高中数学 点到线距离-讲故事高中数学
2010年高考三角函数问题赏析及2011年高考三角函数命题展望
一、2010年三角函数考点解析
三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考
的热点,其考点主要包括:同
角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,
三角形中的三角函
数,三角函数的最值及综合应用。一般设计一道或两道客观题,一道解答题,约占总分
的12%,
即18分左右.多数是中、低档题.
近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特
殊技巧的考查,而重点转移对三角函数的
图象与性质的考查,对基础知识和基本技能的考查上来.在考查
三角公式进行恒等变形的同
时,也直接考查了三角函数的性质及图象的变换,降低了对三角函数恒等变形
的要求,加强
了对三角函数性质和图象的考查力度.
二、2010年三角函数典型题型及解法赏析
分析2010年全国高考三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。
1、三角函数的概念及同角关系式
此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.
解此类题注意必要的分类讨
论以及三角函数值符号的正确选取.
例1(10全国I卷理2)记
cos(?80?)?k
,那么
tan100??
1?k
2
1?k
2
A. B. - C.
kk
k
1?k
2
D.
-
k
1?k
2
?
2
?
2
?2
解:
?
sin80?1?cos80?1?cos(?80)?1?k
,
sin80
?
1?k
2
??.
。故选B
?<
br>tan100???tan80
??
cos80
?
k
?
评注:本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式,并突出了弦切互化这一转化思
想的应用.
同时熟练掌握三角函数在各象限的符号.
例2(10全国1卷文1)
cos300??
(A)
?
11
33
(B)- (C)
(D)
22
22
解:
cos300??cos
?
360
??60?
?
?cos60??
1
2
评注:本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识
2、三角函数的化简求值
这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地
正用、逆用,变形
运用和、差、倍角公式和诱导公式,进行化简、求值.
例3
(10重庆文数15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧
连接而成的一条封闭曲线
C<
br>,各段弧所在的圆经过同一点
P
(点
P
不
在
C
上)且半径相等. 设第
i
段弧所对的圆心角为
则
cos
?
i
i?
,
?
1
3
cos
?
2
?
?
3
3
?sin
?
1
3
sin
?
2
?
?
3
3
?
____________
解:
?
cos
?
1
3
cos
?
2
?
?
3
3
?sin
?
1
3
si
n
?
2
?
?
3
3
?cos
?
1<
br>?
?
2
?
?
3
3
又
?
?
1
?
?
2
?
?
3
?2
?
,
?
1
?
?
2
??
3
3
1
??
2
?
cos
评注:本题以过同一点的三段圆弧为背景,考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧,
将已知与求解合
理转化,从而达到有效地求解目的.
例4(10全国卷1理数14)已知
2??
,则
?
为第三象限的角,
cos
?
3
5
tan(
?
4
?2
?
)?
.
解:
?
?
为第三象限的角
?
2
k
?
?
?
<
?
<
2k
?
?
3
?
2
?
4k
?
?2
?
<2
?
<
4k
?
?3
?
(K?Z
)
34
又
?
cos2
?
??
<0,
?
sin2
?
?
,
55
sin2
?
4
??
?
tan2?
?
cos2
?
3
4
?
1?
tan?
tan2
?
?
3
??
1
.
4
?
?
tan(?2
?
)?
?
4
4
7
1?ta
ntan2
?
1?
43
评注:本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公
式的灵活运用。是一道综合性较
强的题目。
3、
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象和性质
图像变换是三角函数的考察的重要内容,. 解决此类问题的关键是理解
A,
?
,
?
的意义,
特别是
?
的判定,以及伸缩变换对
?
的
例5(10全国卷2理数7)为了得到函数
y?sin(2x?
?
3<
br>)
的图像,只需把函数
y?sin(2x?
?
6
)
的
图像
?
?
个长度单位
(B)向右平移个长度单位
44
?
?
(C)向左平移个长度单位
(D)向右平移个长度单位
22
?
?
解:
?
y?sin(
2x?)
=
sin2(x?)
,
612
?
?
y?
sin(2x?)
=
?sin2(x?)
,
36
?
??
?
将
y?sin(2x?)
的图像向右平移个长度单位得到
y
?sin(2x?)
的图像,
63
4
(A)向左平移
故选B. <
br>评注:本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换,特别是函数
y?Asin(<
br>?
x?
?
)
中的
?
对函数图象变化的影响是历年考生
的易错点,也是高考的重点。
例6(10辽宁理数5)设
?
>0,函数y=sin(
?
x+
图像重合,则
?
的最小值是
(A)
?4
?
)+2的图像向右平移个单位后与原
3
3
243
(B) (C) (D)3
332
y=sin(
?
4
?
