高初中数学教学衔接教材(学生版)

高初中数学衔接教学讲义
第一讲 因式分解
知识点：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做 因式分解 ，也叫做 分解因式 ，
因式分解 与整式的乘法互为逆运算。
常用的因式分解方法：1.提取公因式法 2.公式法 3.分组分解法 4.十字相乘法
分组分解法要点：把多项式各项分一项、两项或 三项作一组因式分解，但各组必须有公
因式或能用公式法。
十字相乘法要点：
对 形如
ax?bx?c
的多项式，若能分解成
(mx?p)(nx?q)
，则应 有
mn?a,mq?

2
p
np?b,pq?c
，即寻求这 样的行列结构
m
n
?
q
，第一列积为a，第二列积为c，交叉相乘的 和
为b。

引例：把下列多项式因式分解。
1．
x(x?y)?(x?y)
2
2．
6(m?n)
3
?12(n?m)
2


3．
x
6
?10x
3
?25
4．
y
n?2
?y
n


例1：利用分组分解法因式分解。
1．
ab?ac?bc?c
2


3．
a
2
?2ab?b
2
?c
2
4．
x(x?1)(x?2)?6


例2：利用立方和（差）公式因式分解。
1．
a
3
?b
3


nn
?y
例3：如果
x?y
被
x?y
整除，那么
x


例4：用十字相乘法把下列各式因式分解。
n?2n?2
2．
a(a?c)?b(a?c)

2222
2．
a
3
?b
3
3．
(x?y)?(z?x)?(y?z)

?
333
也被
x?y
整除。（
n?N
）
1．
x
2
?7x?6

3．
m
2
?7m?18





2．
?x
2
?12x?27

4．
x
2
?(a?b)x?ab

1

例5：用十字相乘法把下列各式因式分解。
1．
3x
2
?4x?7
2．
4x?31x?45

2
2
3．
2m?(2?3)m?6

例6：把下列各式因式分解。
1．
6x
2
?11xy?3y
2
2．
7p
2
?5pq?2q
2

3．
(a
2
?3a)
2
?2(a
2
?3a)?8


练习：把下列各多项式因式分解。
1．
m
3
(2x?y)?m
2
n(y?2x)


3．
ab?a?b?1

5．
x
3
?xyz?x
2
y?x
2
z


7．
(a?b)
2
?4ab?c
2


9．
x
4
?3x
2
?1


11．
2y
2
?y?6


13．
a
4
?2a
2
?63


15．
(a
2
?1)(b
2
?1)?4ab


4．
x
4
?6ax
2
?9b
2
?18ab
2．
3(a?b)
2
?6(b?a)

4．
4(a
2
?b
2
)?a?b

6．
x
4
?4x
3
?12x?9

8．x
3
?y
3
?x
2
?xy?y
2

10．
a
8
?a
4
b
4
?b
8

12．
6a
2
?7a?5

14．
(x2
?2x)
2
?2(x
2
?2x)?3
2

第二讲 三角形的“四心”
知识点：
1．三角形的“四心”
定义 性质 位置
外心 三角形三边的中垂线相交于一点，这点外心到三个顶点的距离相等 锐角三角形在内：直角三角形在斜边
叫做三角形的外心。
内心 三角形三个内角平分线相交于一点，这内心到三边的距离相等
点叫做三角形的内心。
重心 三角形三边中线相交于一点，这点叫做重心与三角形顶点的距离是在三角形内
三角形重心。 它与对边中点距离的两倍
锐角三角形在三角形内；直角三角形
在直角顶点；钝角三角形在三角形外
的中点；钝角三角形在三角形外
在三角形内
垂心 三角形三条高线相交于一点，这点叫做
三角形的垂心
2．三角形内角平分线性质定理
（1）．定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
（2 ）．符号表示：已知△ABC中，AD是∠A的平分线，则
（3）．证明：如图（2），过点C作 CE∥AD ，
交BA的延长线于E点，则
∵ CE∥AD ，∴∠1=∠E，∠2= ∠3 。
又∵AD是∠A的平分线，
∴ ∠1 = ∠2
∴∠3=∠E，∴AE= AC
又CE∥DA，∴
BD
=
DC
AB
AC
。
BD
=
DC
BA
AE
，∴
BD
AB
=
DC
AC
F
A
E
G
D
K
C
例：如图，已知G为
?ABC
的重心，求证：
GA?2GD
。


B


一、填空题
1． 正三角形 是特殊三角形，它的“四心” 。
2．如图，在△ABC中，AD、BE、CF交于一点G。
（1）如果G为内心，那么AD ∠BAC且G
到 的距离相等。
（2）如果G为重心，那么AD BC且GA= GD。
（3）如果G为垂心，那么AD BC。
3

