高中数学建模论文

数学建模之观影的最佳位置
山东省茌平县第一中学 高二（9）班 李成真
指导老师 于海霞
摘要
当今这个时代，电影是一种喜闻乐见的大众艺术，人们喜欢在闲暇时 间走进影院，体验
其中的喜怒哀乐。而同时，作为一种消费，人们总是希望自己能坐在电影院的最佳位置 ，使
得视觉，听觉得到最好的享受，本文章从看电影时观众的舒适度出发，对影院的座位设计进
行了探讨，而我也专门到电影院采集了相关的一些数据，比如大屏幕的长宽，地板倾角θ等，
通过查阅文 献，我了解到影院座位的舒适程度主要取决于视角α.和仰角β,视角是观众眼睛
到屏幕上下边缘的视线 的夹角, 越大越好; 仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的
夹角, 太大使人的头部过分上仰, 引起不适, 一般要求仰角β不超过30。
之后，并通过非线性规划，自学了Matlab软件，利用其进行了计算。
【1】
在了解了这些
关键词
电影院 最佳位置 仰角 视角 Matlab

前言
电影是一种表演艺术、视觉艺术及听觉艺术，利用胶卷、录像 带
或数位媒体将影像和声音捕捉，再加上后期的编辑工作而成。电影艺
术诞生于1895年12 月28日。电影于1896年8月传入中国上海。随
着人们生活质量的提高，更高的生活品质成为人们的 追求，电影作为
一个雅俗共赏的消遣方式，越来越受到人们的关注，而中国的票房也
逐年升高， 除了引进的外国大片获得很高的票房，如《阿凡达》、《泰
坦尼克号》等，国产影片也令人刮目相看，《 泰囧》、《大闹天宫》、《私
人定制》等创造了一个又一个票房奇迹。从中我们看到电影在人们生
活中的重要性，也因此，为吸引观众，影院开始引入高科技，如3D

技术、 曲面屏幕、IMAX大屏，除此之外，在设计时影院也充分考虑
了观众看电影时的舒适度，对于影院的地 板倾角，前后排椅子之间的
距离，以及观众离屏幕的距离都进行了精心设计。可是尽管如此，不
同的位置看电影，感受肯定会有很大差异，根据这个想法，我们进行
了数学建模。

建模构想
看电影时的舒适感取决于视角α和仰角β，所以在选取最佳位置
时要综合考 虑两者，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角,
越大越好; 仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角, 太
大使人的头部过分上仰, 引起不适,一般要求 仰角β不超过30。所
以如果坐的太靠前，导致仰角太大，除了脖子会感到酸痛外，视野及
画面 感也不好，甚至会感到头晕。而坐的太靠后，又可能会觉得画面
不是那么的清晰，甚至被前面的观众挡住 视线，看不到屏幕的最下面。
所以，看电影挑选位置是一门学问。
设影院的屏幕高为h，上边 缘距离地面高为H，影院的地板线通
常与水平线有一个倾角θ,第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为
d, D, 观众的平均座高为c (指眼睛到地面的距离), 为了得到这些
基本参数，我专 门来到电影院采集数据，询问了电影院工作人员，在
说明来意之后，她热心的为我解答甚至专门拿出了电 影院建设之初的
相关材料，而我也得知了参数h = 1.8, H= 5, d= 4.5, D= 19，c =
1.1(单位m )。地板线的倾角θ= ,并且查出电影院一般的中等

放映厅排数为19排，这样就可以求出每两排之间间距为
(19-4.5)18=0.8m

图一.询问工作人员关于影院参数的问题
本文从观众看电影的视角和仰角入手，列 出非线性方程，并力求使得
视角最大化，仰角最小化，从而可求出观影的最佳位置。

图二. 电影院座位图

基本假设：

1.每位观众坐下后眼睛到地面的距离相等。
2.忽略前排观众对后排观众的阻挡，每个人都可以完整的看到整个大
屏幕
3.本文中用到的电影院的各种数据是标准电影院，但不代表所有的放
映厅，因其规格不同。
4.不考虑曲面屏幕对视觉带来的影响。

模型的建立：
考虑到 看电影的每个人是离散的，因此，在知道电影院的座位一
共有22排后，就可以将看电影的最佳位置转变 为一个个离散的点。
除此之外，最佳位置一定位于最中央的一列上的某个位置，因此，可
以通过 求解哪一排的观影效果最好来确定最佳位置。这样问题就转化
为一个平面的几何问题，从而可以绘制出影 院放映厅内的剖面图，如
下图所示。且各未知量均标记在图上。

