山东教师招考高中数学历年真题 推荐

教师招聘数学试题一
一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，
请将正确选项的代 号填入题后括号内。本大题共12小题，每小题3分，共36
分。）
1.若不等式x
2
－x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1－|x|）的定义域为N，则M∩N
为（ ）。
A. ［0,1） B. （0,1） C. ［0,1］ D. （-1,0］
2.将函数y=2x+1的图像按向量a平移得到函数y=2x+1的图像，则a等于（ ）。
A. （－1，－1） B.（1，－1） C.（1，1） D.（－1，1）
3.已知 三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射
影为△ABC的中心， 则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）。
A. 13 B. 23 C. 33 D. 23
4.若不等式组x≥0, x+3y≥4， 3x+y≤4，所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面
积相等的两部分，则k的值是（ ）。
A. 73 B. 37 C. 43 D. 34
5.一个等差数列首项为32，该数列 从第15项开始小于1，则此数列的公差d的
取值范围是（ ）。
A. －3113≤d＜－3114 B. －3113＜d＜－3114 C. d＜3114 D. d≥－3113
6.∫π
2
－π
2
（1+cosx）dx等于（）。
A. π B. 2 C. π-2 D. π+2
7.在相距4k米的A、B两地，听到炮弹爆炸 声的时间相差2秒，若声速每秒k
米，则爆炸地点P必在（ ） 。
A. 以A、B为焦点,短轴长为3k米的椭圆上
B. 以AB为直径的圆上
C. 以A、B为焦点, 实轴长为2k米的双曲线上
D. 以A、B为顶点, 虚轴长为3k米的双曲线上
8.通过摆事实、讲道理，使学生提高认识、形成正确观点的德育方法是（ ）。

A. 榜样法 B. 锻炼法 C. 说服法 D. 陶冶法
9.一次绝对值不等式|x|＞a（a＞0）的解集为x＞a或x＜a，|x|＜a（a＞0）的解集
为 －a＜x＜a。为方便记忆可记为大鱼取两边，小鱼取中间，这种记忆的方
法是（ ）。
A. 歌诀记忆法 B. 联想记忆法 C. 谐音记忆法 D. 位置记忆法
10. 班 主任既通过对集体的管理去间接影响个人，又通过对个人的直接管理去影
响集体，从而把对集体和个人的 管理结合起来的管理方式是（）。
A. 常规管理 B. 平行管理 C. 民主管理 D. 目标管理
11. 假定学生已经掌握三角形的高这个概念，判断学生掌握这个概念的行为标准
是（ ）。
A. 学生能说明三角形高的本质特征
B. 学生能陈述三角形高的定义
C. 给出任意三角 形（如锐角、直角、钝角三角形）图形或实物，学生能正确画
出它们的高（或找出它们的高）
D. 懂得三角形的高是与底边相垂直的
12. 教师自觉利用环境和自身教育因素对学生进行熏陶感染的德育方法是（）。
A. 指导自我教育法 B. 陶冶教育法 C. 实际锻炼法 D. 榜样示范法
二、填空题(本大题共9小题，每空1分，共17分。)
13. 已知函数f（x）=（sinx－cosx）sinx，x∈R，则f（x）的最小正周期是_______。
14. 已知椭圆x
2
a
2
+y
2
b
2< br>=1（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l,离心率e=55。过
顶点A(0,b)作AM⊥ l,垂足为M，则直线FM的斜率等于_____。
15. 如下图，正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，M是DD
1
的中点，O是底面正方形
ABCD的中心，P为棱A
1
B
1
上任意一 点，则直线OP与直线AM所成角的大小
等于_____。
16. （x
2
＋1（x－2）7的展开式中x
3
的系数是_______。
17. 已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|=2,|b|=3，则向量a和向量b的数量积< br>a·b=_______。
18. 若p为非负实数，随机变量ξ的概率分布为________。

ξ012P12-pp12则Eξ的最大值为，Dξ最大值为______。
19. 学校文化的功能主要体现在_____、_______、______和________等四个方面。
20. 是教师根据教学目的任务和学生身心发展的特点，通过指导学生、有目的、
有计划地掌 握系统的文化科学基础知识和基本技能、发展学生智力和体力，形成
科学世界观及培养道德品质发展个性 的过程_________。
21. 教学过程的结构是______、_______、______、________、________。
三、计算题（8分）
22. 在△ABC中，已知2AB·AC＝3|AB|·|AC|=3BC2，求角A,B,C的大小。
四、应用题（9分）
23. 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计，最近100周的统计结
果如下表所示： 周销售量234频数205030
（1）根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（2）已知该商品 每吨的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和(单
位：千元)，若以上述频率作为概率， 且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列
和数学期望。
五、证明题（10分）
24. 如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC
上，且AE=AF。
（1）证明：B,D,H,E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF。


参考答案及解析
一、单项选择题
1.A［解析］M＝｛x|x2－ x≤0｝＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|1－|x|＞0}＝｛x|－1＜x＜1｝，
则M∩N＝{ x|0≤x＜1}，选A。

