高中数学论文：浅谈反思性学习在数学学习中的作用资料

高中数学论文
“三思”而致远

——浅谈反思性学习在数学学习中的作用
摘要：由于数学对象的抽象性,数学活动的探索性,数学推理的严谨性和数学语言的特殊
性,决定了 正处于思维发展阶段的高中学生不可能一次性地直接把握数学活动的本质,必须要
经过多次地反复思考、 深入研究、自我调整,即坚持反思性数学学习,才可能洞察数学活动的
本质特征。
关键词：课堂；解题；作业；反思性学习
1、反思性数学学习的背景和概念
《新 课程标准》把“反思”这一数学理念提高到应有的高度,指出要重视学生反思性学习习
惯的养成。当代建 构主义学说认为学习不是被动的接受,不是单纯地复制与同化,它要求学生
在活动中进行建构,要求学生 对自己的话动过程不断地进行反省、慨括和抽象。
反思是个体在分析自我经验、监控和评价自我行为的 基础上，依据某种标准对自身的经
验和行为所进行的批判性的思考。反思性数学学习是指的对己完成的思 维过程进行周密且有
批判性的再思考，是对己形成的数学思想、方法和知识从另一角度以另一方式进行再 认识，
以求得新的深入认识或提出疑问作为新的思考起点的一种数学学习方式。荷兰著名数学家弗
赖登塔尔指出:“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力”。
2、反思的途径和作用
2.1 课后反思 提炼思想
大部分学生感叹到：上课老师讲得我都听得懂，而且感觉我 全都学会了，但下课后什么
都不知道了或做作业时同类题型就不知道如何下手了。这种原因主要是同学们 下课后没有认
真地去反思课堂，应该认真去对今天上课的知识点、数学方法、数学思想方法和典例的解题
思路等内容进行反思。下面就以高三数学复习专题：向量方法求空间角和距离为例，谈谈如
何进 行课堂后反思。
1、反思知识点
反思本节课学习中空间的角主要有：异面直线所成的角；直 线和平面所成的角；二面角
以及它们的文字定义、各种角的图形定义、各种角的范围。并把这几种角的概 念和范围进行

比较，通过对比反思加深对概念和范围的理解，避免混淆这几种角的图形定 义和角的范围。
反思空间距离有哪些？我们知道构成空间的点、线、面之间有七种距离，而本节着重学
习了异面直线间的距离、点面距离、线面距离；面面距离求法，同时回忆这些距离的定义。
通过 回忆我们就更加明确了各种距离的定义，不至于在以后的解题中出现张冠李代。
2、反思数学方法和数学思想方法
反思本节课空间角和距离如何用向量去求的。学生可以在纸 上简单的去罗列各种求法。
如空间角的求法：
（１） 利用向量去求两条异面直线所成的角方法
设
a
、
b
分别为异面直线
a
、
b
的方向向量，则两条异面直线所成解
?
?arcco s
a?b
ab

（２）利用向量去求线面所成角的方法
设
l
是斜线
l
的方向向量，
n
是平面
?
的法向量，斜 线
l
与平面
?
的所成角
?
?arcsin
l?n< br>ln

（３）利用向量去求二面角的方法
法一、在
?
内
a?l
，在
?
内
b?l
，，则二面角
?
?l?
?
的平面角
?
?arccos
a?b
ab

法二、设
n
1
，
n
2
是二面角
?
?l?
?
的两个半平面的法向量，其方向一个指向内
侧，另一个指向外侧，则二面角< br>?
?l?
?
的平面角
?
?arccos
n
1
?n
2
n
1
n
2

反思空间角向量求法的 同时学生们应积极地去反思空间角的其他求法，在这里就不一一
列举了。通过这样的回顾既可以掌握本节 课空间角的解法，又可以掌握空间角的其他求法，
同时去对比这些求法，从中找出适合自己认识水平的解 法和最优的解法，从而达到解题的精
确度和最优化。
3、反思典例的解题思路
反思 典例的解题思维过程，分析解题的关键点和切入点，归纳总结解题方法，寻找一类
题的解题规律。 例１．如图，在棱长为２的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E、F分别是棱
A
1
D
1
和A
1
B
1
的中点．
（Ⅰ）求异面直线
DE和FC
1
所成的角；

