



【思维拓展】
1 已知函数
f(x)
满足:
f(p?q)?f(p)?f(q)
，
f(1)?3
(
p,q
均为整数)，求：
f
2
(1)?f(2)f
2< br>(2)?f(4)f
2
(3)?f(6)f
2
(4)?f(8)f2
(5)?f(10)
++??
f(1)f(3)f(5)f(7)f(9)
2
2
22
30
【答案】：
f
2
( 1)?f(2)2f(2)
【解析】：
??2f(1)?6
；

f( 1)f(1)
f
2
(2)?f(4)f
2
(3)?f(6)f
2
(4)?f(8)f
2
(5)?f(10)

同理：
????
6

f(3)f(5)f(7)f(9)

∴原式
=
30

【课外作业】 1．下列图形中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图 象是（ ）

【答案】：
C
【解析】：由函数定义，做一条与
x
轴垂直的直线与图像只有一个交点。
2．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A.
y?
x
x
与
y?1
B.
y?(x?1)
2
与
y?x?1

x
3
?x
C.
y?x?x?1
与
y?2x?1
D.
y?
2
与
y?x

x?1
【答案】：
D< br>【解析】：
A
定义域不同；
B
定义域不同；
C
解析式 不同

3．函数
y?f(x)
的图象与直线
x?1
的公共点数目是（ ）
A.
1
B.
0
C.
0
或
1
D.
1
或
2

【答案】：
C
【解析】：由函数定义，做 一条与
x
轴垂直的直线与图像最多只有一个交点。

x?2
4．已知函数
f(x)?

x?6
（1）点
(3，14)
在
f(x)
的图象上吗
（2）当
x?4
时，求
f(x)
的值
（3）当
f(x)?2
时，求
x
的值
【答案】：（1）不在；（2）
?3
；（3）
14

【解析 】：（1）令
x?3
，得
f(3)??
（3）由
f(x)?
5
；（2）令
x?4
，得
f(4)??3

3
x?2
?2
，得
x?14
。
x?6
5．已知函数
f(x)
，
g(x)
分别由下表给出
x


1
2
2
1
3
1



x

1
3
2
2
3
1
f(x)

g(x)

则
f(g(1))
的值为
【答案】：
1
；
1

；当
g(f(x))?2
时，
x?
．
【解析】：
f(g(1))?f(3)?1
；
g(f(x))?2
，得
x?1

第五讲 函数的定义域与值域（一）
【学习目标】
1．会求一些简单函数的定义域和值域
2．理解实际问题的定义域与值域
3．理解“区间”这种表示方法
【知识要点】
1．区间的概念和记号
在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.
设a,b
?
R ,且a①满足不等式a
?
x
?
b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
②满足不等式a③满足不等式a
?
x?
b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b) ,(a，b].
这里的实数a和b叫做相应区间的端点.
在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的 线段来表示，在图中，用实心点表示包括在
区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：
定 义
{x|a
?
x
?
b}
{x|a{x|a
?
x{x|a?
b}
名 称
闭区间
开区间
左闭右开区间
左开右闭区间
符 号
[a，b]
(a，b)
[a，b）

(a，b]

数 轴 表 示





这样实数集R也可用区间表示为(-
?
,+
?
),“
?
”读作“无穷大”，“-
?
”读作“负无 穷大”，“+
?
”读作“正无穷大”.还可把满足x
?
a，x>a，x
?
b，x?
)
，（a，
+
?
）,(-
?
,b
]
,(-
?
,b).
注意：书写区间记号时：
①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；
②有两个区间端点，且左端点小于右端点；③两个端点之间用“，”隔开.

2．函数的定义域
（1）定义域的概念与表示
（2）确定函数定义 域的原则：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能
使这个式子有意义的所有 实数x的集合.
（3）确定函数定义域的依据：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.
⑥
f(x)?x
0
的定义域为
{x|x?0}
．
3．求简单函数（一次函数、反比例函数、二次函数）值域的常用方法
（1）一次函数求值域：观察法、直接法、单调法；
（2）反比例函数求值域：单调法、分离常数法、逆求法；
（3）二次函数求值域：配方法.
【精讲精练】
一．求函数的定义域
例1 求下列函数的定义域
1
4?x
2
（1）
f(x)?
（2）
f(x)?

x?|x|

x?1
【答案】：（1）
(??,0)
；（2）
[?2,1)?(1,2]

?
4?x
2
?0
【解析】：（1）
x?|x|?0
∴
x?0
（2）
?
∴
?2?x?2
且
x?1

?
x?1?0
变式 求下列函数的定义域
（1）
f(x)?
（2）
f(x)?1?x?
?x
2
?4x?5
；
x?3?1

【答案】：（1）
[?5,1]
；（2）
[?3,1]

【解析】：（1）
?x?4x?5?0
∴
?5?x?1
；（2）
?

