必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结 2

三角函数知识点总结

1、任意角：
正角： ；负角： ；零角： ；

?
??
为重合，终边落在第几象限，则称重合，角的始边与、角2 的顶点与


第几象限角．
第一象限角的集合为


第二象限角的集合为


第三象限角的集合为


第四象限角的集合为


x轴上的角的集合为 终边在

终边在轴上的角的集合为
y

终边在坐标轴上的角的集合为

?
?
终边相同的角的集合为 3、与角

?
??
?
?n?
n等份，4、已知所在象限的方 法：
*
先把各象限均分是第几象限角，确定

n
?
x原来是 第几象再从轴的正半轴的上
方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则
?
限对应的标号即为终边所落在的
区域．

n 叫做弧度．5、 1

??
所对弧的长为，则角．6、
半径为的圆的圆心 角的弧度数的绝对值是
r
l
7、弧度制与角度制的换算公式：



??
??
为弧度制，则8、若扇形的圆心角为，周长为，面积为，半径为， 弧长为
SC
r
lS=
l= ．

??
??
y,x，它与原点的距的终边上任意一点、设的坐标是是一个 任意大小的角，

9?
??
yyx
，0rr?x?y?

??
22
???
??cos0?tansin?x
，则， 离是．

xrr
、
三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限 正弦为正，第三象限正切
10 为正，第四象限余弦为正．??? ．，11、三角函数线：，
?????sin????costan
(1) ;
、同角三角函数的基本关系：12

(2) ;(3)



、三角函数的诱导公式：
13
??????????
????? ????
???k?tan?tan?sin2k1sink2cos?k2?cos．，，
?
????????
?????????
sin?2sin??tan??tanco s?cos??．， ，
????????
??????
tan?tansin3si n???cos??cos??．，，


1



?
????????
?????????
，，．tancos????tan??sin4?sin?cos 口诀：函数名称不变，符
号看象限．??
????
??
???? ，．
sincos?cos??5?sin????
22????
??
????
??
???? ，．
sin?cos6?cos??sin?????



22????
口诀：奇变偶不变，符
号看象限． 重要公式
?? ??
????????????
sinsincoscossin?coscos?sin?? cos?cos?
；
⑵；⑴
????
????????????
s insincossincossin?sin?cossin??cos??
；⑷⑶；
< br>??
tantan?
??????
????????
?tan?tan ?tantan1?tan??tan
）；⑸（
??
tan1?tan
??
tantan?
??????
????????
??tantan??tan 1tan??tantan
⑹．（ ）

??
tan?tan1
二 倍角的正弦、余弦和正切公式：
2222
?????
???2sin?2coscos 21?cos???sin1?
cos?2sinsin2
(2)

⑴．
?
tan2??
2?2coscos?11
?
22
???t an2
??sincos
．．⑶（，）
2
?
tan?1
22
公式的变形：
????????
tan?tantan?tan(1??)tan?
，

??????
cos1?coscos1sin?1???costan????
；

???
22sincos1?21?cos
辅助角公式
?
?

??
22
?????
???sin???c os??sin?tan
，其中．


?
14、函数的图象上所有点

得到函数
xsy?in


??
??
?xns?y?i的图象．


2



?
????
???
的性质：15.函数 0x?0,?siny??????
21
?
??
???f?
． ；频率：；；振幅：；周
期：相位：初相：?
?x
⑤②③④①

??
2?
??
??
，当函数时，取得最小值为 ；
当时，取 得最大By??sin??x
yx?xxx?
min21
11?
??????
??x??yx?x??yyx??y
，则．， ，值
为
y

2minminmax211maxmax
222
16、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：



xy?sin

6
1?
2
Ａ．
y
xcosy?
3
2

y

x?ytan

函数 性质
?6
1??
图象
1
??
定义域

，
值域
最值
周期性
奇偶性
单调性





1
?


??












对称性

3



三角函数题型分类总结
一．求值
?sin330585sin
=

o
1= = 、°tan690
是第四象限角，2、（1）(07全国Ⅰ
若（2）

5
则
则3、
设，若

12
?
?
?
?cos?sin
) ，则

134
???
0,sintan????cos
. ，则（09北京文）
，

?
15
?
??
?
?
cos
)cos()sin(???
= = (4) 是第三象限角，

22

5

245

452


??
3

5
44
???
,sin?cossin?
= . 已知 (1) (07陕西)

???
)?(0,)??2cos(sin = .，则(2)（04全国文）
（06福建）已知= 则

??
3
????
)???(,,),sintan(
（3）
值为4（07重庆）

2
22222
??cos152sin15
））

3的是( ) 下列各式中，
（B）（A）（D（C?15?1sin15???15?? sincos2sin1515?cos
sin15cos75?cos15sin105
=
5. (1)(07福建)




oooo
cos167?sincos4343cos77
= 。 (2)（06陕西）
sin163sin223?sin253sin313?
）。 （3

1

，则sin 2θ= cossinθ＋θ＝6.(1) 若

5
为 ）已知 （2 x2sin?)sin(?x

54
??
cossin?
?
2tan?
=
若则 , (3)

?3，则的值


??
cossin?


