2020年高考数学 怎么考论文 理 新人教版 精品

2020年广东高考理科数学怎么考
一、对知识点的考查
1．对知识的要求
通常，一份高考试卷大概有120分的题目属中等难度以下，大多都是考查学生对一些
具体的知识的认识和掌握情况，特别是选择(填空)题。广东在实施新课程后的高考中，在考
查学生知 识要求上，由过去的“了解、理解和掌握、灵活和综合运用”三个层次，变为“了
解、理解、掌握”三个 层次。也就是说，知识点的考查是按照三个层次来进行的。
(1)了解。
要求对所 列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的
程序和步骤照样模仿，并能 (或会)在有关的问题中识别和认识它。这一层次所涉及的主要行
为动词有了解、知道、识别、模仿、 会求、会解等。“了解”即为知道，对相应的数学概念、
公式只要知道是怎么样的概念和公式就可以了。 举例如下：
[例2-2-1] （2020年广东卷文科）
x
4．若函数y=f(x)是函数y=a(a>0，a≠1)的反函数，且f(2)=1，则f（x)=( )．
A．log
2
x B．
1
x-2
C.
log
1
x
D．2
x
2
2
【解析】对反函数的要求已经降低为“了解”层次，这一道题只要知道
x
x
y?log
a
(a?0,a?
?
1)
与y=a(a>0，n≠1)互为反函数即可。了解这些，此题目自然就可以
解决了。可是有相当多的考 生因对“了解”层次的知识点重视不够，本应该“了解”的知识
却忘记了，导致很容易的题目也丢分。此 外，一些考生不清楚高考在考查知识上的层次要求，
将一些“了解”的知识点盲目扩充加深。同样是关于 反函数的题目，例如“已知函数y＝f(x)
的反函数为y=log
2
(1-x)+1 ，则f(2)=____”.这道题目明显就超出了“了解”层次的要求，
是不适合作为训练素材的。类 似超出要求的题目在一些教学辅助资料中比比皆是，考生做
题时要注意选择。
(2)理解。
要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识
作正确的描述并用数学语言表达说明．能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、
讨论，具备 利用所学知识解决简单问题的能力。这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，
说明、表达、推测、想象 、比较、判别、初步应用等。即要知道概念和公式是怎么产生的，
还要知道它们可以解决什么问题。
[例2-2-2] （2008年广东卷）
1．已知O|z|
的取值范围是( )
A．(1，5) B．(1，3) C．
(1,5)
D．
(1,3)

【解析】复数模 的概念属于“理解”的层次，本题目就很好地体现了考试大纲对这一概
念的要求。不是简单的计算模，而 是具有一定的综合性。学生必须懂得复数和复数模的定义
以及计算方法，同时判断题目所给的条件，才能 得出
|z|?

a
2
?1,
而O2
+1<5，
?1?|z|?5,
选C。类似的知识点在 备考中很容易忽视，有的 同学甚至到了参加“一模”

的时候还不知道复数的模如何计算。无形中降低了层次要求， 这种危险的做法在备考中要尽
量避免。
(3)掌握。
要求能够对所列的知 识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、
讨论，并且加以解决，这一层次所涉及 的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，
研究、讨论，运用、解决问题等。举例如下：
[例2-2-3] （2008年广东卷）
12．已知函数f(x)=(sinx- cosx)sinx，x∈R，则f(x)的最小正周期是_________.
【解析】f(x)= sin2x-sinxcosx=
1?cos2x1
?
?sin2x
，此时可 得函数的最小正周期为：
22
T?
2
?
?
?
o

