高中数学必修四第29页a组第1题-cmo高中数学竞赛是什么时间
2011年台州市孺子牛教育有限公司教师招聘考试
数
学
(2010年2月)
本试卷分为选择题和非选择题两部分。全卷共六页,选择题部
分1至2页。非选择题部分3至6页。满分150
分,考试时间120分种。
客观题部分(共78分)
注意事项:
1、答题前,教师务必将自己的籍贯、姓名、联系电话等用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2、用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。
一、选择题:本大
题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。 <
br>1、设集合
M?{x|x?3m?1,m?Z},N?{x|x?3n?2,n?Z}
,
若
a?M,b?N,
则
a?b
,
ab
与集合
M,N
的关系是
A、
a?b?M,ab?M
B、
a?b?N,ab?N
C、
a?b?M,ab?M
D、
a?b?N,ab?N
2、值域为
{2,5,10}
,其对应
关系为
y?x?1
的函数个数为( )
2
A、1
B、8 C、27 D、39
3、二项式
(2x?
1
6
)
展开式的常数项是
x
( 第4题 )
A、
20
B、
?160
C、
160
D、
?20
4、已知七位评委为某民族舞蹈参赛演员评定分数的茎叶图如右上,图中左边为十位数,右边为
个位数.去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据的平均数和方差分别为 ( )
A.84,
4.84 B.84, 1.6 C.85, 1.6 D.85, 4
5、半圆的直径
AB?4
,O为圆心,C是半圆上不同于A、B的任意一点,若P 为
半径OC上的
uuuruuuruuur
动点,则
(PA?PB)?PC
的最
小值( ) A、2 B、0 C、-2 D、-1
6、设
m,n
是平面
?
内的两条不同直线,
l
1
,l
2
是平面
?
内两条相交直线,则
?
?
?
的一个充分
不必要条件是( )
A、
l
1
?m,l
1
?n
B、
m?l
1
,m?l
2
C、
m?l
1
,n?l
2
D、
mn,l
1
?n
7、已知函数
f(x)?sin(
?x)
,则要得到其导函数
y?f
'
(x)
的图象,只需将
y?f(x)
图象
3
?
A、向左平移
2
?
2
?
个单位
B、向右平移个单位
33
??
C、向左平移个单位
D、向右平移个单位
22
8、在某项测量中,测量结果
?
服从正态分布N
(1,
?
2
)
(
?
?0)
,若?
在(0,2)内取值的概率为0.6,
则
?
在(0,1)内取值的概率
为( ) A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4
9
、若直线
2ax?by?2?0(a?0,b?0)
被圆
x
2
?y<
br>2
?2x?4y?1?0
截得的弦长为4,则
11
?
的最小值
是( ) A、2 B、4 C、14D、1
ab
?
2x?x
2
(x?1)
?
f(x)?
?
2?x(1?x?2)
,当
x?[a,b]
时,
f(x)
的值域为<
br>[s,t]
,且
a<s,b<t
10、已知函数
?
x
2
?2x(x?2)
?
同时成立,则以
a,b
为坐标的点
P
(a,b)
所形成的平面区域的面积等于( )
A、2 B、1
C、12 D、14
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。
11
、已知
{a
n
}
是等差数列,
a
1
?a
2
?4,a
7
?a
8
?28
,则该数列前10项和
S
10
=________
12、已知函数
f(x)
满足:
f(1)?2,f(x?1)?
1?f(x)
,则
f(2010)?
1?f(x)
13、如左图是一个正三棱柱的三视图,若三棱柱的体积是
83
,则
a?
x
2
y
2
14、已知抛物线<
br>y?2px(p?0)
与椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)有相同的焦点F,
ab
A是两曲线的一个交点,且
AF?x
轴,则椭圆的离心率为
.
2
开始
输入n=3
S←1,k←1
k≤n
是
S←S×2
k←k+1
输出S
结束
否
15、右边程序运行后输出的结果是
.
16、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,记骰子落地后朝上的点数
分别为x、y,则
log
2x
y?1
的概率为
17、如图所示,每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵,
根据图中提供的信息,用含n的等式表示第n个正方形点阵
中的规律___________
2010年台州市孺子牛教育有限公司教师招聘考试
数 学 答 题 卷
(2010年2月)
籍贯: 姓名: 联系电话: 职称:
客观题部分(共78分)
题号
答案
题号
答案
1
11
2
12
3
13
4
14
5
15
6
7
16
8
9
17
10
得分
得分
主观题部分(共72分)
三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18
、(本题满分14分)
AB
为圆
O
的直径,点
E,F
在圆上
,
ABEF
,矩形
ABCD
所在平面与
圆
O
所在
平面互相垂直,已知
AB?2,
EF?1
.
(1)求证:
BF?
平面
DAF
;
(2)求
BF
与平面
ABCD
所成的角;
(3)在
DB
上是否存在一点
M
,使
ME
平面
DAF?若不存
在,请说明理由;若存在,请找出这一点,并证明之.