2
?
1?x?0
∴
?3?x?1

x?3?0
?

二．求应用题函数的定义域
例2用长为l的铁 丝变成下部为矩形，上部为半圆形的框架，如图所示.若矩形底边长为2x，
求此框架围成的面积y关于 x的函数解析式，并求出它的定义域。
【答案】：
y?x?2x(0?x?
2
1
)

2?
?
【解析】：周长
?
x?2x?2AD?1

1?2x?
?
x

2
1?2x?
?
x1
面积
y?2x?
）
?
?
x
2
?x?2x
2
（
0?x?
22?
?
∴
AD?

三．求函数的值域：直接法、配方法
例3 求下列函数的值域：
（1）
y??
1




（2）
y??2x
2
?5x?6
x

（
3
）
y??x
2
?4x?2
（
x?[?1,1]
） （
4
）
y?2x
2
?5x?2


【答案】：（1）
(??,0)?(0,??)
；（2）
(??,
【解析】：（1）值域为
{y|y?0}
；
（2）对称轴
x?
73
（3）
[?3,5]
；（4）
[0,??)

]
；
8
573
，开口向下 ∴值域为
(??,]

48
（3）对称轴
x?2
，开口向下 ∴值域为
[?3,5]

（4）定义域
(??,]?[2,??)
，对称轴
x?
变式 求下列函数的值域：
（1）
y?2?3x
（
x?[2,3]
） （2）
y??
1
2
5
，开口向上 ∴值域为
[0,??)

4
4
（
x?[?1,3]
）
x
（3）
y?x?1

（4）
y??2x
2
?3x?1
（
x?[?1,2]
）
【答案】：（1）
[?7,?2]
；（2）
(??,?]?[4,??)
；（3）
[1,??)
；（4）
(?? ,]

【解析】：（1）值域为
[?7,?2]
；（2）值域为
(? ?,?]?[4,??)
；
（3）定义域为
[0,??)
，值域为
[1,??)
；
（ 4）开口向下，对称轴为
4
3
1
8
4
3
31
，值域为
(??,]

48

【思维拓展】
1. 若函数
y?ax
2
?ax?
1
的定义域是全体实数，求实数a的取值 范围
a
2
【答案】：
(0,2]
【解析】：定义域
ax? ax?
【课外作业】
1．函数
y?
(x?1)
0
x?x< br>?
a?0
1
，得：
0?a?2

?0
解集为全体实数。
?
a
?
??0
的定义域是( )
A.
?
xx?0
?
B.
?
xx?0
?
C.
?
xx?0且x??1
?
D.
?
xx?0且x??1,x?R
?
【答案】：

C

?
x?1?0
?
xx?0且x??1
?
【解析】：
?
|x|?x?0
，解集：
?
2．函数
y?
3
1 ?1?x
的定义域是( )
(0,1]
C.
(??,0)(0,1)
D.
[1,??)

A.
(??,1)
B.
(??,0)
【答案】：
B

?
1?x?0
【解析 】：
?
，解集：
{x|x?1且x?0}

?
1?1?x? 0
3.函数
y??x
2
?8x?15
的定义域是________
【答案】：
[3,5]

【解析】：定义域
?x?8x?15?0
，即
{x|3?x?5}

4. 求下列函数的值域：
（1）
y?3?x
（
x?[1,2]
） （2）
y??
2
2
（
x?[?1,2]
）
x
（3）
y?x
2
?6x?10

（4）
y?x
2
?4x?1
（
x?[3,4]
）
【答案】：（1）
[1,2]
；（2）
(??,?1]?[2,??)
；（3）
[1,??)
；（4）
[?2,1]

【解析】：（1） 值域为
[1,2]
；（2）值域为
(??,?1]?[2,??)

