圆的面积公式和周长公式植树问题知识点公式及例题详解

2020年9月19日发(作者：丁玲)
植树问题知识点公式及例题详解
公式
直线植树 ： 距离÷间隔 +1 = 棵数
四周植树 ： 距离÷间隔 = 棵数
楼间植树 ： 单边植树 距离÷间隔 -1=棵数
双边植树 （ 距离÷间隔 -1）×2=棵数
循环植树 距离等于棵树加间距
1.植树问题是在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题。
2.为使其更 直观，用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这
样就把植树问题转化为一条非封闭或 封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的
段数之间的关系问题。
专题分析
一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。
1、如果植树线路的两端都要植树，那么植 树的棵数应比要分的段数多1，即：
棵数=段数+1。
2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：
棵数=间隔数。
3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：
棵数=间隔数－1。~
4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段 数多1，
再乘二，即：棵树=段数+1再乘二。
二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=段数。
三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则棵数=（每边的棵数－1）
×边数。

例题：
例1
长方形场地：一个长84米，宽54米的长方形苹果园中， 苹果树的株距是2米，
行距是3米．这个苹果园共种苹果树多少棵
解：
解法一：
①一行能种多少棵84÷2=42(棵)．|
②这块地能种苹果树多少行54÷3=18(行)．
③这块地共种苹果树多少棵42×18=756(棵)．
如果株距、行距的方向互换，结果相同：
(84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵)．
解法二：
①这块地的面积是多少平方米
84×54=4536(平方米)．
②一棵苹果树占地多少平方米
2×3=6(平方米)．
③这块地能种苹果树多少棵
4536÷6=756(棵)．
当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时，可用上述 两种方法中的任意
一种来解；当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时，就只能用第二种解
法来解．
但有些问题从表面上看，并没有出现“植树”二字，但题目实质上是反映封闭线段
或不封闭线段长度、分隔点、每段长度三者之间的关系。锯木头问题就是典型的
不封闭线段上，两头不植 树问题。所锯的段数总比锯的次数多一。上楼梯问题，
就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔 ，那么： 上楼所需总时间 =
（终点层—起始层）×每层所需时间。而方阵队列问题，看似与植树问题 毫不相
干，实质上都是植树问题。
例2
直线场地：在一条公路的两旁植树，每隔3 米植一棵，植到头还剩3棵；每隔
米植一棵，植到头还缺少37棵，求这条公路的长度。
解法一：（代数解法）
设一共有x棵树
【（x-3）2-1】X3=【（x+37）2-1】
x=205
公路长:【（205-3）2-1】X3=300
得:公路长度为300米
解法二：（算术解法）
这道题可以用解盈亏问题的思路来考虑：首先，我们在两边起点处各栽 下一棵树，
这两棵树与路长没有关系，以后每栽下一棵树，不论栽在哪一侧，植树的路线（不
是 路）就增加一个间距，为了简单起见，我们按单侧植树来考虑。当按3米的间
距植树时，最后剩下3棵， 也就是说植树的路线要比路长出3个间距，3×3=9米，
当按米的间距植树时，最后还缺37棵树，也 就是说植树的路线比路短了37个间
距，×37=米，两次相差9+=米，两次植树的间距相差是3－= 米，据此可以求出树
的棵数：（不包括起点的2棵）
÷=203（个）
知道了树的棵数，就可以求出植树路线的长度了：
3×（203－3）=600（米）
或×（203+37）=600（米）
因为是双侧植树，所以路长为：
600÷2=300（米）
综合算式为：
3×〔（3×3+×37）÷（3－）－3〕÷2=300（米）
或×〔（3×3+×37）÷（3－）+37〕÷2=300（米）
答：（略）

