海门市2020年暑期新教师招考试题中学数学

海门市2020年暑期新教师招考试题中学数学
一、填空题(本题14小题，共计42分)
1．设数集M={x|m≤x≤m+
31
}，N={x|n－≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，
43
如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是
____ _______.
?
?12
?
?
的特征值是 ______。 2.矩阵
?
5
3
??
?
2
?3.已知向量
a?(2,1),b?(3,?1)
，则
a
与
b< br>的夹角
?
为 _____.
4.在等式“1=
1
??
+
9
??
”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则
填入的两个数是 _________.
I←0
S←0
5．已知
z?(|z|?1)?5i
，则复数
z?
_______.
While I＜6
6. 已知伪代码如图，则输出结果
S
=_
7．过点
M(3,?4)
，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程
I←I+2
为 __________________________.
S←S+I
2
t2t
End while
8.若
2xdx?dx?3
，则
t?
____
00
Print S
9．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线的方程
（第6题）
为
2x?y?0
，则双曲线的离心率为 __________.
??
10．已知定义在实数集R上的偶函数
f(x)
在区间
?
0,??
?
上的单调增函数，若
f(1)?f(lgx)
，
则
x
的取值范围是 ______________ .
11．在
?ABC
中，已知
a?b?ccosB?ccosA
，则< br>?ABC
为 ________三角形.
12．用三种不同颜色给3个矩形随 机涂色，每个矩形上涂一种颜色，则3个矩形颜色都不同
的概率是 ______.
13.老张、老刘、老李和老赵, 一个是教师，一个是职员，一个是工人，一个是干部，还知
道（1）张、刘为邻居，每天骑车上班；（2）老刘比老李年纪大；（3）老张教老赵打太极
拳；（4） 教师每天步行上班；（5）职员的邻居不是干部；（6）干部和工人不认识；（7）
干部比职员和工人年 纪都大，那么他们的职业按职员、工人、干部、教师的姓氏排列为
_________________ ___.
14.
设
f(x)?
1
3?3
x
，
利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
f
(－12)+

f
(－11)+
f
(－10)+…+
f
(0)+…+
f
(11)+
f
(12)+
f
(13)的值为________.

二、解答题（本题6小题，共计58分）
15.如图，摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转< br>一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
(1)试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m．


O

40

P
50

16.已知函数
f(x)?ln(2x?1)
．
（Ⅰ）求曲线< br>f(x)?ln(2x?1)
，在
x?
1
处的切线的方程；
2
（Ⅱ）若方程
f(x)?f
?
(x)?a
有解，求
a的取值范围．




















17．如图，以长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体．
（1）若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；
（ 2）我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写
出一个这样的四 面体（不要求证明）；
（3）若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体（不要求证明 ），并计算
它的体积与长方体的体积的比．
D
1
C
1



B
1
A
1
D

C

A
B

18.设绝对值小于1的全体实数的集合为S，在S中定义一种运算“
?
”，
使得
a?b?
a?b

1?ab
(1) 证明：如果a与b属于S，那么
a?b
也属于S.
(2) 证明：结合律
(a?b)?c?a?(b?c)
成立.


















19.如图，过椭圆
x
2a
2
?
y
2
b
2
?1(a?b?0)
的左焦点
F
任作一条与两坐标轴都不垂直的弦
AB
，
若点
M
在
x
轴上，且使得
MF
为
?AMB
的一条内角平分 线，则称点
M
为该椭圆的“左特
x
2
?y
2
?1( a?b?0)
的“左特征点”
M
的坐标；（2）：试根征点”．（1）：求椭圆
5
据（1）中的结论猜测：椭圆
证明你的结论．














20.关键词：数学作文
理论背景：从2000年开始，我国已把“探索型课题学习”列入教 学计划，并规定了教学
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1(a?b?0)
的“左特征点”
M
是一个怎样的点？并