（3）值域为
[1,??)
；（4）开口向上，对称轴
x?2
，值域为
[?2,1]

第六讲 函数的定义域与值域（二）
【学习目标】
l.进一步学习求函数值域的方法：换元法、分离常数法、逆求法
2.具备一定的观察能力及代数变形能力，熟练掌握分式拆项、换元配方等技巧
【知识要点】
l. 换元法：
把某个式子看成一个整体，用一个变量去代换它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
一般需要把所求函数通过换元变成我们所熟知的函数，特别是二次函数
当解析式中有根式 时，我们常常使用换元法
2.分离常数法（分式拆项法）：
对某些分式型函数，若分子、 分母含有相似的项，可通过分离常数法，将分式部分的分子化为常
数，比如
y?
ax? b
型
cx?d
3.逆求法（反求法）：
通过反解，用
y
来表示
x
，再由
x
的取值范围，通过解不等式，得出
y
的取 值范围；
4.求函数值域时，要特别注意定义域的范围：
若两函数解析式相同，定义域不同，则函数值域往往不同
【精讲精练】
一．换元法
例1 求函数
y?2x?1?2x
的值域
【答案】：
(??,]

【解析】：令
1?2x?t(t?0)
，得
2x?1?t


y??t?t?
1(
t?
0)
，值域为
(??,]

变式1 求函数
y?x?1?2x
的值域
【答案】：
(??,
]

2
5
4
2
54
1
2
1?t
2
t
2
1
1
y ???t?(t?0)
，值域为
(??,]
【解析】：令
1?2 x?t(t?0)
，得
x?
222
2

二．分离常数法
例2 求函数
y?
x?1
的值域
x?1
【答案】：
(??,1)?(1,??)


【解析】：
y?

变式 求函数
y?
x?1?22
?1??1

x?1x?1
x?2
的值域
x?1
【答案】：
(??,1)?(1,??)


【解析】：
y?

例3求函数
y?
x?1?33
?1??1

x?1x?1
x?3
(2?x?3)
的值域
3?2x
【答案】：
[?5,?2]


199
? (3?2x)?
2
??
1
?
2
(2?x?3)
【解析】：
y?
2
3?2x23?2x
令
t?6?4x,?6?t??2


y??

变式 求函数
y?
【答案】：
[?
19
?
,
t?
[
?
6,
?
2]
，值域为
[?5,?2]< br>
2t
3x?2
(?1?x?1)
的值域
3?2x
71
,?]

84
35
?(3?2x)?
2
??
3
?
5
,?1?x?1
【解析】：
y?
2
3?2x26?2x
令
t?6?2x,t?[4,8]


y??
35 71
?
,
t?
[4,8]
，值域为
[?,?]

2t84

三．逆求法
3?x
的值域
2x?3
11
【答案】：
(??,?)?(?,??)

22
例4 求函数
y?
【解析】：定义域
{x|x?}
2x y?3y?3?x
，
x?
3
2
3?3y3
?
，
2y?12
1

2
2x?5
变式 求函数
y?(x?1)
的值域
3?x
3
【答案】：
(?2,?]

2
得
y??
【解析】：
3y?xy?2x?5
，
x?
3y?5
? 1
，
y?2
得
?2?y??

【思维拓展】
1.求
y??x
4
?4x
2
?2
值域
【答案】：
(??,6]


【解析】：令
t?x,t?0

2
3

2

y??t?4t?2,t?0
∴值域为：
(??,6]

2
x
2
?x?1
2. 求
y?
2
值域
x?x?1
【答案】：
[?,1)


5
3
22

?1?
1
2
3
x2
?x?1
(x?)?
24
1
2
33
令
t?(x?)??

244
235

y?1?,t?
，值域为
??y?1

t43
【解析】：
y?1?

