高中数学必修2期末试题-对高中数学的感知和认识
第10章 简单的二元二次方程的解法
【知识衔接】
————初中知识回顾————
含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．
由一个
二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二
元二次
方程组．
————
高中知识链接
————
二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决．
【经典题型】
初中经典题型
?
2x?y?0
(1)
【例1】解方程组
?
2
2
x?y?3?0
(2)
?
分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得
y?2x，代入方程(2)消去
y
．
说明：(1)
解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：
①由二元一次方程变形为用
x
表示
y
的方程，或用
y
表示
x
的方程(3)；
②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；
③解消元后得到的一元二次方程；
④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；
⑤写出答案．
(2)
消
x
，还是消
y
，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那
么最好消去系数绝对值较小的，如方程
x?2y?1?0
，可以消去
x
，变形得
x?2y?1
，再代入消元．
(3) 消元后，求出一
元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求
另一未知数的值，因
为这样可能产生增根，这一点切记．
【例2】解方程组
?
?
x?y?11
(1)
?
xy?28 (2)
?
x?y?a
说明： (1) 对于这种对称性的方程组
?
，利用一
元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知
xy?b
?
数要换成异于
x<
br>、
y
的字母，如
z
．
(2) 对称形方程组的解也应是对称
的，即有解
?
?
x?4
?
x?7
，则必有解
?．
?
y?7
?
y?4
高中经典题型
22
?
?
x?y?5(x?y)
(1)
【例1】解方程组
?
22
?
?
x?xy?y?43 (2)
分析：
注意到方程
x?y?5(x?y)
，可分解成
(x?y)(x?y?5)?0
，即得
x?y?0
或
x?y?5?0
，
则可得到两个二元二次方程组
，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．
解：由(1)得：
22
x
2
?y
2
?5(x?y)?0?(x?y)(x?y)?5(x?y)?0?(x?
y)(x?y?5)?0
∴
x?y?0
或
x?y?5?0
?
x?y?5?0
?
x?y?0
或
?
2
∴
原方程组可化为两个方程组：
?
2
22
?
x?xy?y?
43
?
x?xy?y?43
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：
?
x
4
??43
?
x
1
??1?
x
2
?6
?
?
x
3
?43
?
,
?
,
?
,
??
?
y
1
??6
?
y
2
?1
?
?
y
4
?43
?
y
3
??43
?
说明：由两个二元二次方
程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则
原方程组转化为解两个方
程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．
2
?
?
x?xy?12
(1)
【例2】解方程组
?
2
?
?
xy?y?4
(2)
分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项
式的方
程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．
解：(1)
–(2)
?3
得：
x?xy?3(xy?y)?0
即
x?2xy?3y?0?(x?3y)(x?y)?0
∴
x?3y?0或x?y?0
22
22
∴ 原方程组可化为两个二元
一次方程组：
?
?
x?3y?0
?
x?y?0
．
,
?
22
?
xy?y?4
?
xy?y?4
用代入法
解这两个方程组，得原方程组的解是：
?
?
x
1
?3?
x
2
??3
,
?
．
?
y
1
?1
?
y
2
??1
说明：若方程组的两个方程均缺一次项
，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组
中的任一个方程联立，得到一个可因式分解
型的二元二次方程组．
?
x
2
?y
2
?26
(1)
【例3】解方程组
?
?
xy?5
(2)
分析：(1) +(2)
?2
得：
(x?y)?36
(3)
，(1) -(2)
?2
得：
(x?y)?16
(4)
，分别分解(3)、(4)可得四
个二元一次方程组．
解：(1) +(2)
?2
得：
x?y?2xy?36?(x?y)?36?x?y?6或x?y??6，
222
22
(1) -(2)
?2
得：
x
2
?y
2
?2xy?16?(x?y)
2
?16?x?y?4或x
?y??4
．
解此四个方程组，得原方程组的解是：
?
x
1?5
?
x
2
?1
?
x
3
??1
?
x
4
??5
,
?
,
?
,
?<
br>．
?
y?1y?5y??5y??1
?
1
?
2?
4
?
3
?
x
2
?
y
2
?a
?
x
2
?y
2
?a
?<
br>x?y?m
说明：对称型方程组，如
?
、
?
都可以通过变形转
化为
?
的形式，通
?
xy?n
?
x?y?b
?xy?b
过构造一元二次方程求解．
【例4】解方程组
?
?
xy?x?3 (1)
3xy?y?8 (2)
?
说明：若方程组的两个方程的二次项系数对
应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次
方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解
此方程组，即得原方程组的解．
二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决．
【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．解下列方程组：
?
x?y
2
?6
(1)
?
?
y?x
?
x
2
?2y
2
?8
(2)
?
?
x?y?2
?
x?y?1
(3)
?
2
2
?
2x?3xy?y?5
?
x?2y?0
(4)
?
2
?
3x?2xy?10
2．解下列方程组：
?
x?y??3
(1)
?
xy?2
?
?
x?y?1
(2)
?
xy??6
?
3．解下列方程组：
(1)
?
?
x(2x?3)?0
2
?
y?x?1
(2)
?
?
(3x?4y?3)(3x?4y?3)?0
?
3x?2y?5
?
(x?y?2)(x?y)?0
(3)
?
2
2
?
x?y?8
(4)
?
?
(x?y)(x?y?1)?0
?
(x?y)(x?y?1)?0
4．解下列方程组：
22
?
?
x?y?3
(1)
?
22
?
?
x?y?0
(2)
?
?
xy?x?16
xy?x?8
?
————再战高中题 —— 能力提升————
B
组
1．解下列方程组：
?
x?2y?3
(1)
?
2
x?2y?3x?2?0
?
?
2x?3y?1
(2)
?
2
2
2x?3xy?y?4x?3y?3?0
?
2．解下列方程组：
(1)
?
?
x?y?3
?
xy??2
(2)
?
?
x?2y?4
?
2xy??21
3．解下列方程组：
22
?
?
3x?y?8
(1)
?
22
?
?
x?xy?y?4
?
x
2
?y
2
?4
(2)
?
?
2xy??21
4．解下列方程组：
参考答案
A 组
?
x
2
?y
2
?5
(1)
?
?
xy??2
?
x?y?4
(2)
?
2
2
?
x?y?10
?
8
?
x?
?
x
1
?
2
x
1
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x
2
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1
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x
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?
6
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4
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22
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．(2) 4．(1)
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B 组
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x
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