高一数学必修4知识点

高一数学必修
4
知识点总结


第一章三角函数
§ 1.1.1任意角
1、正角、负角、零角、象限角的概念


.2
与角终边相同的角的集合:
2k ,k Z
§ 1.1.2弧度制
1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
2、

1弧度的角
、弧长公式:
l
n R
180
R
. 4 、扇形面积公式：
S
n R
2

360
-lR
.
2
§ 1.2.1任意角的三角函数
1、设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P x, y
，那么：
sin
（设
r
；
x
2

y, cos x, tan
2、设点
A x ,y
为角
终边上任意一点，那么:
y
2
）
sin

y
cos
r

x i
r
，
tan
y i
x
，
cot
x
y
3、
sin
，

cos
，
tan
在四个象限的符号和三角函数线的画法
正弦线： MP; 余弦线: OM; 正切线：AT
4、 特殊角0° ，30 °，45° ，60 °，

90°, 180 °, 270等的三角函数值

§ 1.2.2同角三角函数的基本关系式
1、 平方关系：
2、 商数关系：
3、 倒数关系：

sin
2

tan
cos
2

sin
cos
1


tan cot 1

§ 1.3三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变，符号看象限”

k Z
）
sin ,
cos ,
（其中：
k Z
）
tan .
sin ,
sin
cos
tan

2k
2k
2k
1、诱导公式一：


sin

2、诱导公式二：

cos
tan

cos ,
tan .
1 13

3、 诱导公式三：






sin
COS
tan
sin
sin ,
COS ,
tan .
sin ,
COs
COs
4、 诱导公式四：



tan tan


sin

2
cos

5、诱导公式五：


cos sin

2


sin —
cos

6、诱导公式
2



六：
cos —

2

sin



§ 1.4.1正弦、余弦函数的图象和性质


1、记住正弦、余弦函数图象：


y=s inx
y


-
-5 “
3
2
亍
1


-4
y=cosx
-八
-2 -3
、〉、

2

2
3


2
-5
-5
2

2


2
余弦函数的相

能
、
电够多对照图象讲出正

-4

、一丿
1

弦、 性、单调性、周期
2
性—
3、会用五点法作图
y sinx
在
x [0,2 ]
.
上的五个关键点为:
§ 1.4.2正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象：

A
y=ta nx
I }

I
I f
f

f
3

3


-
o
2
2
2

f
2
l
t
■
1
I
F


2、记住余切函数的图象

7
4A
7
定义域、
x
值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇
偶
3
(0,0),
(_
2
,,(
,0),
(专
,-1),(2
,)
.
2 13

y
y=cotx

3、能够对照图象讲岀正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性
周期函数定义：对于函数
f X
，如果存在一个非零常数 T,使得当
X
取定义域内的每一个值时，都有
T叫做这个函数的周期
f X T f X
，那么函数
f X
就叫做周期函数，非零常数
图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y sin
X


y
COSX



y tanx


y
L
j
1
1
i
7 V
Hi
|
1
h
图象

0
|
1 A
T
X

：

,
i
'
2 31
n
L.
徉
X

i)
F
即
r

1 ■
3
1
1
1
1

*
T
定义域
值域
R
[-i,i]
X 2k —,k Z时，y
max
2
—,k Z时，y
min
2
1
R
[-1,1]
{x | ^ — k , k Z}
R
X 2k ,k Z时，y
max
1
1
x 2k ,k Z时，
丫
口皿 1
无 最值
X 2k
周期性
奇偶性
T 2
奇
在[2 k — 2k —]上单调递增
2 ' 2
在[2k

T 2
偶
在
［2 k
T
奇
,2 k ］
上单调递增
在
(k
-
k
_
)
上单调递增
单调性
k Z
— 2k —]上单调递减
2 ' 2

2 ' 2
在
［2 k ,2 k ］
上单调递减
对称性
对称轴方程：
X
k —
2
对称中心
(k ,0)