例3
圆形场地（难题）：有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛周围
每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。
可栽丁香花多少株可栽月 季花多少株每2株紧相邻的月季花相距多少米
解：
解：根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数：
120÷6=20（株）
由于 是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的
间隔数相等，因此，可栽月季 花：
2×20=40（株）
由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之 间的距离被2
株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为：
6÷3=2（米）
答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距2米。
例4
在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为3米的圆周上，按弧长计算，每隔2
米植一棵树，共植了3 14棵。水池的周长是多少米（适于六年级程度）
解：先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长，这个圆的周长是：
2×314=628（米）
这个圆的直径是：
628÷=200（米）
由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上，所以圆形水池的直径是：
200-3×2=194（米）
圆形水池的周长是：
194×=（米）
综合算式：
（2×314÷×2）×
=（200-6）×
=194×
=（米）
例5
小明家门前有一条10米长的水沟，在沟的一侧每隔2米栽一棵树， 一共可栽几
棵（两端都植树）
按常规解法，答案应该是6（10÷2+1）棵，同理，如果小 光家门前也有一段10
米长的水沟，同样可以栽6棵，也就是两家一共可以栽12棵，这并看不出有什< br>么不妥。但是，当小明与小光家是邻居时，我们再计算一下：两家的水沟总长是
20米，20÷2 +1=11(棵)，也就是两家一共可以栽11棵树，结果比上次计算少了一
棵（本人称之为“邻里冲突 ”），这是因为在端点处有两棵树“重合”了，这两棵树
的间距为0，与题中要求间距2米不符，因此， 可以看出两端植树是不妥当的。
但如果两端都不植树，又会出现公共点没有树邻近的两棵树间距4米的情 况，仍
与题意不符。那么一端植树又会怎样呢这种要求是无法实现的，因为当一方在与
邻家相接 的端点上植上树后，就会使邻家地段两端都有树存在，还是不合题意。
因此，要求在端点上植树（或不植 树）都会出现矛盾，这样的计算方法也不能正
确的反映出各个数量间的关系。数学是一门严谨的科学，出 题者固然可以任意给
定条件，但用不同的计算方法得出的结果应该是相同的，当计算结果出现矛盾时，< br>应该找出问题的原因所在，不能简单的用“两树重合”来解释解释。
再按照“棵树=段数”的方法计算一下：
小明家可栽树：10÷2=5（棵）
小光家可栽树：10÷2=5（棵）
两家一共可栽树10棵。
当两家是邻居时，可栽树：（10+10）÷2=10(棵)
两次计算结果相同，因此可以说这种计算方法才能正确的反映出各个数量之间的
关系。
为什么说常规的解法不够正确呢那是因为在常规解法中，只考虑了植树路段为一
家独有的情况，多栽或 少栽一棵都不会出现“争议”，也就无法判定栽法是否妥当。
然而当植树路段为多家共有时就会出现一方 或双方将树栽到了公共端点上的情
况，从理论上讲这是不正确的。相对于“路边加一”，“楼间减一”也 无道理，因为
完全可以按“间距2米”栽下5棵而不是4棵树，至于端点处的两棵树与楼相距只
有1米的情况，与题意并不矛盾：
1、要求“间距2米”可以认为每棵树需要2米的生长空间，端点的 树和中间的树
同样都具有2米的空间；
2、如果把“楼”也看做“树”而使间距不足，那么则 是因为“他”将树栽倒了公共端点
上而侵占了“我”的空间，“我”并没有栽错。（点击图片可放大）


反过来想，如果要将已有的若干棵树平均分给几家，不论这些树是直线分布还是< br>平面分布，无疑是要把分割点（端点）确定在两棵树之间而不是在某一棵树上，
至于在某些情况下 （比如划分卫生分担区或除雪）将端点确定在路边现有标志物
（如电杆或树）上，那是因为分割的对象是 “路”而不是“树”，这时以固有标志物
为界限，具有简单方便、标志物不易移动和消失的好处。 “棵数=段数”的算法不仅适用于“路边”，同样适用于“楼间”、“四周（圆周）”和“田
间”（ 见下图，不同颜色代表不同家庭）。



实际上“例1”的果园植树就 是默认了“段（块）间”植树。实际教学中，应该按“棵
数”=“段（块）数”作为正规解法，既不用加 1，也不用减1，即在每一段（块）
的中点植一棵树，这样就不仅没有“邻里冲突”，也能很好的适应各 种情况，而端
点植树或不植树只能按特殊情况来介绍。