（II）求
BC
1
和面EFBD所成的角；
（III）求
B
1
到面EFBD的距离
反思１、遇到正方体、长方体等特殊几何体，空间角和距离的向量求法易于理解．
反思2、对 于特殊的几何体可建立空间直角坐标系，无论求角、距离还是证明平行、垂直都
可用向量方法来解决，向 量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧.
反思3、立体几何题用传统方法去做，也是可行的，甚至 有的还较为简单，但有些题有传统
方法去解需要很多的技巧性。但用向量法的好处在于克服传统立几以纯 几何解决问
题带来的高度的技巧性和随机性．向量法可操作性强―――运算过程公式化、程序
化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难点，是解决立体几何问题的重要工具
反思是一种 习惯和意识，不断反思，才会不断进步。而课后反思，它既使学生轻松地对
所学知识有进一步认识，并能 解决许多疑难问题，从中提炼出应用范围广泛的数学思想，提
高了学生的个人体验和创造力，也让学坚定 了“一份耕耘，一份收获”的信念，从而认真主
动去学习。
2.2 解后反思 掌握方法
解后反思是指解完一道题后，对题目本身的结构及解题过程进行认真回顾，深入探究，
以图举一反三，触类旁通，从而掌握解题方法。下面谈谈解题后应做几点反思。
1、反思审题过程，寻找解题的关键点和切入点。
审题是解题过程中的一个重要环节，为此在 解题后去反思审题显得尤为重要。我们应去
反思题目中每个条件的相关作用和涉及到的知识点;去反思解 决这个问题的关键点和切入
点。这样有利于培养学生解题经验的积累。
例1、设定点M(-3 ，4)，动点N在圆
x?y?4
上运动，以OM、ON为两边作平行
四边形MONP， 求点P的轨迹。
解： 设
P(x,y)
，
N(x
0
,y
0
)
，则线段OP的中点坐标为(
22
x
y
，)， 线段MN的中点
2
2
y?4
坐标为(
x
0
?3，
0
)。
2
2
因为平行四边形对角线互相平分，故
x
x
0
?3
y
y
0
?4
=，=
2 2
2
2
?
x
0
?x?3
从而
?

y?y?4
?
0
N(x?3,y?4)
在圆上，故
?
x?3
?
?
?
y?4
?
?4
因此所求轨迹为圆：
22
?
x?3
?
2
?
?
y?4
?
2
912
21
28
?4
，但应除去两点：(-，)和(-， )
555
5
反思1：本题关键是找出动点P与定点M及已知动点N之间的联系， < br>反思2：以OM、ON为两边作平行四边形MONP这个条件如何用，通过图象和反思1
就知道用 平行四边形对角线互相平分这一定理即可。

反思3：求与圆有关的轨迹问题，充分利用 圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上
点之间的关系或动点所满足的几何条件。
2、反思解题的方法，寻找解题的最优方法。
高考注重对通性通法的考查，谈化了特殊技巧。 这就要求学生能在单位时间内寻找解题
的最优方法。因此解题后应注重从不同角度，不同侧面去反思典型 问题的解题方法，从而突
破思维定势，寻找最优解法。
例2：8个篮球队中有2个强队，先任 意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比
赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少？
解法一： “2个强队都分在第1组”记为事件A
“2个强队都分在第2组”记为事件B
2
C
6
P(A)?
4
C
8
424
C
6
C
6
?C
6
3
P(B)?
4
?P(A?B)??

7
C
8
C
8
4

3
?2个强队分在同一个组的概率为

7
解法二：将8个队平 均分成两个级，共有
C
8
种分法，要使2个强队同在一个组，可先
限定他们都 在第1组或第2组，有
C
2
种分法，再从其余6个队中选2个队加入2个强队所
在的组，有
C
种分法，剩余4个队自成另一组，所以所求概率为
P?
26
4
1
12
C
2
?C
6
C
8
4
?
3

7
解法三：设“2个强队分在同一个组”为事件A ，则“2个组中各有1个强队”为事件
A
。

P(A)?< br>13
C
2
?C
6
C
8
4
443??P(A)?1??

