高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结

必修四常考公式及高频考点
第一部分 三角函数与三角恒等变换

考点一 角的表示方法
1.终边相同角的表示方法：
所有与角终边相同的角，连同角在内可以构成一个集合：{β|β= k·360 °+α,k∈Z }
2.象限角的表示方法：
第一象限角的集合为{α| k·360 °<α第二象限角的集合为{α| k·360 °+90 °<α第三象限角的集合为{α| k·360 °+180 °<α第四象限角的集合为{α| k·360 °+270 °<α3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：
（1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k·360 °+α,k∈Z },其中α为射线与x轴非负半
轴形成的夹角
（2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k·180 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴非负半
轴形成的任一夹角
（3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k·90 °+α,k∈Z },其中α为直线与x轴
非负半轴形成的任一夹角
例：
终边在y轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k·360 °+270 °,k∈Z }
终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k·180 °+135 °,k∈Z }
终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k·90 °+45 °,k∈Z }
易错提醒：
区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角

考点二 弧度制有关概念与公式
1.弧度制与角度制互化
180??
?
，
1??
?
180?
?57.3?
，1弧度< br>?
180
?
2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）
n
?
R
?
?
R
, 其中
?
为弧所对圆心角的弧度数
180
1
n
?
R
2
1
?lR
= R
2
|
?
|, 其中
?
为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式：
S?
2
3602
1
2
易错提醒：利用S= R|
?
|求解扇形面积公式时，
?
为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数
弧长公式：
l?
2
规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“ 知二求二”，注意公式选取技巧

考点三 任意角的三角函数
1.任意角的三角函数定义
设
?
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点< br>P
?
x,y
?
，那么
sin
?
?
y
，
cos
?
?
x
，
tan
?
?< br>y
（
r?|OP|?
rrx
化简为
sin
?
?y,cos
?
?x,tan
?
?
x
2
?y
2
）；
y
.
x
2.三角函数值符号


规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切 、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号.
3.特殊角三角函数值

00
除此之外，还需记住15、75的正弦、余弦、正切值
4.三角函数线
y

终边 终边
y

P


T

P


O

M

A

x

M

O

正弦线
A

x

T

y

P

M


T

余弦线
正切线

y

M

O

O

A

x

A

P

T

x

终边
P

终边

经典结论：
(1)若
x?(0,
(2)若
x?(0,
?
2
)< br>，则
sinx?x?tanx

)
，则
1?sinx?cosx?2

?
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1

例： 11
在单位圆中分别画出满足sinα＝、cosα＝、tanα＝－1的角α的终边，并求角α的 取值集合
22
考点四 三角函数图像与性质
性
质

函

数
y?sinx


y?cosx


y?tanx

图象
定义域
R

R

?
?
?
?
xx?k?
?,k??
?

2
??
值域
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?
k??
?
时，
y
max
?1
；
2
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
y
max
?1
；
R

最值
2
既无最大值也无最小值
min
当
x?2k< br>?
?
?
?
k??
?
时，
y
周期性
奇偶性
在
?
单调性
??1
．
当
x? 2k
?
?
?
?
k??
?
时，
y
m in
??1
．
2
?

奇函数
??
?< br>2k
?
?,2k
?
?
?
?
k??
?
?
22
??
?
3
?
?
2k
??,2k
?
?
??
22
??
2
?

偶函数
?
?
?

奇函数
?
2
?
上是增函数；
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上是增函数 ；
在
?
??
?

k
?
?,k
?
?
2
在
?
?
k??
?
上是减函
在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?k??
?
上是减函
数．
对称中心
?
k
??
?
,0
?
?
?
2
?
?
k? ?
?
?
?
k??
?
上是增函数．
对称中心
?
k
?
,0
?
?
k??
?

?
?
2
?
?
数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
对称轴
x?k
?
?

?
2
?
k??
?

对称轴
x?k
?
?
k??
?