【课外作业】
1．函数
f(x)?
1
?
x?R
?
的值域是（ ）
1?x
2
A.
(0,1)
B.
(0,1]
C.
[0,1)
D.
[0,1]

【答案】：
B

【解析】：令
t?1?x,t?1

y?,t?1
∴值域为
0?x?1

2
1
t
x
2
2.函 数
y?
2
的值域为
x?1
【答案】：
[0,1)

【解析】：
y?1?
1

2
x?1
3. 函数
y?2??x
2
?4x(x?[0,4])
的值域是
【答案】：
[0,2]

2
【解析】：令
t??x?4x,t?[0,4]

y?2?t?[0,2]


2
1
4. 若函数
y ?f(x)
的值域是
[,3]
，则函数
F(x)?
?
f(x )
?
?2f(x)?2
的值域是
2
【答案】：
[1,5]

【解析】：令
t?f(x),t?[,3]

F(x)?t?2t?2,t?[,3]
值域为
1?F(x)?5

22
,
5．求下列函数的值域
（1）
y?x?3x?2
（2）
y?x?x
2

【答案】：（1）
[?
1
2
1
11
（2）
(??,]

,??)
；
124
t
2
?2t
2
2
1
【解析】：（1）令t?3x?2,t?0
，
x?
，
y??t?,t?0
∴
y??

333
12
（2）令
t?|x|,t?0


y?t?t
,
t?
0

∴
y?
2

1

4

第七讲 函数的解析式
【学习目标】
l.进一步理解函数的概念
2.进一步理解函数解析式的概念
3.能运用待定系数法，换元法等方法求函数解析式

【知识要点】
l.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系。如
f(x)?x
2
?4x?4,x?R
，可以通过解析
式求出任意一个自变量 的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求
函数的值域.
2.< br>f(x)
与
f(x?1)
：自变量都是
x
，
f
的作用也一样，但两个函数的解析式不一样.
3.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法：已知函数类型求
f(x)
解析式用待定系数法
（2）配凑法：已 知
f(g(x))
的表达式求
f(x)
解析式用配凑法
（3）换元 法：已知
f(g(x))
的表达式求
f(x)
解析式用换元法
1< br>（4）方程组法：已知
af(x)?bf()
或
af(x)?bf(?x)的解析式，常用方程组法
x
（5）赋值法：当表达式中含有多个变量时，常用赋值法

【精讲精练】
一．待定系数法
例1 已知
f(x)
是 一次函数，且满足
3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17
，求
f(x)
.
【解析】：设
f(x)?kx?b


3f(x?1)?2f(x?1)?3[k(x?1)?b]?2[k(x?1)?b]


?kx?5k?b?2x?17


?
?
k?2
，
?
5k?b?17
得
?< br>?
k?2
，∴
f(x)?2x?7

b??7
?

变式 已知
f(x)
是二次函数，且满足
3f(x?1)?2f(x?1)?2x
2
?2x?17
，求
f(x )
.
【答案】：
f(x)?2x?18x?75

【解析】：设
f(x)?ax?bx?c


3f
(
x?
1)
?
2
f
(
x?
1)
?
3[
a
(
x?
1)
?b
(
x?
1)
?c
]
?
2[
a
(
x?
1)
?b
(
x?
1)
?c
]


?ax?
(10
a?b
)
x?a?
5
b?c?2
x?
2
x?
17

22
22
22
?
a?2
?
a?2
??
得
?
10a?b?2
，
?
b?18

?
a?5b?c?17
?
c??75
??
∴
f
(
x
)
?
2
x?
18
x?75


例2 已知
f(f(x))?4x?3
，求一次函数
f(x)
的解析式.
【答案】：
f(x)?2x?1
或
f(x)??2x?3

【解析】：设
f(x)?kx?b
，

f
(
f
(
x
))
?k
(
kx?b
)
?b?kx?kb?b?
4
x?
3

2
2
?
k
2
?4
?
k?2
?
k??2

?
，得
?
或
?

?
b?1
?
b??3
?
kb?b?3
∴
f(x)?2x?1
或
f(x)??2x?3


变式 已知二次函数
f(x)
的对称轴为
y
轴，满足
f(f(x))?x< br>4
?4x
2
?6
，求
f(x)
.
【答案】：
f(x)?x?2

【解析】：设
f(x)?ax?c


f
(
f
(
x
))
?a
(
ax?c
)
? c?ax?
2
acx?ac?c?x?
4
x?
6

223422242
2
2
?
a
3
?1
?
2
?
a?1
2

?
2ac?4
，得
?
∴
f(x)?x?2

?
c?2
?
ac
2
?c?6
?

