高中数学论文：点差法在高考中的应用

点差法公式在高考中的应用

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选 择题、填空题和解答题中都是命题的
热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二 次方程的根的判别式、
根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与 圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所
得两式作差，得到一个与弦 的 中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种
代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论 叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式
在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
x
2
y
2
定理1 在椭圆
2
?
2
?1
（
a
＞
b
＞0）中，若直线
l
与椭圆相交于 M、N两点，点
ab
y
0
b
2
P(x
0
, y
0
)
是弦MN的中点，弦MN所在的直线
l
的斜率为
k< br>MN
，则
k
MN
???
2
.
x
0
a
?
x
1
2
y
1
2
?
2
?
2
?1,
??
(1)
?
ab
证明：设 M、N两点的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、
(x< br>2
,y
2
)
，则有
?
2

2
?
x
2
?
y
2
?1.
??
(2)
?
b
2
?
a
2
x?xy?y
(1)?(2)，得
1
2
2
?
1
2
2
?0.

ab
2222
y
2
?y
1
y
2
? y
1
b
2
????
2
.

x
2< br>?x
1
x
2
?x
1
a
又
?k
MN
?
y
2
?y
1
y
1
?y
2
2yy
,??.

x
2
?x
1
x
1
?x
2
2xx
yb
2
???
2
.

x
a
?k
MN
x
2
y
2
同理 可证，在椭圆
2
?
2
?1
（
a
＞
b
＞0）中，若直线
l
与椭圆相交于M、N两点，
ba
y
0
a
2
点
P(x
0
,y
0
)
是弦MN的中点 ，弦MN所在的直线
l
的斜率为
k
MN
，则
k
MN
???
2
.
x
0
b
x
2
y
2
定理2 在双曲线
2
?
2
?1
（
a
＞0，
b
＞0）中，若 直线
l
与双曲线相交于M、N两点，
ab
点

y0
b
2
P(x
0
,y
0
)
是弦MN的 中点，弦MN所在的直线
l
的斜率为
k
MN
，则
k
MN
??
2
.
x
0
a
?
x
1< br>2
y
1
2
?
2
?
2
?1,
??
(1)
?
ab
证明：设M、N两点的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
)，则有
?
2

2
?
x
2
?
y
2
?1.
??
(2)
?
b
2
?
a
2
x?xy?y
(1)?(2)
，得
1
2
2
?
1
2
2
?0.

ab
2222
y2
?y
1
y
2
?y
1
b
2
? ??.

x
2
?x
1
x
2
?x
1
a
2
又
?k
MN
?
y
2
?y1
y
1
?y
2
2y
0
y
0
, ??.

x
2
?x
1
x
1
?x
2
2x
0
x
0
?k
MN
y
0
b2
??.

x
0
a
2
y
2
x
2
同理可证，在双曲线
2
?
2
?1
（
a< br>＞0，
b
＞0）中，若直线
l
与双曲线相交于M、N
aby
0
a
2
两点，点
P(x
0
,y
0< br>)
是弦MN的中点，弦MN所在的直线
l
的斜率为
k
MN，则
k
MN
??
2
.
x
0
b
定理3 在抛物线
y?2mx(m?0)
中，若直 线
l
与抛物线相交于M、N两点，点
2
P(x
0
,y
0
)
是弦MN的中点，弦MN所在的直线
l
的斜率为
k
M N
，则
k
MN
?y
0
?m
.
2
?
?
y
1
?2mx
1
,
??
(1)
证明：设M、N两点的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、(x
2
,y
2
)
，则有
?
2

?
?
y
2
?2mx
2
.
??
(2)(1)?(2)
，得
y
1
?y
2
?2m(x
1
?x
2
).

