专题01 数与式的运算-初升高数学衔接必备教材(解析版)

专题01数与式的运算

高中必备知识点1：绝对值

绝 对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是
零．即：
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到 原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．

典型考题
【典型例题】
阅读下列材料：

我们知道
x
的几何意义是在数轴上数
x< br>对应的点与原点的距离，即
x
=
x?0
，也就是说，
x
表示在数轴
上数
x
与数
0
对应的点之间的距离；这个结论可以推广 为
x
1
?x
2
表示在数轴上数
x
1
与数< br>x
2
对应的点之间
的距离；

例
1
解方程< br>|
x
|=2
．因为在数轴上到原点的距离为
2
的点对应的数为
?2
，所以方程
|
x
|=2
的解为
x??2
．

例
2
解不等式
|
x
－
1|
＞
2
．在数轴上找出
|
x
－
1|=2
的解（如图） ，因为在数轴上到
1
对应的点的距离等于
2
的点对应的数为－
1或
3
，所以方程
|
x
－
1|=2
的解为
x
=
－
1
或
x
=3
，因此不等式
|x
－
1|
＞
2
的解集为
x
＜－
1或
x
＞
3
．


例
3
解方程
|
x
－
1|+|
x
+2|=5
．由绝对值的几何意 义知，该方程就是求在数轴上到
1
和－
2
对应的点的距离之
和等于< br>5
的点对应的
x
的值．因为在数轴上
1
和－
2
对应的点的距离为
3
（如图），满足方程的
x
对应的点在
1
的右边或－
2
的左边．若
x
对应的点在
1
的右边，可得< br>x
=2
；若
x
对应的点在－
2
的左边，可得
x
=
－
3
，

因此方程
|
x
－
1|+|
x
+2|=5
的解是
x
=2
或
x
=
－
3
．

参考阅读材料，解答下列问题：

（
1
）方程
|
x
+2|=3
的解为

；

（
2
）解不等式：
|
x
－
2 |
＜
6
；

（
3
）解不等式：
|
x
－
3|+|
x
+4|≥9
；

（
4
）解方程
: |
x
-2|+|
x
+2|+|
x
-5|=15.

【答案】（
1
）
x?1
或
x=
－
5
；（
2
）－
4
＜
x
＜
8
；（
3
）
x≥
4
或
x≤
－
5
；（
4）
x??
【解析】

（
1
）由已知可得
x+2=3
或
x+2=-3
解得
x?1
或
x=
－
5
．

（< br>2
）在数轴上找出
|
x
－
2|=6
的解．∵在数轴上 到
2
对应的点的距离等于
6
的点对应的数为－
4
或
8
，

∴方程
|
x
－
2|=6
的解为x=
－
4
或
x=8
，∴不等式
|
x
－
2|
＜
6
的解集为－
4
＜
x
＜
8
．

（
3
）在数轴上找出
|
x
－
3|+|
x
+4|=9
的解．


由绝对值的几何意义知 ，该方程就是求在数轴上到
3
和－
4
对应的点的距离之和等于
15< br>的点对应的
x
的值．
∵在数轴上
3
和－
4
对 应的点的距离为
7
，∴满足方程的
x
对应的点在
3
的右边或 －
4
的左边．

若
x
对应的点在
3
的右边 ，可得
x=4
；若
x
对应的点在－
4
的左边，可得
x=
－
5
，

∴方程
|
x
－
3| +|
x
+4|=9
的解是
x=
4
或
x=
－
5
，

∴不等式
|
x
－
3|+|
x
+4|≥9
的解集为
x≥
4
或
x≤
－
5
．

（
4
）在数轴上找出
|
x
-2|+|
x
+2|+|
x
-5|=15
的解．

由绝对值的 几何意义知，该方程就是求在数轴上到
2
和－
2
和
5
对应的 点的距离之和等于
9
的点对应的
x
的
值．

∵在数 轴上
-2
和
5
对应的点的距离为
7
，∴满足方程的
x
对应的点在
-2
的左边或
5
的右边．

1020
.
或
x?
33
2010
；若
x
对应的点在－
2
的左边，可得
x??
，

33
1020
.
∴方程
|
x
-2|+|x
+2|+|
x
-5|=15
的解是
x??
或
x?
33
若
x
对应的点在
5
的右边，可得
x?【变式训练】
实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .

【答案】
a-2b
【解析】

解：由数轴知：a
＜
0
，
b>0
，
|a|
＞
|b|< br>，

所以
b-a>0
，
a-b
＜
0
原式
=|a|-
（
b-a
）
-(b-a)
=-a-b+a-b+a
=a-2b
【能力提升】
已知方程组
(1)求的取值范围；
(2)化简：
【答案】(1) ?1【解析】

(1)
.
.
的解的值的符号相同.
①
+
②得：
5x=15?5a
，即
x=3?a
，

代入①得：
y=2+2a
，

根据题意得：
xy=(3?a)(2+2a)>0
，

解得
?1；

(2)
∵
?1，

∴当?1高中必备知识点2：乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a?b
；
（2）完全平方公式
(a?b)?a?2ab?b
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；
2233
222
22

（2）立方差公式
(a?b)(a?ab?b)?a?b
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
；
（5）两数差立方公式
(a?b)?a?3ab?3ab?b
．

33223
2222
2233
33223
典型考题

【典型例题】
?
1
?
（
1
）计算：
?< br>?
?
?2016
0
?(?2)
3
?(?2)
2

?
2
?
2
（
2
）化简：
(a ?2b)(a?2b)?(a?2b)

?2
【答案】（
1
）
3
2
（
2
）
4ab-8b
【解析】

4
解：（
1
）原式
=4+1+
（
-8
）
÷< br>=5-2
=3
2222
（
2
）原式
=a-4b-(a-4ab+4b)
=a
2
-4b
2
-a
2
+4ab-4b
2

=4ab-8b
2

【变式训练】
计算：

（
1
）
(
?
?3.14)?(?4)?()

（
2
）
(x?3)?(x?2)(x?2)

【答案】（
1
）
8
（
2
）－
6x+13
【解析】

2
02
1
3
?2

(1)
原式
=1+16-9=8< br>；

(2)
原式
=x
2
-6x+9-(x
2
-4)
=x
2
-6x+9-x
2
+4
=-6x+13.
【能力提升】
已知
10
＝
a
，
5
＝b
，求：

x
（
1
）
50
的值；

x
（
2
）
2
的值；

x
（
3
）
20
的值．（结果用含
a
、
b
的代数式表示 ）

xx
a
a
2
.
【答案】
(1)ab;(2);(3)
b
b
【解析】

xx
5
x
＝
ab
；

解：（
1< br>）
50
＝
10×
10
?
10
x
a< br>?
x
（
2
）
2
＝
??
?
x
?
；

5b
?
5
?
x
1010< br>x
a
2
??
x
x
（
3
）
2 0
＝
?
?10
?
?
x
?10?
．

5b
?
5
?

x
高中必备知识点3：二次根式

一般地，形如
a(a?0)
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不 能够开得尽方的式子
2
222
称为无理式.例如
3a?a?b?2b
，
a?b
等是无理式，而
2x?
2
x?1
，
x2
?2xy?y
2
，
2
a
2
等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（ 子）有理化，需要引入
有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根 式，我们就

3a
与说这两个代数式互为有理化因式，例如
2
与
2
，
与
23?32
，等等．一般地，
a
为有理化因 式．
x
a
23?32
，
3?6
与
3?6
，
与
x
，
ax?by
与
ax?by
，
ax ?b
与
ax?b
互
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式， 化去分母中的根号的过程；而分子
有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的 过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有
理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同
类 二次根式．
2
2．二次根式
a
的意义
?
a,a?0,

a?a?
?
?a,a?0.
?
2

典型考题

【典型例题】
计算下面各题．（
1
）
(6?215)? 3?6
（
2
）
4x?22x?
1
;
2
1
8x?4x

2
【答案】
(1)
?65
;(2)
【解析】

（
1
）（
6?215
2x?2x

）
×
3
﹣
6
1

2
＝
3
2
﹣
6
5
﹣
3
2

＝﹣
6
5
；

（
2
）4x
+2
2x
﹣
1
8x
﹣
4
x

2
＝
2
x
+2
2x
﹣
2x
﹣
4
x

＝
2x
﹣
2
x
．

【变式训练】
1
??
1
?
小颖计算
15?
??
时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：

35
??
解：原式＝
15?
11
?15?

