中国高中数学竞赛网-北师大高中数学选修4-1
. .
.
必修4知识点总结
?
正角:按逆
时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与
原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象
限,则称
?为第几象限角.
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?9
0?k?360?180,k??
?
第三象限角的集合为
?
?k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?
第
四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?36
0,k??
?
终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?
终边在
y
轴上的角的集合为?
??
?k?180?90,k??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?
3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?<
br>?
,k??
?
第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??
4、已知
?
是第几象限角
,确定
?
?
n??
?
所在象限的方法:先把各象限均分
n<
br>等
n
*
份,再从
x
轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一
、二、三、四,则
?
原来
?
终边所落在的区域.
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
是第几象限
对应的标号即为
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
7、弧度制与角度制的
换算公式:
2
?
?360
,
1?
l
.
r
?
180
?
,
1?
?
?57.3
. ?
180
?
?
?
?
8、若扇形的圆心角为
?<
br>?
?
为弧度制
?
,半径为
r
,弧长为
l,周长为
C
,面积为
S
,
11
则
l?r
?
,
C?2r?l
,
S?lr?
?
r
2
.
22
9、设
?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一
点
?
的坐标是
?
x,y
?
,它与原点
的距离是rr?x
2
?y
2
?0
,则
sin
?
?
?
?
yxy
,
cos
?
?
,
t
an
?
?
?
x?0
?
.
rrx
..
..
. .
.
10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,
第二象限正弦为正,第三象限
正切为正,第四象限余弦为正.
11、三角函数线:
s
in
?
???
,
cos
?
???
,
tan
?
???
.
12、同角三角函数的基本关系:
?
1
?
sin
?
?cos
?
?1
22
y
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
;
?
2
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
.
tan
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
P
T
OM
A
x
13、三角函数的诱导
公式:
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
,cos
?
2k
?
?<
br>?
?
?cos
?
,tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
.
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??
sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
??
?cos
?
,
tan
?
?
?
???tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.
口诀:函数名称不变,符号看象限.
?
5
?
sin
??
??
?
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
?sin
?
. ?
2
??
2
?
?
?
6
?
si
n
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
??sin
?
.
?
2
??
2
?
?
口诀:正弦与余弦
互换,符号看象限.
14、函数
y?sinx
的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度,得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的
横坐标伸长(缩
短)到原来的
1
倍(纵坐标不变),得到函数
y?sin?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来
的
?
倍(横坐标不
变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
得到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左(右)平移
1
倍(纵坐标不变),
?
?
个单
?
位长度,得到函数
y?sin
?
?
x?
?<
br>?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所
..
..
. .
.
有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?倍(横坐标不变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
函数y??sin
?
?
x?
?
??<
br>??0,
?
?0
?
的性质:
①
振幅:
?<
br>;
②
周期:
??
2
?
?
;
③
频率:
f?
1
?
;
④
相位:
?
x??
;
⑤
初相:
?
?2
?
?
.
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
,
当
x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当
x?
x
2
时,取得
11?
?
y
max
?y
mi
n
?
,
??
?
y
max
?y
min
?
,
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
.
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
y?cosx
y?tanx
数
y?sinx
性
最大值为
y
max
,则
??
质
图
象
定
义
域
值
域
R
R
?
?
?
xx?k
?
?,k??
??
2
??
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
?
?1,1
?
?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?时,
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
R
?
2
最
值
时,<
br>y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
2
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
既无最大值也无最小
值
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
周
?
2
?
2
?
期
性
奇
偶奇函数 偶函数 奇函数
性
单
在<
br>?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
??
?
??
???
2k
?
?,
2k
?
?k
?
?,k
?
?
在
在
调
??
??
22
?
22
???
性 上是增函数;在
..
..
. .
.
?
k??
?
上是增函数;在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
?
k??
?
上是增函数.
?
k??
?
上是减函数.
?
k??
?
上是减函数.
对称中心对称中心
?
?
?
对
?
k
?
,0
??
k??
?
k
?
?,0
?
?
k??
?
?
称
2
??
对称轴
性
?
对称轴x?k
?
?
k??
?
x?k
?
?
?
k??
?
2
对称
中心
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?
?
?
2
?
无对称轴
16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b
.
⑷运算性质:①交换律:a?b?b?a
;②结合律:
a?b?c?a?b?c
;③
????a?0?0?a?a
.
⑸坐标运算:设
a?
?
x
1<
br>,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a?<
br>?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
19、向量数乘运算:
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
①
C
a
b
?
?
a?b??C?????C
?
a?
?
a
;
②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时
,
?
a
的方向与
a
的方向相反;当
?