2.A［解析］依题意由函数 y=2x＋1的图像得到函数y=2x+1的图像，需将函数
y=2x+1的图像向左平移1个单位，向 下平移1个单位，故a=（－1，－1）。
3.B［解析］ 由题意知三棱锥A1-ABC为正四面 体，设棱长为a，则AB1＝3a，
棱柱的高A1O＝a2－AO2＝a2－23×32a2＝63a（ 即点B1到底面ABC的距离），
故AB1与底面ABC所成角的正弦值为A1O·AB1=23。
4.A［解析］ 不等式组表示的平面区域如右图中阴影部分，三个交点的坐标为A
（0,4） ,B0，43，C（1，1），直线y=kx+43经过点B0，43和AC的中点12,52。
代入y =kx+43中，得52＝12k+43,故k=73。
5.A［解析］由题意知，a14＝a1+ 13d＝32+13d≥1，则d≥-3113；
a15=a1+14d=32+14d<1，则d<- 3114，故-3113≤d<-3114，选A。
6.D［解析］ 由题意可得∫π2－π2（1 ＋cosx）dx＝（x＋sinx）|π2－π2＝π2＋sinπ2
－π2＋sin－π2＝π+2 。
7.C［解析］由题意可知，爆炸点P到A、B两点的距离之差为2k米，由双曲线
的定 义知，P必在以A、B为焦点，实轴长为2k米的双曲线上。选C。
8.C［解析］ 榜样法是以他 人的高尚思想、模范行为和卓越成就来影响学生品德
的方法。锻炼法是有目的地组织学生进行一定的实际 活动以培养他们的良好品德
的方法。说服法是通过摆事实、讲道理，使学生提高认识、形成正确观点的方 法。
陶冶法是通过创设良好的情景，潜移默化地培养学生品德的方法。
9.C［解析］ 谐音记忆法，是通过读音相近或相同把所学内容与已经掌握的内容
联系起来记忆的方法。
10. B［解析］ 班级平行管理是指班主任既通过对集体的管理去间接影响个人，
又通过对 个人的直接管理去影响集体，从而把对集体和个人的管理结合起来的管
理方式。
11. C［解析］ 略 12. B［解析］ 略 来源:考试大_教师资格证
二、填空题
13. π［解析］ f（x）＝sin2x－sinxcosx＝1－cos2x2－12sin2x ＝－22cos2x－π4＋
12，故函数的最小正周期T＝2π2=π。
14. 12［解析］ 因为Ma2c，b，e=55?a=5c，b=2c，所以kFM=b－0a2c－c=cb=12。
15. 90°［解析］ 过点O作OH∥AB交AD于H，因为A1P∥AB，所OH∥A1P，即点O、H、A1、P在同一个平面内。因为OH⊥平面ADD1A1，所以OH⊥AM。

又A1H⊥AM且OH∩A1H=H,所以AM⊥平面OHA1P，即AM ⊥OP,所以直线
OP与直线AM所成的角为 90°。
16. 1008［解析］x3的系数为C17（－2）6＋C37（－2）4=1008。
17. 3［解析］ 由向量a和b的夹角为30°，|a|=2,|b|=3，可得a·b＝2×3×cos30°＝3。
18. 21［解析］ Eξ＝0·12－p＋1·p＋2·12＝p+1,因为0≤p≤1，所以Eξ 的最大值为
当p=1时，即为２。Dξ＝Eξ２－（Eξ）２=p＋2－（p＋1）2=－p2－p＋1 ＝－p
＋122＋54，可知当p=0时，Dξ取最大值为1。
19. 导向作用约束作用凝聚作用激励作用［解析］ 略
20. 教学过程［解析］ 教学过程是教师根据 教学目的任务和学生身心发展的特
点，通过指导学生、有目的、有计划地掌握系统的文化科学基础知识和 基本技能，
发展学生智力和体力，形成科学世界观及培养道德品质发展个性的过程。
21. 引起学习动机领会知识巩固知识运用知识检查知识 ［解析］ 略
三、计算题
22. 解：设BC＝a，AC=b，AB=c。
由2AB·AC＝3|AB|·|AC|得2bccosA=3bc,所以cosA＝32。
又A∈（0，π），因此A=π6。
由3|AB|·|AC|=3BC2得bc=3a2。
于是sinC·sinB＝3sin2A=34，
sinC·12cosC+32sinC＝34，
即2sinC·cosC+23sin2C=3，
即sin2C－3cos2C=0，即sin2C－π3＝0。
由A=π6知0 从而2C－π3＝0或2C－π3=π，
所以C=π6，A=π6，B=23π或C=23π，A=π6，B=π6
四、应用题
23. 解：（1）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3。