)+2的图像向右平移个单位后为
3
3
4
??
?
4
??
y?sin[
?
(x?)?]?2?sin(
?
x?
?)?2
3333
4
??
3k
=2k
?
,
即
?
?
?
2
3
又
?
?
?0
, k≥1
3k3
故
?
?
≥, 所以选C
22<
br>解:
?
将
?
x+
评注:本题考查了三角函数图像的平移变换与
三角函数的周期性,考查了同学们对三角函数
图像知识灵活掌握的程度。
4、三角形中的三角函数
此类题主要考查在三角形中三角函数的利用. 解三角形的关键是在
转化与化归的数学
思想的指导下,正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和
等公
式定理.
例7(10天津理数7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,
c,若
a?b?3bc
,
22
sinC?23sinB
,则A=
(A)
30
(B)
60
(C)
120
(D)
150
00
00
解:由正弦定理得
c23b
??c?23b
2R2R
b
2
+c
2
-a
2
?
3bc?c
2
?3bc?23bc3
所以cosA==,所以A=30
0
?
?
2bc2bc
2bc2
评注:解三角形的基本思路是利用
正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定,从而解决问题。
. 例8 (10江
苏卷13)、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a
、
b
、
c,<
br>?
b
a
a
?6cosC
,
b
tanCtan
C
?
=________。
tanAtanB
ba
22
解
:
?
??6cosC?6abcosC?a?b
ab
则
a
2
?b
2
?c
2
3c
2
2222
6ab??a?b,a?b?
2ab2
tanCtanCsinCcosBsinA?sinB
cosAsinCsin(A?B)1sin
2
C
???????
tanAt
anBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB
1c
2
c
2
=
2
??
2
?4
2
a?b?c
abc
2ab4
评注:三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中
频繁出
现.这类题型难度比较低,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,
要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.
5、三角应用题
此类题主要考查三角函数实际应用. 解决三角应用题的关键是认真阅读题目,正确理解
题意,
运用所学知识建立适当的三角模型,准确无误的计算等。
例9(10北京文7)某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,
顶角为
?
的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,
该八边形的面积为
(A)
2sin
?
?2cos
?
?2
;
(B)
sin
?
?3cos
?
?3
(C)
3sin
?
?3cos
?
?1
(D)
2sin
?
?cos
?
?1
解:
?
四个等腰三角形面积之和4
?
1
?1?1?sin
??
2
sin
?
2
22
?
由余弦定理
可得正方形的边长为
1?1?2?1?1?2cos
?
?
2?2cos
?
,
?
正方形的面积为
2?2cos
?
,
?
所求八边形的面积为
2sin
?
?2cos
?
?2
评注:本题主要考查解三角形等基础知识,考查运算求解能力以及应用数学知识分析和<
br>解决实际问题的能力,考查化归与转化思想、数形结合思想.
例10(10福建理19.)某
港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,
在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30
°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海
里小时的航行速度沿正东方向匀速行驶,经过t小时与
轮船相遇。
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(
Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里小时,试设计航行方案(即确定航行
方向和航行速度的大
小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。
解:(Ⅰ)
?
要使小艇航行距离最短,理想化的航行路线为OT,
1
?
小艇到达T位置时轮船的航行位移
s
0
?AT,
即
30
t?10,t?
,
3
?
vt?103
,
?
v?
103
?
303
(海里时)
t
答:小艇航行速度应为
303
海里
小时
。
(Ⅱ)分类讨论得:
(1)
若轮船与小艇在A、T之间G位置相遇则有OG
AG
所以轮船与小艇的交点必在T、B之间。
(2)若轮船与小艇在H处相遇
则在直角三角形OHT中运用勾股定理有:
(900
?v)t?600t?400?0
,
设
22
1
?x
<
br>t
则:
v?900?
400600
??104
?
2<
br>?6
?
?9
2
tt
399327
?
?)??9?104(
?
?)
2
??30(
?
?3)
216444
3
,即
2
A
从而
v?104
(
?
?
2
所以当
v?30
时,
?
?
2
t?
。
3
答:当小艇以30海里每小时的速
度,沿北偏东30
方向行走能以最
短的时间遇到轮船。
评注: 本题从三角函数出发,考查<
br>了学生运用知识解决实际问题的
能力、求解一元二次方程最值问题
?
G
T
H
B
O
的能力以及综合分析问题的能力。
对待应用题没有什么通解通法,只要认真读题、审题,通过列表、作图等方式合理分析已知
量间
的关系,总是能够轻松解题。
6、三角函数的最值及综合应用。
此类问题主要考查三角函数最值和与三角函数有关学科内综
合问题,如与平面向量、不等式、
数列、解析几何等相结合。多为解答题。而三角形中三角函数最值问题
仍将是高考的热点。,
例11.(10湖南文数16.