2
1
?
sin2x
”就是逆向使
2
二倍角的正余 弦公式属于“掌握”层次。不仅要知道公式是怎么推导的，还要掌握三种使
用途径：正向使用、逆向使用 、变形使用。将“sinxcosx”变形成“
用，此外还用到二倍角余弦的变形公式“
sin x?
2
1?cos2x
”，这些都是重点内容，在备
2
考中要给予足 够的重视。
二、对能力的考查
在考查知识点的同时，进行能力的检测，是2020年广 东高考数学科命题的方向。那么高
考是怎么进行能力的考查的?下面我们举例说明。
1．模块整合试题——考查综合分析问题的能力
新课程标准的教材是按照不同模块来编排 的。这样就打破了原来教材的编排顺序，各个模
块之间既相对独立又同属于一个完整的知识体系，模块之 间相互交叉渗透。相对于原来版本
的教材，知识的体系显得松散了一些。例如：解析几何分布在两个不同 的模块必修2以及选
修1一1中，新增的内容概率与统计也是分两个不同的模块来进行学习的。将不同模 块的内
容整合在一道题目中，这是近三年广东高考文科数学试题最显著的特点，相信在2020年的试题中依然会延续这种风格。下面通过例题来分析这种整合是怎么进行的：面对这样的题目
又该怎么 去寻求解题对策。
[例2-2-4] （2008年广东卷文科）
x
2
y
2
2
18．设b>0，椭圆方程为
2
?
2
?1
，抛物线方程为x=8(y-b)．如上图所示，过点
2 bb
F(0，b+2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G．已知抛物线在点G的切线经< br>过椭圆的右焦点F
1
．
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
(2)设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP
为直角三角形?若存在，请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐

标)．
【解析】观察本题目，椭圆属于选修2—1，抛物线(二次函数)则可以说是必修1 的内
容，导数也出现在选修2—2中。这道题目跨越不同的模块，具有一定的综合性。弄清楚题
意后，应该设计一个解题程序。我们读文章通常要强调“文眼”，解数学题也应该找出“题
眼”，“题眼 ”就是解题的突破口。显然，过点F（0,b+2）作x轴的“平行线”就是本“题
眼”，按照这条线索 ，可以求出点G的坐标，接下来利用导数就可以求出切线方程，进而得
到点F
1
坐标， 最后以方程为工具，问题迎刃而解。
2.鼓励多想少算——考查数学思维能力
数学是思维的 科学，运算技能是数学思维技能的一部分，但不是最核心的部分。解数学题固
然离不开运算，但是倘若运 算量过大，那么繁杂的运算势必冲淡思维过程。有的题目一看就
知道怎么做，接下来就是大量的计算，广 东高考文科数学就很少考这样的题目，而是尽量减
少运算的复杂程度，腾出空间来让学生思考，以考查学 生的思维水平。举例如下：
[例2-2-6] （2020年广东卷）
2
1 9．如下图，已知曲线C：y=x与直线l：x-y+2=0交于两点A(x
A
，y
A
)和B(x
B
，y
B
)，且x
A
B< br>．记
曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D．设点P(s ，t)
是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．
(1)若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程：
(2)若曲线G：
x ?2ax?y?4y?a?
222
51
?0
与D有公共点，试求a的最小值。
25

【解析】显然本题第(1)问难度不大，类型很常见，只要按部就班就可
果发现其圆心恰好在直线y=2上，这个结果应该是命题者故意设置的。再绘制一个草图，自
然就想到 先求出一个圆：位于直线l的上方，且与直线l相切，由点到直线的距离公式有

|a?2? 2|
2
?
7
727272
．解得
a??
(其中a?
舍去)，那么
a??
是否就是满足
555
5
条件的 最小的值?还应该计算一下此时的圆G与直线l：x-y+2=0交点，验证是否在D内，经
过验证确实 是最小的。
这里，第(2)问的解答是一个典型的“多想少算”的过程。如果直接去解决方程组( 不等式
组)简直是办不到的，通过绘图，提出解决问题的方案，进行实践，不断修正，直至问
题解答。把有限的时间更多地投人到思考中，避免大量计算。
3．常考常新——不回避重点知识与数学思想
不刻意追求知识点的覆盖率，不回避重点知 识的考查，关注重要的数学思想方法。这是近
年理科数学高考试卷的又一特点。所谓的重点知识和重要方 法是什么?

