高中教师招聘考试数学试卷

高中数学教师招聘考试数学试题
一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分 。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确的答案填在答题卡对应的方格内）
1.已知集合
A?{?1
，
0
，
1}
，集合
B?{(x,y)|x?A,y?A,x?y?A}
，则集合B中所含元
素的个数为（ ）
A 3 B 5 C 7 D 9
2．若函数
f(x)?
?
?
2x?1, x?1
，则
f(f(e))?

x?1
?
lnx,
A 3 B
2e?1
C
e
D 1
3．函数
f(x)?2
x
?x
3
?2
在 区间（0，1）内的零点个数是
A 0 B 1 C 2 D 3
4．若
a?0,b?0,a?b?2
，则下列不等式对一切满足条件的a,b
恒成立的是（ ）
(填写正确命题的编号)．
①
ab?1
； ②
a?b?
④
a?b?3
； ⑤
33
2
； ③
a
2
?b
2
?2
；
11
??2

ab
A ③⑤ B ①②④ C ②③⑤ D ①③⑤
5．若
?ABC
外接圆的半径为1，圆心为 O,BC为圆O的直径，且AB=AO，则
CA?CB

等于 ( )
A.
3
B.
3
C.3 D.
23

2
3
6. 设曲 线
f
?
x
?
?2ax?a
在点
(1,a)
处的切线与直线
2x?y?1?0
平行，则实数
a
的值为
A
11
B C 2 D 3
312
7．复数
(i?1)i
的共轭复数是（ ）
A
?1?i
B
?1?i
C
1?i
D
1?i

8．已知双曲线的顶点与焦点分 别是椭圆
x
2
a
2
?
y
2
b
2< br>?1(a?b?0)
的焦点与顶点，若双曲线
的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰 为正方形，则椭圆的离心率为( )
A．
1

3
B．
1

2
C．
3

3
D．
2

2

9．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积是( )





10．已知等差数列
{a
n
}
中，
a
7
?a
9
?16,a
4
?1
，则
a
12
的值是（ ）
A．15

选择题答题卡
题号
答案

二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，将正确的答案填在横线上。
11. 已 知
a，b，c
分别是
?ABC
的三个内角
A
且
B< br>是
，B，C
所对的边，若
a?1，b?3，
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B．30 C．31 D．64
第9题
A．
84
B． C．
4
D．8
33
A
与
C
的等差中项，则
sinA
=
12. 已知圆C过点（1,0），且圆心在
x
轴的正半轴上，直线
l
：
y?x?1
被该圆所截得的弦
长为
22
，则圆C的标准方程为 .
13．设
m
,
n
是两条不同的直线,
?
,
?
,
?
是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若
?

?
，
m?
?
，
n?
?< br>，则
mn
；
②若
m?
?
，
m
?
，则
?
?
?
；
③ 若
n?
?
，
n?
?
，
m?
?
，则
m?
?
；
④ 若
?
?
?
，
?
?
?
，
m?
?
，则
m?
?
．
其中错误命题的序号是
．．
727
5
14．已知
(x?m)?a
0
?a
1
x?a
2
x?...a
7
x
的展开式中
x
的系数是189，则实数
m
= ．
15．将容量为
n的样本中的数据分为
6
组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数
据的频 率之比为
2
：
3:4:6:4:1
，且前三组数据的频数之和为
27
，
则

n
=__________

三.解答题(本题共6小题,共55分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分8分）
已知函数
f(x)?3cos(
?
x?
?
) (?
?0,?
过点
(
?
2
且其图象经
?
?
?0)
的最小正周期为
?
，
5
?
,0)
。
12
(1) 求函数
f(x)
的解析式；
(2) 若函数
g(x)?f(
32
x
??
，
?),
?、 ?
?(0,)
，且
g(
?
)?1,g(
?
)?4
262
求
g(
?
?
?
)
的值。




17．（本题满分8分）
已知单调递增的等比数 列
{a
n
}
满足：
a
2
?a
4
? 20,a
3
?8
．
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）若
b< br>n
?a
n
?log
1
a
n
，数列
?
b
n
?
的前n项和为
S
n
,求
S
n
.
2





18．（本题满分9分）
如图，在三棱锥
P?ABC
中，
AB?A C
，
D
为
BC
的中点，
PO
⊥平面
ABC
，垂足
O
落在线段
AD
上．
（Ⅰ）证明：
AP
⊥
BC
；
P
（Ⅱ）已知BC?8
，
PO?4
，
AO?3
，
OD?2
．
求二面角
B?AP?C
的大小．




B
A
O D
C

19．（本题满分10分）
一个盒子里装有标号为1，2，3的3大小、颜色、质地完全相同的小球，现在有放回地
从盒 子中取出2个小球，其标号记为
x,y
，记
?
?|x?1|?|x?y|.
（1）设
?
的取值集合为M,求集合M中所有元素的总和;
（2）求
?
?2
时的概率.






20．（本题满分10分）
已知椭圆C：
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1(a?b?0)
的 离心率为
2
，其中左焦点F（-2，0）.
2
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若直线
y?x?m
与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在
圆
x
2
?y
2
?1
上，求
m
的值 .




21.（本题满分10分）
已知
fx
时有极值0.
()?x?3ax?bxa?
在
x ??1
（1）求常数
a、b
的值； （2）求
f(x)
的单调区间.






