高中数学论文谈谈点击弧长与扇形问题

点击弧长与扇形
一、知识解读：
1、弧长的定义：
设圆的半径是R，周长为C，
则C=2πR。
因为，圆的周长所对的圆心角是360°，
所以，1°的圆心角所对的弧长是：
n°圆心角所对的弧长是L，则：
L=
2
?
R
?
R
=
360?
180?
n
?
R
。
180?
对于弧长的定义，实际上就指n°圆心角所对的弧长。
从定义上看出，弧长的大小与圆的半径有关，还与所含的圆心角的大小有关。
圆的半径越大，所对的弧长越大；所含的圆心角越大，所对的弧长就越大。
2、扇形的定义：
2.1由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形即叫做扇形。
2.2扇形的面积公式：
n
?
R
2
S
扇形
=，其中的条件是：已知扇形的圆心角，扇形所在圆的半径。
360?
或者S
扇形
=
1
LR
，其中的条件是：已知扇形的弧长，扇形所在圆的半径。
2
从定义上看出，扇形的面积实际上是指n°扇形的面积。
扇形的面积的大小与组成 扇形的圆心角有关，圆心角越大，扇形的面积就越大；扇形的面积
与扇形所在圆的半径有关，圆的半径越 大，扇形的面积就越大。
3、公式的两个变形公式：
设扇形的半径是R，扇形的圆心角是n°，扇形的弧长是L,扇形的面积是S，
则n°=
180??L360??S
=.
2
?
R
?
R
R=
360??S
180??L
=
n
?
?
n
二、考点例析：
考点1、弧长的计算
例1、在半径为5的圆中，
30?
的圆心角所对的弧长为_________(结果保留
?
)
（08浙江衢州）
分析：这里，R=5，n= 30°，所以，直接代入弧长计算公式，就可以得到结果。
解：L=

n
?
R30?
?
?5
5
==
?
。
180?180?
6
考点2、旋转弧长的计算

例2、如图1所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC =6，点D为BC 中点，将△ABD点A按
逆时针方向旋转
120
得到
△AB
?
D
?
，则点D在旋转过程中所经过的路程为 ．（结
果保留
?
）（08湖北黄石）
2π







分析：点D在旋转的过程中，构成了一条弧，这条弧所在的 圆的半径是AD，所包含的圆心
角是120，
只要求出圆的半径问题，就解决了。
而圆的半径AD恰好是直角三角形斜边上的中线。因此，它应该等于斜边的一半。
解:
因为，BC =6，点D是BC 的中点，
所以，AD=3，
因为，n= 120°，
所以，点D转过的路径长为：
o
n
?
R120?
?
?3
==
2
?
。
180?180?
考点3、滚动弧长的计算
例3、14．如图2所示，边长为2的等 边三角形木块，沿水平线
l
滚动，则
A
点从开始至结
束所走过的路线 长为 _______（结果保留准确值）（08四川达州）．






分析：
三角形的顶点A在滚动的过程中，形成两条相等的弧，分别是以 点C为圆心，以2为半径，
圆心角是120°的扇形所含的弧长和以点B(直线l上的点)为圆心 , 以2为半径，圆心角是
120°的扇形所含的弧长。
所以，在计算时，只要计算出一条弧长后乘以2就可以了。
解：
因为，扇形的半径是2，扇形的圆心角是120°，
n
?
R120?
?
?24
?
==，
18 0?180?3
4
?
8
所以，
A
点从开始至结束所走过的路 线长为：2×=
?
。
33
所以，扇形的弧长是：

考点4、考扇形的面积
例4、已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的面 积是______cm,扇形的圆心
角为______°. （08年江苏常州）
2

分析：这里，条件是半径和弧长，所以，在求扇形的面积时，可以采用变形的公式。
解：
13
?
1
。
LR
=×3×π=
2 2
2
180??L180??
?
圆心角n°===60°。
?
R
?
?3
考点5、扇形的面积
扇形的面积是：
例5、如图3所示，两个同心圆的半径分别为2和1，
?
AOB
?120
，则 阴影部分的面积为
（08四川泸州）
分析：
阴影部分的面积等于较大圆中扇形的面积减去小圆中扇形的面
积。

解：
o
n
?
R
2
120?
?
?2
2< br>4
?
S
大扇形
===，
360?
360?
3
n
?
R
2
120?
?
?1
2
?
S
小扇形
===，
360?360?
3
4
??
所以，阴影部分的面积是：-=π。
3
3
考点6、考组合扇形的面积
例6、如图4所示，在
△ABC
中，
?A?90
，
BC?4
cm，分别以
B，C
为圆心的两个等
圆外切，则图中阴影部分的面积为
cm
．（08山东济宁）








分析：
两个圆的半径都是2cm，是相同的。所以，我们可以采用整体的丝线来处理阴影部分的面积。
虽然，不能求得每个圆心角的度数，但是，两个圆心角的和是直角。
解：
2
o
n
?
R
2
90?
?
?2
2
阴 影部分的面积是：==π。
360?360?
考点7、扫描扇形的面积
例7、如图 5所示，
Rt△A
?
BC
?
是由
Rt△ABC
绕< br>B
点顺时针旋转而得，且点
A，B，C
?
在
同一条直线上，在
Rt△ABC
中，若
∠C?90
，
BC?2
，
AB ?4
，则斜边
AB
旋转到
A
?
B

o

所扫过的扇形面积为 ．






分析：
斜边AB在旋转的过程中，形成了一个圆心为B，半径是AB，圆心角是∠ABA′，
扇形的半径是4，关键就是求∠ABA′的大小。
解：
因为，直角三角形中，斜边AB=4，直角边BC=2，
所以，∠ABC=30°，
所以，∠ABA′=120°，
n
?
R
2
120?
?
?4
2
16
?
所以，扇形的面积是：==。
360?
360?
3
考点8，实际应用
例8如图6所示，有一圆形 展厅，在其圆形边缘上的点
A
处安装了一台监视器，它的监控
角度是
65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．3
．．．







分析：设圆的半径是R，作圆的一条半径，把整个阴影部分分成一个扇形和一个三角形，
如果 把三角形部分的面积加上小白色空白面积，就又构成一个扇形，此时，阴影部分的面积
恰好是圆的面积的 一半，此时，需要安装2台这样的监视器，所以，要下面会全部监控的话，
至少需要三台这样的监视器。
解：至少需要三台。






o