22
?
y
2
?y< br>1
?(y
2
?y
1
)?2m.

x
2
?x
1
y
2
?y
1
,y
2
?y
1
?2y
0
.
x
2
?x
1
又< br>?k
MN
?
?k
MN
?y
0
?m
.
注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜

< br>率存在.
同理可证，在抛物线
x?2my(m?0)
中，若直线
l< br>与抛物线相交于M、N两点，点
2
P(x
0
,y
0
)
是弦MN的中点，弦MN所在的直线
l
的斜率为
k
MN
，则
1
k
MN
?x
0
?m
.
注意：能用这个 公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜
率存在，且不等于零.






典题妙解
x
2
y< br>2
例1（09年四川）已知椭圆
2
?
2
?1
（
a
＞
b
＞0）的左、右焦点分别为
F
1
、
F2
，
ab
离心率
e?
2
，右准线方程为
x?2
.
2
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 过点
F
1< br>的直线
l
与该椭圆相交于M、N两点，且
|F
2
M?F
2
N|?
的方程.
解：（Ⅰ）根据题意，得
226
，求直线< br>l
3
?
c2
e??,
?
?
a2
< br>?
2
?
x?
a
?2.
?
c
?
?
a?2,b?1,c?1
.
x
2
?y
2
?1
.
?
所求的椭圆方程为
2
（Ⅱ）椭圆的焦点为
F
1
(?1,0)
、
F2
(1,0)
. 设直线
l
被椭圆所截的弦MN的中点为
P(x,y)
.
由平行四边 形法则知：
F
2
M?F
2
N?2F
2
P
.

由
|F
2
M?F
2
N|?
2262 6
得：
|F
2
P|?
.
33
?
(x?1 )
2
?y
2
?
26
.
………………………………… ……………………………………①
9
若直线
l
的斜率不存在，则
l ?x
轴，这时点P与
F
1
(?1,0)
重合，
|F
2
M?F
2
N|?|2F
2
F
1
|?4
， 与题设相矛盾，故直线
l
的斜率存在.
由
k
MN
yb2
yy1
???
2
得：
???.

x
a
x?1x2
1
?
y
2
??(x
2
?x) .
………………………………………………………………………②
2
126
②代入①，得
(x?1)
2
?(x
2
?x)?.

29
整理，得：
9x
2
?45x?17?0
.
17
2
，或
x??
.
3
3
17
由②可知，
x?
不合题意.
3
21
?
x??
，从而
y??
.
33
y
?
k???1.

x?1
解之得：
x?
?
所求的直线
l
方程为
y?x?1
，或
y?? x?1
.
2
例2. 设双曲线
C
的中心在原点，以抛物线
y?23x?4
的顶点为双曲线的右焦点，抛物
线的准线为双曲线的右准线．
（Ⅰ）试求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线
l:y?2x?1
与双曲线
C
交于
A,B
两点，求
AB
；
（Ⅲ）对于直线
l:y?kx?1
，是否存在这样的实数
k
，使直线
l
与双 曲线
C
的交点
A,B
关于直线
l:y?ax?4
(
a
为常数)对称，若存在，求出
k
值；若不存在，请说明
理由．
2
2
解：（Ⅰ）由
y?23x?4
得
y?23(x?
'
2
3
)
，

?
p?3
，抛物线 的顶点是
(
2
3
,0)
，准线是
x??
321.
??
2
323
2
?
c?,
?
3< br>1
?
?
在双曲线C中，
?
2
.
?
a
2
?,b
2
?1.