35
＝

15?3?15?5

＝
35?53
．

她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．

【答案】不正确，见解析

【解析】

解：不正确，正确解答过程为：

原式＝
15
÷
5+3

15
15

＝
5+3
155-153
.
2
═
【能力提升】
先化简，再求值：
(
2a?bba?2b
-)÷
，其中
a=
2
+
3
，
b=
2
-
3
．

a?ba?ba?b
【答案】
2a
6?3
；．

a?b
3

【解析】

解：
(
2a?b
b
a?2b
-)÷
a?b
a?b
a?b
=
?
2a?b
??
a?b
?
?b
?
a?b
?
?
a?b

a?ba?ba?2 b
????
2a
2
?3ab?b
2
?ab?b
2< br>1
=
?
a?ba?2b
=
2a
?
a?2b
?
a?b
2a
，

a?b
?
1

a?2b
=
当
a=
2
+
3
，
b=
2
-
3
时，

2
原式
=
?
?
2?3
2?3?
??
?
2?3
?
=
2
?
2?3
23
?
=
6?3
．

3

高中必备知识点4：分式

1．分式的意义
形如< br>AAA
的式子，若B中含有字母，且
B?0
，则称为分式．当M≠0时，分式具 有下列性质：
BBB
AA?M
；
?
BB?M
AA?M
．
?
BB?M
上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式

a
m?n?p
像
b
，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2m
c?d
n?p

典型考题

【典型例题】
x?1x?22x
2
?x
2
先化简，再求值
(
，其中
x
满足
x+x
﹣
1
＝
0
．

?)?
2
xx?1x?2x?1
【答案】
1?x
,1.
2
x
【解析】

-2x?1
?
x?1
?< br>1?x
解：原式＝
?
2

x
?
x?1?
x
?
2x?1
?
x

x
2
?x﹣＝10，

?x
2
＝﹣1x，
∴原式＝
1.
2
【变式训练】
4x
2
?4xy?y
2
÷
化简：（
4x
2
－
y
2
）

2x?y
【答案】
【解析】

1

2x?y
4x
2
?4xy?y
2
÷
（
4x
2
－< br>y
2
）

2x?y
(2x?y)
2
1
?
=
2x?y(2x?y)(2x?y)
=
1
.
2x?y
【能力提升】
11
a?2ab?b
??2
，则的值等于多少？

2a?2b?7ab
ab
4
【答案】
?
.
3
已知：
【解析】

解：∵
11
??2
，

ab
∴
a-b=-2ab
，

则
?2ab?2ab4
??

?4ab?7ab3
专题验收测试题

1
．下列计算结果为
a
2
的是（ ）

A
．
a
8
÷a
4
（
a≠0
）
B
．
a
2
?a
C
．﹣
3a
2
+
（﹣
2a
）
2
D
．
a
4
﹣
a
2

【答案】
C
【解析】

A
、
a
8
÷a
4
＝< br>a
4
，故此选项错误；

B
、
a
2
?a
＝
a
3
，故此选项错误；

C
、﹣
3 a
2
+(
﹣
2a)
2
＝
a
2
，故 此选项正确；

D
、
a
4
与
a
2
不是同类项，不能合并，故此选项错误，

故选
C
．

2< br>．如图，将图
1
中阴影部分拼成图
2
，根据两个图形中阴影部分的关系 ，可以验证下列哪个计算公式（

A
．（
a+b
）（
a﹣
b
）＝
a
2
﹣
b
2
B
． （
a
﹣
b
）
2
＝
a
2
﹣
2ab+b
2

C
．（
a+b
）
2
＝a
2
+2ab+b
2
D
．（
a+b
）
2
＝（
a
﹣
b
）
2
+4ab
【答案】
B
【解析】

∵图
1
中阴影部分的面积 为：（
a
﹣
b
）
2
；图
2
中阴影部分的面 积为：
a
2
﹣
2ab+b
2
；

∴（a
﹣
b
）
2
＝
a
2
﹣
2ab +b
2
，

故选
B
．


）

3
．下列计算正确的是（ ）

23862
A< br>．
x
2
+x
3
=x
5
B
．
x
2
?x
3
=x
5
C
．
x=x
3

（﹣
x
）
=x D
．
x÷
【答案】
B
【解析】

A
、不是同类项，无法计算，故此选项错误；

B、
C、
D、
故选：
B
．

4
．下列计算正确的是（ ）

A
．
a
3
+a
4
＝
a
7

【答案】
B
【解析】

34
解：
A
、
a+a
，无法计算，故此选项错误；

正确；
故此选项错误；
故此选项错误；
B
．
a
4
?a
5
＝
a
9
C
．
4
m
?5
m
＝
9
m
D
．
a
3
+a
3
＝
2a
6
B
、
a
4
?a
5
＝
a
9
，正 确；

