高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结

平面向量
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量：既有大小又有方向的量。记作：
???
AB
?
或
?
a
。
2.向量的模：向量的大小（或长度）， 记作：
|
???
AB
?
|
或
|
?
a|
。
3.单位向量：长度为1的向量。若
?
e
是单位向量，则< br>|
?
e|?1
。
4.零向量：长度为0的向量。记作：
?< br>0
。【
?
0
方向是任意的，且与任意向量平行】
5.平行向量 （共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相 反向量：长度相等，方向相反的向量。
???
AB
?
??
???BA
?
。
8.三角形法则：
???
AB
?
?
???
BC
?
?
???
AC
?
；
???
AB
?
?
???
BC
?
?
???
CD
?
?
???
DE
?
?
???
AE
?
；
???
AB
?
?
???
AC?
?
???
CB
?
（指向被减数）
9.平行四边形法则：
以
?
a,
?
b
为临边的 平行四边形的两条对角线分别为
?
a?b
?
，
?
a?
?
b
。
10.共线定理：
?
a?
?
?
b?
?
a
?
b
。当
?
?0
时，
?
a与
?
b
同向；当
?
?0
时，
?
a与
?
b
反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若
?
a?(x,y)
，则
|
?
a|?x
2
?y
2
，
?
a
2
?|
?
a|
2
，
|
?
a?b
?
|?(
?
a?b
?
)
2

13.数量积与夹角公式：
?
a ?b
?
?|
?
a|?|b
?
?
|cos
?
；
cos
?
?
a?b
?
|
?
a|?|
?
b|

14.平行与垂直：
?
a
?< br>b?
?
a?
?
?
b?x
????
1
y
2
?x
2
y
1
；
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
题型1.基本概 念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是< br>???
AB
?
?
???
CD
?
。
（5）若
???
AB
?
?
???
CD
?
， 则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若
?
a
与
b
?
共线，
b
?
与
?
c
共线，则
?
a
与
?
c< br>共线。
（8）若
ma
?
?mb
?
，则
?< br>a?
?
b
。
1

（9）若
ma
?
?na
?
，则
m?n
。
（10）若
?
a
与
b
?
不共线，则
?a
与
b
?
都不是零向量。
（11）若
?
a?
?
b?|
?
a|?|
?
b|
，则
?
a
?
b
。
（12）若
|
?
a?
?b|?|
?
a?
?
b|
，则
?
a?b
?
。
题型2.向量的加减运算
1.设
?
a
表示“向东走8km”,
b
?
表示“ 向北走6km”,则
|
?
a?
?
b|?
。
2.化简
(
???
AB
?
?
???
M B
?
)?(
???
BO
?
?
???
BC< br>?
)?
????
OM
?
?
。
3.已知
|
???
OA
?
|?5
,
|???
OB
?
|?3
,则
|
???
AB
?
|
的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知
???
AC
?
为
???
AB
?
与
???
AD
?
的和向量，且
???
AC
?
?
?
a ,
???
BD
?
?
?
b
，则
???
AB
?
?
，
???
AD
?
?
。
5.已知点C在线段AB 上，且
???
AC
?
?
3
????
??????? ?
????
????
5
AB
,则
AC?

BC
，
AB?

BC
。
题型3.向量的数乘运算
1.计算：（1）
3(
?
a?
?
b)?2(
?
a?
?
b)?
（2）2(2
?
a?5b
?
?3c
?
)?3(?2
?
a?3b
?
?2c
?
)?

2.已知
a< br>?
?(1,?4),b
?
?(?3,8)
，则
3a
?
?
1
?
2
b?
。
题型4.作图法球向量的和
已知向量
?
a,
?
b
，如下图，请做出向量
3
?
a?
1
?
2
b
和
2
?
a?
3
?
2
b
。
?
a

b
?