（2）ξ的可能值为8，10，12，14，16，且
P（ξ=8）=0.22=0.04，
P（ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2，
P（ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37，
P（ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3，
P（ξ=16）=0.32=0.09。
ξ的分布列为
ξ810121416P0.040.20.370.30.09Eξ=8× 0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4
（千元）。
五、证明题
24. 证明：（1）在△ABC中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°。
因为AD,CE是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC＝120°。
于是∠EHD=∠AHC=120°。
因为∠EBD+∠EHD=180°,所以B,D,H,E四点共圆。
（2）连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°
由（1）知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED=∠HBD＝30°。
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知AE=AF,AD平分∠EAF，
可得EF⊥AD,所以∠CEF=30°。所以CE平分∠DEF。
教师招聘数学试题二 < br>一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请
将正确选项的代号 填入题后括号内。本大题共12小题，每小题3分，共36分。）

< br>1.设集合
S=｛x||x|
<5｝,T=
{x|x
2
+4< br>x
-21<0},则S∩T＝?（ ）?。?
A. ｛
x
|-7<
x
<-5｝ B. {
x
|3<
x
<5}?C. {
x
|-5<
x
<3} D.
{
x
|-7<
x
<5}
2. 函数
f（x）
=
x
3
+sin
x
+1（
x
∈R），若
f（a）=
2，则
f（-a）
的值为 ?（ ）
?。?
A. 3 B. 0?C. -1 D.
-2
?3. 一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球
的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为?（ ）?。?
A. B.C. D.?
4. “
m>n>
0”是“方程
mx
2
+ny2
=1表示焦点在
y
轴上的椭圆”的?（ ）?。?
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件?C. 充要条件D. 既不充分也不必
要条件

5.若点
P
（2,0）到双曲线
离心率为?（ ）?。
A.
?
B. C. D.
＝1的一条渐近线的距离为，则双曲线的
6. 若
f
（cos
x
）=cos2
x
，则
f
（s in 15°）=（ ）。
A. B. C. D.
7. 从10名大学毕 业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙
没有入选的不同选法的种数为?（ ）?。?
A. 85种 B. 56种?C. 49种 D. 28种?

8. 学校教育在学生社会化中作用的实现，主要通过?（ ）?。?
A. 教师与学生的相互作用 B. 严格要求?C. 潜移默化 D.学生的主动学
习?
9. “十年树木，百年树人”这句话反映了教师劳动的?（ ）?。?
A. 连续性B. 创造性?C. 主体性D. 长期性?
10. 被联合国教科文组织认为是“知识社会的根本原理”的教育思想的是?
（ ）?。?
A. 成人教育 B. 终身教育 ?C. 全民教育 D. 职业教育?
11. 学校通过?（ ）?与其他学科的教学有目的、有计划、有系统地对学生
进行德育教育。?A. 心理辅导 B. 共青团活动 ?C. 定期的班会
D. 政治课?
12. 最早从理论上对班级授课制系统加以阐述的是?（ ）?。?
A. 布卢姆 B. 赫尔巴特 ?C. 柏拉图 D. 夸美纽斯?
?二、填空题(本大题共9小题，每空1分，共16分。)
13. 若平面向量
a,b
满足|
a+b
|=1,
a+b< br>平行于
x
轴，
b
=（2,-1），则
a
= 。?
14. 一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 。
?
15. 已知
f
(
x
)＝则的值
为 。?
16. 在三棱锥
P-ABC
中，∠
ABC
=90°，∠BAC
=30°，
BC
＝5，又
PA＝PB＝PC＝AC
，则点
P
到平面
ABC
的距离是

。
17.＝

。?
18. 已知向量
a
=（1,2），
b
=（-2,3）,若
ka+b
与
a
-
kb
垂直，则实数
k
的值等
于

。?
19.

、


、

是制约学校课程的三大因
素。?

20. 教育思想具体包
括

、


和

三个部分。?
21. 个体发展包
括

、


、

以
及

等四个方面。?
三、计算题（8分）
22.如图，在直三棱柱
ABC-A
1
B1
C
1
中，
AA
1
=
BC
=
AB
=2,
AB
⊥
BC
,求二面角
B
1
-
A
1
C-C
1
的
大小。



四、应用题（10分）
23.如图，
A
，
B
，
C
，
D
都在同一个与水平面垂直的平面内，
B
,
D
为 两岛上的两座
灯塔的塔顶。测量船于水面
A
处测得
B
点和
D
点的仰角分别为75°，30°，于
水面
C
处测得
B
点和< br>D
点的仰角均为60°，
AC
=0.1km。试探究图中
B
,
D
间距离
与另外哪两点间距离相等，然后求
B
,
D
的距离（计算结果精确到0.01km，
≈1.414，≈2.449）。