?0
时,
?
a?0
.
..
..
. .
.
⑵运算律:①
?
?
?a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
;③?
a?b?
?
a?
?
b
.
⑶坐标运算:设<
br>a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?<
br>x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
.
20、向量共线定理:向量
aa?0
与
b
共线,当且仅当有唯
一一个实数
?
,使
b?
?
a
.
??
??
bb?0
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,其中
b?0
,则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时,向量
a
、
b?
?
x
2
,y
2
?
,
共线.
??
2
1、平面向量基本定理:如果
e
1
、
e
2
是同一平面的两个
不共线向量,那么对于这一平面的
任意向量
a
,有且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
a?
?
1
e
1?
?
2
e
2
.(不共线的向量
e
1
、
e
2
作为
这一平面所有向量的一组基底)
22、分点坐标公式:设
点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,<
br>当
?
1
??
?
??
2
时,点
?的坐标是
?
23、平面向量的数量积:
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
?
x
1
??
x
2
y
1
?
?
y
2
?,
?
.
1?
?
1?
?
??
??.零向量与任一向量的数量积为
0
.
2
a?b?ab
;⑵性质
:设
a
和
b
都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.②当
a
与
b
同向时,
当
a
与
b
反向时
,
a?b??ab
;
a?a?a?a
或
a?a?a
.③a?b?ab
.
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
;③<
br>a?b?c?a?c?b?c
.
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2?y
1
y
2
.
若
a?
?
x,y?
,则
a?x?y
,或
a?
22
2
2
??????
x
2
?y
2
.
设
a?
?<
br>x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
是
a
与
b
的夹角,则
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2<
br>2
2
.
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴
c
os
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
;
..
..
. .
.
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?sin
?
;
⑷
sin
?
?
?
??
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin?
;
⑸
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
(
tan
?
?ta
n
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan<
br>?
tan
?
?
);
1?tan
?
tan<
br>?
tan
?
?tan
?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?t
an
?
tan
?
?
).
1?tan
?
t
an
?
⑹
tan
?
?
?
?
?
?<
br>25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
.
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2<
br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
1?cos2
?
).
2
(
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
,
sin
2
?
?
⑶
tan2
?
?
2tan
?
.
21?tan
?
?
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
,其中
tan
?
?
?
.
?
26、
?sin
?
??cos
?
?
高中数学必修5知识点
1、正弦定理:在
???C
中,
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C<
br>的对边,
R
为
???C
的外接
abc
???2R.
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式:①
a?2Rsin?<
br>,
b?2Rsin?
,
c?2RsinC
;
abc
②
sin??
,
sin??
,
sinC?
;
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
;
a?b?cabc
④.
???
sin??sin??sinCsin?si
n?sinC
111
3、三角形面积公式:
S
???C
?bcsin
??absinC?acsin?
.
222
圆的半径,则有
4、余弦定理:
在
???C
中,有
a?b?c?2bccos?
,
b?a?c?2a
ccos?
,
222222
c
2
?a
2
?b2
?2abcosC
.
b
2
?c
2
?a2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?
b
2
?c
2
5、余弦定理的推论:
cos??
,
c
os??
,
cosC?
.
2bc2ac2ab
6、设
a<
br>、
b
、
c
是
???C
的角
?
、?
、
C
的对边,则:①若
a?b?c
,则
C?90;
.. ..
222
. .
.
②若
a?b?c
,则
C?
90
;③若
a?b?c
,则
C?90
.
7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
8、数列的项:数列中的每一个数.
9、有穷数列:项数有限的数列.
10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
12、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
13、常数列:各项相等的数列.
14、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
15
、数列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与
序号
n
之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公式.
17、如
果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为
等差数列,这个常数
称为等差数列的公差.
18、由三个数
a
,
?
,
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则
?
称为
a
与
b的
等差中项.若
b?
19、若等差数列
222222
a?c,则称
b
为
a
与
c
的等差中项.
2
1
?
a
n
?
的首项是
a
,公差是
d
,则
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
.
;
a
n
?a
1
20、通项公式的变形:①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d;②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
;③
d?
n?1
a
n
?a
m
a
n
?a
1
d?
?1
;⑤④
n?
n?m
d
.
*
21、若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p
、
q??
),则
a
m
若
?
a
n
?
是
等差数列,且
2n?p?q
(
n
、
p
、
q??),则
2a
n
*
?a
n
?a
p
?a<
br>q
;
?a
p
?a
q
.
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
S
?
S?na?d
.
n
22、等差数列的前项和的公式:①
n
;②
n1
2
2
23、等差数列的前
n
项和的性质:①若项
数为
2nn??