无对称轴

考点五 正弦型（y=Asin(ωx＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx＋φ) ）、正切性函数（y=Atan(ωx＋φ)）图像与性质

1.解析式求法
（1）y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或y=Acos(ωx＋φ)＋B解析式确定方法
字母
A
B

ω

φ
确定途径
由最值确定
由最值确定
说明
最大值－最小值
A＝
2
最大值＋最小值
B＝
2
相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝 对值为半个周期，最高点(或
最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为个周期
可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通
过解简单三角方程确定
由函数的周期确定
由图象上的特殊点确定

A、B通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路：
①φ求解思路：
代入图像的确定点的坐标.如带入最高点或最低点坐标，则或，求值．
易错提醒：y=Asi n(ωx＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>0，先利用诱导公式
进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+60)的初相是-60
②ω求解思路：
利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周 期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周
期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之 一.
2.“一图、两域、四性”
“一图”：学好三角函数，图像是关键。

易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x，不可针对-x或2x等.
例：
“两域”：
(1) 定义域
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解.
(2) 值域(最值)：
a.直接法（有界法）：利用sinx，cosx的值域.
b.化一法：化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函 数的值域(最值).
c.换元法：把sinx或cosx看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区 间上的值域(最值)问题.
例：
2
=asinx+bsinx+c
22
=asinx+bsinxcosx+ccosx
=(asinx+c)(bcosx+d)
=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c
“四性”：
(1)单调性
ππ
①函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ-<ωx+φ<2kπ＋，k∈Z解得, 单调递减区间由
22
π
2kπ+<ωx+φ<2 kπ＋π，k∈Z解得;
2
②函数y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2kπ+π<ωx+φ<2kπ＋2π,k∈Z解得, 单调递减区间由
2kπ<ωx+φ<2 kπ＋π，k∈Z解得;
00

ππ
③函数y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由kπ-<ωx+φ22
规律总结：注意ω、A为负数时的处理技巧．
(2)对称性
π
①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ＋(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得;
2
π
②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ＋(k∈Z) 解得;
2
③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得.
规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号.
(3)奇偶性
π
①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数?φ＝kπ(k∈Z)，函数y＝Asin(ω x＋φ)，x∈R是偶函数?φ＝kπ＋(k
2
∈Z)；
②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数?φ＝kπ＋
∈Z)；
kπ
③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数?φ＝(k∈Z)．
2
规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号.
(4)周期性
2π
函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，
|ω|
y＝Atan(ωx＋φ) 的最小正周期T＝

考点六 常见公式
常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用
1.同角三角函数的基本关系
π
.
|ω|
π
(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈ R是偶函数?φ＝kπ(k
2
sin
2
?
?cos
2
?
?1
；
tan
?
=
sin
?

cos
?
2.三角函数化简思路：“去负、脱周、化锐”
（1）去负，即负角化正角：
sin(-a)=-sina； cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；
（2）脱周，即将不在（0,2π）的角化为（0,2π）的角：
sin(2kπ+a)=sina； cos(2kπ+a)=cosa；tan(2kπ+a)=-tana；
（3）化锐，即将在（0,2π）的角化为锐角：
6组诱导公式
?
1?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin< br>?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
??
?tan
?
?
k??
?
．
?
2< br>?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
?
3
?
sin
?
?
?
?< br>??sin
?
，
cos
?
?
?
?
? cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan< br>?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
??
?
??tan
?
．
?
5
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos< br>?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?< br>．
?
2
??
2
?
?

