导数在高中数学的应用论文

导数在高中数学的应用

[摘 要]导数是联系高等数学与初等 数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线
的切 线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函 数（解析式、值域、
最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等 问题．
[关键词]导数 新课程 应用

导数在现行的高中数学教材中处于一种特 殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数
学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容 以及解决相关问题的重要工具．本课题期望通过对导数
在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探 讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题和解决
问题的能力．

一、 导数在高中数学新课程中的地位

《普通高中数学课程标准(实验)》指出：高中数学课程是 由必修课程和选修课程两部分构成的．必
修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程 学习的基础上，希望进一步学习数学的
学生根据自己的兴趣和需求选修．选修课程由系列1、系列2、系 列3、系列4等组成．在系列1和系列2中
都选择了导数及其应用．显然，导数的重要性不言而喻．
（一）有利于学生更好地理解函数的性态
在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生 主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶
性、周期性、有界性等．我们知道，函数的这些性质都可以 通过函数的图像表示出来，因而，如果能准
确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也 容易掌握了．
如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像．但是，如果所涉及 的函数是
非基本初等函数，比如
y?x?2x
32
?x?1
，
y?e
x
?x?1
等函数，仅用描点法就很难较为准确地作出图
像．但是， 掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最
值点；利用函 数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近
线，然后再结合 描点法，就能较为准确地作出函数的图像．这样就有利于学生更好地理解函数的性态，
同时也拓宽了学生 的知识面．
（二）有利于学生更好地掌握函数思想

数学上的许多问题，用初等数学 方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，
利用函数思想，然后用导数来研究其 性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获
得问题的解决，这也正体现和显示了新 课程的优越性．
其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明 不等式，解

决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以 构造函数模型，并且利用导数，来解
决相关问题．
（三）有利于学生弄清曲线的切线问题 < br>学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公
共点的直线．如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道
割线斜率在
x?x
0
时的极限，即
f(x)
在点
x?x
0
的切线斜率
k
，正是
k?lim
x?x
0
f(x)?f(x
0
)
x?x
0
．
由导数的定义，
k?f
?
(x)< br>，所以曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,y
0
)
的切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
．
这就是说：函数
f
在点
x0
的导数
f
?
(x
0
)
是曲线
y?f (x)
在点
(x
0
,y
0
)
处的切线斜率． [1]
从而，学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线
C
及
C
上 的一点
P
，在点
P
外另取曲线
C
上一点
Q
，
作割线
PQ
，当点
Q
沿曲线
C
趋向点
P
时，如果割线
PQ
绕点
P
旋转而趋向极限位置
PT
，那么直线
PT
就
称为曲线
C
在点
P
处的切线．
（四）有利于学生学好其他学科
高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数 是微分学的核心概念，它在物理、化
学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用．微积分所 讨论的基本对象是函数，而且以函
数的极限为基础．作为微积分的一个重要的分支——微分学，主要涉及 变量的“变化率”问题，对于
y?f(x)
，导数
f
?
(x)
可以解释为
y
关于
x
的变化率．在学习并且掌握了导数及其应用以后，学生 就可以
?S(t)
，算出物体的瞬时速度：
V(t)?dsdt
很容易地根据 做变速直线运动物体的运动方程：
S
速度：
A(t)?dsdt
22
、瞬时加
；对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了．
（五）有利于发展学生的思维能力
在以前的课程标准中，无论是导数的概念还是应用，更多的 是作为一种规则来教、来学．这样造成
的后果是：不仅使学生感受不到学习导数有什么好处，反而加重了 他们的学习负担．
而《普通高中数学课程标准(实验)》就对这一部分内容的教育价值、定位和处理做 了一定的变化：
即在高中阶段，应通过大量的实例，让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有限到 无限”的思想，
认识和理解这种特殊的极限，通过它了解这种认识世界的思维方式，提高学生的思维能力 ．
再者，还可以让学生体会研究导数所用的思想方法：先研究函数在某一点处的导数，再过渡到一个< br>区间上；在应用导数解决实际问题时，利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质．这种从局部到整体，再由整体到局部的思想方法是很值得学生学习的．
总之，通过学习导数，使学生 学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题，而不仅仅