五、证明题（10分）
24.已知函数
f
（
x
）在（-1，1）上有定义， =-1，当且仅当0<
x
<1时，
f
（
x
）<0，且对 任意
x
、
y
∈（-1，1），都有
f
（
x
）+
f
（
y
）=
（1）
f
（
x
） 为奇函数。
（2）求证：
f
（
x
）在（-1，1）上单调递减。
参考答案
一、单项选择题
。求证：
1.C ［解析］由|
x< br>|<5得-5<
x
<5;由
x
2
+4
x
-2 1<0得-7<
x
<3，因此
S
∩
T
＝｛
x
|-5<
x
<3｝，
选C。?
2.B ［解析］注意到
f
（
x
）-1=
x
3
+sin
x
为奇函数，又f
（
a
）=2,所以
f
（
a
）-1=1，故
f
（-
a
）-1=-1，即
f
（-
a
）=0。?
3.A ［解析］设球的半径为
r
V
1
=；正三棱锥 的底面面积S=，
h
=2
r
V
2
=。所以，选A。
4.C ［解析］要使
mx
2
+
ny
2
=1即是焦 点在y轴上的椭圆须有
m>n
>0，故为充要条件，选C。?
5.A ［解析］设过 第一象限的渐近线倾斜角为αsinα=α=45°
k
=1，
所以
y
=±,因此
c
=a，
e
=,选A。

6.A ［解析］
f
（cos
x
）=cos2
x
= 2cos
2

x
-1,所以
f
（
t
）=2
t
2
-1，故
f
（sin 15°）
=2sin
2
15°-1=-cos 30°＝，选A。?
7.C ［解析］由题干要求可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有
种，另一类是甲乙 都去的选法有
?
8.A ［解析］略?
9. D ［解析］略?
10. B ［解析］根据教育理论和常识，终身教育被联合国教科文组织认为是“知
识社会的根本原理”。?
11. D ［解析］政治课与其他学科教学是学校有目的、有计划、有系统地对学生
进行德育教育的基本途径。?
12. D ［解析］夸美纽斯是捷克著名教育家，他一生从事教育实践和教育教学理
论的研究 ，所著的《大教学论》是人类教育史上第一本真正称得上“教育学”的
理论著作，也是近代第一部比较系 统的教育学著作。该书最早从理论上对班级授
课制作了阐述，为班级授课制奠定了理论基础。?
二、填空题?
13. （-1,1）或（-3,1）［解析］设
a
=（x
,1）,那么
a+b
=（2
+x
,0），由|
a+b
|=|2+
x
|=1
得
x
=-1或
x
=- 3，故
a
为（-1,1）或（-3,1）。
种，所以共有42+7=49种。
14. ［解析］本小题考查古典概型。基本事件共6?6 个，点数和为4的有
（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故。?
15. -2 ［解析］，

,故。
?
16. ［解析］ 如图所示三棱锥
P-ABC
，作
PO
⊥面
ABC
于点
O
,作
OE
⊥
AB
,
OF
⊥
BC
,
连结
PE,PF
，则
PE
⊥
AB
,
P F
⊥
BC
。因为∠
ABC
＝90°，∠
BAC
＝3 0°，
BC
=5，则
AC
＝10，
AB
=。又
PA =PB=PC=AC
,所以
PA=PC=PB
＝10，则
E
为
AB
的中点，
F
为
BC
的中点，故
OF＝BE
＝ AB=

,
PF
2
=
PC
2
-
C F
2
＝100，从而
。?
17.［解析］
?
18. ［解析］
ka+b
＝
k
（1,2）+（-2,3）=（
k
- 2,2
k
+3），
a
-
kb
＝（1，2）
-
k
（-2,3）（1+2
k
,2-3
k
），由
ka+b< br>与
a
-
kb
垂直可知（
k
-2）（1+2
k
）+（2
k
+3）
（2-3
k
）＝0，即
k
2
+2
k
-1=0，解得
k
=。?
19. 社会 知识 儿童 ［解析］社会、知识和儿童是制约学校课程的三大因素。 因
为：1.一定历史时期社会发展的要 求以及提供的可能；2.一定时代人类文化及科
学技术发展水平；3.学生的年龄特征、知识、能力基础 及其可能接受性。?

20.教育指导思想教育观念 教育理论 ［解析］ 略?
21.生理发展 人格发展个体与他人关系的社会性发展 认识的发展 ［解析］ 略
?

三、计算题?
22. 解：如图，建立空间直角坐标系。?

则
A
（2,0,0）,
C< br>（0,2,0）,A
1
（2,0,2）,
B
1
（0,0,2） ,
C
1
（0,2,2）,
设
AC
的中点为
M，因为
BM
⊥
AC
，
BM
⊥
CC
1< br>，
所以
BM
⊥平面
A
1
C
1
C
，
即=（1,1,0）是平面
A
1
C
1
C
的一个法向 量。
设平面
A
1
B
1
C
的一个法向量是
n
＝（
x,y,z
）。
=（-2,2,-2）,
所以
n
?
=（-2,0,0），?
=-2
x
+2
y
-2
z
=0， ＝-2
x
=0,
n
?
令
z
=1，解得
x
=0,
y
=1。?
所以
n
=（0,1,1）。?
设法向量
n
与的夹角为φ，二面角
B
1
-
A
1< br>C-C
1
的大小为θ，显然θ为锐角。
因为cosθ＝|cosφ|＝,解得θ＝。
所以二面角
B
1
-< br>A
1
C
-
C
1
的大小为
四、应用题?
。
23. 解:在
△ACD
中，∠
DAC
=30°,∠< br>ADC
=60°-∠
DAC
=30°,?
所以
CD=AC< br>=0.1km,又∠
BCD
=180°-60°-60°＝60°，