)已知函数
f(x)?sin2x?2sin
2
x
(I)求函数
f(x)
的最小正周期。
(II)
求函数
f(x)
的最大值及
f(x)
取最大值时x的集合。
解:1)
?
f(x)?sin2x?(1?cos2x)?
?
2
(2x?
?
4
)
?
2sin(2x?
)?1
4
2
?
?
?
?
函数
f(x)
最小正周期为 T=
2
??
2)当
2x??2k
?
?
42<
br>?
即
x?k
?
?(k?Z)
,
f(x)
取最
大值
2
?1
8
因此函数
f(x)
取最大值时
x
的集合为{
x
x?k
?
?
?
8
(k?Z)
}
评注:本小题依托三角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇
问题,考查基本
三角函数变换.高考
资源网
例12(10山东理17)
已
知函数
f(x)?
11
?
sin2xsin
?
?cos2
xcos
?
?sin(?
?
)(0?
?
?<
br>?
)
,其图像过点
222
?
1
(,)
。
62
(Ⅰ) 求
?
的值;
(Ⅱ) 将函数
y?f(x
)
的图像上各点的横坐标缩短到原来的
数
y?g(x)
的图像,求函数
g(x)
在
[0,
解:(Ⅰ)
?
因为
f(x)?
1
,纵坐标不变,得到函
2
?
4
]
上的最大值和最小值。
11
?
sin2xsin
?
?cos
2
xcos<
br>?
?sin(?
?
)
(0?
?
?
?
)
222
11?cos2x1
cos
?
?cos
?
?
f(x)?sin2xsin
?
?
222
11
?sin2xsin
?
?cos2xcos
?
22
1<
br>
?(sin2xsin
?
?cos2xcos
?
)
2
1
?cos(2x?
?
)
2
又
函数图像过点
(
?
1
,)
62
?
11
?
?cos(2??
?
)
226
)
1
即
cos(?
?
?
3
又
0?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
f(x)?到原来的
1
?
cos(2x?)
,将函数
y?f(x)
的图像上各点的横坐标缩短
23
1
,纵坐标不变,得到函数
y?g(x)的图像,可知
2
1
?
g(x)?f(2x)?cos(4x?)
23
因为
x?[0,
?
4
]
所以
4x?[0,
?
]
因此
4x?
故
?
?
3
?[?
?
2
?
3
,
3
]
1
?
?cos(4x?)?1
23
所以
y?g(x)
在
[0,
?
4
]
上的最大
值和最小值分别为
11
和
?
24
评注:本小题主要考察了
同学们综合运用三角函数公式的能力、灵活运用图像变换求三角函
数最值问题的能力,以及分析问题,解
决问题的能力。
三、2011年高考三角函数命题展望
三角函数的命题趋于稳定,2011
年高考可能依然会保持原有的考试风格,尽管命题的背
景上有所变化,但仍属基础题、中档题、常规题.
实施新课标后,新一轮基础教育的改革增
添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容,它们
会吸引命题者关注的目光.
1、三角函数的图象和性质是考查的重点.因为三角函数的图象和性质是学
生将来学习高
等数学和应用技术学科的基础,又是解决实际生产问题的工具,而且近年来高考降低了对三
角变换的考查要求,势必会加大对三角函数图象与性质的考查力度,从而使三角函数的图象
和性
质成为高考的一个热点,是三角解答题的主要题型,具有一定的灵活性和综合性.周期
及
对称问题仍是高考的重点.
2、三角函数的化简求值是常考题型.它往往出现在小题中,或者是作为解
答题中的一小
问,其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质.着重考查三角函数的基础知识
、
基本技能和基本方法.
3、考应用,建立三角模型
新教材中增设了三角函数模型
的简单应用,且在课程标准中把“潮汐与港口水深”这一
三角问题专门作为参考案例(在原来的教材中只
是阅读材料),教材中有几处涉及到三角在
物理学科中应用,如用函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的物理意义刻画简谐振动、交流电等,说明
三角函数是描
述周期变化现象的重要函数模型。显示重视三角应用的意图.
融入三角形之中的实际问题也常出现。这
种题型既能考查解三角形的知识与方法,又能
考查运用三角公式进行恒等变换的技能,故近年来倍受命题
者的青睐.
4、考综合,突出三角的函数性质。
由于近年高考命题突出以能力立意,加强对
知识综合性和应用性的考查,故常常在知识
的交汇点设计题.综合考察学生对三角函数恒等变换,三角函
数图像和性质的灵活运用能力,
从近两年的各省市高考试题中也可明显地看到这一端倪,应引起高度重视
.
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