[2]
[2]< /p>

是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上．在学习过程中逐步体会常量与变量、有 限与无限、
近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一，发展学生的辩证思维能力．

二、 导数在解题中的应用

导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增 添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，
为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路 、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风
景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这 几年的高考命题趋势表明：导数已经由
以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的 重要工具．将导数与传统内容结合，
不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义． 下面举例探讨导数的应用．
（一）利用导数解决函数问题
⒈利用导数求函数的解析式 用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质
就 会显得更加的明了．
例1 设函数
12x?y?4?0
y?ax
3
?bx
2
?cx?d
的图像与
y
轴交点为
P
点，且 曲线在
P
点处的切线方程为
，若函数在
x
?ax
3
?2
2
处取得极值
0
，试确定函数的解析式．
的图像与
y
轴交点为
P
点，所以
P
点的坐标为
?
0,d
?
，又曲线在
P
??4
，又切线斜率
k?12
解 因为函 数
y?bx?cx?d
点处的切线方程为
y
数
y
?
x?0
?12
?12x?4
，
P
点坐标适合方程，从而
d< br>，
y
?
x?0
?c
，故在
x?0
处的导，而
y
?
?3ax
2
?2bx?c
，从而
c? 12
，又函数在
x?2
处取得极值
0
，所以
?
12a?4b?12?0，

?
8a?4b?20?0．
?
解得
a?2
，
b??9
，所以所求函数解析式为
y?2x ?9x
32
?12x?4
．
⒉利用导数求函数的值域
求函数的值 域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来
求解，则较为容易 ，且一般问题都可行．
例2 求函数
f(x)?2x?1?x?2
的值域．
f
?
(x)
的正负，进而求出函数
f(x)
分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断
解 显然，
f(x)
的值域．
定义域为
?
?12，??
?
，由于

f
?
(x)?
1
2x?1
?
2
1
x? 2
?
2
2
x?2?
x?2
2x?1
2x?1
，
又
2x?2?2x?1?
2
2x?7
x?2?2x?1
，
可 见当
x??12
时，
f
?
(x)?0
．所以
2x? 1?
f(x)?
x?2
2x?1?x?2
在
?
?12，??
?
上是增函数．而
f(?12)??62
，所以函数
f(x)??
的值域是
?
?
62，??
?
．
⒊利用导数求函数的最（极）值
求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经 常要考查的内容之一，它涉及到了函
数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤 清晰，也容易掌握，从而进一步明
确了函数的性态．
一般地，函数
(1) 求函数
(2) 计算
(3) 比较
f(x)
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上可导，则
f(x)
在
?
a,b?
上的最值求法：
在
?
a,b
?
上的极值点；
f(x)
f(x)
在极值点和端点的函数值；
在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．
f(x)?x?3x
f(x)
3
例3 求函数
分析 先求出
32
?
上的最大值和最小值． 在
?
?3，
32?
上的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间
?
?3 ，
的最大值和最小值．
解 由于
22
f
?
(x)?3x? 3?3(x?1)?3(x?1)(x?1)
，则
的单调增区间；当
x?
?
?1,1
?
时，当
x?
?
?3,?1
?
或
x?
?
1,32
?
时，
f
f
?
( x)?0
?
(x)?0
，
?
1，?1
?
，
32
?
为函数
f(x)
所以
?
?3，
1
?
为函数，所以
?
?1，
f(?3)??18
f(x)
的单调 减区间．
，
f(1)??2
又因为
?18
，
f(?1)? 2
，
f(32)??98
，所以，当
x??3
时，
f(x)
取得最小值
；当
x??1
时，
f(x)
取得最大值
2
．
⒋利用导数求函数的单调区间
函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函 数时经常要注意的一个性质．函数的单调性与函数
的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时， 结合导数的几何意义，只需考虑
可，当
f
?
(x)?0
时，
f(x)
f
?
(x)
的正负即
单调递增；当
f
?< br>(x)?0
时，