二．配凑法
例3 已知
f(x?1)?x
2
?2x?2
，求
f(x)
.
【答案】：
f(x)?x?1

【解析】：
f(x?1)?(x?1)?1
，得
f(x)?x?1


22
2
11
变式1 已知
f(x?)?x
2
?
2
，求
f(x)

xx
2
f(x)?x?2
【答案】：
11
2
2
f(x)?x?2

f(x?)?(x?)?2
【解析】：，得
xx


三．换元法

例4 已知函数
f(x?1)?2x
2
?2x?3
，求
f(x)

2
f(x)?2x?6x?7
【答案】：
【解析】：令
x?1?t
，得
x?t?1

22
f(t)?2(t?1)?2(t?1)?3?2t?6t?7

∴
2
f(x)?2x?6x?7

∴

变式 已知
f(2x?1)?x
2
?x?1
，求
f(x)< br>的解析式.
x
2
?4x?1
【答案】：
f(x)?

4
【解析】：令
t?2x?1
，得
x?
t?1
< br>2
t?1
2
t?1t
2
?4t?1
)??1?
∴
f(t)?(

224
x
2
?4x?1
∴
f(x)?

4

例5 已知
f(x?1)?x?3x
，求
f(x)
.
【答案】：
f(x)?x?x?2(x?1)

【解析】：令
t?< br>2
x?1,t?1
，得
x?t?1

222
∴
f
(
t
)
?
(
t?
1)
?3(
t?
1)
?t?t?
2
(t?1)
∴
f(x)?x?x?2(x?1)

变式1已知
f(x?1)?2x?2x
，求
f(x)

2
f(x)?2x?2x(x??1)
【答案】：
【解析】：令
t?x?1,t??1
，得
x?t?1
< br>222
f(t)?2(t?1)?2(t?1)?2t?2t(t??1)f(x)?2x?2x (x??1)

∴ ∴
【思维拓展】
1. 设
f (x)
是定义在
R
上的连续函数，且对任意的实数
x
，
y< br>都有
f(x?y)?f(x)?f(y)
，且满足
f(1)?3

（1）若
n
是正整数，求
f(n)

（2）若
x< br>是有理数，求
f(x)
（提示：有理数可以表示为
著名的柯西方程）
【答案】：（1）
f(n)?3n
；（2）
f(x)?
p
的形式，其 中
p,q?Z
，此题的背景为
q
3p

q
【解析】 ：（1）
f(n)?f(n?1?1)?f(n?1)?f(1)?????nf(1)?3n

（2）
f(1)?f(q?)?????qf()
∴
f()?
1< br>q
1
q
1
q
f(1)3
?

qq
∴
f(x)?f()?????pf()?
【课外作业】
1． 已知
f(x)?x
2
?x
，则
f(x?1)?
（ ）
p
q
1
q
3p

q
A.
x
2
?x?1
B.
x
2
?x
C.
x
2
?2x?1
D.
x
2
?2x

【答案】：
B
【解析】：
f(x?1)?(x?1)?(x?1)?x?x


22

2 ．已知
f(x?1)?x?2x
，则
f(x)?
（ ）
A.
x
2
?1(x?1)
B.
x
2
?1
C.
x
2
?1(x?1)
D.
x
2
?1

【答案】：
A

【解析】：令
t?x?1,t?1
，得
x?t?1

22
∴
f(t)?(t?1)?2(t?1)?t?1,t?1

∴
f(x)?x?1,x?1

2
1?x1?x
2
3．已知
f(
，则
f(x)
的解析式为（ ）
)?
2
1?x1?x
2x2xxx
A.
f(x)?
B.
f(x)??
C.
f(x)?
D.
f(x)??

222
1?x1?x1?x1?x
2
【答案】：
A

1?x1?t

,t?1
得：
x?
1?x1?t
1?t
2
1?()
2x
(1?t)
2
?(1?t)
2
2t
1?t
∴
f(t)?
∴
f(x )?
??
2
1?t
2
(1?t)
2
?(1?t)< br>2
1?t
2
1?x
1?()
1?t
【解析】：令t?
4．已知
f(x)
是一次函数且
f{f[f(x)]}?8x?7< br>，求
f(x)