题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在
?ABC
中，
D
是
BC
的中点，请用向量
???
AB
?
，
???
AC
?
表示
???
AD
?
。
2 .在平行四边形
ABCD
中，已知
???
AC
?
?a
?
,
???
BD
?
?b
?
，求
???< br>AB
?
和
???
AD
?
。

题型6.向量的坐标运算
1.已知
???
AB
?
?(4, 5)
，
A(2,3)
，则点
B
的坐标是 。
2.已知
???
PQ
?
?(?3,?5)
，
P(3 ,7)
，则点
Q
的坐标是 。
3.若物体受三个力
F
?
,2)
,
F
?
,
F
?
1
?(1
2
?(?2,3)
3
?(?1,?4)
,则合力 的坐标为 。
2

?
?
?
?
?
?
?
?
4.已知
a?(?3,4)
，
b?(5,2)
，求
a?b
，
a?b
，
3a?2 b
。

????
?
5.已知
A(1,2),B(3,2)
,向量
a?(x?2,x?3y?2)
与
AB
相等，求
x, y
的值。
????
????????????
6.已知
AB?(2 ,3)
，
BC?(m,n)
，
CD?(?1,4)
，则
DA ?
。
????????
?
????7.已知
O
是坐标原点，
A(2,?1),B(?4,8)
，且
AB?3BC?0
，求
OC
的坐标。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底
?????
1.已知
e
1
,e
2
是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
?? ????????????????????????????????????
A.
e
1
?e
2
和e
1
?e
2
B.
3e
1
?2e
2
和4e
2
?6e
1
C.
e
1
?3e
2
和e
2
?3e
1
D.
e
2
和e
2
?e
1

?
?< br>2.已知
a?(3,4)
，能与
a
构成基底的是（ ）
3443344
A.
(,)
B.
(,)
C.
(?,?)
D.
(?1,?)

5555553
题型8.结合三角函数求向量坐标
????
????
?
1.已知
O
是坐标原点，点
A
在第二象限，
|OA|? 2
，
?xOA?150
，求
OA
的坐标。

?? ??
????
?
2.已知
O
是原点，点
A
在第一象 限，
|OA|?43
，
?xOA?60
，求
OA
的坐标。


题型9.求数量积
?
?
?
?
????
?
?
1.已知
|a|?3,|b|?4
，且
a< br>与
b
的夹角为
60
，求（1）
a?b
，（2）
a?(a?b)
，
?
1
??
?
?
?
?
(a?b)?b
（3），（4）
(2a?b)?(a?3b)
。
2


?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
2.已知
a?(2,?6),b?(?8,1 0)
，求（1）（2）
a?b
，（3）
a?(2a?b)
，（4）< br>(2a?b)?(a?3b)
。
|a|,|b|
，


题型10.求向量的夹角
?
?
?
?
?
?
a
1.已知
|a|?8,|b|?3
，
a?b?12
，求与
b
的夹角。
?
?
?
?
2.已知
a?(3,1), b?(?23,2)
，求
a
与
b
的夹角。
3.已知
A(1,0)
，
B(0,1)
，
C(2,5)
，求
cos ?BAC
。
3

题型11.求向量的模
1. 已知
|a
?
|?3,|b
?
|?4
，且
a
?
与
b
?
的夹角为
60
?
，求（1）
|a
?
?b
?
|
，（2）
|2a
?
?3b?
|
。


2.已知
a
?
?(2, ?6),b
?
?(?8,10)
，求（1）
|a
?
|,|b
?
|
，（5）
|a
?
?b
?
|
， （6）
|a
?
?
1
2
b
?
|
。


3.已知
|a
?
|?1，|b
?
|? 2
，
|3a
?
?2b
?
|?3
，求
|3a
?
?b
?
|
。


?
题型12.求单位向量 【与
?
a
平行的单 位向量：
?
e??
a
|
?
a|
】
1.与
a
?
?(12,5)
平行的单位向量是 。
2.与
m
?
?(?1,
1
2
)
平行的 单位向量是 。
题型13.向量的平行与垂直
1.已知
a
?
?(6,2)
，
b
?
?(?3,m)
，当
m
为何值时，（1）
a
?
b
?
？（2）
a
?
?b
?
？