3．已知 Rt△ABC中，∠C为直角，斜边上的高长CH=
24
，则△ABC，△HCA，△HCB的
5
内切圆半径之和为 。
二、选择题
1．若G， L，H分别是△ABC的重心、内心、垂心，且AB>AC，则关系式（甲）S
△
AGB
>S
△
AGC
，
（乙）S
△
ALB
>S
△
ALC
，（丙）S
△
ABC
=S
△
AHC
+S
△
BHC
+S
△
CHA
中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 < br>2．点P在锐角△ABC的内部，若∠PAB+∠PBC+∠PCA=90°，则点P是任意锐角△ABC
的（ ）
A．外心或内心或重心 B．内心或重心或垂心
C．外心或内心或垂心 D．外心或重心或垂心
3．一条直线平分三角形的周长和面积，那么该直线必须通过三角形的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
三、解答题
⌒
⌒
1．如图，在⊙O中， AB与BC相等，OD⊥BC，OE⊥AC，
垂足分别为D、E，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形？为什么？



2．如图，已知△ABC中，AD是∠A的平分线，AB=5cm，AC=4cm，
BC=7cm，求BD的长。










4

第三讲 基本数学思想方法
配方法
知识点 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧， 配成“完全平方”有利于平方非
负性质的应用，对于二次函数可直接得到其顶点坐标及对称轴。配方法在 高中数
学有着非常广泛的应用。
练习
1．用配方法求二次函数图象
y??
1
2
5
x?3x?
的顶点坐标与对称轴。
22
2 ．将二次函数
y??2x
2
?4x?5
开口反向，顶点不变，求所得的函数的 解析式。

3．已知
a
2
?b
2
?2a?b?

4． 把多项式
4a
2
?4ab?4ac?b
2
?c
2
? 2bc
分解因式。

5．求证：任意四个连续整数的积加上1是一个完全平方数。


5
?0
，求代数式a－b的值。
4
换元法
知识点 换元法是一种变量代换，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，从而使问
题得到简化，换元的实质是转化，目的是化归。
练习
11
1．已知
a??2,求a
2
?
2
的值。 2．计算
(1?2?3)(1?2?3)
。
a
a

3．因式分解：
(x
2
?2x)
2
?7(x
2
?2 x)?8
。

2
4．解方程
(6x?7)
4
?(6x?7)
2
?72?0
。
2
5．解方程：
x?x? 1?
2
。
x?x




3xx
2
?4
??4
。 6．解方程：
2
x
x?4

5

数形结合法
知识点 数形结合思想作为中学数学很重要的一种思想方 法，将广泛应用于中数学各章
节，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，把抽象思维和形象 思维
结合，使问题化难为易，化抽象为具体。具体应用通常分为由数研究形与由形研
究数两种情 况。




练习
1．已知函数
y?(3k?5)x?k
2
的值随x的增大而增大，且其
图象经过点A（0，4），求此函数的解析式。

2．右图中直线
l
1
和l
2
的交点P的坐标为 可看为方
程组的 解。
3．反比例函数
y ?
k
(x?0)
的图象是轴对称图形，画出它的图象可以看出，它有 条
x
对称轴，对称轴的表达式分别为 。
1
1
的图象是 ；（2）函数
y?
的图象是 ；
x
x
4．看下列图形填空字母：（1）方程
y?
（3）函数y??
1
1
的图象是 ；（4）方程
y?
的图象是 ；
x
x

5．函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象（抛物线）与x轴的交点 有 种情况，分别与一元
二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0 )
的根的情况对应：
（1）抛物线与x轴有两个交点时，方程有 个不相等实根；
（2）抛物线与x轴有1个交点时，方程有 个实根；
（3）抛物线与x轴没有交点时，方程有 个实根；
6

y?x
2
?2x

y?x
2
?2x?1

y?x
2
?2x?2

6．抛物线
y?ax
2
?bx?c
与x轴有交点时，交点的 就是方程
ax
2
?bx?c?0
的
实数根。例如：
（1）抛物线
y?x(x?2)
与x轴有 个交点，它们的坐标为 ；方程
x(x?2)?0
的实根为 ；
（2）抛物线
y?(x?1)
2
与x轴有 个交点，其坐标为 ；方程
(x?1)
2
?0
实
根为 。 < br>7．已知抛物线与y轴交于点A（0，－3），与x轴的两个交点的横坐标为方程
x
2< br>?2x?3?0

的两根，求它的解析式、顶点坐标和对称轴方程。












7

反证法
知识点 先假设命题的结论不成立， 然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛
盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明 方法称为反证法。
练习
用反证法证明
1．在△ABC的内角中，至少有一个不大于60°。






2．已知a、b、c是直线。如果a∥b，c与a相交，那么c与b也相交。




3．在△ABC中，如果AB=AC，那么∠B=∠C。






4．如果a是实数，且
a?2
是有理数，那么a是无理数。




5．求证：
2
是无理数。
8