3
?< br>a
?
1
.
?
23
?
c
?
双 曲线C的方程为
3x
2
?y
2
?1
.
?
y?2x?1,
2
（Ⅱ）由
?
2
得：
x?4x?2?0.
2
?
3x?y?1.
设
A(x
1
,y1
),B(x
2
,y
2
)
，则
x
1< br>?x
2
??4,x
1
x
2
?2
.
?
|AB|?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)2
?4x
1
x
2
]?(1?2
2
)[(?4)
2
?4?2]?210
.
（Ⅲ）假设存在这样的实数
k
，使直线
l
与双曲线
C
的交点
A,B
关于直线
l
'
对称，则
l
'
是
线段AB的垂直平分线. 因而
a??
11
，从而
l
'
:y??x?4
. 设线段AB的中点为
kk
P(x
0
,y
0
)
. < br>y
y
0
b
2
由
k
AB
??
2
得：
k?
0
?3
，
?
ky
0
? 3x
0
.…………………………………………
x
0
a
x0
①
由
y
0
??
②
由①、②得：
x
0
?k,y
0
?3
.
由
y
0
?kx
0
?1
得：
3?k
2
?1
，
?
k??2
.
1
?x
0
?4得：
ky
0
??x
0
?4k
.…………………………… ……………………
k
?
3x
2
?y
2
?1,
22
又由
?
得：
(k?3)x?2kx?2?0.

?
y?kx?1.
?
直线
l
与双曲线C相交于A、B两点，
?
??4k
2
?8(k
2
?3)
＞0，即
k
2
＜6，且
k
2
?3
.
?
符合题意的
k
的值存在，
k??2
.
例3. （05全国Ⅲ文22）设
A(x
1
,y
1
),B(x
2,y
2
)
两点在抛物线
y?2x
上，
l
是AB 的垂
2

直平分线.
（Ⅰ）当且仅当
x
1
? x
2
取何值时，直线
l
经过抛物线的焦点F？证明你的结论.
（Ⅱ ）当
x
1
?1,x
2
??3
时，求直线
l
的方程.
解：（Ⅰ）
?x
2
?
111
y
，
?
p?,F(0,)
.
248
设线段AB的中点为
P(x
0
,y
0
)
，直线
l
的斜率为
k
，则< br>x
1
?x
2
?2x
0
.
若直线
l
的斜率不存在，当且仅当
x
1
?x
2
?0
时，AB 的垂直平分线
l
为
y
轴，经过抛物线的
焦点F.
若直线< br>l
的斜率存在，则其方程为
y?k(x?x
0
)?y
0
，
k
AB
??
由
1
.
k
1
k
AB
?x
0
?p
得：
?kx
0
?
11
，
?
x
0
??
.
44k
111??kx
0
?y
0
??y
0
，
y
0< br>??
，与
y
0
?0
相矛盾.
84
4
若直线
l
经过焦点F，则得：
?
当直线
l
的斜率存在时， 它不可能经过抛物线的焦点F.
综上所述，当且仅当
x
1
?x
2< br>?0
时，直线
l
经过抛物线的焦点F.
（Ⅱ）当
x
1
?1,x
2
??3
时，
A(1,2),B(?3,18),x0
?
x
1
?x
2
y?y
2
??1,y
0
?
1
?10.

22
由
1
k< br>AB
?x
0
?p
得：
k?
1
.
4
1
(x?1)?10
，即
x?4y?41?0.

4
?
所求的直线
l
的方程为
y?




练习
1. (05湖北)设A、B是椭圆
3x?y?
?
上的两点，点
N(1,3)
是线段AB的中点，线段AB
的垂直平分线与椭 圆相交于C、D两点.
（1）确定
?
的取值范围，并求直线AB的方程；
（2）略.
22
y
2
?1
上两点，点
N(1,2 )
是线段AB的中点. 2.（02江苏）设A、B是双曲线
x?
2
2