C
、
4
m
?5
m
＝
20< br>m
，故此选项错误；

D
、
a
3
+a
3
＝
2a
3
，故此选项错误．

故选：
B
．

5
．下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（ ）

3
a
﹣
1
＝
a
2
②（
2a
3< br>）
2
＝
4a
5
③（①
a÷
1
23< br>1
36
﹣
5
1
222
ab
）＝
ab
④
2
＝⑤（
a+b
）＝
a+b
2632
C
．
4
道
D
．
5
道
A
．
2
道

【答案】
C
【解析】

B
．
3
道

3
﹣
1
a
＝
a
4
，故此选项错误；

①
a÷
326
② （
2a
）＝
4a
，故此选项错误；

1
23
1
36
ab
）＝
ab
，故此选项错误；

28
1
5
④
2
﹣
＝，正确；

3 2
③（

222
⑤（
a+b
）＝
a+2ab+ b
，故此选项错误；

则错误的一共有
4
道．

故选：
C
．

6
．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字 的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则一次沿顺时针方向
跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿 逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从
1
这点开始跳，则经过
2019
次跳后它 所停在的点对应的数为（ ）


A
．
1
【答案】
B
【解析】

B
．
2 C
．
4 D
．
5
设第
n
次跳到的点为
a
n
（
n
为自然数），

观察，发现规律：
a
0
=1
，
a
1
=3
，
a
2
=5
，
a
3
=2
，
a
4
=1
，
a
5
=3
，
a
6
=5
，
a
7< br>=2
，
…
，

∴
a
4n
=1
，
a
4n+1
=3
，
a
4+2
=5
，< br>a
4n+3
=2
．

4+3
，

∵
2019=504×
∴经
2019
次跳后它停的点所对应的数为
2< br>．

故答案为：
2
．

7
．下列计算中，正确的是

A
．
4??2

【答案】
B
【解析】

解：
A.
B
．
a?a
C
．
a
2
·a
3
?a
6
D
．
?1
2
?1

4?2
，故
A
错误；

B.
a?a
，正确；

C.
a
2
a
3
?a
5
，故
C
错误；

D.
?1
2
??1
，故
D
错误；

故选：
B
．

8
．下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（ ）

A
．
18?
?
11
?
11
?
?
?
?18??18?

36
?
36
?< br>B
．
2
（
x
﹣
y
）＝
2x
﹣
2y
C
．
x?0.110x?1
?

0.33
D
．
a
（
b
﹣
1
）＝
ab
﹣
a
【答案】
C
【解析】

解：
A
、
18?
?
11
?
11
?
?
?
? 18??18?
，单项式乘多项式；

36
?
36
?
B
、
2
（
x
﹣
y
）＝
2x
﹣< br>2y
，单项式乘多项式；

C
、
x?0.110x?1
?
，根据分式的性质；

0.33
D
、
a
（
b
﹣
1
）＝
ab
﹣
a
，单项式乘多项式；

则变形依据与其它三项不同的是
C
，

故选：
C
．

9
．下列运算正确的是（ ）
< br>A
．
a
5
﹣
a
3
＝
a
2< br>
C
．
2a
?2
22
B
．
6x3
y
2
÷
（﹣
3x
）＝
2xy
33
D
．（﹣
2a
）＝﹣
8a
?
1