f(x)
单调递减．此方法简单快捷而且适用面广．

例4 求
f(x)?x?3x
3
的单调区间．
的定义域，再利用导数讨论其单调区间． 分析 应先确定函数
解 显然，
f(x)< br>f(x)
定义域为
?
??,0
?
?
?
0,? ?
?
，又
f
?
(x)?3x
22
?3x?
3(x
2
?1)(x?1)(x?1)
x
x?0
2
， < br>?1
?
的增区间为
?
??，
由
f
?
(x)?0
，得
x??1
或
x?1
；又由
f
?(x)?0
，得
?1?
或
0?x?1
，所以
f(x)< br>?
和
?
1，
1
?
．
?
?
，减区间为
?
?1，0
?
和
?
0，
（二）利用导数 解决切线问题

⒈求过某一点的切线方程
此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种 情况，
f
线的斜率，过
P
点的切线方程为
y
否则易错．
例5 求曲线
y?e
x
?
(x
0
)
的几何 意义就是曲线在点
P(x
0
,f(x
0
))
处切
? f(x
0
)?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
，但应注意点
P(x
0
,f(x
0
))
在曲线y?f(x)
上，
在原点处的切线方程．
分析 此类题型为点不在曲线上求切线 方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入
方程，求出切点坐标后，再求切线方程．
解 显然点
(0,0)
不在曲线
y?e
x
上，由于
y
?
?
x
0
e
x
，则

设切点坐 标为
P(x
0
,y
0
)
，所以
y
0
?e
，则过
P
点的切线方程为
y?e
x
0
?e
x
0
(x?x
0
)
．
因为点
(0,0)
在切线上，所以
?e
x
即
ex?y?0
0
?ex
0
(?x
0
)
，即
x
0
?1
，所以
P(1,e)
，故切线方程为
y?e?e(x?1)
，
．
⒉求两曲线切线方程
例6 已知抛物线
C
1
：y?x
2< br>?2x
和
C
2
：y??x
2
?a
，如果直线
l
同时是
C
1
和
C
2
的切线，称
l
是
C
1
和
C
2
的公切线，求公切线
l< br>的方程．
分析 本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决 这类问题提
供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解．
解 由
C
1
：y?x
2
?2x
，得
y?
?2x?2
，所以曲线
C
1
在点
P(x
1< br>,x
1
2
2
?2x
1
)
的切线方程是 y?(x
1
?2x
1
)?(2x
1
?2)(x?x1
)

，

即
y?(2x
1
?2)x?x
1
2
． (1)
2
由
y??x
2
?a
，得
y
?< br>??2x
，所以曲线
C
2
在点
Q(x
2
,? x
2
2
?a)
的切线方程是
y?(?x
2
?a) ??2x
2
(x?x
2
)
，
即
y??2x
2
x?x
2
?a
2
． (2)
若
l
是过
P
与
Q
的公切线，则(1)(2 )表示的是同一直线，所以

?
2x
1
?2??2x
2
，

?
22
?
?x
1
?x
2
?a．
消去
x
2
，得
2x
1
?2x
1
?1?a?0
， 2
由题意知
??4?4?2(1?a)?0
，所以
a??12
， 则
x
1
?x
2
??12
y?14?0
，即点
P
与
Q
重合，此时曲线
C
1
和
C
2有
且仅有一条公切线，且公切线方程为
x?
．
（三）利用导数解决不等式问题
纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强 、思维量大，因此历来是高考的难点．利
用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或 间接等价变形后，结合不等式的结构特
征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等 式的证明转化为函数问题．
例7

求证：不等式
x?
x
2
2
?ln(1?x)?x?
x
2
2(1?x)
在
x ?
?
0,??
?
上成立．
分析 通过作差，构造函数
f
1
(x)?ln(1?x)?(x?
x
2
2
)
，
和
f
2
(x)?x?
x
2
2(1?x)
?ln(1?x)
，
再通过对
f
1
(x)
和
f< br>2
(x)
求导来判断．
f
1
(x)?ln(1?x)?(x?
x
2
证明 构造函数
2
)
，则
1x
2
f
1
(x)?
?
1?x
?1?x?

1?x
?0
．