??
?cos
2tan2)?P(1，
= =

??
3
?
?
?
?||?cos()?
＝ （8．07浙江）的终边经过点，则北京）若角7. （08

已知 ，且，则tan

222
则

?
2cos2
??
sincos???
= 若9.，

π2??


?
?sin??

4??
4



）重庆文）下列关系式中正确的是 （1 0.
（09
000000
cos10?sin11?cos10sin11??sin 168sin168

A．． B
000000
sin11 cos10??sin11?sin168cos10sin168?
D．． C
?< br>3
22
???
?)cos(?cossin?
．已
知11 ） ，则 （ 的值为

5279716??
． DC． A． B． ，则cos（θ－）

25252525??
12 ）
的值为 θ12．已知sinθ=－，∈（－（ ，0）

D．C．－

427
B． A ．－ （ f（sin30

26262626 ）

13．已知f（cosx）=cos3x，则

3
1 D．－． C．0 1 A． B
B?

2
22－= sin )的值是 ( y) 14．已知sinxy，cosx
－cos= ，且x，－y为锐角，则tan(x－y

335 D．． － A． C．±

28555
oo
)
( 15．已知tan160 ＝a，则sin2000的值是
11aa D.－C. A. B.－
2222
aa＋1＋a11＋a1＋
( )
16.
xcos
xsin
xcottanx
（Ｄ） （Ｂ） （Ａ）（Ｃ）
2
??
?xcostanx?cotx


?????
3cos,sin?2?0?

( ) 17.若的取值范围是：，则
???????
34?????????
,,,,
（Ｄ） （Ｂ） （Ｃ） （Ａ）
????????

3232333????????ππ47?α的值是)则sin(3,

( ) =α已知（α-）+sin

665442323
（B） （A）- (C)-
(D)

5555

tana,?5?2sina?cosa
=
（ 19.若则）


11
?
?2
D）2 （C） （ （A）B （）

D.
C. 2 B.
= A. 20.
5



22

0
70?sin3123


02
210cos2?22


最值二.
xcos)?sinxf(x
。 1.（09福建）函数最小值是=
x??sinxcosf(x)
2.①（08全国二）．函数。 的最大值为



?
xfx x

+sin((+)的最大值是＝3sin)②（08上海）函数

2

?



?0?x)xf(
x)costanxf(x)?(1?3
的最大值为09，江西）若函数，则③（

2
x2sin2x?f(x)?cos
。 最大值为 的最小值为 3.（08海南）函数


2
x2x?y?2cossin
. 的最小值是4.（09上海）函数


43??
??
??
??
?
,?0)f(x)?2sin?x(
2?
的最年福建）已知函数5．（06在区间上的最小值是，则
??
小值等于

0x?
的最小值为，则函数6.（08辽宁）设 ．
??

2
1x?2sin????y，

xsin22??

?
xx xf
的最大值是＝3sin7.函数)( +sin()+

2

y?sinx? 3cosx
的图像向右平移了8n．将函数个单位，所得图像关于y轴对称，则n
的最小正值是

7ππππ
B． A． C． D．

6362
x?a

MN
NM，

23

xg(x)?cosf(x)?sinx
的最的图像分别交于 与函数两点，则9.若动直线和
DC ．1 大值为（ ） A． B．．2
?
??
x+θ）在（y=sinx=2时有最大x+θ）cos（值，则θ的一个值是 函10．数
D B．． C．（ ） A．
4324
??
??

22
????
32




42??

2
,
scosi)s?ixnxn3x?f(x
上的11.函数最间大值是在 区
??

3
( )A.1 D.1+ C. B.

331?


22
42
y?7?4si nxcosx?4cosx?4cosx
的最大值与最小值。 12.求函数


6



三.单调性
?
??
]),[0)2x(xy?2sin(??为增函数的区间是 （ ）1.（04天津）函数.
6
?????
?
557
?
][0,,][][,][, C. A. B. D.









36121236


y?sinx
的一个单调增区间是 （2. ）函数
?
???3???3?????????，?，，?，2?
．D B．． C． A
????????
??????????????
（ ）3.函数
?