2
2a
【答案】
D
【解析】

A
、
a
5
﹣
a
3，无法计算，故此选项错误；

232
B
、
6x
3y
2
÷9x
2
＝（﹣
3x
）＝
6xy÷
2
2
xy
，故此选项错误；

3
C
、
2 a
﹣
2
＝
2
，故此选项错误；

2
a33
D
、（﹣
2a
）＝﹣
8a
，正确．

故选
D
．

10
．下列运算：其中结果正确的个数为（ ）

236 326 333 5
a
5
＝
a
①< br>a
?a
＝
a
②（
a
）＝
a
③（ab
）＝
ab
④
a÷

A
．
1
【答案】
B
【解析】

B
．
2 C
．
3 D
．
4
235
解：①
a
?a
＝
a
，错误；

326
②（
a
）＝
a
，正确；

333
③（
ab
）＝
ab
，正确；

5
a
5
＝
1
，错误．

④
a÷
故选：
B
．

11
．当
a
，
b
互为相反数，则代数式
a
2
+ab
﹣
2
的值为
_____
．

【答案】﹣
2
．

【解析】

∵
a
与
b
互为相反数，

∴
a+b=0
，

2
∴
a+ab-2=a(a+b)-2=0-2=-2.
故答案为：
-2.
12
．已知
a
2
+2a=-2
，则
2a(2a?1)?(a?4)
2
的值为
________．

【答案】
6
【解析】

22222
解：
2a(2a?1)?(a?4)?4a?2a?a?8a?16?5a?10a?16?5(a?2a) ?16
，

2
∵
a+2a=-2
，

2< br>∴原式
=
5(a?2a)?16?5?(?2)?16?6
，

故答案为：
6.
2019
13
．计算：
0.5
2 018
＝
_______
．

（﹣
2
）
×
【答案】
-2
【解析】
< br>解：（﹣
2
）
2019
×0.5
2018
＝（﹣2×0.5
）
2018
×
（﹣
2
）＝﹣
2
故答案为：﹣
2

14
．已知
?
【答案】
1
【解析】

解：∵
?
?
x?2
?
ax?b y?2
22
是方程组
?
的解，则
a
﹣
b
＝
_____
．

?
y??3
?
bx?ay?3?
x?2
?
ax?by?2
是方程组
?
的解，

y??3bx?ay?3
??
∴
?
?
2a?3b?2①，

?
2b?3a?3②
解得，①﹣②，得

a
﹣
b
＝
?
1
，

5
①
+
②，得

a+b
＝﹣
5
，

22
∴
a
﹣< br>b
＝（
a+b
）（
a
﹣
b
）＝（﹣
5
）
×
（
?
1
）＝
1
，

5
故答案为：
1
．

?
x?3y?1?2a
2
xy
15
．已知关于
x
、
y
的方程组
?
，则代数式
3
?9
＝
___
．

?
x?y?2a?3
【答案】
1
.
9
【解析】

解：将两方程相加可得
2x+2y
＝﹣
2
，

2< br>xy
2
x
2
y
则
3
?9
＝
3
?3

＝
3
2
x
+2
y

﹣
2
＝
3
＝
1
，

9
1
．

9
故答案为：
234
16
．计算：（
x
﹣
y
）
?
（
y
﹣
x
）
+
（
y
﹣
x
）
?
（
x
﹣
y
）＝
_____
．

【答案】
0
【解析】

55
原式＝﹣（
x
﹣
y
）
+
（
x
﹣
y
）＝
0
，

故答案为：
0
17
．张老师在黑板上布置了一道题：

化简：2(x＋1)
2
－(4x－5)，并分别求出当x＝和x＝－时代数式的值．
小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由．


【答案】小亮说的对
,
理由见解析

【解析】

2
（
x+1
）
2
﹣（
4x
﹣
5
）< br>
=2x
2
+4x+2
﹣
4x+5
，

=2x
2
+7
，

当x=时，原式=+7=7；
当x=﹣时，原式=+7=7．
故小亮说的对．

18
．先化简， 再求值：
(x+2)(x
﹣
2)+(2x
﹣
1)
2
﹣
4x(x
﹣
1)
，其中
x
＝
2
3
．

2
【答案】
x
﹣
3
，
9.
【解析】

(x+2)(x
﹣
2)+(2x
﹣
1)
2
﹣
4x(x
﹣
1)
，

222
＝
x
﹣
4+4x
﹣
4x+1
﹣
4x+4x
，

2
＝
x
﹣
3
，

当
x?23
时，原式
?23
19
．已知
a+
??
2< br>
?3?12?3?9．
1
1111
224
＝
3（
a
＞
1
），求
(a?)?(a?
2
)?(a ?
4
)?(a?)
的值．