?6
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
??sin
?
．
?
2
??
2
?
?
口诀：奇变偶不变，符号看象限. 均化为“kπ2±a”,做到“两观察、一变”。一观察：k是奇数还是偶数；二观察：
kπ2±a终边 所在象限，再由kπ2±a终边所在象限，确定原函数对应函数值的正负.一变：正弦变余弦、余弦变正
弦、正切利用商的关系变换. 其中公式（1）也可理解为终边相同角的三角函数值相同，公式（3）也可按照函数奇偶
性理解
3.两角和差公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
msin< br>?
sin
?
；
tan(
?
?
?
) ?
tan
?
?tan
?
,
1
m
tan
?
tan
?
4.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
；
cos2?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos2
?
?1?1?2sin
2
?
；
tan2
?
?
2tan
?
，
1?tan
2
?
二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式，当α=β时的特殊情况
倍角是相对的，如α是α的倍角，3α是α的倍角
5.升降幂公式
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
（升幂缩角）.
1?cos2
?
1?cos2
?
（降幂扩角），
cos< br>2
?
?,sin
2
?
?
22
6.辅助角公式
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在 象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan
?
?
7.半角公式
sin
ππ
b
，- <
?
<).
22
a
1?cosA1?cosA
AA
=±；cos=±
22
22
1?cosA
sinA
AA
1?cosA
=；t an==
1?cosA
sinA1?cosA
22
tan
8.其它公式
1+sin a =(sin
9.万能公式
aa
2
aa
2
+cos)；1-sin a = (sin- cos)
2222
aaa
1?(tan)
2
2tan
2< br>；cos a=
2
；tan a=
2
sin a=
aaa< br>1?(tan)
2
1?(tan)
2
1?(tan)
2
222
2tan
10.和差化积
a?b
a?ba?ba?b
cos；sin a-sin b = 2cossin
222
2
a?ba?ba?ba?b
cos a+cos b = 2coscos；cos a-cos b = -2sinsin
2222
sin(a?b)
tan a+tan b =
cosacosb
sin a+sin b=2sin
11.积化和差

11
[cos(A+B)-cos(A-B)]；cosAcosB =[cos(A+B)+cos(A-B)]
22
11
sinAcosB =[sin(A+B)+sin(A-B)]；cosAsinB =[sin(A+B)-sin(A-B)]
22
sinAsinB =-
12.三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4sin
?
si n(?
?
)sin(?
?
)
33
3
??
；
3tan
?
?tan
3
???
?tan
?
tan(?
?
)tan(?
?
)

cos3
??4cos
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(?< br>?
)cos(?
?
)
；
tan3
?
?
1?3tan
2
?
33
33
??
13.常见计算技巧
（1）简单的三角方程的通解
sinx?a?x?k
?
?(?1)
k
arcsina(k?Z,|a|?1)
.
cosx?a?x?2k
?
?arccosa(k?Z,|a|?1)
.
tanx?a?x?k
?
?arctana(k?Z,a?R)
.
特别地,有
sin
?
?sin
?
?
?
? k
?
?(?1)
k
?
(k?Z)
.
cos
?
?cos
?
?
?
?2k
?
?
?
(k?Z)
.
tan
?
?tan
?
?
?
?k
?
?
?
(k?Z)
.
（2）最简单的三角不等式及其解集
sinx?a(|a|?1)?x?(2k
?< br>?arcsina,2k
?
?
?
?arcsina),k?Z
.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?
?
?arcsi na,2k
?
?arcsina),k?Z
.
cosx?a(|a|?1) ?x?(2k
?
?arccosa,2k
?
?arccosa),k?Z.
cosx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?arccosa,2k
?
?2
?
?arccosa),k?Z
.
tanx?a(a?R )?x?(k
?
?arctana,k
?
?),k?Z
.
2
tanx?a(a?R)?x?(k
?
?
例：
1111
已知sinα>、cosα>、tanα>－1、sinα<- 、cosα<- 、tanα<－1,分别求出α的取值范围
2222
14.三角形中三角函数关系
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
?
?
?
2
,k
?
?arctana),k?Z
. < br>C
?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B)
.
222
；；tan(A+B)=-tanC;等．
15.三角函数化简的常用技巧
1.三角函数化简要做到“四看、四变”
(1)看 角、做好角的变换：观察角与角之间和、差、倍、互补、互余等关系，采取诱导公式、两角和差公式、倍角公式、
拼凑角等办法化简.
(2)看名、做好名的变换：利用同角三角函数基本关系实现弦切互化， 掌握弦的一次齐次式或二次齐次式化简方法
(3)看次数、做好次数的变换：利用升降幂公式实现扩角降次、缩角升次
(4)看形、做好形的变换：利用辅助角公式，统一函数形式
2.具体技巧
(1)遇分式通分、遇根式升幂.
(2)和积转换法
2
掌握sin α±cos α，sin αcos α化简方法，利用(sin α±cos α)＝1±2sin αcos α，“知一求二”．
(3)巧用“1”的变换
π
220
1＝sinθ＋cosθ＝＝tan45＝sin＝cos 0….
2

