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高考数学 教学研究论文 理解教材 感悟数学素材

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 10:26
tags:高中数学论文网

高中数学最好的视频-2019上教师资格证高中数学答案

2020年9月19日发(作者:罗子为)


理解教材 感悟数学
宋朝著名理学家朱熹说:“观书,先须熟读,使其言皆出自于 吾之口;继而精思,使其意出
于吾之心;然后有所得耳。”笔者仔细品味这段话,认为作为一名数学教师 ,要想理解教材,
首先要熟读教材,先“入”教材,然后领悟教材,再“出”教材,只有教师真正理解了 教材
内容的编写意图及数学本质,才能做到深入浅出地教学,将教材教“透”,将数学教“活”,
为此要求教师在教学时决不能停留在教材的形式化的表面处理上,而是要返璞归真,深入钻
研教材,理 解教材,力求把数学的形式化逻辑链条恢复为当初数学家发明创新时的火热思考,
将数学知识的教育学形 态转化为学生易于理解的教育形态,进而让学生学到真正的数学,感
受到数学的真谛。
一、感悟“本源”
由于数学知识大都是人类在长期的社会实践中发展而来的,故其中的数学 概念、思想
方法的起源与创立都是自然的。如果你感到某个概念生硬不自然,是强加于人的,那么只要< br>细想一下它的背景、它的形成过程,就会发现它实际上上浑然天成的产物,它不仅合情合理,
而且 很有人情味,因此数学内在的自然和谐是实现自然的教学过程的源泉,对此我们教师必
须有一个清醒的认 识,当然,不少数学概念产生的背景可以在数学史中查到,而有些根本查
不到,此时,教师不能以此为借 口,避开不讲,而应该开动自己的脑筋进行思考一番,找出
产生的必要性和合理性,甚至就连教材中一些 数学概念的叫法也就不一般,也值得考究,说
不定能悟出数学的本质所在。
例如,在复 数教学中,关于命题“若
a

b?R
,且
a?b
,则
a?i?b?i
”是否正确?
在教学中发现,学生往往认为是正确的,因为根据不等式的性质 即知,然而这一命题却是错
误的,对此学生不解,只好等待教师课堂上解释了,可不少教师却以“虚数不 提大小,故两
个复数不能比较大小”为由,说明其不正确,对此学生依然提出质疑,因为像
3? 2i

2?i
这样的复数不能比较大小,可以理解,而此命题是特殊情况,不等式a?b
两边同时加上一
个数,不等式仍然成立,怎么不对呢?对此,不少教师也是没有认识 透彻,故也解释不清,
就搁置起来,最后也就不了了之,令学生纠结不已,这样教师专业发展就无从谈起 。
但是如果笔者进行了一番思考,则就能发现其中的奥秘。笔者认为不等式两边同时加上一个正数(或负数),原不等式的两边都相应地增加了(或减少了)同一个数,不等式显
然成立, 而虚数单位
i
既不是正数也不是负数(注:这一点首先向学生讲清楚),故此时虽
有< br>a?b
,则实数
a
加上
i
之后得到的数
a?i
并不能说明比
a
大,还是比
a
小,同理故
b?i
也是如此 ,因而也无法比较
a?i

b?i
的大小,因而是错误的。不过笔者讲到此, 仍然不
少学生呼声不断,他们提出利用“作差比较法”可以比较出
a?i

b ?i
的大小,即
(a?i)?(b?i)?a?b?0
,故
a?i?b?i< br>,乍一看,理由十足,此时教师如果缺乏科研


意识,则很难发现破绽的,说不定根 据学生的这一思路就得出“
a?i?b?i
”的错误结论,
从而造成以讹传讹的现象发 生。不过笔者比较冷静,勤于明察秋毫,善于研究,很快就看出
了玄机所在,于是就追问学生“将不等式 一边的数移到另一边的依据是什么?”学生一听到
这个问题,几乎是哑口无言,心想:“移项不就是移过 来变号码,还有什么依据?”由此看
出学生对初中学过的知识点认识模糊,是导致错误解法的根源所在, 其实“将不等式一边的
数移到另一边变号”的依据仍然是不等式的性质-----不等式两边同时加上一 个数,不等式
仍然成立。”经过这样一解释,学生口服心服,心情自然爽极了,真正起到解惑的作用。
其实解释这个问题也不难,就是需要教师善于从数学知识的理解中抽丝剥茧,引导学生
思辨解惑,激发学生思维,弄清问题的本质,必然能起到训练学生思维深刻性的作用。
二、感悟“美感”
数学教师培养学生对数学的感情,在很大程度上是向学生展示数学 美。既然审美追求是
一种普遍存在的心理,学生从根本上说也就是希望看到数学美的,这就靠教师引导学 生从教
y
如图2