故
CB
是△
CAD
底边
AD< br>的中垂线，所以
BD=BA
。?
在△
ABC
中，,?
即，因此，≈0.33km。
故B，D的距离约为0.33km。?
五、证明题?
24. 证明：（1）先取
x=y
=0，则2
f
（0）=
f
（0），所以
f
（0）=0。
再取
y=-x
，则有
f
（
x
）+
f
（-
x
）=
f
（ 0）=0，即
f
（-
x
）=-
f
（
x
）。 ?
所以
f（x）
为奇函数。?
（2）任取-1<
x
2
<
x
1
<1，则?
f
（
x
1
）-
f
（
x
2
）=
f
（
x
1
）+
f
（-
x
2
）=
因为-1<
x
2
<
x
1
<1,
所以|
x

1
|<1,|
x

2
|<1,|
x
1
x
2
|<1,
所以
x
1
x
2
<1,即1-
x
1
x
2
>0。
又因为
x
1
-
x
2
>0,
。?
所以，
x
1
-
x
2
-（1-
x
1
x
2
）=（
x
1
-1）（
x
2
+1）<0,?
所以
x
1
-
x
2
<1-
x
1
x
2
,即。
所以,。?
所以
f
（
x
1
）<
f（
x
2
）,即
f
（
x
）在（-1,1）上单调 递减。?
教师招聘考试数学试题三

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1、设集合A={-1,1,3} ，B={a+2,a
2
+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.
[解析] 考查集合的运算推理。3
?
B, a+2=3, a=1.

2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z 的模为______▲_____.
[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的
模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出 两只球，两只
球颜色不同的概率是_ ▲__.
[解析]考查古典概型知识。
p?
3
?
1

62< br>4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随
机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的< br>长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区
间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示， 则其
抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长
度小于20mm。
[解析]考查频率分布直方图的知识。
100?（0.001+0.001+0.004）?5=30
5、设函数f(x)=x(e
x
+ae
-x
)(x
?
R)是偶函数，则实数a=____ ___▲_________
[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e
x
+ ae
-x
为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。
x
2
y
2
??1
上一点M，6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线点M的横坐标是3，
4 12
则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______
[解析]考查双曲线的定义。MF
?e?
4
?2
，
d
为点M到右准线
x?1
的距离，
d
=2，
d2
MF=4。
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______

[ 解析]考查流程图理解。
1?2?2
2
???2
4
?31?33,< br>输出
S?1?2?2
2
???2
5
?63
。
8、函数y=x
2
(x>0)的图像在点(a
k
,a
k
2
)处的切线与x轴交点的横坐标为a
k+1
,k为正

整数，a
1
=16，则a
1
+a
3
+a
5
=____▲_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
a
k
，
2
在点(a
k
,a
k
2
)处的切线方程为：
y?a
k
2
?2a
k
(x?a
k
),
当
y?0< br>时，解得
x?
所以
a
k?1
?
a
k
,a
1
?a
3
?a
5
?16?4?1?21
。 < br>2
9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆
x
2
?y
2
?4
上有且仅有四个点到直线
12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是__ ____▲_____
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，
圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，
13）。
?
?
?
10、定义在区间
?
0,
?
上的函数y=6cosx的图 像与y=5tanx的图像的交点为P，
?
2
?
|c|
?1
，
c
的取值范围是（-13，
13
过点P作PP
1
⊥x轴于 点P
1
，直线PP
1
与y=sinx的图像交于点P
2
,则 线段P
1
P
2
的
长为_______▲_____。
[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P
1
P
2
的长即为sinx的值，
22
且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P
1
P
2
的长为
33
?
x
2
?1,x?0
11 、已知函数
f(x)?
?
,则满足不等式
f(1?x
2
)? f(2x)
的x的范围是__▲
x?0
?
1,
___。
[解析]
2
?
1?x?2x
?
考查分段函数的单调性。< br>?
?x?(?1,2?1)

2
?
?
1?x?0x
2
x
3
12、设实数x,y满足3≤
xy
≤8，4≤ ≤9，则
4
的最大值是 ▲ 。
yy
2
[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
111
x
2
2
x
3
x
2
2
1
x
3
()?[16,81]
，
2
?[,]
，
4
?()?
2
?[2,27]
，
4
的最大值是27。
xy83
y
yyyxy

ba
13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a
、
b
、
c，
??6cosC
，则
ab

tanCtanC
?
=____▲_____。
tanAtanB
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一
题多解。
考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
当A=B或a=b时满足题意，此时有：
cosC?
tan
C2
，
?
22
1C1?cosC1
?
，，
tan
2
?
321?cosC2
tanA?tanB?
1
tan
C
2
?2
，
tanCtanC
?
= 4。
tanAtanB
14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块
2
( 梯形的周长）
是梯形，记
S?
,则S的最小值是____▲____。
梯形的面积
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
22(3?x)4(3?x)
设剪成的小正三角形的边长为
x
，则：
S??? (0?x?1)

2
133
1?x
?(x?1)??(1?x)22
4(3?x)
2
4(2x?6)?(1?x
2
)?(3?x )
2
?(?2x)
，
S
?
(x)?