?
,0])[?x(x?x)?sinx?3cosf(
的单调递增区间是
????
?
55
?
[?,0][?,0]][??,][?,? C． B．A． D．

36666

（07天津卷），则
??

???
)xf(
f(x)?sinx(x?R)?
设函数 4 （ ） ．
3??
2?7??????，?，??
上是减函数 A．在区间 B．在区间上是增函数
????

236???????5?????，，
D．在区间上是减函数C．在区间上是增函数
????

4363????
2
y?2cosx
的一个单调增区间是5.函数
( )
?




??
????
3
?
),)((0,)(,,)(?
D C． B．．A．

224444
??)((，)= ff(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f(x)6．若 函数f同时具有以下两个性质：
①
x?x?

44
则f(x)的解析式可以是
（ ）
?
??
??
) D．C．f(x)=sin(4xf(x) =cos6x (x)=cos(2x．Af(x)=cosx B．f)



22
周期性.四
?

的是 （下列函数中，周期为江苏卷） ） ．1（07
2xxy?siny?cosy?xcos4x2y?sin
． B C．A． D．

24
?
?
????
?
??
?xx?fcos0?
= ，则，其中2.（08江苏）的最小正周期为
??

x||siny?.
）全国）函数043.（ 的最小正周期是（
7



6
5
??

2


xcossinxf(x)?. 的最小正周期是4.（1）（04北京）函数
（04江苏）函数的最小正周期为（

（2）

2
)Rx?x?1y?2cos(. ）
x2?cos?sin2xf(x)
的最小正周期是1）函数5.（





xx)cos(1?3tanf(x)?
江西文）函数09(2)（的最小正周期为
xx)sin(sinx?cosf(x)?
．(3). （08广东）函数的最小正周期是
f(x)?cos2x?23sinxcosx的最小正周期是 04年北京卷.理9 ）函数. (4)（
?
2
)?x?1y?2cos(
是 ( )
6.(09年广东文)函数

4
??
的偶函数最小正周期为 的奇函数 B. A．最小正周期为
??

22
2
y?(sinx?cosx)?1

2311(A)2
的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为
的最小正周期是 7.（浙江卷2）函数 .


x1
2
的周期与函数的周期相等，则等于（ 8．函数 ） wtan?g(x)0)wx(w?f(x)??cos

(B)1 (C) ( D)

24五.对称性
?
?
)?sin(2xy?
图像的对称轴方程可能是 （1.（08安徽）函数 ）

3
??
?
?
?x?x??x??x
BA．．． C． D

126126
?
?x
对称的是
2．下列函数中，图象关于直线 （ ）

3
????
x)y?x?sin(?)y)?xy?sin(2?sin(2x?y)?sin(2
A B C D

66326π
???xy?sin2
的图象（07 （ 福建）函数 ） 3．
??

3??
ππ??x?，0
Ｂ．关于直线对称 对称 Ａ．关于点
??

43??ππ??x?，0
Ｄ．关于直线
对称Ｃ．关于点对称
??

（全

34??
?
4
?
?

0)(,)?3cos(2xy?
的最小值为 的图像关于点094.

国）如果函数中心对称，那么

3
????
(B) (A) （ ） (C) (D)


8



6432

?
?
2的值为y+2=0的相邻两个公共点之间的距离为 ，则w5．已知函数y=2sinwx的图象与直线

3132 ． D（ ）A．3 B． C．

323 .图象平移与变换六
?
的g(x)y= g(x)y1.（08
福建）函数=cosx(x∈R)的图象向左平移的图象，则个单位后，得到函数

2
解析式
为

?

31


2
?
Rx?xy?sin
个单位长度，再把所得2.（08天津）把函数）的图象上所有点向左 平行移动（
倍（纵坐标不变）图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到的图象所表示的函数是

?
x2y?sin
所得图象的函数,再向上平移1个单位的图象向左平移3.(09山 东)将函
数个单位,

4
解析式是

?
???
)(x?)(
?
的0 y=sin的单位后，得到函数＜湖南)将函数y=sinx的图象向左平移24.(09

6
?


?
)2x?y?sin(x2?siny
5．要得到函数 平移 个单位的图象向
的图象，需将函数

4
只需将函数的图像6 （2）（全

π????cos2xyxsin2y?
的图像，
国一8）为得到函数
??