1
M
l

如图
P
材的字里行间中发现美,让学生感受到美。著名数学家庞家莱断言:“数学的优美感不过就

是问题解决适合我们心灵需要而产生的一种满足。”
x

由于教材受篇幅的 限制及学生认知的状况,编者不可能把数学家创造学生的过程都一一
地展示出来,故数学教材中的数学知 识大多是形式地摆在那里的,准确的定义、严密的推理,
一个字一个字地印在纸上,这种以形式化为主而 呈现出来的数学内容,看上去确实冷冰冰。
但其实它又确实很美,然而如果教师不认真剖析教材,弄清所 以然,则是很难发现数学美的,
从而导致学生也感受不到数学知识那冰冷的美感。其实,只要我们教师悉 心揣摩,用心体会,
就会发现数学教材中处处充满美,一旦学生感受到学生如此之美,将能大大激发学生 对数学
l
科学的热爱。








例如,在直线参数方程的学习时,我们知道,对于过定点
P(x
0
,y
0
)
、倾斜角为
?
的直线
l


参数方程是
?
?
x?x
0
?tcos
?
,
(※),在此参数方程的教学时,教师通常是先介绍
(t
为参数)
?
y?y
0
?tsin
?
,
“有向线段的数量”这一概念, 然后再推导出参数方程(※),并告诉学生参数
t
的几何意
义是直线上定点
P (x
0
,y
0
)
到动点
M(x,y)
的有向线段< br>PM
的数量
PM
,这样直接告诉式
的教学,学生虽然也能接受,但就觉 得“有向线段的数量”这一概念比较别扭,不知道为什
么要突然引入此概念,故难以接受,自然学生就对 它亲近不起来,产生不了认同感。究其原
因,就是教师照本宣科的结果,没有领会教材编者意图,从而领 悟不到教材介绍“有向线段
的数量”这一概念的必要性与合理性,从而更感受不到数学的统一和谐美。笔 者在教学这个
问题时,并没有直接抛出“有向线段的数量”这一概念,而是这样导入的:
设< br>M(x,y)
是直线
l
上一动点,如果选取
|PM|
为参数, 则当点
M

在定点
P(x
0
,y
0
)的上方时(如图1),过点
P

M
分别作
x
轴、
y

的平行线,交于
N
点,在
Rt?MNP
中,因为< br>?MPN?
?
,则易知
?
x?x
0
?|PM|co s
?
(※※);当点
M
在定点
P(x
0
,y
0
)
的下方时
?
?
y?y
0
?|PM|sin
?
(如图2),过点
P

M
分别作
x
轴、
y
轴的平行线,交于
N
点,
?
x?x
0
?|PM|cos
?

Rt?MNP
中,因为
?MPN?
?
,则易知
?
(※※※),由此看
y?y?|PM|sin
?
0
?
出,无论参数方程(※※)中,还是参数方程(※※※)中,动点
M(x,y)< br>的坐标都与
|PM|
有关,但两个参数方程就有一点不同,那就是当动点
M在定点
P(x
0
,y
0
)
的上方时,
|PM|
前面是“
?
”号,当动点
M
在定点
P(x
0
,y
0
)
的下方时,
|PM|
前面是“
?
”号, 由于二者
差别就在与此,那么我们能否根据动点
M
与定点
P
的上、下 关系及
|PM|
前面的正负号情
况,将参数方程(※※)与参数方程(※※※)统一起 来,此时学生不难想到对于参数方程
(※※),若令
|PM|?PM?t
,则得到?
?
x?x
0
?tcos
?
,
(t
为 参数);而对于参数方程
y?y?tsin
?
,
0
?
?x?x
0
?tcos
?
,
(t
为参数),接着笔者就追
?
y?y
0
?tsin
?
,
(※※※),若令?|PM|?PM?t
,则就得到
?
问学生,参数
t
是一定正数 吗?可能为负数与零吗?学生不难得出,当动点
M
在定点
P