2.已知
a
?
?(1,2)
，
b
?
?(?3,2)
，（1）
k
为何值时，向量
ka
?
?b
?
与
a
?
?3 b
?
垂直？
（2）
k
为何值时，向量
ka
??b
?
与
a
?
?3b
?
平行？


3.已知
a
?
是非零向量，
a
?
?b< br>?
?a
?
?c
?
，且
b
?
?c?
，求证：
a
?
?(b
?
?c
?
)< br>。


题型14.三点共线问题
1.已知
A(0,?2)
，
B(2,2)
，
C(3,4)
，求证：
A,B,C
三点共线。


2.设
???
AB
?
?
2
2
(
?
a?5b
?
),
???
BC< br>?
??2
?
a?8b
?
,
???
CD
?
?3(
?
a?b
?
)
，求证：
A、B、D三点共线。

4

?????????????? ????
3.已知
AB?a?2b,BC??5a?6b,CD?7a?2b
，则一定 共线的三点是 。
4.已知
A(1,?3)
，
B(8,?1)
，若点
C(2a?1,a?2)
在直线
AB
上，求
a
的值。

????????????
5.已知四个点的坐标
O(0,0)
，
A(3,4)
，
B(?1,2)
，
C(1,1)
，是否存在常数
t
，使
OA?tOBO?C
成
立？


题型15.判断多边形的形状
??????????
????????< br>1.若
AB?3e
，
CD??5e
，且
|AD|?|BC|< br>,则四边形的形状是 。
2.已知
A(1,0)
，
B(4,3)
，
C(2,4)
，
D(0,2)
，证明四边形
ABCD
是梯形。

3.已知
A(?2,1)
，
B(6 ,?3)
，
C(0,5)
，求证：
?ABC
是直角三角形。

????????????
4.在平面直角坐标系内，
OA?(?1,8) ,OB?(?4,1),OC?(1,3)
,求证：
?ABC
是等腰直角三角形。

题型16.平面向量的综合应用
?
?
?
?
?< br>?
1.已知
a?(1,0)
，
b?(2,1)
，当
k
为何值时，向量
ka?b
与
a?3b
平行？
?
?
?
?
?
2.已知
a?(3,5)
，且
a?b
，
|b|?2
，求
b
的坐标。
???
??
?< br>3.已知
a与b
同向，
b?(1,2)
，则
a?b?10，求
a
的坐标。
?
?
??
??
3.已知a?(1,2)
，
b?(3,1)
，
c?(5,4)
，则
c?

a?

b
。
?
?
??
?
?
4.已知
a?(5,10)
，
b?(?3,?4 )
，
c?(5,0)
，请将用向量
a,b
表示向量
c
。

?
?
?
?
5.已知
a?(m,3)
，
b?(2,?1)
，（1）若
a
与
b
的夹角为钝角，求
m
的范围；
?
?
（2）若
a
与
b
的夹角为锐角，求
m
的范围。
??
?
??
?
6 .已知
a?(6,2)
，
b?(?3,m)
，当
m
为何值时 ，（1）
a
与
b
的夹角为钝角？（2）
a
与
b的夹角
为锐角？

7.已知梯形
ABCD
的顶点坐标分别为< br>A(?1,2)
，
B(3,4)
，
D(2,1)
，且
ABDC
，
AB?2CD
，
求点
C
的坐标。
5

8.已知平行四边形
ABCD
的三个顶点的坐标分别为A(2,1)
，
B(?1,3)
，
C(3,4)
，求第四个顶点
D
的坐标。

9.一航船以5kmh的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实 际航行方向与水流方向成
30
?
角，求
水流速度与船的实际速度。

10.已知
?ABC
三个顶点的坐标分别为
A(3,4)
，
B(0,0)
，
C(c,0)
，
（1）若
???
AB?
?
???
AC
?
?0
，求
c
的值； （2）若
c?5
，求
sinA
的值。