?
*
?
,则
S
2n
?n<
br>?
a
n
?a
n?1
?
,且
S
偶?S
奇
?nd
,
S
奇
a
n
?
S
偶
a
n?1
.
②若项数为
2n?1n??
?<
br>*
?
,则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
,且
S
奇
?S
偶
?a
n<
br>,
S
奇
n
(其中
?
S
偶
n?1.. ..
. .
.
S
奇
?na
n
,
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
). <
br>24、如果一个数列从第
2
项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列
称为
等比数列,这个常数称为等比数列的公比.
25、在
a
与
b<
br>中间插入一个数
G
,使
a
,
G
,
b
成等比数列,则
G
称为
a
与
b
的等比中项.若
G<
br>2
?ab
,则称
G
为
a
与
b
的等比
中项.
n?1
26、若等比数列
?
a
n
?
的首项
是
a
1
,公比是
q
,则
a
n
?a
1
q
.
27、通项公式的变形:①
a
n
?a
m<
br>q
n?m
;②
a
1
?a
n
q
??
n?1
?
;③
q
n?1
?
a
n;④
a
1
q
n?m
?
a
n
.
a
m
*
28、若
?
a
n
?
是等比数列,
且
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p
、
q??
),则
a
m
?a
n
?a
p
?a<
br>q
;
若
?
a
n
?
是等比数列,且
2
n?p?q
(
n
、
p
、
q??
),则
a<
br>n
*
2
?a
p
?a
q
.
?
na
1
?
q?1
?
?
29、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式:
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
. 1n
?
?
q?1
?
?
1?q1?q
?
30、等比数列的前
n
项和的性质:①若项数为
2nn??
*
,则<
br>②
S
n?m
??
S
偶
S
奇
?q.
?S
n
?q
n
?S
m
.
③S
n
,
S
2n
?S
n
,
S
3
n
?S
2n
成等比数列.
31、
a?b?0?a?b
;<
br>a?b?0?a?b
;
a?b?0?a?b
.
32、不等式的性质:
①
a?b?b?a
;②
a?b,b?c?a?c
;③
a?b?a?c
?b?c
;
④
a?b,c?0?ac?bc
,
a?b,c?0?a
c?bc
;⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
;
⑥
a?b?0,
c?d?0?ac?bd
;⑦
a?b?0?a?b
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
.
33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2
的不等式.
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式
??b?4ac
2
nn
?
n??,n?1
?
;
??0
??0
??0
..
..
. .
.
二次函数
y?ax?bx?c
2
?
a?0
?
的图象
有两个相异实数根
一元二次方程
ax?bx?c?0
2
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
一元二次
不等式的
解集
?b??
x
1,2
?
2a
有两个相等实数根?
x
1
?x
2
?
b
x
1
?x
2
??
2a
没有实数根
?
xx?x或x?x
?
12
?
a?0
?
ax
2
?bx?c?0
?b?
xx??
??
2a
??
R
?
a?0
?
?
xx
1
?x?x
2
?
?
?
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
37、二元一次不等式(
组)的解集:满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
,所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的
集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标平面的点<
br>?
?
x
0
,y
0
?
.
①若
??0
,
?x
0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?
C?0
的上方.
②若
??0
,
?x
0
??y0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y
0<
br>?
在直线
?x??y?C?0
的下方.
39、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
.
?x??y?
C?0
表①若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x
??y?C?0
上方的区域;
示直线
?x??y?C?0
下方的区域. ?x??y?C?0
表②若
??0
,则
?x??y?C?0
表示
直线
?x??y?C?0
下方的区域;
示直线
?x??y?C?0
上
方的区域.
40、线性约束条件:由
x
,
y
的不等式(或方程)组
成的不等式组,是
x
,
y
的线性约束条
件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
,
y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x
,
y
的一次解析式.
..
..
. .
.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?
.
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
41、设
a
、
b
是两个正数,则
几何平均数.
42、均值不等式定理: 若
a?0
,
b?0
,则
a?b?
2ab
,即
a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数,
ab
称为正数
a
、
b
的
2
a?b
?ab
.
2
a
2
?b
2
43、常用的基本不等式
:①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
;②
ab?
?
a,b?R
?
;
2
22
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?
③
ab?
?<
br>?
??
?
a?0,b?0
?
;④
?
?
a,b?R
?
.
222
????
44、极值定理:设
x
、
y
都为正数,则有
22
s
2
⑴若
x?
y?s
(和为定值),则当
x?y
时,积
xy
取得最大值.
4
⑵若
xy?p
(积为定值),则当
x?y
时,和
x?y
取得最小值
2p
.
..
..