重点知识，是那些在整个高中数学知识体系中的主干知识，包括函数、 导数、不等式、三
角函数、数列、平面向量、立体几何、解析几何、概率统计等；
重要方 法，就是在学生数学思维发展过程中起到“推波助澜”作用的思想与方法，包括函
数与方程思想、数形结 合思想、化归与转化思想、分类讨论思想等。
将这些知识点与思想方法以各种不同的层次融入试题 中，设计成新颖的数学试题，通过考
生对数学思想方法的直觉运用来对考生的数学能力进行区分，使整个 试卷显得“骨骼强
大”、“肌肉丰满”。在这里命制的题目一般都是所谓的压轴题。
对于我 们考生来说，怎么解决这些压轴问题？有没有一些合理的“套路”？或者是“久
试不衰”的办法？我们把 广东高考理科这三年的压轴题目做一些归类，再针对性地介绍一些
策略：
(1)拼盘式的压轴题。
有些压轴试题综合了若干不同模块的知识，给学生眼花缭乱的感觉。 这方面的代表
题目是2020年广东文科第21题。
[例2-2-7] （2020年广东卷）
22
21．已知曲线Cn：x-2nx+y=0(n=1，2， …)．从点P(-1，0)向曲线C
n
引斜率为k
n
(k
n
>0)
的切线l
n
,切点为P
n
(x
n
,y
n
)．
(1)求数列{x
n
}与{y
n
}的通项公式；
(2)证明 ：
x
1
?x
3
?x
5
?x2
n-1
?
x
1-x
n
?2sin
n

1?x
n
y
n
【解析】本题属于难题，综合了不同模块的知识与 方法。解答这类压轴题目时，首先要仔
细阅读条件，阅读过程中会有一些初步想法，或者可以直接计算出 一些结果，这对解决整个
问题可能会有作用。然后可以想，有没有见过类似的问题?或者题目中的部分问 题有没有见
过?能不能画个图? (这点很关键)阅读完题目后，能不能用自己的话再叙述一遍?这些就是
解决问题的思维过程。
例如上述例题．就可以将其分解成三个小问题：
222
问题1：从点P (-1，0)向曲线C
n
：(x-n)+y=n引斜率为k
n
(k
n
>0)的切线l
n
,计算切点P
n
(x
n
，
y
n
)。
问题2：证明不等式
1
2n?1
?2si n
1
2n?1
1
2n?1


问题3：证明不等式
132n?1
???
242n
这三个问题，对大多数 高三学生来说，都不陌生。综合问题大多数也具有“拼盘”的特征，
如果在阅读的时候能够把它“拆分” 成若干小问题，再寻找突破口，就会显得容易了。
解答的时候可以采取“各个击破”的策略，首先 为全方面解决问题做一些铺垫：曲线Cn：
222
(x-n)+y=n是圆心为(n，0)，半 径为n的圆，切线l
n
:y=k
n
(x+1)。
直线与圆相切问题易使用圆心到切线的距离等于半径这条性质：
(1)依题意有
nk
n
?k
n
k
n
?1
2
?n
， 解得
k
:
2
n
n
2
?,

2n?1
又
x
n
?2nx
n
?y
n< br>?0,y
n
?k
n
(x
n
?1)
22

联立可解得
x
n
?
nn?2n?1
,y
n
?.

n?1n?1
式子比较复杂，应
该考虑换 元：令
t?
1
2n?1
?(0,
3
],
进一步等价 于
t?2sint,

3
那么思路就产生了，可以使用导数来证明该部分。
?
t
，则
f'(t)?1?2cost?0
在t∈(0， 令
f(t)?t?2sin
3
]上恒成立，
3
?
t
在t∈(0， 故
f(t)?t?2sin
3
]上单调递减，
3
?
t
f(t)?t?2sin
1
2n?1
?
?
2sin
1
2n?1
.
不等式
x
1
?x
3
?x
5
?x
2n?1
?
132n?1
?
等价于
?????
242n< br>2n?1
11
2n?1

可以采用数学归纳法，但是有无更适合的办法呢?我们用证明不等式中的分析法进行分
析：
1 32n?11132n?1
2
1
??????(????)?
242n242 n2n?1
2n?1

132n?1132n?11
?(????)(??? ?)?
242n242n2n?1
132n?1132n?11
之间铺设一座桥梁？
???)(????),
242n242n2n?1
12342n?12n
? ,?,?,?

23452n2n?1
132n?1242n
?????
所以
????

242n352n?1
是否可以在
(?
即
x
1
?x
3
?x
5
?L?x
2n?1?
1
2n?1
成立。
综上，
x
1
?x
3
?x
5
?L?x
2n?1
?
1?x
n
x
?2sin
n
成立。
1?x
n
y
n