上方时,
t
为正;当动点
M
在定点
P
的下方时,< br>t
为负;当动点
M
与定点
P
重合时,
t
为< br>零,为了便于表达与应用,不妨将
PM

t
起个名,于是“有向线段的 数量”的概念就呼之
欲出,学生听后感到自然亲切,深深地认识到引入“有向线段的数量”这一概念的重 要意义,
真正领悟到数学的和谐美,大大增加了教学的吸引力.
由此看出,教师在教学 设计时,要反复锤炼教材内容,在尊重教材的同时,也需要根据
学情进行恰当的再创造,多问几个为什么 ,挖掘出教材引入此知识点的意义所在,学生也就
能感受到数学概念的真正价值,教学过程也就富有感染 力,能极大地激起学生学习数学的热
情。
三、感悟“本质”
课程标准强调高中数学 教学要发展好学生的理性思维,为此培养学生的推理论证能力是
高中数学教学的必然要求,而推理论证的 依据首先要保证必须是准确的、简洁的表述,为此
高中数学教材中的概念、公式、定理等重要知识点大都 用符号语言进行呈现出来的,故形式
化表达较多,然而由于数学符号的抽象性,致使学生感到高中数学抽 象难懂,但数学不是机
械的法则、僵死的符号,而是有着较强的现实意义和鲜活的生命的。这就要求教师 有较强的
感悟能力,要善于揭示数学的本质,那么究竟如何清楚地揭示数学的本质呢?一般来说,数学本质都是隐藏在数学符号语言之中,比较抽象,学生很难发现,这就要求教师在备课时,
对教材内 容要透过现象看本质,然后力争用通俗易懂的文字语言给学生讲解清楚,做到深入
浅出,准确把握数学本 质,易于理解与掌握,使学生达到忘其形而不忘其神的学习境界。
在周期函数的概念教学时,面对“函 数
y?f(x)
是以
T
为周期的函数,则
y?f(2x)

周期是多少”这个问题,不少学生往往将它错误地认为
y?f(2x)
的周期还是T
,且不知道
错在何处?笔者认为之所以出现这样的错误,根本原因就是只注重了周期函数 的形式化的定

f(x?T)?f(x)
,而不清楚周期函数的本质所致。所以教师在 教学中力求揭示出周期函
数的本质:“周期函数
f(x)
的对应法则
f
的功能是:定义域内所有自变量加上同一个非零
常数
T
后,经过对应法则
f
‘加工’,它们的函数值相等。”如果学生弄清楚了周期函数的
真正意义,则学生就不难由函数
y?f(x)
的周期为
T
得出
f(2x?T)?f(2x)
,即
T
T
f[2(x?)]?f(2x)
,从而
y?f(2x)的周期却是,而不是
T

2
2
由此可以看出,在概念教学中教 师若能把形式化数学的学术形态转化了学生易于接受的


教育形态,去揭示数学知识的本质 ,则可大大提升学生的数学素养。
四、感悟思想
教材中表面上似乎看不到多少数学思想方法, 但不是说教材中就没有思想方法,其实教
材中的数学知识中蕴含着丰富的数学思想方法,只不过数学思想 方法是依附于表层数学知识
的深层知识,比较隐蔽,需要我们教师去进一步发现。然而,受惰性使然,不 少教师往往知
重视数学知识的理解,而忽视了对数学思想方法的领悟,甚至很多教师将数学思想与数学方
法混为一谈,认识上也是稀里糊涂的,即使教材中也明确给出某些数学思想方法,但一些教
师理 解得不深刻,往往只知应用,而不加理解,教学中运用处理问题时,学生就认为数学思
想方法很“虚”, 很“玄”,其实数学思想方法虽然不是具体的数学知识,但它也是可以感受
的。
例如,在 运用“序轴标根法”解高次不等式时,笔者发现不少教师在备课时,只关注此法
使用的三个前提条件:( 1)最高次幂项的系数为正;(2)从右上角开始“穿线”;(3)奇过
偶不过。而不思考此法是怎么想 出来的,为什么要这样?为什么要穿针引线来处理?虽然教
学中按照“序轴标根法”的适用前提条件也能 顺利解决高次不等式,但因对此法缺少理解,
故只是机械套用方法,故显得毫无数学味,体现不出数学教 学是思维活动的教学。笔者认为,
利用“序轴标根法”解高次不等式是数形结合思想的有力体现,在理解 时要看到这一点,然
后还要说搞清楚“序轴标根法”为什么可以用来解高次不等式?其理论依据是什么? 对此,
不少教师却蒙在鼓里,认为这是人为规定的,没有什么可理解的,事实并非如此,完全可以
理解,这就要求教师在理解教材上下功夫,仔细想想,确实能找到这种方法解决问题的合理
性,那就是 用“序轴标根法”画出的曲线就是函数
f(x)
的图像,教师一旦戳穿这一真相,
学生 就能清楚地认识到利用“序轴标根法”穿线的过程就是画相应函数图像的过程,学生对
“序轴标根法”也 就有了好感,不再冰冷,学生听后在利用“序轴标根法”解高次不等式时,
能从画函数图像的角度去思辨 解答得正确与否,而不是仅靠死记硬背标准去操作解答。
五、感悟“策略”
在例题教学时 ,引导学生注重对解题的策略分析尤为重要,因为它是例题教学的核心
所在,只有牢牢抓住了这一点,解 题教学才能点燃学生思考的热情,从而才能真正实现例题
教学是思维活动的教学。由于教材中的例题往往 只给解答过程,而缺少“想法”的分析,对
于为什么要这样解?为什么不那样解?学生却不得而知,所以 教师在理解教材中例题的解
答,不应只关注”解答的步骤及结果’上,而应把精力放在“为什么这样去思 考”上。