S( x)???
222
(1?x)
3
1?x
3
4(2x?6)? (1?x
2
)?(3?x)
2
?(?2x)4?2(3x?1)(x?3)< br>
????
2222
(1?x)(1?x)
33
1
S
?
(x)?0,0?x?1,x?
，
3
11
当
x ?(0,]
时，
S
?
(x)?0,
递减；当
x?[,1)< br>时，
S
?
(x)?0,
递增；
33
1
323
故当
x?
时，S的最小值是。
3
3
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，
15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(
AB?tOC
)?
OC
=0，求t的值。

[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积 ，考查运算求解能力。
满分14分。
????????
（1）由题设知
AB ?(3,5),AC?(?1,1)
，则
????????????????
AB? AC?(2,6),AB?AC?(4,4).

????????????????
所以
|AB?AC|?210,|AB?AC|?42.

故所求的两条对角线的长分别为
42
、
210
。
????
????????
（2）由题设知：
OC
=(－2,－1)，
AB? tOC?(3?2t,5?t)
。
由(
AB?tOC
)?
OC=0，得：
(3?2t,5?t)?(?2,?1)?0
，
从而
5t??11,
所以
t??
11
。
5
|OC|
5
????????
?
????????????
2???
AB?OC
或者：
AB·OC ?tOC
，
AB?(3, 5),
t?
????
2
??
11


16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD= DC=BC=1，
AB=2，AB∥DC，∠BCD=90
0
。
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离。
[解析] 本小题 主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体
积，考查空间想象能力、推理论证能力和 运算能力。满分14分。
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC
?
平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=90
0
，得CD⊥BC，
又PD
?
DC=D，PD、DC
?
平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。
因为PC
?
平面PCD，故PC⊥BC。
（2）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的
距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2

倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF=

17、（本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE的高 度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC
的高度h=4m，仰角∠ABE=
?
，∠ADE=
?
。
(1)该小组已经测得一组
?
、
?< br>的值，tan
?
=1.24，tan
?
=1.20，请据此算出H的< br>值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔
的距离d（单位 ：m），使
?
与
?
之差较大，可以提高测量精确
度。若电视塔的实际 高度为125m，试问d为多少时，
?
-
?
最
大？
[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式
的应用。
（1）< br>H
HH
h
?tan
?
?AD?
，同理：
AB ?
，
BD?
。
tan
?
ADtan
?
t an
?
2
，故点A到平面PBC的距离等于
2
。
2
AD—AB=DB，故得
.
H
t
?
a
2
?
H
?
n
?
t
4
h
，
a
?
n
解
t
得：
an
H?
ht
?
an?41
??124
。
tan
?
?tan
?< br>1.24?1.20
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知
d?AB
，得
tan
?
?
HHhH?h
,tan
?
???
，
dADDBd
HH?h
?
tan
?< br>?tan
?
hdh
d

tan(
?
?
?
)??
d
?
2
?
HH?hH(H?h)
1?t an
?
?tan
?
1??
d?H(H?h)
d?
d dd

d?
H(H?h)
?2H(H?h)< br>，（当且仅当
d?H(H?h)?125?121?555
时，取
d
等 号）
故当
d?555
时，
tan(
?
?
?
)
最大。
因为
0?
?
?
?
?
?
2
，则
0?
?
?
?
?
?
2
，所 以当
d?555
时，
?
-
?
最大。
故所求的
d
是
555
m。

18、（本小题满分16分）
x
2
y
2
??1
的 左、右顶点为A、B，在平面直角坐标系
xoy
中，如图，已知椭圆
95
右焦 点为F。设过点T（
t,m
）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M
(x
1< br>,y
1
)
、
N(x
2
,y
2
)，其中m>0,
y
1
?0,y
2
?0
。
（1 ）设动点P满足
PF
2
?PB
2
?4
,求点P的轨迹； < br>（2）设
x
1
?2,x
2
?
1
，求点T的坐 标；
3
（3）设
t?9
,求证：直线MN必过x轴上的一定点
（其 坐标与m无关）。
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知< br>识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由
PF
2
?PB
2
?4
，得
(x?2)
2
? y
2
?[(x?3)
2
?y
2
]?4,
化简得< br>x?
故所求点P的轨迹为直线
x?
（2）将
x
1
?2 ,x
2
?
120
（，
?
）
39
9
。
2
9
。
2
1
5分别代入椭圆方程，以及
y
1
?0,y
2
?0
得：M（ 2，）、N
3
3
直线MTA方程为：
1
y?0x?3
，即< br>y?x?1
，
?
5
3
?0
2?3
3