【备用】
1.已知
|
?
a|?3,|
?
b|?4,|
?
a ?
?
b|?5
，求
|
?
a?
?
b|
和向量
?
a,
?
b
的夹角。
2.已知
?
x?
?
a?b
?
，
??
y?2
?
a?< br>?
b
，且
|
?
a|?|
?
b|?1
，
?
a?b
?
，求
?
x,
??
y
的夹角的余弦。
1.已知
?
a?(1,3),
?
b?(?2,?1 )
，则
(3
?
a?2
?
b)?(2
?
a? 5
?
b)?
。
4.已知两向量
?
a?( 3,4),
?
b?(2,?1)
，求当
?
a?xb
?
与
?
a?
?
b
垂直时的x的值。
5.已知两向量
?
a?(1,3),
?
b?(2,
?
)
，
?a与
?
b
的夹角
?
为锐角，求
?
的范围。 < br>变式：若
?
a?(
?
,2),
?
b?(?3,5)< br>，
?
a与
?
b
的夹角
?
为钝角，求
?
的取值范围。
选择、填空题的特殊方法：
1.代入验证法
例：已知向 量
?
a?(1,1),b
?
?(1,?1),
?
c?(?1 ,?2)
，则
?
c?
（ ）
A.
?
1?
2
a?
3
2
b
?
B.
?1
?
2
a?
3
2
b
?
C.
3
?
2
a?
1
?
2
b
D .
?
3
?
2
a?
1
2
b
?

变式：已知
?
a?(1,2),
?
b?(?1,3),
?
c?(?1,2)
，请用
?
a,
?
b
表示
?
c
。
2.排除法
例：已知M是
?ABC
的重心，则 下列向量与
???
AB
?
共线的是（ ）
A.
??? ?
AM
?
?
???
MB
?
?
???
BC
?
B.
3
????
AM
?
?
???
AC
?
C.
???
AB
?
?
? ??
BC
?
?
???
AC
?
D.
?? ??
AM
?
?
????
BM
?
?
????
CM
?





6

广东省近八年高考试题-平面向量（理科）
1.(2007年高考广东卷第10小题)
b?
． 若向量a
、
b
满足|
a
|=|
b
|=1，
a
与
b
的夹角为
120?
，则
a?a?a?
2.(2 008年高考广东卷第3小题)
??????
3.已知平面向量
a
=（1， 2），
b
=（－2，m），且
a
∥
b
，则2
a + 3
b
=（ ）
A. （－5，－10） B. （－4，－8）
4.(2009年高考广东卷第3小题)
（x,1）
已知平面向量a= ，b=， 则向量
a?b
=（ ）
（－x,x
2
）
C. （－3，－6） D. （－2，－4）
A平行于
x
轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于
y
轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
??
????
c
=(3,x)满足条件 (8
a
－
b
)·
c
=30，
b
=5. ( 2010年高考广东卷第5小题)若向量
a
=（1,1），（2,5），
则
x
= ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
6.(2011年高考广东卷第3小题)已知向量
a?(1,2),b?(1,0),c?(3 ,4)
．若
?
为实数,
(a?
?
b)c,

则
?
?
( )
11
A． B. C.1 D. 2
42
7.(2012
年高考广东卷第
3
小题
)
? ???????
????
8
．若向量
BA?(2,3)
，
C A?(4,7)
，则
BC?
（

）

A
．
(?2,?4)
B
．
(3,4)
C
．
(6,10)
D
．
(?6,?10)

9 .(2012
年高考广东卷第
8
小题
)
对任意两个非零的平面向量< br>?
,
?
，定义
?
?
?
?
?
?
?
．若平面
?
?
?
??
??
??
?
?
??
n
?
a?b?0
向量
a,b
满 足，
a
与
b
的夹角
?
?
?
0,
?
，且
?
?
?
和
?
?
?
都在集合< br>?
|n?Z
?
中，则
?
4
??
2
?
??
a
?
b?

135
A
．
B
．
1
C
．
D
．

222

7

10.（2014广东省高考数学 理科12）已知向量
a?
?
1,0,?1
?
,
则下列向量中 与
a
成
60?
夹角的是
A．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）
忽略此处..

8