图三.放映厅剖面图

模型求解
为达到”视角尽可能大, 仰角尽可能小”的目的, 就在λ线(视
觉线)上选择合适的点使得角α尽量大, 但角β尽量小, 最佳位置就
是要在这两者之间找到一个契合点; 由于α的变化范围在0
o
- 90
o
之
间, α-β的范围在-90
o
- 90
o
之间, 所以α和α- β的大小可用正切
( tan)和反正切函数( arctan)来衡量, 如图1所示, 即有:

tanβ
?
H?L

x
?
?
?
?arctan
L?h?H

x
(L + h > H 时为正)

令：f(x)=tanβ F（x)=α
因此可得到目标函数:
f(x)?
H?L
x


F(x)?arctan
H?LL?h?H
?arctan()

xx

约束条件为：
影院中每排据屏幕的距离x 可表示为:
x?d?0.8(n?1)(n?Z
?
且1?n?m)

其中: L表示观众眼睛到水平面的距离, n表示影院中座位的排数。

对于这个多目标问题, 用“主目标优化法”对模型进行求解。
进一步分析, 人们看电影时, 视角大时能达到更好的观看效果, 而
通过调整颈部的扭转角度,也就是仰角，只要角度不太大, 是不会给
人们的身体带来较大的不适感, 特别是电影内容比较精彩时, 人们
会更忽略颈部的轻微不适感。一般情况下, 当仰角不超过30
o
时, 短
时间内人们是不会感觉不舒适的。也就是说, 视角大给人们带来的满
足感比仰角小给人们带来的舒适感更为重要。所以F(x) 为主要目标,
f( x ) 降为约束条件, 那么问题转化为一个非线性规划
[2]

那么，F（x)约束条件为：

H?LL?h?H
?arctan()

xx
?
x?d?0 .8(n?1)(n?Z
?
1?n?m)
?
S.T.
?
f( x)?tan30
o
（1）
?
L?(x?d)tan
?
?c
?
F(x)?arctan
将式（1 ）的约束条件带入F（x)可得：

F（x)=
arctan
5?LL?1.8?5

?arctan< br>xx
?
x?4.5?0.8(n?1)(n?Z
?
1?n?22)?
?
5?L
S.T.
?
?tan30
o
?x
o
?
L?(x?4.5)tan10?1.1
?


运用MATLAB
[3- 5]
软件解出最优解为:， F(x)=13.084
o
即：α=13.084
o
。此时x = 6.9m。
由X=4.5+0.8(n-1)，得n=4
因此最佳位置位于第四排的中间位置。

结果分析
模型的结果表明, 坐在第4排最中央位置看电影效果最好, 也即
是所谓的最佳位置, 在第4排之前和之后看电影的效果都会略有下降,
出现这一结果的原因主要是因为在前面3排时, 虽然视角比较大, 但
仰角也比较大并且还超过了30
o
, 而在后面几排, 虽然仰角较小, 但
视角也很小, 因此效果也不是很好。所以这一结果对整体效果来说是
非常 合理的。此模型还可以用于大型场合的座位安排与设计, 如会
场、演播厅、体育场等。诚然, 本文考虑影院座位设计问题时, 还未

能包含相关参数的误差等问题, 而且 所得出的结果也只是试用符合
这些参数的电影院等场所，值得进一步将影院座位设计问题转化为非
线性随机互补问题, 以研究其解的存在性、适用性、稳定性和灵敏度
分析。从而, 可以将该建模方法用于相似问题的解决。
总而言之，本文通过数学建模的方法得出看电影时的最佳位置 ，
为人们更舒适的享受生活提供了准确的数据以及更精确的结果。


参考文献
[1] 周人忠. 电影院建筑设计[M] . 北京: 中国建筑工业出版社, 1986.
[2] 蔡锁章. 数学建模[M]. 北京: 中国林业出版社, 2003
[3].唐冲.基于Matlab的非线性规划问题的求解.计算机与数字工程,2013,7
[4] 王沫然. MATLAB6. 0与科学计算[M ]. 北京: 电子工业出版社, 2001.
[5] 徐瑞, 黄兆东, 阎凤玉. MATLAB 科学计算与工程分析[M ] . 北京: 科学出版社, 2008.
参考书目：
Matlab数学计算范例教程 石博强 腾贵法等著