aaaa
a
【答案】
1645
5

【解析】

解：

∵
a?
1
?3
（
a
＞
1
），

a
2
1< br>??
∴
?
a?
?
＝
9
，

a
??
化简得
a?
2
1
＝
7
，

a
2
4
两边平方，可得
a?
2
1
a
4
＝
49
﹣
2
＝
47
，

1< br>1
??
2
∵
?
a?
?
＝
a?
2
﹣
2
＝
7
﹣
2
＝
5
，且a
＞
1
，

a
a
??
∴
a?
1
?5
，

a
∴
(a?)?(a?
7×47×5
＝
5
×
＝
1645
5
．

1
a
2
111
24
)?(a?)?(a?)
a
2
a
4
a
22
20
．请你将下式化简，再求 值：（
x+2
）（
x
﹣
2
）
+
（
x
﹣
2
）
+
（
x
﹣
4
）（
x
﹣
1
），其中
x
﹣
3x
＝
1
．

【答案】
3x
﹣
9x+4
，
7
【解析】

(x+2)(x
﹣
2)+(x
﹣
2)< br>2
+(x
﹣
4)(x
﹣
1)
，

2 22
＝
x
﹣
4+x
﹣
4x+x
﹣
5x+4
，

2
＝
3x
﹣
9x+4
，

2
当
x
﹣
3x
＝
1
时，

2
原式＝
3x
﹣
9x+4
，

2
＝
3(x
﹣
3x)+4
，

1+4
，

＝
3×
＝
7
．
21
．已知一组有规律的等式，它的前三项依次为：
（
1
）写出第
5
个等式；

2
223344
?2??2,?3??3,?4?< br>+4
，
…
，

112233

（
2
）写出第
n
个等式，并证明该等式成立．

66
?6??6
；

55
n?1n?1
?(n?1)??(n?1)
．

（2
）第
n
个等式为：
nn
【答案】（
1
）第< br>5
个等式为：
【解析】

解：（
1
）∵第
1
个等式为：
第
2
个等式为：
22
?2=
+2
，

11
33
?3=
+3
，

2244
第
3
个等式为：
?4=
+4
，

33
∴第
4
个等式为：
第
5
个等式为：
55
×5
＝
+5
，

44
66
×6
＝
+6
；

55
n +1n+1
×+
（
n+1
）（
2
）第
n
个 等式为：（
n+1
）＝．

nn
证明如下：

n+ 1
n
2
+n+n+1
n
2
+n
n+1n+1
×++
（
n+1
）∵（
n+1
）＝＝＝，

nn n
n
n
∴
n+1n+1
×+
（
n+1
）（
n+1
）＝．

nn
n+1n+1
×+
（
n+1
）是解题的关键．

（
n+1
）＝
nn
化类，通过观察得出第
n
个等式 为：
22
．老师在黑板上写出三个算式
:3
2
-1=8×1
，
9
2
-5
2
=8×7
，
13
2
-7
2
=8×15
。李刚接着也写了两个具有同样规律的
22
14< br>，
15
2
-11
2
=8×13
，

算式
:11-3=8×
(1)
请你再写出两个
(
不同于上面算式)
具有上述规律的算式

(2)
用文字写出反映上述算式的规律

(3)
证明这个规律的正确性

22
5
，
132
-11
2
=8×6
；【答案】（
1
）
11- 9=8×
（
2
）规律：任意两个奇数的平方差等于
8
的倍数；（3
）见解析
.
【解析】

22
5
，
13
2
-11
2
=8×6
．解：
(1)11-9=8×（答案不唯一）

(2)
规律：任意两个奇数的平方差等于
8
的倍数．

(3 )
证明：设
m
，
n
为整数，两个奇数可表示
2m+1
和
2n+1
，

22
则
(2m+1)-(2n+1)=4 (m-n)(m+n+1)
．

当
m
，
n< br>同是奇数或偶数时，
(m-n)
一定为偶数，所以
4(m-n)
一定是
8
的倍数，

当
m
，
n
一奇一偶时，则< br>(m+n+1)
一定为偶数，所以
4(m+n+1)
一定是
8
的倍数，

所以，任意两奇数的平方差是
8
的倍数．

22
5
，
13
2
-11
2
=8×6
；(2)
规律：任意两个奇数的平方差等于
8
的倍数；
(3)
证明 见解析
.
故答案为：
(1)11-9=8×