直线NTB 方程为：
55
y?0x?3
，即
y?x?
。
?
201
62
??0?3
93
?
x?7
?
联立方程组，解得：
?
10
，
y?
?
3
?
所以点T的坐标为
(7,
10
)
。
3
（3）点T的坐标为
(9,m)

y?0x?3m
?
，即
y?(x?3)
，
m?09?312
y?0x?3m
?
直线NTB 方程为：，即
y?(x?3)
。
m?09?36
直线MTA方程为：
x
2
y
2
??1
联立方程组，同时考虑到
x
1< br>??3,x
2
?3
， 分别与椭圆
95
3(80?m
2
)40m3(m
2
?20)20m
,)N(,?)
。 解得：M(
、
2222
80?m80?m20?m20?m
20m3(m
2
?20)
y?x?
22
20?m20?m
当
x
1
?x
2
时，直线MN方程为：
?
22
40m20m3(80?m)3(m?20)
?
?
22
2
80?m20?m< br>80?m20?m
2
令
y?0
，解得：
x?1
。此时必过点D（1，0）；
当
x
1
?x
2
时，直线MN方程为：
x?1
，与x轴交点为D （1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，已知
2a
2
?a
1
?a
3
，数列
公差为
d
的等差数列。
（1）求 数列
?
a
n
?
的通项公式（用
n,d
表示）； < br>（2）设
c
为实数，对满足
m?n?3k且m?n
的任意正整数
m,n,k
，不等式
9
S
m
?S
n
?cS
k
都成立。求证：
c
的最大值为。
2
?
S
?
是
n
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考

查探索、分析及论证的能力。满分16分。
（1）由题意知：
d?0
， < br>S
n
?S
1
?(n?1)d?a
1
?(n?1)d< br>
2a
2
?a
1
?a
3
?3a
2< br>?S
3
?3(S
2
?S
1
)?S
3
，
3[(a
1
?d)
2
?a
1
]
2
?(a
1
?2d)
2
,

化简，得：
a
1
?2a
1
?d?d
2
?0,a
1
?d,a
1
?d
2

S
n
?d?(n?1)d?nd,S
n
?n
2
d
2
，
当
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?n
2
d
2
?(n?1)
2
d
2
?(2n?1)d
2
，适合
n?1
情形。
故所求
a
n
?(2n?1)d
2

（2）
m
2
?n
2
恒成立。
S
m
?S
n
?cS
k
?md?nd?c?kd?m?n?c?k
，
c?k
2
222222222
m
2
?n
2
9
?
， 又
m?n?3k且m?n
，
2(m?n)?(m?n)?9k?
2
k2
2222
故
c?
9
9
，即
c
的最大值为。
2
2
20、（本小题满分16分）
设
f (x)
是定义在区间
(1,??)
上的函数，其导函数为
f'(x)
。如果存在实数
a
和
函数
h(x)
，其中
h(x)
对任意的
x?(1,??)
都有
h(x)
>0，使得
f'(x)?h (x)(x
2
?ax?1)
，则称函数
f(x)
具有性质
P (a)
。
(1)设函数
f(x)
?lnx?
b?2
(x? 1)
，其中
b
为实数。
x?1
(i)求证：函数
f(x)
具有性质
P(b)
； (ii)求函数
f(x)
的单调区间。
(2)已知函数
g(x)
具 有性质
P(2)
。给定
x
1
,x
2
?(1,??) ,x
1
?x
2
,
设
m
为实数，
?
?mx
1
?(1?m)x
2
，
?
?(1?m)x
1
?mx
2
，且
?
?1,
?
?1
， 若|
g(
?
)?g(
?
)
|<|
g(x
1
)?g(x
2
)
|，求
m
的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活
运用数形结合 、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满

分16分。
（1）(i)
f'(x)
??
1
x
b ?21
?(x
2
?bx?1)

22
(x?1)x(x?1 )
∵
x?1
时，
h(x)?
1
?0
恒成立， 2
x(x?1)
∴函数
f(x)
具有性质
P(b)
；
b
2
b
2
(ii)设
?
(x)?x?bx?1?( x?)?1?
，
?
(x)
与
f'(x)
的符号相同。 24
b
2
当
1??0,?2?b?2
时，
?
( x)
?0
，
f'(x)
?0
，故此时
f(x)
在区 间
(1,??)
上递增；
4
2
当
b??2
时，对 于
x?1
，有
f'(x)
?0
，所以此时
f(x)
在区间
(1,??)
上递增；
当
b??2
时，
?
(x)
图像开口向上，对称轴
x?
b
??1
，而
?
(0)?1
，
2
对于
x?1
，总有
?
(x)?0
，
f'(x)
?0
，故此时
f(x)
在区间
(1,??)
上递增；
(2)由题意，得：
g'(x)?h(x)(x
2
?2x?1)?h(x)(x?1)
2

又
h(x)
对任 意的
x?(1,??)
都有
h(x)
>0，
所以对任意的
x?(1,??)
都有
g
?
(x)?0
，
g(x)
在
(1,??)
上递增。
又
?
?
?
?x
1
?x
2
,
?
?
?
?(2m?1)(x
1
?x
2
)
。
当
m?
1
,m?1
时，
?
?
?
，且
?
?x
1
?(m?1)x
1
1(?mx?),
2
2
?
x?(?)mx?(
1
m1)?x?
22
1