对称轴方程：
x k
对称中心(k — ,0)
无对称轴
k
对称中心
(——,0)
k Z

2
2
3 13

的图象
1对于函数：
、
2
能够讲岀函数
y
、


y Asin x
§ 1.5 函数
y Asin x
B A 0,
sin x
的图象与
2
0
有:振幅A,周期T ,初相，相位
x
，频率
f


1
T
乓


y Asin x
①先平移后伸缩：
B
的图象之间的平移伸缩变换关系 .
y sin x
平移
| |
个单位
y sin x

（左加右减）
横坐标不变
纵坐标变为原来的
纵坐标不变
1
横坐标变为原来的
I
倍
平移
|B|
个单位
y Asin x
（上加下减）
—y
■
A
倍

Asin x

-y As in x
B
②先伸缩后平移：
y sin x
横坐标不变
$$ y Asin x
纵坐标变为原来的 A倍
纵坐标不变 針
y Asi n x
i
横坐标变为原来的
|—|
倍
平移一个单位
y Asin x
------------------ -------------- ?
（左加右减）
平移
| B|
个单位
y Asin x
（上加下减）
3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
B
函数
y
sin( x
）
，x ? R及函数
y
cos( x
2
）
，x ? R（A,, 为常数，且 A
K
0）的周期
T
| |
函数
y

tan( x
)
，
x k —,k

Z
(A,
3
, 为常数，且A
K
0）的周期
T
.

| |
2
对于
y Asin（ x ）
和
y Acos（ x ）
来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系
4 13

求函数
y Asin( x )
图像的对称轴与对称中心，
只需令
x k (k Z)
与
2
x k (k Z)
解岀
x
即可.余弦函数可与正弦函数类比可得 .
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征：
A
Imax—
沁
B
2max—
y
min_
2 ' 2
要根据周期来求，要用图像的关键点来求.
第三章三角恒等变换
1、
sin
sin cos cos sin
2、
sin
sin cos cos sin
3、
cos
cos cos sin sin
4、
cos
cos cos sin sin

5、
tan
tan tan


1 tan tan
6、
tan
tan tan

1 tan tan
§ 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、
sin2 2sin cos
变形：.
sin cos
2
sin2
2、
cos 2
cos
2 ?2
sin
2cos 1
2
1 2si n
2

.

变形如下:
c
升幕公式：
1 cos2
2cos
2

1 cos 2
2sin
2

§ 3.1.1两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值：

sin cos tan

価
＜2
12 4 4
2
灵


§ 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos

2
cos2 )
降幕公式：
2
(1


?2
sin
cos2 )
2
(1


3
2ta
、
tan 2
n


1 tan
2
.
4
tan sin 2 1 cos 2

5 13

、
1 cos2

sin 2
§ 3.2简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次 .
2、 辅助角公式
y asinx bcosx a
2

b
2

sin（x ）
K
（其中辅助角 所在象限由点
（
a, b）
的象限决定,
tan
—）.
a
第二章平面向量
§ 2.1.1向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度
2、 既有大小又有方向的量叫做向 _____ .
§ 2.1.2向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 .
.
—-
2、 向量
AB
的大小，也就是向量
—uuu
AB
的长度（或称模），记作
AB
；长度为零的向量叫做零向量；长度
.
________ .规定：零向量与任意向量平行 § 2.1.3相等向量与共线
等于1个单位的向量叫做单位向量
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行
向量
1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 § 2.2.1向量加法运算及其几何意义
1、三角形加法法则和平行四边形加法法则
三甬形
Ml
法法测 平行四边形加陡注因
—*■ —*■
1

、与
a
长度相等方向相反的向量叫做

a
的相反向量

6 13

§ 223向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数 与向量
a
的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 .记作
: a，它的长度和方向规定
如下：
⑴
a
|
丨冋，
⑵当
0
时，
a
的方向与
a
的方向相同；当
0
时，
a
的方向与
2、 平面向量共线定理：向量
a a 0
与
b
共线，当且仅当有唯—个实数
§ 2.3.1平面向量基本定理
? 「
1
1、平面向量基本定理：如果 8,氏是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这-
且只有一对实数
i
,
2
，使
a 心
2
e
2
?
§ 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
1、
a xi y j x, y
.
§ 2.3.3平面向量的坐标运算
—*■ —a-
1、 设
a X
1
, y
1
,b X
2
,y
2
，则:
—F- f
⑴
a b X
1
X
2
, y
1
y
?
，
⑵
a b x X
2
,w y
2
，
⑶
a X
1
, y
1
，
―■ f
⑷
ab x-
!
y
2

x
2

y
1
.
2、 设
AX
2
，
y
?
，则：
AB X
2
花,y
2
y
1
.
§ 2.3.4平面向量共线的坐标表示
仁设
A X
1
, y
1
, B X
2
, y
2
,C X
3
, y
3
，则
⑴线段AB中点坐标为
为
X
2 _
y
L_
y
2
2
,
-~ ，
X
1
X
2
X
3
y
1
y
2
y
3

⑵厶ABC的重心坐标为



a
的方向相反.
，使
b a
.
平面内任一向量
a
，有
7 13