【答案】：
f(x)?2x?1

【解析】：设
f(x)?kx?b
，
32
f{f[f(x)]}? k[k(kx?b)?b]?b?kx?kb?kb?b?8x?7

则
3
?
?
k?2
?
k?8
∴
?
，得
?
b?1

2
?
kb?kb?b?7
?
?
∴
f(x)?2x?1

5．设函数
f(x)
定义域为
R< br>?
，对任意的
x,y?R
+
，有
f(x?y)?f(x)?f (y)
.已知
f(2)?a
，
f(5)?b
，
求
f (200)

【答案】：
f(200)?2b?3a

【解析】：
f(200)?f(25?8)?f(5?5)?f(2?2?2)?2b?3a

第八讲 单调性
【学习目标】
l.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤
2.会用图像求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力
3.掌握简单的含参数函数的单调性及单调性解简单的抽象不等式
【知识要点】
l.函数的单调性的定义
增函数定义：一般地，设函数
f(x)
的定义域为 I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意
两个自变量的值
x
1
、
x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x1
)?f(x
2
)
，那么就说函数
f(x)
在区间D上 是增函
数. 简称为：步调一致增函数.
几何意义：增函数的从左向右看, 图象是上升的。
减函数定义：一般地，设函数
f(x)
的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D 上的任意
两个自变量的值
x
1
、
x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说函数
f(x)
在区间D上是减函
数.简称为：步调不 一致减函数.
几何意义：减函数的从左向右看, 图象是下降的.
2.单调性的证明方法
判断或证明
f(x)
在区间
D
上的单调性应按以下步骤：
（1）取数：在该区间内的任取两个数
x
1
,x
2
，且
x< br>1
?x
2

（2）作差：将函数值
f(x
1
)
与
f(x
2
)
作差
（3）变形：将上述差式通过因式分解、通分、有理化等方法，化为几个因式的乘积或商
（4）定号：对上述变形的结果的正、负加以判断
（5）判断：对
f(x)
的单调性作出结论
其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止．
3.单调性的判断方法：
（1）定义法：利用定义严格判断；
（2）图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间；
（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性．

【精讲精练】
一．函数单调性的定义
例1问题①:分别作出函数
y?x?2
，
y??x?2
，
y?x
2
，
y?
时，函数值的变化规律. 如图1所示:
1
的图象，并且观察自变量变化
x

图1
问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?


2
问题③:如图2是函数
y?x?(x?0)
的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数 和
x
减函数吗？

图2
问题④:如何从解析式的角度说明
f(x)?x
2
在［0,+∞)上为增函数？

问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

归纳总结：
1.函数单调性的几何意义：

2.函数单调性的定义：

二．图像法判断函数单调性
例2 如图3是定义在区间［－5，5］上的 函数
y?f(x)
，根据图象说出函数的单调区间，以及
在每一单调区间上，它是增函 数还是减函数？


【答案】：单调增区间：
(?2,1)，
(3,5)
单调减区间：
(?5,?2)
，
(1,3)

【解析】：由单调性定义可得。

三．定义法判断函数单调性
例3 物理学中的玻意耳定律
p?
k
（k为正常数）告诉我们，对于一定量 的气体，当其体积V
V
减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.
【答案】：略
【解析】：对于定义域内任意的
V
1
、V
2
，设
V
1
?V
2
?0


p
1
?p
2
?
kkk(V
2
?V
1
)
???
0

V
1
V
2
V
1
V
2
∴
p
1
?p
2
即当体积
V
减少时，压强
p
将增大
∴函数
p?
k
为减函数
V
x
在
(1,??)
上是减函数；
x?1
变式 证明函数
f(x)?
【答案】：略
【解析】：对于
(1,??)
上 任意的
x
1
、x
2
，设
x
1
?x
2
?1


f(x
1
)?f(x
2
)?
x
1
xx
2
?x
1
?
2< br>??
0

x
1
?1x
2
?1(x
1
?1)(x
2
?1)
∴
f
(
x
1
)
?f
(
x
2
)
∴函数
f(x)?
x
在
(1,??)
是减函数
x?1

例4 已知函数
f(x),g(x)
都是R上的增函数 ，求证：
f(x)?g(x)
是R上的增函数
【答案】：略
【解析】：对 于
R
上任意的
x
1
、x
2
，设
x
1
?x
2

