高中数学复数代数形式的乘除运算笔记-高中数学业务工作表现

《数学》必会基础题型——《平面向量》
【基本概念与公式】
【任何时候写向量时都要带箭头】
uuur
r
1.向量:既有大小又有方向的量。记
作:
AB
或
a
。
uuurr
2.向量的模:向量的大小(
或长度),记作:
|AB|
或
|a|
。
r
r
3.
单位向量:长度为1的向量。若
e
是单位向量,则
|e|?1
。
r
r
4.零向量:长度为0的向量。记作:
0
。【
0
方向是任意的,且
与任意向量平行】
5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。
6.相等向量:长度和方向都相同的向量。
uuuruuur
7.相反向量:长度相
等,方向相反的向量。
AB??BA
。
8.三角形法则:
uuuruuu
ruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
AB?BC?AC<
br>;
AB?BC?CD?DE?AE
;
AB?AC?CB
(指向被减数)
9.平行四边形法则:
rrrr
rr
以
a,b
为邻边的
平行四边形的两条对角线分别为
a?b
,
a?b
。
rrrr
rrrr
10.共线定理:
a?
?
b?ab
。当
?
?0
时,
a与b
同向;当
?
?0
时,
a与b反向。
11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。
r
r
r<
br>r
2
r
r
r
2
r
2
22
1
2.向量的模:若
a?(x,y)
,则
|a|?x?y
,
a?|a|
,
|a?b|?(a?b)
rr
rrrr
a?b
13.数量积与夹角公式:
a?b?|a|?|b|cos
?
;
cos
?
?
rr
|a|?|b|
rrrrrrr
r
14.平行与垂直:
ab?a?
?
b?x
1
y
2
?x
2
y
1
;
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
题型1.基本概念判断正误:
(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。
(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。
(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。
uuuruuur
(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是
AB?CD
。
uuuruuur
(5)若
AB?CD
,则A、B、C、D四点构成平行四边
形。
(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。
rrrrrr
(7)若
a
与
b
共线,
b
与
c
共线,则
a
与
c
共线。
rrrr
(8)若
ma?mb
,则
a?b
。
.
rr
(9)若
ma?na
,则
m?n
。
rrrr
(10)若
a
与
b
不共线,则
a
与
b都不是零向量。
rr
rrrr
(11)若
a?b?|a|?|b|,则
ab
。
rr
rrrr
|a?b|?|a?b|
(
12)若,则
a?b
。
题型2.向量的加减运算
rr
rr
1.设
a
表示“向东走8km”,
b
表示“向北走6km”,则
|a?b|?
。
uuuruuuruuuruuuruuuur
2.化简
(AB?MB)?(BO?BC)?O
M?
。
uuuruuuruuur
3.已知
|OA
|?5
,
|OB|?3
,则
|AB|
的最大值和最小值分别为
、 。
uuuruuuruuur
uuurruuurr
uuuruuur
4.已知
AC为AB与AD
的和向量,且
AC?a,BD?b
,则<
br>AB?
,
AD?
。
uuuruuuruuu
uuur
uuur
3
uuur
r
5.已知点C在
线段AB上,且
AC?AB
,则
AC?
BC
,
AB?
BC
。
5
题型3.向量的数乘运算
rrrrrrrr
rr
1.计算:(1
)
3(a?b)?2(a?b)?
(2)
2(2a?5b?3c)?3(?2a?3b?2c)?
r
r
r
1
r
2.已知
a?(1,?4),b?(?3,8)
,则
3a?b?
。
2
题型4.作图法球向量的和
rr
r
1
rr
3
r
已知向量
a,b
,如下
图,请做出向量
3a?b
和
2a?b
。
22
r
a
r
b
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
uuuruuur
uuur
AC
表示
AD
。 1.已知在<
br>?ABC
中,
D
是
BC
的中点,请用向量
AB,uuuruuur
uuur
r
uuur
r
2.在平行四边形ABCD
中,已知
AC?a,BD?b
,求
AB和AD
。
题型6.向量的坐标运算
uuur
1.已知
AB?(4,5)<
br>,
A(2,3)
,则点
B
的坐标是 。 uuur
2.已知
PQ?(?3,?5)
,
P(3,7)
,则点
Q
的坐标是 。
rrr
3.若物体受三个力
F
1
?(1,2)
,
F
2
?(?2,3)
,F
3
?(?1,?4)
,则合力的坐标为 。
.
r
r
r
r
r
r
r<
br>r
4.已知
a?(?3,4)
,
b?(5,2)
,求
a?b
,
a?b
,
3a?2b
。
uuurr
5.已知
A(1,2),B(3,2)
,向量
a?(x?2,x?3y
?2)
与
AB
相等,求
x,y
的值。
uuuruuuru
uur
uuur
6.已知
AB?(2,3)
,
BC?(m,n),
CD?(?1,4)
,则
DA?