（1）求直线AB的方程；
（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D 两点，那么A、B、C、D四点是否共
圆，为什么？
3. (08陕西理20) 已知抛物线
C：y?2x
，直线
y?kx?2
交C于A、B两点，M是线段
AB 的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数
k
使
NA?NB?0
，若存在，求
k
的值；若不存在，请说明理由
2
参考答案
1. 解：（1）
?
点
N(1,3)
在椭圆
3x?y?
?
内，
?
3?1< br>2
?3
2
＜
?
，即
?
＞12.
22
?
?
的取值范围是
(12,??)
.
由3x?y?
?
得
22
y
2
?
?
x2
?
3
?1
，
?
a
2
?
?< br>,b
2
?
?
3
，焦点在y轴上.
若直线AB的斜率 不存在，则直线AB
?x
轴，根据椭圆的对称性，线段AB的中点N在x
轴上，不合题 意，故直线AB的斜率存在.
3
?
ya
2
由
k
A B
???
2
得：
k
AB
???
，
?
k
AB
??1
.
?
x
1
b
3
?
所求直线AB的方程为
y?3??1?(x?1)
，即
x?y?4?0.
从而线段AB的垂直平分线CD的方程为
y?3?1?(x?1)
，即
x?y?2?0
.
y
0
b
2
2. 解：（1）
a?1,b?2
，焦点在
x
上. 由
k
AB??
2
得：
k
AB
?2?2
，
?
k< br>AB
?1
.
x
0
a
22
?
所求的 直线AB方程为
y?2?1?(x?1)
，即
x?y?1?0
.
（ 2）设直线CD的方程为
x?y?m?0
，点
N(1,2)
在直线CD上，

?
1?2?m?0
，
m??3
.
?
直线CD的方程为
x?y?3?0
.
又设弦CD的中点为
M(x,y)
，由
k
CD
yb
2
y
??
2
得：
?1??2
，即
y??2x
.
x
a
x
由
?
?
x?y?3?0,
得
x??3,y?6
.
?
y??2x.

?
点M的坐标为
(?3,6)< br>.
?
x?y?1?0,
?
又由
?
得
A(? 1,0),B(3,4)
.
y
2
2
?1.
?
x?
2
?
由两点间的距离公式可知：
|MA|?|MB|?|MC|?|MD|? 210
.
故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即A、B、C、D四点共圆.
8.（Ⅰ）证明：
x
2
?
11
y,m?p?
，设点M的坐标 为
(x
0
,y
0
)
.
24
当
k?0
时，点M在y轴上，点N与原点O重合，抛物线C
在点N处的切线为x轴，与AB平行.
当
k?0
时，由
1
k
AB
?x
0
?p
得：
x
0
?
k
.
4
?
y
N
?2x
0
2
k2
kk
2
?
. 得点N的坐标为
(,)
.
8 48
k
2
kkk
2
?m(x?)
，即
y?m(x? )?
设抛物线C在点N处的切线方程为
y?
.
8448
kk
2
代入
y?2x
，得：
2x?m(x?)?
，
48
2
2
kmk
2
??0
. 整理得：
2 x?mx?
48
2
kmk
2
??m?8(?)?m
2
?2km?k
2
?(m?k)
2
?0
，
48
2
?
m?k
，即抛物线C在点N处的切线的斜率等于直线AB的斜率.
故抛物线C在点N处的切线与AB平行.
（Ⅱ）解：若
NA?NB?0
，则
NA?NB
，即
?ANB?90?
.
y
A
M
?
|AB|?2|AM|?2|BM|?2|MN|
.
B
N
O x
k
2
?8
y
0
?kx
0
?2?
，
4
k
2
?8k
2
k
2
?16
??
?
|MN|?y
0
?y
N
?
.
488< /p>

由
?
?
y?kx?2,
2
?
y?2x .
得
2x
2
?kx?2?0
.
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则x
1
?x
2
?
22
k
,x
1
x
2
??1
.
2
2
k
2
1
?< br>|AB|?(1?k)[(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
]?(k?1)(?4)?(k
2
?1)(k
2
?16)
.
42
1k
2
?16(k
2
?16)
2
2222
(k?1)(k?16)?2?
?
. 即
(k?1)(k?16)?
.
284
k
2
?16
化简，得：
k?1?
，即
k
2
?4
.
4
2
?
k??2
.
故存在实数
k??2
，使
NA?NB?0
.