3.四种常见题型
给角求值、给值求值、给值求角，辅助角公式
若角的范围在（0,90），选择正弦、余弦函数均可；若角的范围在（0,180），选择余弦函数较 好；若角的范围在（-90,90），
选择正弦函数较好；





第二部分 平面向量

考点一 向量的有关概念
1.向量：既有大小又有方向的量，用黑体小写字母或用起点终点的大写字母表示
2.向量的模：有向线段的长度，|a|
3.单位向量：模为1的向量.与a平行的单位向量 ：±a|a|；与a同向的单位向量：a|a|；单位向量有无数个
4.零向量：模为0的向量，方向是任意的.注意实数0与向量0的区别
5.相等向量：长度相等、方向相同.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移
6.相反向量：长度相等、方向相反.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移
7.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，对长度不作要求
易错提醒： 1.有向线段与向量的区别：向量可用有向线段来表示，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应 着无数多
条有向线段. 向量只有两要素:方向和大小;而有向线段有三要素:起点、方向和大小 2.共线向量（平行向量）可重合，注意与直线平行的区别；不要单纯从字面上理解共线向量，注意与直线重 合的区别
3.规定零向量与任意向量平行；不可说零向量与任意向量垂直
4.零向量与单位向量的特殊性：长度确定、方向任意.a量不可以比较大小，如不能得出3i>2i

考点二 向量的线性运算
1.向量的加法法则
（1）平行四边形法则：共起点，指向对角线；起点相同、终点相同，首尾相连、路径不限
（2）三角形法则：首尾相连，可理解为“条条大路通罗马”
2. 向量的减法原则：起点相同、指向被减


1111

(a+b)= OC , (a-b)= BA
2222
两个向量共线只可用三角形法则；封闭图形、首尾相连、相加为零
3.向量的数乘运算
r
r
实数
?
与向量
a
的积叫做向量的数乘，记作
?
a
．其几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压 缩
（1）
?
a?
?
a

rr
r
r
r
r
r
r
（2）当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，?
a?0

与b的数量积运算
a·b=|
a
||b| cosθ=|a||b|cos=x
1
x
2
+y
1
y
2

（1）|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影
（2）a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积
（3）θ为a与b的夹角，0≤θ≤π
（4）零向量与任一向量的数量积为
0

（5）a·b=-b·a
（6）向量没有除法，“ab”没有意义,注意与复数运算的区别

（7）向量的加法、减法、数乘结果为向量，向量的数量积结果为实数
易错提醒：
向量的数量积与实数运算的区别：
（1）向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)
（2）向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c (a≠0)，推不出 b=c
（3）由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b
（4）|a?b|≤|a|?|b|

考点三 向量的运算律
1.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律：
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;
(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.

考点四 向量的坐标表示及坐标运算
1.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内 的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ
1
、λ
2< br>，使得a=
λ
1
e
1
+λ
2
e
2< br>．不共线的向量（隐含另一条件为非零向量，基底不唯一）e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
该定理作用：证明三点共线、两直线平行或两个向量a、b共线.
解题思路：可用两个不共线 的向量e
1
、e
2
表示向量a、b，设b=λa（a≠0），化成关于e1
、e 即f(λ) e
1
+g(λ)
2
的方程，
e
2
=0,由于e
1
、e
2
不共线，则f(λ)=0，g(λ) =0

2.向量的坐标表示
表示

(1)设a=
(x
1
,y
1
),b=
(x
2
,y
2
)
，则a+b=
(x1
?x
2
,y
1
?y
2
)

(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a-b=
(x
1
?x
2< br>,y
1
?y
2
)