19、(本题满分14分)△ABC中,已知
3t
anAtanB?tanA?tanB?3
,记角A,B,C的对边
依次为
a,b,c
.求:
(1)求∠C的大小;
(2)若
c?2
,且△ABC是锐角三角形,求
a
2
?b
2
的取值范
围.
20、(本题满分14分
)一种电脑屏幕保护画面,只有符号“O”和“
?
”随机地反复出现,每秒
钟变化一次
,每次变化只出现“O”和“
?
”之一,其中出现“O”的概率为
p
,出现“
?
”
的概率为
q
,若第
k
次出现“O”,则记a
k
?1
;出现“
?
”,则记
a
k
?
?1
.令
S
n
?a
1
?a
2
?L?an
.求:
12
(1)当
p?,q?
时,求
S
4
?2
的概率;
33
(2)当
p?q?
1
时,记
?
?S
4
,求
?
的分布列及数学期望. <
br>2
21、(本题满分15分)如图,在直角坐标系
xOy
,坐标原点O(0,0
)以动直线
l:y?mx?n(m,n?R)
为轴翻折,使得每次翻折后点O都落在直线
y?2上.
(I)求以
(m,n)
为坐标的点的轨迹G的方程;
5
(II)过点
E(0,)作斜率为k(k?R)的直线l
?
交轨迹G于M,N两点。
4
(i)当|MN|=3时,求M,N两点的纵坐标之和;
(ii)问是否存在直线
l
?
,使?OMN
的面积等于某一给定的正常数a,说明你的理由。
1
22、(本题满分15分)已知函数
f(x)?ln(x?1?).
a
(I)当
0?a?1
时,
a
(i)求函数
F(x)?f(x)?m?
的单调区间,并说明其单调性;
x
(ii)对于
m?R,函数F(x)
是否一定存在零点?请说明理由;
(II)当a=1时,若对于任意正实数b,关于x的不等式
bf(x)?
数m的取值范围。
x
?m在[1,e]
上恒成立
,求实
2
2010年台州市孺子牛教育有限公司教师招聘考试数学参考答案
1-10
DCBCC BCCBC
11、100 12、
?3
13、4
14、
2?1
15、8
16、
1
n(n?1)n(n?1)
17、
??n
2
22
12
18. 解:(1)证明:因为平面
ABCD
?
平面
ABEF
,
AD?AB
,
?AD?
平面
ABEF
,
?AD?
BF
;
又
QAB
为圆
O
的直径,
?AF?BF
,
AFIAD?A
,
?BF?
平面
DAF
;……………………………………(5分)
(
2)因为平面
ABCD
与平面
ABEF
互相垂直,所以交线
AB是直线
BF
在平面
ABCD
上的射影,
所以
?ABF
就是直线
BF
与平面
ABCD
所成的角.………………………………
…………(7分)
因为
OAEF
且
OA?EF
,
所以四边形
OAFE
是平行四边形,又
OA?OE?OF
,
所以
OAFE
是菱形,且
?OAF?
?
3
.在
?A
BF
中,
AF?BF
,
?BAF??OAF?
?
3
,
??ABF?
?
6
,
直线
BF
与平面
ABCD
所成的角的大小为
?
;…………………………(10分)
6(3)
M
是
BD
的中点.证明:连
OM
,
?O
MAD
,
OM?
平面
DAF
,
?OM
平面
DAF
,
由(2)知,
OEAF
,
OE?
平面
D
AF
,
?OE
平面
DAF
,
OMIOE?O
, <
br>所以平面
OEM
平面
DAF
,
?ME
平面
D
AF
.…………………………(15分)
(注:用向量方法相应给分.)
19、(
1)依题意:
tanA?tanB
??3
,即
tan(A?B)??3
,又
0?A?B?
?
,
1?tanAtanB
∴
A?B?
2
?
,∴
C?
?
?A?B?
3
?
?
3
………………7分
A?
,即
??
(2)由三角形是锐角三角形可得
?
?
?A?
。………………9分
2
?
?
B?
?
?
?2
62
?
由
正弦定理得
a
?
b
?
c
∴
a?
c?sinA?
4
sinA
,
b?
sinAsinBsinCsinC
3
442
?
sinB?sin(?A)
3
33
∴
a
2
?b
2
?
16
[sin
2
A?sin
2
(2
?
?A)]?f(A)
,…………11分
33
a
2
?b
2
?
?
16
[sin
2
A?sin<
br>2
C]
?
16
[
1
(1?cos2A)?
1
(1?cos2C)]
?
16
?
8
(cos2A?cos2
C)
3
33
322
1684
?
3?[cos2A?cos(?2A)]
33
?
16813
168
?
16813
?[cos2A?(?)cos2A?(?)sin2A]
??[cos
2A?sin2A]
??sin(2A?)
3322
3322
336
1
?
∵
?
?A?
?
,∴
?
?2A?
?
?
5
?
,∴
?sin(2A?)≤1
即
20
?a
2
?b
2
≤8
。 …14分
26
62
666
3
20、(1)因为
S
4
?2,即出现“O”的次数是3次,出现“
?
”的次数是1次,
8
3
1
3
2
所以
P(S
4
?2)?C
4
()
()?