322

参考答案
一、CABDC ABDBA
二、11.
三、
16. 解：（1）依题意函数的最小正周期
T?
因为函数
f(x)
的图象经过点
(
得到
2?
由
?
1
12.
(x?3)
2
?y
2
?4
13. ①④ 14. 3，-3 15. 60
2
2
?
?
解得
?
?2
，所以
f(x)?3cos(2x?
?
)

?
?
，
5
?
5
?
,0)
，所以
3c os(2??
?
)?0
，
1212
5
??
??
?
?k
?
?,k?Z
，即
?
?k
?
?,k?Z
，
1223
?
2
?
?
?0< br>得
?
??
?
3
，故
f(x)?3cos(2x??
3
。。。。。4分
)
。
（2）依题 意有
g(x)?3cos[2?(
x
??
?)?]?3cosx
，由
g(
?
)?3cos
?
?1

263
得< br>cos
?
?
322
1
，同理
g(
?
)?3cos
?
?
，得
cos
?
?
，
4 4
3
而
?
、
?
?(0,
?
2
)< br>，所以
sin
?
?1?cos
2
?
?
14< br>，
4
22
，
3
sin
?
?1?cos< br>2
?
?
所以
g(
?
?
?
)?3co s(
?
?
?
)?3(cos
?
cos
?
? sin
?
sin
?
)
=

3?(?
1
3
22214
??)?
434
2?47
。。。。。。。。8分
4
17. 解：(Ⅰ)设等比数列
{a
n
}
的首项为
a
1
，公比为q，
1
?
3
?< br>?
q?2
?
q?
?
a
1
q?a
1< br>q?20
依题意，有
?
，解之得
?
或
?
2< br>；
2
a?2
?
?
1
?
a
3
?a
1
q?8
?
?
a
1
?32
又
{a
n
}
单调递增，∴
?
n
?
q?2
n
，∴
a
n
?2
.
?
a
1
?2
nn
2
………5分
（Ⅱ）依题意，
b
n
?2?log
1
2?2?n
, 2(1?2
n
)n(n?1)n(n?1)
∴
S
n
?< br>， 。。。。。。。。。8分
??2
n?1
?2?
1?222

18.
（Ⅰ）证明：由AB=AC，D是BC中点，得
AD?BC
，
又
PO?
平面ABC，，得
PO?BC

因为
PO?AD ?O
，所以
BC?
平面PAD，故
BC?PA.
。。。。3分
（Ⅱ）解：如图，在平面PAB内作
BM?PA
于M，连CM。







因为
BC?PA,得PA?
平面BMC，所以AP
?
CM。
故
?BMC
为二面角B—AP—C的平面角。 。。。。。5分
222
在
Rt?ADB中,AB?AD?BD?41,得AB?41

在
Rt?POD中,PD?PO?OD
，
在
Rt?PDB
中，
PB
2
?PD
2
?BD
2
，
所以
PB?PO?OD?BD?36,得PB?6.

在
Rt?POA中,PA?AO?OP?25,得PA?5.

222
2222
222


PA
2
?PB
2
?AB
2
122
?,从而sin?BPA?
又
c os?BPA?

2PA?PB33
故
BM?PBsin?BPA?42

同理
GM?42.

因为
BM?MC?BC

所以
?BMC?90?
， 即二面角B—AP—C的大小为
90?.
。。。。。。9分
222





19. 解:(1)由题意得:
当
x?1
时,
y
可以取1,2,3, 对应的
?
的值为0,1,2;
当
x?2
时,
y可以取1,2,3,对应的
?
的值为2,1,2;
当
x?3
时 ,
y
可以取1,2,3,对应的
?
的值为4,3,2;
故
?
的取值集合M为{0,1,2,3,4}.
所以集合M中所有元素的总和为0+1+2+3+4=10. ………….5分
(2) 记取出的2个小球的标号为
x,y
,则
(x,y)
共有9种情况:
(1,1),(1,2)(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3, 3).其中(1,3),(2,1),(2,3),(3,3)满足
?
?2
，

共4种情况。故
?
?2
时的概率为




4
。 。。。。。。。。。。。。。。。10分
9
?
c2
?
?
a2
?
?
a?22
?
20. 解:(1)由题意得,得
?
c?2
解得
?

?
b?2
?
222
?
a?b?c
?
?x
2
y
2
??1
。故椭圆的方程为：。。。。。。。。。4分
84
（2）设点A
(x
1,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
，线段AB的中点为M
(x
0
,y
0
)
，
?< br>x
2
y
2
?
??1
22
由
?
8
消去
y
得，
3x?4mx?2m?8?0

4
?
y?x?m
?
???96?8m
2
?0??23?m?23
，
x?x
2
2mm
?x
0
?
1
??, y
0
?x
0
?m?
。。。。。。。。8分
233
又点M在圆
x
2
?y
2
?1
上，
?(?
2m
2
m35
)?()
2
?1,?m??< br> 。。。。。。。10分
335
21. 解：（1）
? f
'
(x)?3x
2
?6ax?b,f
'
(?1)?0且
f(?1)?0

?
?
a?1
?
a?2?
3?6a?b?0
?
?
?或
?
。。。。。。。5分
?
2
?
?
?1?3a?b?a?0
?
b?3
?
b?9
（2）由（1）知当
a?1,b?3
时，
Qf
?
(x)?3(x?1)
2
?0,?f(x)在R上是增函数， 即增区间为（-?,+?).

当
a?2,b?9
时，
?f
'
(x)?3(x?3)(x?1)
，∴在
(??,?3),(?1,??)
上，
f
'
(x)?0

在（-3，-1）上，
f
'
(x)?0
，故当
a?2,b?9
时，函数
f(x)
的增区 间为

。 。。。。。。。。。。。10分
(??,?3)
和（
?1,??)
，减区间是（-3，-1）