数学之美 论文

徜徉于数学文化长河，感悟数学文化之美
----浅谈对数学发展的四个阶段的认识
张沫
（商学院 管理科学与工程系 0912189）
摘要：通过对于数学历史发展四个阶段的介绍，来诠释出我对于“数学之美”
的理解，以及我在这个过程中体会到的数学之美。
关键词：演绎数学；微积分时期；形式主义公理化时期；新数学时代；集合
论悖论
1 前言
日本数学家藤天宏教授指出，人类历史上有四个数学高峰：第一个是古希腊的演绎数学
时 期，它代表了作为科学形态的数学的诞生，是人类“理性思维”的第一个重大胜利；第二
个是牛顿－莱布 尼兹的微积分时期，它为了满足工业革命的需要而产生，在力学、光学、工
程技术领域获得巨大成功；第 三个是希尔伯特为代表的形式主义公理化时期；第四个是以计
算机技术为标志的新数学时期，我们现在就 处在这个时期。此外，数学历史上的三大危机分
别是古希腊时期的不可公度量，17、18世纪微积分基 础的争论和20世纪初的集合论悖论，
它同前三个高峰有着惊人的密切联系，这种联系绝不是偶然：首先 ，伟大的发现和进展往往
是站在巨人的肩膀上完成的，只有敢于向权威提出挑战，不断地提出新的问题才 能取得新的
进展，数学史也才得以发展至今日的辉煌，因此这也是数学作为一门追求完美的科学的必然。
从数学历史的发展中，我们不难看出数学的清晰、准确、严密，不允许有任何杂乱，也不允
许有 任何含糊，充分体现出数学的“严谨美”。下面我将按照数学发展的四个阶段来阐释它
所散发出来的美。
1．1 “坚实之美”：
古代希腊的数学时期，自公元前600年左右开始，到公元641年为止共持续了近1300
年.。古 希腊数学的经典之作是欧几里得的名著《几何原本》。在这部著作中，欧几里得完成
了具有划时代意义工 作：他将以实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎科学。主要
体现于：将逻辑证明系统地引入数 学之中。此外，欧几里得采用了公理、定理，并经过细致
的斟酌，筛选，使得《几何原本》更加系统化， 理论化。《几何原本》对数学历史的发展作
出的贡献包括：1. 建立了公理体系，明确提出所用的公理 、公设和定义。由浅入深地揭示
一系列定理，使得用一小批公理证出几百个定理。2. 把逻辑证明系统地引入数学中，强调
逻辑证明是确立数学命题真实性的一个基本方法。3. 示范地规定 了几何证明的方法：分析
法、综合法及归谬法。数学发展的第一阶段可以作为数学发展史上的一块基石， 有着“坚实
之美”。因为在此之前还没有哪一部能够总结人类长期积累数学成就的著作，而建立了早期< br>数学科学体系的雏形也是史无前例的，这种“坚实之美”为后世学习和研究数学提供了课题
和资料 ，更使几何学的发展充满了生机。

1．2 “蓬勃之美”： < br>客观世界，小至粒子，大至宇宙，都时刻发生着运动。物理学的蓬勃发展，如对于一些
运动现象的 解释，引入了新的物理学概念，如加速度（即速度的变化率），体现在数学图象
上（s-t图象）是斜率 ，而斜率应用到了极限的概念，微分学便这样应运而生。又如，古希
腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的 面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积
的问题中，就隐含着近代积分学的思想。生产生活 中一些实际问题的急待解决也推动了微分
学的发展，如函数的最大值和最小值。这个阶段，数学经历了蓬 勃发展的过程，充分体现了
它的“蓬勃之美”。
1．3 “乘风破浪之美”：
1 9世纪80年代，希尔伯特创立了集合论，并将整个数学建立在集合论的基础之上。但
是，当人们试图证 明集合论的相容性时，发现集合论中存在着悖论，也就是说集合论是自相
矛盾的。于是数学基础陷入了深 深的危机。 当这种危机来临时，一些数学家甚至是著名的
数学家放弃了自己传统数学的观点，并退出了 数学基础研究的战场；还有一些数学家主张对
传统数学进行严厉的批判，禁止使用数学中的一些重要概念 （如“实无限”）、重要定理（如
与“选择公理”等价的定理）和常用推理方法（如“排中律”）。 与 上述两种人的做法不同，
希尔伯特试图理性地寻找一条完全令人满意的解除危机的道路，它既能绕过这些 悖论，又不
致于大量地排斥传统数学的内容。他在总结自己数学研究经验的基础上，于1925年提出了
一个解决数学基础危机的方案：以形式化、公理化为基础（即先将一个数学理论形式化、公
理化 ，将它组织在一个形式公理化的系统之中），以有限立场的推理方法为工具，去证明该
数学理论的相容性 ；一旦这种证明得以完成，就说明该数学理论的基础绝对牢固。这就是现
代数学基础研究活动中的“形式 主义数学哲学思想” 。
在漫长的数学发展之路上，不乏希伯尔特这种坚持无畏的人，在面对困难 时或被质疑时，
能够做到“不抛弃，不放弃”。如果没有希伯尔特，我简直不敢想象数学史发展成了什么 样
子？！科学历史的发展的确应该多一些希伯尔特这样纯粹的人，研究不只为了自己的荣誉和
名 誉，只做有把握的事，只研究那种能让自己流芳百世的课题，而当他们得知这并不能给他
们带来什么好处 ，反而会让他们背上“历史的黑锅”时，他们都退却了脚步。惟有心中充满
历史责任感的人在这时才会站 出来，为了人类文明的发展，他们宁愿拿自己的名誉去和真理
抗衡，哪怕只有万分之一的机会也要试一试 ！这种坚持和勇敢可以说是一种“乘风破浪之美”。
1．4 “腾飞之美”：
计算机的基础 是数学。计算机本身并没有智慧，他只是在做相同的动作，而真正简便的
程序原于精练的算法，算法的精 髓又在于数学。一些复杂的计算机理论是许多数学知识的融
合：软件工程需要图论，密码学需要数论，软 件测试需要组合数学，计算机程序的编制更需
要很多数学知识，如集合论、排队论、离散数学、统计学， 当然还有微积分。计算机科学最
大的特点是信息与知识更新的速度很快，这就更加需要数学的辅助。只有 数学领域中更快更

新的发展，才能促使计算机的腾飞。而现在计算 机领域的飞速发展无不说明着数学的“腾飞
之美”。
进入大学后，数学学习的形式和方法和 高中有了很大的区别，更加注重定理和公式的
证明，应用上题目的难度也大幅提高，在学习的过程中我们 体会到的更多的是数学的枯燥和
繁琐，也很有可能丧失了对数学学习的热情。通过翻阅资料，又重新唤醒 了我对于数学的激
情。数学发展的历史并不是一帆风顺的，其中经历了无数的坎坷，但是总有一些时代的 弄潮
儿不甘放弃，为了数学史的发展，甚至是人类文明的发展奉献着自己的青春和热情。总体来
说，数学一直呈现出螺旋式上升，波浪式前进的形式，这种势头是可喜的，也是值得全人类
骄傲和自豪的 。。。数学的美丽还有很多种，还等待着我们这一代人坚持不懈的努力去叙写人
类历史的辉煌！

参考文献：
[1]．《数学史概论》（美）H·伊夫斯著 山西经济出版社
[2]．《数学发展简史》 张贵新著 东北师范大学出版社