(3)设

( 4)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a·b=|
a
||b|cosθ=x
1
x
2
+y
1
y
2

uuuruuuru uur
（5）设A
(x
1
,y
1
)
，B
( x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2?x
1
,y
2
?y
1
)

（6）
易错提醒：
公式（2）与公式（5）的区别
向量坐标与该向量有向线段的端点无关，仅与其相对位置有关
考点四 向量的常见公式
1.线段的定比分公式
uuuruuur
（1）定比分点向量公式：设
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)
是线段
P
1
P
2
的分点,
?
是实数，且
PP
1< br>?
?
PP
2
，则
?
的
?
x
1
?
?
x
2
uuuruuur
x?
uuur
?
OP
?
?
x?
?
x
2
y
1< br>?
?
y
2
?
1?
?
1
?
?
OP
2
,
OP?
坐标是
?
1
，即
?
?
?
1?
?
1?
?
1?
?
y ?
?
y
??
2
?
y?
1
?
1?< br>?
?

uuuruuuruuur
1
（）.
t ?
?(1?t)OP
?
OP?tOP
12
1?
?
（ 2）定比分点坐标公式：




，
2.三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则
u uur
2
uuur
2
uuur
2
（1）
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
uuuruuuruuu rr
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0< br>.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
uuu ruuuruuurr
（4）
O
为
?ABC
的内心
?aOA ?bOB?cOC?0
.
uuuruuuruuur
（5）
O
为< br>?ABC
的
?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.
3. A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)、C(x
3
,y
3
)三点共线
?
OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1
(x
1
-x
2
)(y
2-y
3
)= (x
2
-x
3
) (y
1
-y
2
)等
4. 向量的三角形不等式和方程
（1）∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；② 当且仅当a、b同向时，右边取等号
（2）∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；② 当且仅当a、b反向时，右边取等号
记忆规律：
（1）与（2）的几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
2222（3）∣a+b∣+∣a-b∣=2（∣a∣+∣b∣），该式几何意义为平行四边形对角线平方和等于四条 边的平方和
（4）a·b>0推不出a与b的夹角为锐角，可能为0；a·b<0推不出a与b的夹角 为钝角，可能为180

5.点的平移公式
''
uuur
uu u
r
r
uuu
??
?
x?x?h
?
x?x ?h
''
?OP?OP?PP
?
?
.
?
''< br>??
?
y?y?k
?
y?y?k
uuur
'
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形
F
上的对应点为
P(x,y)，且
PP
的坐标为
(h,k)
.
'
'''
6.“按向量平移”的几个结论
(1)点
P(x,y)< br>按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P(x?h,y?k)
.
(2)函数
y?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的函数解析式为
y?f(x?h)?k.
(3)图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,若
C
的解析式
y?f(x)
,则
C
的函数解 析式为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲线
C
:
f(x, y)?0
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C< br>的方程为
f(x?h,y?k)?0
.
(5)向量m=
(x,y)< br>按向量a=
(h,k)
平移后得到的向量仍然为m=
(x,y)
.
考点五 向量的的四种常见题型
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)

1. 两个向量的平行或共线关系：a
?
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
定a≠0是保证λ的唯一性和存在性
不可写为x
1
x
2
=y
1
y
2

2.两个向量的垂直关系 a
?
b
?
a
·b=0
?
|
a
||b|cosθ=0
?x
1
x
2
? y
1
y
2
?0
（对应相乘和为零）
3.两个向量的夹角公 式：
cos
?
?
''
''
''
'
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2< br>1
2
1
2
2
2
2
2
,其中θ为a
与b的夹角
4.两个向量的模运算：若
a?
?
x,y
?
，则
a?x?y
或
a?
2
r
r
22
r
x
2
?y
2

（a±b）=a±2ab +b,（a+b）（a-b）=a-b
2222

解题技巧：
1.如向 量用模表示，且已知两个向量的夹角，遇模，先平方后开方，如
?
a?wb?
2.如向 量用坐标表示，遇模不平方，直接按照坐标运算
?
?
a?wb
?
2