3??
向 平移 个单位

?
)x?y?sin(2xcos2y?
平移）为了得到函数（3 的图象向的图象，可以将函数

6


个单位长度

?
图象，则等于
?
?
)w?0)(x?R(fx)?si n(wx?,)x?f(y
将天津卷文）7.（2009已知函数的最小正周期为，

4
?
?
||

是个，则值的一所得图像关于y 轴左的图像向平移对称位个单长度，
????
3
C A
D B

8842
= 3 cos x－sin x 的图象向左平移 m（8.将函数 ym > 0）
个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是 （ ）
?
????
52 A. B. C. D.

） （


线， （x）sinx的图象向右平移y=f11．将函数

6336
?
个单位，再作关于x轴的对称曲

4
是x－数xf，图的到得函象则（）y=12sin
2


9



A．cosx B．2cosx C．Sinx D．2sinx

七.图象

ππ????π，?sinx?2y
是间的简图海南卷）函数在区、宁1．（07夏
????

（ ）

32????

yy

1

1

?

?
?

xx
?
O

?
?
?
3
?
O
?
?
?

Ｂ．


?
x
?
O< br>?
x
6?
O
??
??

?

1?
6
3
2
?1
3
2
Ｃ． Ｄ．


数函系中，面直角坐标2（浙江卷7）在同一平
?
13x



?
?y])?y?cos([0，2?)(x
的交点个数的图象和直线

222
4
）（D（C）2 ）是（A0 （B）1
的图像如下：]2π>0)在区间[0，3.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω ）=
那么ω（ B. 2 A. 1
D. 13 C. 12


20064．（年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
）（
?

??
?????xy?xy?sin2?sin
） （A （B）
????

66????
??
????

（C （）D
????

?y?x?cos2xy?cos4
）

63????
????
,A,)?xAy?sin(
为常数， 20095.

?
（江苏卷）函数（
??
,0][?0?A?0,< br>则示，图象闭）在区间如图所的上
?
= .
??

已知函数（20096.
?
7???f
。 如图所示，则
??

)x2sin(?f(x)?
的图像宁夏海南卷文）

12??

在区间∈)(＋sin(＝下图是函数天津．7(2010·)yAωxφxR)

10


5ππ
??
，－ 上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象
上所有的点

??
66π1 ，纵坐标不变A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标
缩短到原来的

23π 倍，纵坐标不变．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长
到原来的2B

3π1 ，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原
来的

26π 倍，纵坐标不变．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的
2D

6ππ
????
＋2x－2xsiny＝国Ⅱ)为了得到函数 的图象 图的象，只需把函数y＝sin
8．(2010·全

????
63ππ B．向右平移个长度单位个长度单位 A．向左平移

44
ππ D．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位

22π
??
|<>0ω，|φ)φy＝sin(ω
x＋ 9．(2010·重庆)已知函数 的部分图象如图所示，则

??
2ππ φ＝－ω＝1，

＝ B．φ A．ω＝1，

66


ππ 2，φ ＝－D．ω＝C．ω＝2，φ＝

66ππ
????
－－xxsiny＝ ，则下列判断正确
的10．已知函数cos

????
1212 是
π
??
0，，其图象的一个对称中心是2π A．此函数的最小正周期为

??
12π
??
0，，其图象的
一个对称中心是 B．此函数的最小正周期为π

??
12π
??
0， 2π，其图象的一个对称中心是
C．此函数的最小正周期为

??
6π
??
0， ，其图象的一个对称中心是．此函数的最小正周期为
Dπ

??
6π)
( ＝－x＋acos2x的图象关于直线x对称，则实数a的值为 sin211．如果函数y＝

81
D ．－1 B ．－2C． A.2π
??
－ωx3sin＝(已知函数fx)福建的图象的对称轴完
全相φ＝(x)2cos(2x＋)＋112．(2010·)g>0)(ω和

??
6π
??
，0∈同．若 x________)(，则fx的
取值范围是．

??
2

11


1Ay轴右侧所有的对称中心从左依次为πx的图象位于Ac os.则A，…，A，…，13．设函数y
＝

502n1
2 ______ __．的坐标是π
??
＋xcos＝14．把函数y，所得图象关于y轴对称，则m的最
小值的图象向左平移m个单位(m>0)

??
3 ________．是，≤1} x≤y，N＝{y|cos2π}∈B}．已
知集合M＝{x|0≤x≤A定义集合15．A，B的积A ×B＝{(x，y)|x∈，y ________．×N所对应
的图形的面积为则M若方程3sinx ＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解x16.、x，求a的取
值范围，并求x＋x2121
的值．
17．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值


π1
??
.
，其图象经过点M是1

??
23 的解析式；(x)(1)求fπ123
??
，0∈，β)的(2) 已知αβ)＝，
求f(α－β)，且f(α＝，f(

??
2135 值 ．ππ111
????
2
，＋φsin－xcosφ)＝sin2xsinφ
(0<φ<π)，其图象过点＋cos. 18．(2010·山东)已知函数f(x

????
26222 φ的值；
(1)求1
xygyfx
的＝()) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数(2)将函数(＝

2π
??
，0
xg
)在图象，求函数(上的最大值和最小值．

4
??