.……………5分
3381
(2)对于
S
4
的可能
取值有
4、2、0、?2、?4
,因此
?
?S
4
的可能取值
为
0、2、4
,
311
2
1
2
1
23<
br>1
3
1
14
1
4
又
P(
?
?0)?C
4
()()?
,
P(
?
?2)?2C
4
()()?
,
P(
?
?4)?2C
4
()?
,
22822228
所以
?
的分布列为
?
P
所以
E
?
?
0 2 4
3
8
1
2
1
8
3
.…………………………………………14分
2
21、解:(I)设翻折后点O坐标为
(x
0
,2),
0?x
0
?
0?2
?m??n,
?
2
?<
br>2
2
消去x
0
,得n?m?1;
………………4分
当x
0
?0时,由题意得
?
?
2
?m??1,
?
?
x
0
当
x
0
?0时,
得m?0,n?1.
………………5分
综上,以
(m,n)为坐标的点的轨迹方程为y?x?1.
…………6分
说明:轨迹方程写为
n?m?1,
不扣分。
(II)(i)解法一:
设直线
l
?
方程为y?kx?
2
2
5
,M(x1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
4
5
?
y?kx?,
1
?
由
?
4
得x
2
?kx??0,
4
?
y?x
2
?1
,
?
1
则x
1
?x
2
?k,x
1
x
2
??,????7分
4
故|MN|?1?k
2
?|x<
br>1
?x
2
|?1?k
2
?k
2
?1?k2
?1?3,得k
2
?2,
559
?k
2<
br>??.????9分
222
53
解法二:由题意可知,曲线G的焦点即为
E(0,),准线方程为y?,
……………7分
44
故y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
)?
设M(x
1,y
1
),N(x
2
,y
2
),
33
由抛物线性质得,|MN|?|ME|?|NE|,即3?(y
1
?)?(y
2
?),
44
9
故y
1
?y
2
?.??
??9分
2
5
?
y?kx?,
5
?
?
(ii)设直线
l方程为y?kx?,由
?
4
4
?
2
?
y?x?1,
得x
2
?kx?
11
?0,则
x
1
?x
2
?k,x
1
x
2
??,
44
5
41?k
2
故|MN|?1?k
2
?|x
1
?x
2
|?1?k
2
?k
2
?1?k
2
?1,
又点O到直线l
?
的距离为d?,????11分
15
2
55
故?OMN的面积S??|MN|?d?k?1?,即S
?OMN
?.
…………………13分
2888
5
故当
a?时,存在
两条直线l
?
满足条件:
8
5
当a?时,存在一条直线l
?
满足条件;
8
5
当0?a?时,这样的直线l
?
不存在.????15分
8
22.解:(I)(i)
F
?
(x)?
1
x?1?
1a
?
a(x?1)[x?(a?1)]
?
, …………2分
1
2
x
2
(x?1?)x
a
且x?1?
1
?
0,x?0,
………………3分
a
1
?a?1?0?1,
a
由0?a?1时,得1?
1
故F(x)在(1?,a?1),(1,??)上单调递增
;在(a?1,0),(0,1)上单调递减.??5分
a
(ii)由(i)知
F(x)的极小值为F(1)?a?ln
1
?m,
………………………………6分
a
1a
F(x)的极大值为F(a?1)?ln(a??2)??m;
…………………………7分
aa?1
由于0?a?1,故a?
a11
,且l
n?ln(a??2),
a?1aa
故F(1)?F(a?1),????8分1a1
?2)?,a?ln)时F(x)
无零点。 ………………………9分
aa?1a
x
(II)由题意得
m?blnx?在[1,e]
上恒成立,
2
故当且仅当<
br>m?(ln(a?
x2b?x
令h(x)?blnx?,则h
?
(x)
?(x?0),
22x
则h(x)在(0,2b)上是增函数,在(2b,??)上
是减函数.???10分
(I)当
0?2b?1,即0?b?
故
h(x
)
min
?h(e)?b?
1
时,h(x)在[1,e]
上是减函数
,
2
e
;
………………11分
2
1e
(2)当
1?2b?2,即?b?时,h(x)在[1,2b]上是增函数,在[2b,e]
上
是减函数,
22
1ee?1
?b,
又
h(1)??,h(e)?
b?,h(1)?h(e)?
222
1e?1e
时,h(x)
min
?h(e)?b?;
故①当
?b?
222
e?1e1
?b?时,h(x)
min
?h(1)??;
222
e1
(3)当
2b?e时,即b?时,h(x)在[1,e]上
是增函数,故h(x)
min
?h(1)??;
……………………13分
2
2
②当
综上,当
x?[1,e]时,h(x)
min
ee?1
?
b?,0?b?
?
?
22
?
?
?<
br>?
1
,b?
e?1
?
2
?
2
e?1
ee?11
时,m?b?;当b?时,m??.
……………………………………14分 <
br>2222
xe
又因为对于任意正实数b,不等式
bf(x)??m在[1,e]
上恒成立,所以m??.
………………15分
22
故当
0?b?
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