。
uuuruuur
r
uuur
7.已知
O
是坐标原点,A(2,?1),B(?4,8)
,且
AB?3BC?0
,求
OC
的坐标。
题型7.判断两个向量能否作为一组基底
uruur1.已知
e
1
,e
2
是平面内的一组基底,判断下列每组向量是
否能构成一组基底:
uruururuururuuruurururuuruururuuruur
ur
A.
e
1
?e
2
和e
1
?e
2
B.
3e
1
?2e
2
和4e
2
?
6e
1
C.
e
1
?3e
2
和e
2<
br>?3e
1
D.
e
2
和e
2
?e
1
r
r<
br>2.已知
a?(3,4)
,能与
a
构成基底的是( )
3443344
A.
(,)
B.
(,)
C.
(?,?)
D.
(?1,?)
5555553
题型8.结合三角函数求向量坐标
uuur
uuur
o
1.已知
O
是坐标原点,点
A
在第二象限,
|OA|?
2
,
?xOA?150
,求
OA
的坐标。
uuur
uuur
o
2.已知
O
是原点,点
A
在第一象限,
|OA|?43
,
?xOA?60
,求
OA
的坐标。
题型9.求数量积
r
r
r
rrr
r
r
r
o
1.已知
|a|?3,|b|?4
,且
a
与<
br>b
的夹角为
60
,求(1)
a?b
,(2)
a?(a
?b)
,
r
r
r
r
r
1
rr
(
2a?b)?(a?3b)
。 (3)
(a?b)?b
,(4)
2
r
r
r
rr
r
rr
r
2.已知
a?(2,?6),b?(?8,10)
,求(1)
|a|,|b|
,(2)
a?b
,(3)
a?(2a?b)
,
r
r
r
r
(4)
(2a?b)?(a?3b)
。
题型10.求向量的夹角
r
r
r
r
r
r
1.已知
|a|?8,|b|?3
,
a?b?12
,求
a
与
b
的夹角。
r
r
r
r
2.
已知
a?(3,1),b?(?23,2)
,求
a
与
b
的夹
角。
.
3.已知
A(1,0)
,
B(0,1)
,
C(2,5)
,求
cos?BAC
。
题型11.求向量的模
rr
rr
r
r
r
r
o
1.已知
|a|?3,|b|?4
,且
a
与
b
的夹角为
60
,求(1)
|a?b|
,(2)
|2a?3b|
。
r
rr
r
r
r
r
1<
br>r
2.已知
a?(2,?6),b?(?8,10)
,求(1)
|a|
,|b|
,(5)
|a?b|
,(6)
|a?b|
。
2
rr
rrr
r
|b|?2
,
|3a?2b|?3
,求
|3a?b|
。 3.已知
|a|?1,
r
r
r
a
题型12.求单位向量
【与
a
平行的单位向量:
e??
r
】
|a|
r
1.与
a?(12,5)
平行的单位向量是
。
1
r
2.与
m?(?1,)
平行的单位向量是
。
2
题型13.向量的平行与垂直
r
r
r
r
r
r
1.已知
a?(6,2)
,
b?(?3,m)
,当
m
为何值时,(1)
ab
?(2)
a?b
?
r
r
r
r
r
r
2.已知
a?(1,2)<
br>,
b?(?3,2)
,(1)
k
为何值时,向量
ka?b与
a?3b
垂直?
r
r
r
r
(2)
k
为何值时,向量
ka?b
与
a?3b
平行?
r
r
r
r
r
r
rr
r
r
3.已知
a
是非零向量,
a?b?a?c
,且
b?c
,求证
:
a?(b?c)
。
题型14.三点共线问题
1.
已知
A(0,?2)
,
B(2,2)
,
C(3,4)
,求证
:
A,B,C
三点共线。
.
uuur
AB?
2.设
ruuurrruuu
rrr
2
r
(a?5b),BC??2a?8b,CD?3(a?b)
,求证
:
A、B、D
三点共线。
2
uuurrruuurr
ruuurrr
3.已知
AB?a?2b,BC??5a?6b,CD?7a?2b
,
则一定共线的三点是 。
4.已知
A(1,?3)
,
B(8,
?1)
,若点
C(2a?1,a?2)
在直线
AB
上,求
a
的值。
uuuruuuruuur
5.已知四个点的坐标O(0,0)
,
A(3,4)
,
B(?1,2)
,
C(
1,1)
,是否存在常数
t
,使
OA?tOB?OC
成
立?