777
2
解法四：甲、乙两队在八个空位中任站 两个位置，共有
C
8
种站法，其中甲、乙两队同让
12
C
2
?C
4
3
在1,2,3,4或5,6,7,8的站法有
C?C
种，故所求概率为
P?

?
2
7
C
8
1
2
2
4
反思1：方法一利用互斥事件的概率计算公式来求，方法二利用等可能 性事件的概率计算
公式来求，方法三利用了对立事件的概率计算公式来求，方法四利用站位这一模型来求 。
反思2：对比以上这些方法寻找最适合自己认知水平的解法来解，以达到解题的精确性。
反思3：通过一题多解既可寻找解题的最优方法，又可复习概率这一章的基本解题方法。
3、反思问题类型，寻找解题中的“变”与“不变”。
数学强调思维的训练，数学解题要寻求 通性通法的同时还注重解题的差异性，求同之时
求异，求异之时求同。为此在解题后更应进行反思，来认 清问题的本质和解决问题的关键，
从而能够掌握这类问题的解决方法。从下面这些题组来感悟“变”与“ 不变”。

x
2
y
2
例3、已知椭圆??1内有一点 P(2,1),(1)求过点P的且被P平分的弦的方程.
164
(2)求过点P的弦的中点Q 的轨迹方程.
y
2
例4、已知双曲线x??1内有一点P(2,1),(1)求过点P 的且被P平分的弦的方程.
2
(2)求过点P的弦的中点Q的轨迹方程.
2
x
2
y
2
例5、求证椭圆??1与直线y?1?k(x?2)恒相交.

164
x
2
y
2
例6、若椭圆??1与直线y?1?k(x ?2)恒相交，求m的取值范围.

16m
由此可知，学生能做好解题后的反思，必定 会激发其探求数学奥秘的动机，对数学学习
产生浓厚的兴趣，找出很多规律，对所求问题开拓性思考，引 出新题和新方法，久而久之，
就可以使新的知识体系得到整合，思维在反思中升华，从而学到总结归纳方 法。
2.3 任务反思 享受成功
数学知识的掌握，需要一定的作业和考试的任务 ，作业和考试是学生获取、巩固、应用
知识的一种手段，是课堂教学的延续，但往往会使学生走进题海战 ，这不利于学生的发展。
因此，一定程度的作业后的反思可来达到理想的效果。
1、作业过程中的反思。
①作业前反思，在作业之前反思新知识的来龙去脉，有利于作业的有 效完成。②作业后
反思，在做完作业后进行反思，相当于检查，对作业的正确性作出自我评价。③错误作 业反
思，当教师把作业批改好以后，反思发生错误的原因，吸取教训，以便以后避免发生类似的
错误。
2、考试过程中的反思。
数学题目的出法千变万化，但知识的核心往往不变。学生可 借助考试的机会，为自己理
清知识结构。①考试前反思，对一个阶段的知识系统进行反思，主要为考试作 准备。②考试
后反思，对考试中出现的错误进行反思，分析错误的原因，为后继的有效学习奠定基础。③
经验型反思，反思考试中解答的技巧，提高自己对知识灵活运用的能力，也为以后考试积累
经验 。
任务反思是自我认识和评价的过程，是对知识形成过程和学习历程的体验、感悟，无论
酸甜 苦辣，都是他们探究知识历程中的宝贵财富。通过反思和感悟，学生学会了思考和评价，
思维开阔了，出 错率低了，数学思维的深刻性和严谨性培养了，学习能力、考试的实效性提
高了，真正尝到反思的“甜头 ”，享受成功的快乐。
总之，在学生的日常学习中，鼓励学生对自己的课堂表现、解决问题和作业的成 败进行
分析反思，可以巩固知识，拓宽思路，把问题引向纵深，激活学习智慧。同时，通过“学习
反思”培养问题意识，促使学生自己研究自己的学习，提高了学习主动性和积极性，是提升

学习能力、减少学习失误的“催化剂”。
参考文献：
1、 郑菊萍；反思性学习简论[J]；上海教育科研，2002年08期
2、 蔡妙通；浅谈反思性学习在数学教学中的意义[J]；《中国校外教育》，2009年S2期