例如,在证明“面面平行的判定定理”时,教师分析此题时,应重点解决为什 么想到使
用“反证法”解决?而不是眼光盯着如何用“反证法”去证明。笔者的做法是,先回忆一下到目前为止,我们已经学习了哪些证明“面面平行”的方法?经过一番思考之后,发现只有
利用“面 面平行平行的定义”这一种方法,接着,思考根据题设条件用“面面平行平行的定
义”处理此题行得通吗 ?又陷入了沉思,结果发现不行,至此已知道了此题从正面不能解答,
哪该怎么办呢?此时自然想到从反 面入手处理,这样“反证法”就呼之而出,这种解题的切
入点能够自然流淌是缘于教师注重解题策略的分 析的结果。
六、感悟“联系”
教师在钻研教材时,要从宏观上把握各章节内容之间的联系, 特别是本节与前面知识和
后续知识的连贯性,绝不能孤立地看待某章或某节的内容,头痛治头,脚痛治脚 ,否则学生
对数学知识的理解支离破碎,只见树木,不见森林,这将不利于学生思维能力的培养;因此< br>教学时教师既要学会站在数学学科整体高度上去看待每一节内容,不仅要立足高学段,而且
还又要 俯视低学段的内容,这样的教学才能使学生感受到数学味,才能做到融会贯通。
如在学习了“乘法原理 ”之后,教材又安排了“排列与组合”知识,不少老师只知道一
节节备各种类型的解题思想方法、技巧, 而却不考虑“排列与组合”与“乘法原理”的关系,
笔者在理解教材时认为,学习排列与组合知识的主要 目的是减少做事程序,提高解题效率,
同时一般而言,能用“排列与组合”处理的问题,都能用“乘法原 理”进行求解,因为“排
列数公式与组合数公式”都是根据“乘法原理”推导出来的,而用“乘法原理” 能解决的问
题,用“排列与组合”知识不一定解决出来,因为用“乘法原理”解决的问题具有一般性,< br>不一定是“排列与组合”问题。教师如果能认识这个层面上进行教学,则教学时很容易激起
学生的 思考,学生就想方设法怎么去提高解题效率?
例如从100个中抽取10人参加10项不同的活动,问 有多少种方法?若按照乘法原理进
行操作,则需要10步才能完成,即
10?9?8?7?6? 5?4?3?2?1
种方法;若按照先选后
1010
排的方法操作,则需要两步即可, 即
C
100
;而若按照连选带排的方法,只需一步操作,
?A
10< br>即
A
100
种方法,显然通过对比发现,学了排列与组合知识可大大简化办事程 序,从而使我们
深深感受到学习排列与组合的重要性和必要性。
七、感悟“意图”
能否领会教材的编写意图,是衡量教师理解教材深浅的一个重要标志。对编写意图领会
得越深,越能充分 发挥教材在教学中的作用。事实上,不少教师在深钻教材,领会教材的编
10


写 意图方面,或多或少的存在一些问题,一堂课的教学目标是什么?教材中为什么安排此项
内容?教师自己 就稀里糊涂,怎么谈得上是有效的教学?
因此,读懂教材,领会教材的编写意图,实则是理解教材的重 心,因为教师在备课时只
有悉心揣摩教材编者的意图,在教学时才能使学生体会到数学内容散发的芳香, 才能让学生
真正感受到数学是自然的,清楚的、浑然天成的产物,而不是人为造作的结果,这样学生才< br>会产生想学数学的冲动。因此教师在备课时,对于教材中安排的每一个知识点都要仔细想想
其用意 为何?特别是教材中只给出而没有作出解释的知识点,更需要关注,哪怕一个小小的
规定都不能放过,因 为既然规定它,肯定有规定它的必要性,这个必要性是什么,教师必须
0
做到心知肚明。例如, 北师大教材在介绍排列数公式之后时,紧接着就规定
A
n
?1

0! ?1

对此,作为教师要读懂编者意图,教材之所以给出这两个“规定”,主要是为了解决排列 数
的阶乘计算公式
A
n
?
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n!n!n!
0
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,当使用范围,即当
m?0
时,得
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n
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(n?m)!(n?m)!n!
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时,得
A
n
n
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??n!
,由此看出,如此一个不起眼的“规定”,用意非凡,
(n?n )!0!
体现了数学的统一美、和谐美。不可小视!
总之,数学教材是数学学习的重要根基, 教师理解教材时,不能只注重例习题的研究,
而忽略对教材内容知识的本质把握与内在联系的深入理解, 这样就会导致根虚本不固 源浊
流难清,而是要博观约取,又要见微知著;既要入乎其内,又要出乎其外 ,教学时才能会让
学生体验到数学知识的“月晕而风,础润而雨”,进而才能使学生感受到真正的数学教 育。




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