，

综合以上讨论，得：所求
m
的取值范围是（0，1）。
②当
m?0
时，
?
?mx
1
?(1?m)x
2
?mx
2
?(1?m)x
2
?x
2
，
?
?(1?m)x
1
?mx
2
?(1?m)x
1
?mx
1
? x
1
，于是由
?
?1,
?
?1
及
g(x)
的单调性知
g(
?
)?g(x
1
)?g(x
2)?g(
?
)
，所以|
g(
?
)?g(
?)
|≥|
g(x
1
)?g(x
2
)
|，与题设 不符。
③当
m?1
时，同理可得
?
?x
1
,?
?x
2
，进而得|
g(
?
)?g(
?
)
|≥|
g(x
1
)?g(x
2
)
|，与
题设不符。
因此综合①、②、③得所求的
m
的取值范围是（0，1）。
21.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB延长线于点C，
若DA=DC，求证：AB=2BC。
[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。
证明：连结OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=30
0
，∠DOC=60
0
，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。
A． 矩阵与变换
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)， C(-2,1)。设k为非零实数，
?
k0
??
01
?
矩阵 M=
?
,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别
???
?< br>01
??
10
?
为A
1
、B
1
、C
1
，△A
1
B
1
C
1
的面积是△ABC面 积的2倍，求k的值。
[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。
满分10分。
?k0
??
01
??
0k
?
解：由题设得
MN?
???
10
?
?
?
10
?

01
??????

?
0k
??
0?2?2
??
00k
?
由
?
，可知A
1
（0，0）、B
1
（0，-2）、C
1
（
k
，
?
?????
?
10
??
001
??
0? 2?2
?
-2）。
计算得△ABC面积的面积是1，△A
1
B1
C
1
的面积是
|k|
，则由题设知：
|k|?2?1 ?2
。
所以k的值为2或-2。

B． 坐标系与参数方程
在 极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a
的值。
[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满
分10分。
解：
?
2
?2
?
cos
?
，圆ρ=2co sθ的普通方程为：
x
2
?y
2
?2x,(x?1)
2?y
2
?1
，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：
3x?4y?a?0
，
又圆与直线相切，所以

C．设a、b是非负实数，求证：
a
3?b
3
?ab(a
2
?b
2
)
。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。
证明：
a
3
?b
3
?ab(a
2
?b
2
)?a
2
a(a?b)?b
2
b(b?a)

|3?1?4 ?0?a|
3?4
22
?1,
解得：
a?2
，或
a ??8
。
?(a?b)[(a)
5
?(b)
5
]

?(a?b)
2
[(a)
4
?(a)
3
(b)?( a)
2
(b)
2
?(a)(b)
3
?(b)
4]

因为实数a、b≥0，
(a?b)
2
?0,[(a)
4
?(a)
3
(b)?(a)
2
(b)
2
?(a )(b)
3
?(b)
4
]?0

所以上式≥0。即有
a
3
?b
3
?ab(a
2
?b
2
)。

22、（本小题满分10分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙
产品的一等品率为90 %，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获
得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生 产1件乙产品，若是一等品则获得
利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求
X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。
解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且
P（X=10）=0.8?0.9=0.72， P（X=5）=0.2?0.9=0.18，
P（X=2）=0.8?0.1=0.08， P（X=-3）=0.2?0.1=0.02。
由此得X的分布列为：
X
P
10
0.72
5
0.18
2
0.08
-3
0.02
（2）设生产的4件甲产品中一等品有
n
件，则二等品有
4?n
件。
14
由题设知
4n?(4?n)?10
，解得
n?
，
5
又
n?N
，得
n?3
，或
n?4
。
3
所 求概率为
P?C
4
?0.8
3
?0.2?0.8
4
?0.8192

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

23、（本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。
（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力
与分析问题、 解决问题的能力。满分10分。
b
2
?c
2
?a
2
（1）证明：设三边长分别为
a,b,c
，
cosA?
，∵
a,b ,c
是有理数，
2bc
b
2
?c
2
?a
2
是有理数，分母
2bc
为正有理数，又有理数集对于除法的
具有封闭性，
b
2
?c
2
?a
2
∴必为有理数，∴cosA是有 理数。
2bc
（2）①当
n?1
时，显然cosA是有理数；

当
n?2
时，∵
cos2A?2cos
2
A?1
，因为cosA是有理数， ∴
cos2A
也是有
理数；
②假设当
n?k(k?2)
时，结论成立，即coskA、
cos(k?1) A
均是有理数。
当
n?k?1
时，
cos(k?1)A?cosk AcosA?sinkAsinA
，
1
cos(k?1)A?coskAcosA? [cos(kA?A)?cos(kA?A)]
，
2
11
cos(k?1) A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A
，
22
解得：
cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A

∵cosA，< br>coskA
，
cos(k?1)A
均是有理数，∴
2coskAcos A?cos(k?1)A
是有理
数，
∴
cos(k?1)A
是有理数。
即当
n?k?1
时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。