综合九..
?
)(xff(x)
，1. （04 年天津）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正
周期是
?
?
5()f]?[0,xxx)?sinf(
，则 的值为 且当 时，

32


??xfxx
22
sinsin 是f(x)函数年广东．2(04)）?（）???（）（

44
??
的奇函数 B．周期为 A ．周期为的偶函数
?
?
?
C 周期为 2周期为． 的偶函数．D.2的奇函数

12



?
?
)(x??R)sin(f(x)?x
，下面结论错误3．（ 09四川）已知函数的是 ．．

2
?
?
)xf()(xf
］上是增函数， B. 函数 在区间［的最小正周期为20 A. 函数

2
x
f(xx))f(
是奇函数函数的图象关于直线 C.函数＝0对称 D.
?
?
)?sin(2xf(x)?3
C
, 如下结论中正确的是函数的图象为 4．(07安徽卷)

3

?
211
?
(,0)?x
C
对称;
对称①图象; 关于直线②图象C关于点

312
??
5f(x)在区间(?,
)内是增函数;
③函数

1212
?
x23siny?
个单位长度可以得到图象C. 的图象向右平移④由

3
2
x,x??cos2x)sinRf(x)?(1
f(x)
是 （ ），则 5.（08广东卷）已知函数
?
?
的奇函数 B、最小正周期为A的奇函数 、最小正周期为

2
?
?
C、最小正周期为、
最小正周期为的偶函数 D的偶函数

2
?
13x
?
?y?y2])?cos()(x?[0，
在同一平面直角坐< br>标系中，函数6.的图象和直线的交点个数（ ）0 （B）1 （C）

222
是
2 （D）4
?
??
是 cos<0，则7．若α是第三象限角，且

22
A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角
?
?????
f())x(xf()?f??
x
)(fx)?2sin(?x
等 于对任意有都 ，则知8．已函数
666
2?2?
0 0 BA、2或、C或2 、0 D、或
十.解答题
?????
?||0?),??f(x)sin(x
，20096.（福建卷文）已知函数其中

2
??
?
??
?
0,sincos,??sincos
的值；（ I）若 求

44

?
f()xx)f(
求

3
mm
)(fx

函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于的条件下，I（）若函数，在 （Ⅱ）
个单位所对应的函数是偶函数。的解析式；并求最小正实数， 使得函数的图像象左平移
13

π??
（7.已知函数
??

2??
?
（Ⅰ）

2
???
?π
0??x?3sinx)?sinxxsinf(
）的最小正周期为．
求的值；
π2??，0)f(x
在区间上的取值范围．（Ⅱ）求函数
??


2
?
（Ⅰ） 求
3??
?
2
???
?1xcosinsf(x)?2co?xx? 2s
0?xR,?
．（8.知函数）的最小值正周期是
的值；
x
)x)f(xf(
的集合．取 得最大值的（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使
???
)?)sin(x)?2sin(x?(f x)?cos(2x?
9.已知函数

443)xf(
的最小正周期和图象的对称
轴方程（Ⅰ）求函数
??
]?[,)xf(
上的值域（Ⅱ）求函数在区间

212
??????
),0??)(03s in(?x??)?cos(πx
xfy＝fx
)为偶函数，且函数(()10.已知函数＝< br>π.
图
（Ⅰ求）的值；

8π
xyf
的图象向右平移（Ⅱ）将函

2π
f
（
数个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原(＝)

6
xgxgy
.
象的两相邻对称轴间的距离为
))的图象，求的 单调递减区间来的4倍，纵坐标不变，得到函数(＝
(
????b??af(x),x)b?( cosxcosx)cosa?(3sinx,
。，11.已知向量，记函数
)(xf
的最小正周
期；1（）求函数
x
)xf(
的值。（2）求函数的最大值，并 求此时
44
xcoscosx?x?23sinxy?sin的最小
正周期和最小值； 并）求函数.12（04年重庆卷文理17
?
],[0的单调递增区间写出该函数在.
?
?????
??0,0?A?0,R),?x?f(x)Asin(x?
） 200914.（陕西卷文）已知函数（其中
且图象上一个最低点为的周期为

3
?
]?[0,xf()x)xf(
的最值.
，求（Ⅱ）当求) (Ⅰ的解析式；

12


2
?
2
?
,?M(2)
. ，


14