则有
f(x
1
)? f(x
2
)
，
g(x
1
)?g(x
2
)< br>

[f(x
1
)?g(x
1
)] ?[f(x
2
)?g(x
2
)]?[f(x
1
)?f(x< br>2
)]?[g(x
1
)?g(x
2
)]?0

∴
f(x
1
)?g(x
1
)?f(x< br>2
)?g(x
2
)

∴
f(x)?g(x)
是
R
上的增函数
变式 已知 函数
f(x)
是R上的增函数，
g(x)
是R上的减函数，求证：
f (x)?g(x)
是R上的增
函数
【答案】：略
【解 析】：对于
R
上任意的
x
1
、x
2
，设
x
1
?x
2

则有
f(x
1)?f(x
2
)
，
g(x
1
)?g(x
2)


[f(x
1
)?g(x
1)]?[f(x
2
)?g(x
2
)]?[f(x
1
)? f(x
2
)]?[g(x
2
)?g(x
1
)]?0

∴
f(x
1
)?g(x
1
)?f(x< br>2
)?g(x
2
)

∴
f(x)?g(x)
是
R
上的增函数
四．简单的含参函数的单调性
例5 已知函数
f(x)?x
2
?2(a?1 )x?2
在区间
(??,4]
上是减函数，求
a
的取值范围．
【答案】:
a??3

【解析】：对称轴
x?1?a

∴
1?a?4
即
a??3

变式1 函数
y?2x
2
?mx?1
在
x??1
上y随着x的增大而 增大，则当
x??1
时，求对应的函数
值的取值范围.
【答案】：
(??,?1]

【解析】：对称轴
x??
mm
，∴
???1
，
m?4

44
∴
f(?1)?3?m??1

五．利用单调性解抽象不等式
3
例6 已知函数
f(x)
是减函数，则
f(x
2
?x?1)
与
f()
的大小关系是
4
【答案】：
f(x?x?1)?f()

【解析】：
x? x?1?(x?)?
2
2
2
3
4
1
2
2< br>33
?

44
∴
f(x?x?1)?f(
)

变式 已知函数
f(x)
是减函数，解不等式
f(2x?1)?f(x?2)

【答案】：
(??,?3)

【解析】：
2x?1?x?2
∴
x??3

【思维拓展】
1.已知
f(x)
是定义在(0,+∞)上的减函数，若
f(2a
2
?a?1)?f(3a
2
?4a?1)
成立，则a的取值范围是
__ ____.
【答案】：
(0,)?(1,5)

【解析】：
2a?a?1?3a?4a?1?0
解得：
0?a?
【课外作业】
1．下列函数中，在区间
(0，2)
上为增函数的是( )
A.
y??x?1
B.
y?
【答案】：
【解析】：



2．函数f(x)＝2x
2
－mx＋3，当
x?[?2,??)< br>时，f(x)为增函数，当
x?(??,?2)
时，函数f(x)为减函
数，则 m等于( )
A．－4 B．－8 C．8 D．无法确定
22
3
4
1
3
1
或
1?a?5

3
x
C.
y?x
2
?4x?5
D.
y?
2
x

B
A

：一次函数，在
对称轴
R
上单减

C:x?2
，在
(??,2)
单减

D:
反比例函数在
(??,0)?(0,??)
单减

【答 案】：
B
【解析】：由题意得，
x??2
是对称轴，∴
m
? ?2

4

3．已知
f(x)
为
R
上 的减函数，则满足
f()?f(1)
的实数
x
的取值范围是( )
A.
(??，1)

【答案】：
D

【解析】：

4．函数f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有( )
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b) B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
【答案】：
C

【解析】：
a??b
，∴
f(a)?f(?b)
；同理，
f(b)? f(?a)


5．设x
1
，x
2
为y＝f(x) 的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①(x
1
－x
2
) [f(x
1
)－f(x
2
)]>0；②(x
1
－x
2
)[f(x
1
)－f(x
2
)]<0；
③
f( x
1
)－f(x
2
)f(x
1
)－f(x
2
)
>0；④<0.
x
1
－x
2
x
1
－x
2
B.
(1，??)
C.
(??，0)
1
x
(01)，
D.
(??，0)(1，??)

1
?1
，解得
x?1或x?0

x
其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________.(填序号)
【答案】：①③
【解析】：由单调性判定方法：同增异减