时间。2001年华东师范大学的张奠宙教授在一次给研究生的讲话报告中，提出了“数学作文 ”
这个概念，它类似于国外学生做的“Project”，结合我国的实际，“数学作文”是“探索型课 题”
研究过程和结果的展现形式。它不同于严格意义上的数学论文，它是数学“双基”的延伸。通
过数学作文能够对数学基础进行整理，上升为更加理性的认识。
请你用200-300字简要地谈谈 对“数学归纳法”这个概念的认知。（注意：数学语言的运
用）













参考答案
1．
1
?
2．4，-2 3．
4
12
4．4，12 5．12-5i 6．20 7
x?y?1?0或4x?3y?0

2
8．（-1，3）9．
5或
5
10.
x?10或0?x?
1
11. 等腰或直角 12. 13. 张职员、刘工人、赵干
9
2
10
部、李教师 14.
13
1
3
15. （1）
y?40cos(
2
?
t)?50
（2）1分钟 16. （1）
y?x?ln2?
（2）
2
3
3
a?b
< 1
1?ab
a?ln2?1
17. 解（1）如四面体A
1
-ABC 或四面体C
1
-ABC或四面体A
1
-ACD或四面体C
1
-ACD； （2）如四
面体B
1
-ABC或四面体D
1
-ACD； （3）如四面体A-B
1
CD
1
18. （1）当-1a?b
2
()
1?ab
<1成立，从 而用比较法即可证得（2）
a?b
?c
a?b
1?ab
b)*c=* c==
a?b?c?abc
因为此式关于
a?b
1?ab
1??c< br>1?bc?ca?ab
1?ab
a,b,c对称，所以即得(a*b)*c=a*(b* c)成立，这样就利用对称性减少了一半计算。
x
2
19. （1）解：设
M(m,0)
为椭圆
?y
2
?1
的左特征点，椭圆的左焦点为 5
F
(-2,0)，可设直线
AB
的方程为
x?ky?2(k? 0)
,并将它代入
x
(k
2
?5)y
2
?4ky? 1?0
.
设
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,则
y ?y?
4k
,yy?
1212
2
k?5
1
. ∵< br>?AMB
被
k?5
2
2
5
?y
2
? 1
得
(ky?2)?5y?5
.即
22
x
轴平分，∴
k
AM
?k
BM
?0
. 即
y
1
y2
??0,化简得y
1
(x
2
?m)?y
2
( x
1
?m)?0

x
1
?mx
2
?m将
x
1
?ky
1
?2
，
x
2
?ky
2
?2
代入得
2ky
1
y
2
?(y
1
?y
2
)(m?2)?0
,由
k?0
,即整理得

55
x
2
y
2
m???M(?,0)
. （2）由（1）猜想：椭圆
2
?
2
?1
的“左特征点”是 椭圆的左准线与
x
轴的
22
ab
交点. 证明：设椭圆的左准线l
与
x
轴相交于点
M
，过点
A
、
B< br>分别作
l
的垂线，垂足分别为点
C
、
D
.
据 椭圆第二定义得
|AF|
?
|BF|
,即
|AF|
?
|AC|
.
∵
AC
∥
FM
∥
BD
,∴< br>|AF|
?
|CM|
.于是
|BF||DM|
|AC||BD ||BF||BD|
|AC||CM||AC||BD|
?,即?.

|BD ||DM||CM||DM|
?tan?AMC?tan?BMD.又??AMC与?BMD均为锐角< br>∴∠
AMC
=∠
BMD
.∴∠
AMF
=∠
BMF
.∴
MF
为∠
AMB
的平分线。
故点
M
为椭圆的“左特征点”.
20. 纲要（1）数学归纳法作为归 纳法的一种，它属于完全归纳。（2）数学归纳法的定义（或者解题步骤）
（3）重难点突破：奠基的重 要性及注意点，在证明P（K+1）时一定要用到归纳假设P（K）（4）适用范围：
可以证明与正整数 相关的命题。（5*）其他：数学归纳法从证明的方式来区分，可以有第一数学归纳法、
第二数学归纳法 、多重数学归纳法、翘翘板数学归纳等等