题型15.判断多边形的形状
uuurruuurr
uuur
uuur
1.若
AB?3e
,
CD??5e
,且
|AD|?
|BC|
,则四边形的形状是 。
2.已知
A(1,0)
,
B(4,3)
,
C(2,4)
,
D(0,2)
,证明四
边形
ABCD
是梯形。
3.已知
A(?2,1),
B(6,?3)
,
C(0,5)
,求证:
?ABC
是
直角三角形。
uuuruuuruuur
4.在平面直角坐标系内,<
br>OA?(?1,8),OB?(?4,1),OC?(1,3)
,求证:
?ABC
是等腰直角三角形。
题型16.平面向量的综合应用
r
r
r
r
r
r
1.已知
a?(1,0)
,
b?
(2,1)
,当
k
为何值时,向量
ka?b
与
a?3b平行?
r
r
r
r
r
2.已知
a?(3,5)
,且
a?b
,
|b|?2
,求
b
的坐标。
rr
rrr
r
3.已知
a与b
同向,
b?(1,2),则
a?b?10
,求
a
的坐标。
r
r
rr
rr
3.已知
a?(1,2)
,
b?(3,1)
,
c?(5,4)
,则
c?
a?
b
。
r
r
r
rr
r
4.已知
a
?(5,10)
,
b?(?3,?4)
,
c?(5,0)
,请将用向
量
a,b
表示向量
c
。
.
r
r
r
r
5.已知
a?(m
,3)
,
b?(2,?1)
,(1)若
a
与
b
的夹
角为钝角,求
m
的范围;
r
r
(2)若
a
与b
的夹角为锐角,求
m
的范围。
r
r
r
r<
br>r
r
6.已知
a?(6,2)
,
b?(?3,m)
,
当
m
为何值时,(1)
a
与
b
的夹角为钝角?(2)
a
与
b
的夹角
为锐角?
7.已知梯形ABCD
的顶点坐标分别为
A(?1,2)
,
B(3,4)
,<
br>D(2,1)
,且
ABDC
,
AB?2CD
,
求点<
br>C
的坐标。
8.已知平行四边形
ABCD
的三
个顶点的坐标分别为
A(2,1)
,
B(?1,3)
,
C(3,4)
,求第四个顶点
D
的坐标。
9.一航船以5kmh的
速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成
30
o
角,求
水
流速度与船的实际速度。
10.已知
?ABC
三个顶点的坐标分别为
A(3
,4)
,
B(0,0)
,
C(c,0)
,
uuuruuu
r
(1)若
AB?AC?0
,求
c
的值;(2)若
c?5<
br>,求
sinA
的值。
【备用】
rrrrrr
rr
1.已知
|a|?3,|b|?4,|a?b|?5
,求
|a?b|和向量
a,b
的夹角。
rrr
u
rr
rrrrrru
r
2.已知
x?a?b
,
y?2a?b
,且
|a|?|b|
?1
,
a?b
,求
x,y
的夹角的余弦。
rrrrrr<
br>1.已知
a?(1,3),b?(?2,?1)
,则
(3a?2b)?(2a?
5b)?
65 。
rrrr
rr
4.已知两向量
a
?(3,4),b?(2,?1)
,求当
a?xb与a?b
垂直时的x的值。
rr
rr
5.已知两向量
a?(1,3),b?(2,
?
)
,
a与b
的夹角
?
为锐角,求
?
的范围。
rr
rr
变式:若
a?(
?
,2),b?(?3,5)
,
a与b
的夹角
?
为钝角,求
?
的取值范围。
选择、填空题的特殊方法:
1.特例法
例:《全品》P27:4。因为M,N在A
B,AC上的任意位置都成立,所以取特殊情况,即M,N与B,C
重合时,可以得到
m?n?
1
,
?m?n?2
。
.
2.代入验证法
r
rrr
例:已知向量
a?(1,1),b?(1
,?1),c?(?1,?2)
,则
c?
( D )
1
r3
r
1
r
3
r
3
r
1
r3
r
1
r
A.
?a?b
B.
?a?b
C.
a?b
D.
?a?b
22222222
r
rrrrr
变式:已知
a?(1,2),b?(?1,3
),c?(?1,2)
,请用
a,b
表示
c
。
rrr解:设
c?xa?yb
,则
(?1,2)?x(1,2)?y(?1,3)
即:
(?1,2)?(x,2x)?(?y,3y)?(x?y,2x?3y)
??1?x?y且2?2x?3y
,即:
?x?y??1且2x?3y?2
r
4
r
9
r
49
解得:
?x?,y?,
?c?a?b
5555
3.排除法
uuur
例:已知M是
?ABC
的重心,则下列向量与
AB
共线的是( D )
uuuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuuuruu
uur
A.
AM?MB?BC
B.
3AM?AC
C.
AB?BC?AC
D.
AM?BM?CM
uuur
解:观察前三个选项都不与
AB
共线,所以选D。
.