高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量 (1)

高中数学必修4知识点总结
第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
r
r
r
r
r
r
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b．
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；
r
rr
r
r
r
r
rr
rr
r
r
rr
② 结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
a?0?0?a?a
．
?? ??
r
r
r
r
⑸坐标运算：设
a?
?
x< br>1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
r
r
r
r
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y< br>2
?
．
uuur
设
?
、
?
两点的 坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
19、向量数乘运算：
r
r
⑴实数
?
与向量
a< br>的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
rr
r
rr
r
r
r
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?a?0
．
r
r
r
r
rrrrr
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?< br>?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b< br>．
??
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
， 则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?< br>x,
?
y
?
．
rr
rr
r
rr< br>r
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有 唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
??
r
r
r
r
r
rr
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2< br>,y
2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1< br>y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a< br>、
bb?0
共线．
??
uruur
r
21、平面向 量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，
uruururuur
r
有 且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?< br>1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向 量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基
底 ）

uuuruuur
22、分点坐标公式：设点
?
是线段< br>?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，< br>?
x
2
,y
2
?
，当
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是
?
?x
1
?
?
x
2
y
1
?
?y
2
?
,
时，就为中点公式。）
（当
?
?1< br>
?
．
1?
?
??
1?
?
23、平 面向量的数量积：
r
r
r
r
r
r
r
r< br>oo
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
??
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
与
b
反
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
rrr
向 时，
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③< br>a?b?ab
．
r
r
rr
r
r
r
r
r
rr
r
rrr
r
r
⑶运算律：①
a? b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b ?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
???? ??
r
r
r
r
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2?y
1
y
2
．
r
r
r
2
r r
22
22
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x?y
，或
a?x?y
． 设
a?
?
x
1< br>,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
r
r
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
r
r
r
r
r
r
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x< br>2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
r
r
?< br>．
2222
ab
x
1
?y
1
x
2
?y
2
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
??
?
?
?
?sin
?
cos
?
?co s
?
sin
?
；⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
si n
?
；
⑸
tan
?
?
?
?
?< br>?
tan
?
?tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
1? tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
??
）．
1?tan
?
tan
?
⑹
tan?
?
?
?
?
?
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．< br>?1?sin2
?
?sin
?
?cos
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)< br>
⑵
cos2
?
?cos
2
222
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

?
2
,1?cos
?
?2sin
2
?
升幂公式
1?cos
?
?2cos
2
?
2

?
降幂公式
cos
2
?
?
⑶tan2
?
?
cos2
?
?11?cos2
?
2
，
sin
?
?
．
22
αα
1?tan
2
:
26、
半角公式

2
;cosα?
2
sinα?

α

1

α

α

1

?

cos

α

?
（后两个不用判断符号，更加好用）
αα
?cos
cos??;sin??
1?tan
2
1?tan
2
2222
22
27、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函 数，一个角，一次方”的
y?Asin(
?
x?
?
)?B
2tan
α1?cosαsinα1?cosα
tan????
?
21?co sα1sinα
2
?cos
2
α
形式。
?sin
?
??cos
?
????sin
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
．
2tan
?
． < br>2
1?tan
?
万能公式:
?
28、三角变换是运算化简的过 程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角
公式，掌握运算，化简的方法 和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往 出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，
倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结 论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①
2
?
是
?
的二倍；
4
?
是
2
?
的二倍；
?
是
?
?
?
的二倍；是的二倍；
224
30
o
?
?
②
15?45?30?60?45?
；问：
sin?
；
cos?
；
2
1212
ooooo
③
?
?(
?
?
?
)?
?
；④
?
4
?
?
?
?
2
?(
?
4
?
?
)
；
⑤
2
?
?(
?
??
)?(
?
?
?
)?(
?
4
?
?
)?(
?
4
?
?
)
；等等
（2）函 数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常
化切为 弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函 数值，例如常数“1”的
代换变形有：
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数 较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用
降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式
1?cos
?
常用升幂化为有理式，常用 升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：
1?tan
?
1?tan
?
?_______________
；
?______________
；
1?tan
?
1 ?tan
?
tan
?
?tan
?
?___________ _
；
1?tan
?
tan
?
?___________；
tan
?
?tan
?
?____________
；
1?tan
?
tan
?
?___________
；
2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
； tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan 40
o
?
；
sin
?
?cos
?
?
= ；

（其中
asin
?
?bcos
?
?
= ；
）
tan
?
?
；
1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化 弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值
与特殊角的三角函数互化 。
oo
如：
sin50(1?3tan10)?
；
tan
?
?cot
?
?
。