倒数和公式四边形的一组新面积公式及其应用

2020年9月19日发(作者：胡戈)
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四边形的一组新面积公式及其应用

作者：孟祥礼 孟祥东

来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2006年第08期

本文借助于向量的数量积给出平面任意四边形的一组新面积公式，并举例介绍其应用．
引理1对平面任意四边形ABCD，有
SABCD= 1 2 AC·BD·sinα(其中，α是对角线AC、BD所成的角）
图1证明： （1） 如图1，若四边形ABCD是凸四边形，则
SABCD=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PDA=
1 2 PA·PB·sin∠APB+
1 2 PB·PC·sin∠BPC+
1 2 PC·PD·sin∠CPD+
1 2 PD·PA·sin∠DPA=
1 2 PA·PB·sin（π-α)+ 1 2 PB·PC·sin
PD·PA·sinα=
1 2 （PA+PC）（PB+PD）
1 2 AC·BD·sinα．
sinα=
α+ 1 2 PC·PD·sin（π-α)+ 1 2
图2 （2） 如图2，若四边形ABCD是凹四边形，则
SABCD=S△PAB+S△PAD
1 2 PA·PB·sin∠APB+
1 2 PA·PD·sin∠APD-
1 2 PB·PC·sin∠BPC-
1 2 PC·PD·sin∠CPD=
1 2 PA·PB·sin（π-α)+ 1 2 PA·PD·sinα- 1 2 PB·PC·sin
PC·PD·sinα=
（π-α)- 1 2
-S△PBC-S△PCD=