数学必修4知识点整理

高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结
一、角的概念和弧度制：
（1）在直角坐标系内讨论角：
角的顶点在原点，始边在
x
轴的正半轴上， 角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的
角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限， 它叫象限界角。
（2）①与
?
角终边相同的角的集合：
{
?
|
?
?360k?
?
,k?Z}或{
?
|
??2k
?
?
?
,k?Z}

与
?
与< br>?
与
?
与
?
角终边在同一条直线上的角的集合： ；
角终边关于
x
轴对称的角的集合： ；
角终边关于
y
轴对称的角的集合： ；
角终边关于
y?x
轴对称的角的集合： ；
0
②一些特殊角集合的表示：
终边在坐标轴上角的集合： ；
终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；
终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；
终边在四个象限的平分线上角的集合： ；
（3）区间角的表示：
①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；
第一、三象限角： ；
②写出图中所表示的区间角：

y y



x x
O O


（4）正确理解角：
要正确理解“
0~90
间的角”= ；
“第一象限的角”= ；“锐角”= ；
“小于
90
的角”= ；
（5）由
?
的终边所在的象限，通过 来判断
来判断



o
oo
?
所在的象限。
2
?
所在的象限
3

（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一
已知角
?
的弧度数的绝对值
|
?
|?
l
，其中
l
为以角
?
作为圆心角时所对圆弧的长，
r
r
为圆的半径。注 意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；
扇形面积公式： ；
二、任意角的三角函数：
（1）任意角的三角函数定义：
以角
?
的顶点为坐标原点，始边为
x
轴正半轴建立直角坐标系，在角
?
的终边上任取 一个
异于原点的点
P(x,y)
，点
P
到原点的距离记为
r
，则
sin
?
?
；
cos
?
?
；
tan
?
?
；
cot
?
?
；
sec
?
?
；
csc
?
?
；
如：角
?
的终边上一点
(a,?3a)
，则
cos
?
?2sin?
?
。注意r>0
（2）在图中画出角
?
的正弦线、余弦线、正切线；
y y
a
O
y
a
O
y
x
O

比较
x?(0,
O
a x x a
?
2
)，
sinx
，
tanx
，
x
的大小关系： 。
（3）特殊角的三角函数值：
?

sin
?

cos
?

0




?

6




?

4




?

3




?

2




?





3
?

2




tan
?

cot
?


三、同角三角函数的关系与诱导公式：

（1）同角三角函数的关系


平方关系

sin
2
?
+ cos
2
?
=1， 1+tan
2
?
=
1
， 1+cot
2
?
=
1

cos
2
?
sin
2
?


倒数关系
tan
?
·cot
?
=1

商数关系
sin
?
cos
?
=tan
?

作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
（2）诱导公式：
2k
?
?
?
?
?
： ， ， ；
?
?
?
?
?
： ， ， ；
?
?
?
?
： ， ， ；
?
?
?
?
?
： ， ， ；
2
?
?
?
?
?
： ， ， ；
?
2
?
?
?
?
： ， ， ；
?
?
?
?
?
： ， ， ；
2
3
?
?
?
?
?
： ， ， ；
2
3
?
?
?
?
?
： ， ， ；
2
2K
?
±
?
,-
?
,
诱导公式可用概括为： < br>?
2
±
?
,
?
±
?
,
3< br>?
2
±
?
的三角函数 奇变偶不变，符号看象限
?
的三角函
数
作用：
“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式 进行角变换的基本
思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数
——去 负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间
[0
o
,360
o
)或[0
o
,180
o
)内的三角函数——脱周；利用诱导公式 将上述三角
函数化为锐角三角函数——化锐.

（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：
①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以
讨论。
②求任意角的三角函数值。
步骤：
任意负角的
三角函数
公式三、一
任意正教的
公式一
三角函数
0
o
~360
o
角的
三角函数
公式二、
四、五、
六、七、
八、九

求值
0
o
~90
o
角的
三角函数
③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．
步骤： ①确定角
?
所在的象限；
②如函数值为正，先求出对应的锐角
?
1
；如函数值为负，先求出与其绝对值对
应的锐角
?
1
；
③根据角
?
所在的象限，得出
0~2
?
间的角——如果适合已知条件 的角在第二限；
则它是
?
?
?
1
；如果在第三或第四象限， 则它是
?
?
?
1
或
2
?
?
?1
；
④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有
角的集合。
如
tan
?
?m
，则
sin
?
?
，
cos
?
?
；
sin(
3
?
?
?
)?
；
2
15
?
cot(?
?
)?
_________。
2
注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12， 13）；
（8，15，17）；
四、三角函数图像和性质

1．周期函数定义
定义 对于函数
f(x)
，如果存在一个不为零的常数
T
，使得当
x
取定义域内的每一个
值时，
f(x?T)?f(x)< br>都成立，那么就把函数
f(x)
叫做周期函数，不为零的常数
T
叫做这 个函数的周期．

请你判断下列函数的周期
y?sinx

y?cosx

y?|cosx|

y?cos|x|

y?|sinx|
y=tan x y=tan |x| y=|tan x|
y?sin|x|

例 求函数f(x)=3sin
(
于
1








注意 理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周 期，如常函数
f
(
x
)＝
c
（
c
为常数） 是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．

结论：如函数< br>f(x?k)?f(x?k)
对于
任意的x?R
，那么函数
k
?
并求最小的正整数k,使他的周期不大
x?)
(
k?0)
的周期。
53
f(x)的
周期T=2k; 如函数
f(x?k)?f(k?x)
对于
任意的x?R
，那么函数
f(x)的对称轴是
x?
2．图像
(x?k)?(k?x)
?k

2

3。图像的平移
对函数
y
＝
A
sin(ω
x
＋j)＋
k
(
A
＞0, 0, j≠0,
k
≠0),其图象的基本变换有：
．．．．
ω＞
．．．．．．．．．．．．
(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由< br>A
的变化引起的．
A
＞1,伸长；
A
＜1,缩短．
(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长．
(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．j＞0,左移；j＜0，右移．

(4)上下平移(纵向平移变换): 是由
k
的变化引起的．
k
＞0, 上移；
k
＜0,下移







四、三角函数公式：

两角和与差的三角函数关系

cos
?
?
cos
?
·sin
?


sin(
?
?
?
)=sin
?
·

cos
?
?
sin
?
·sin
?


cos(
?
?
?
)=cos
?
·

倍角公式
sin2
?
=2sin
?
·cos
?

c os2
?
=cos
2
?
-sin
2
?

=2cos
2
?
-1=1-2sin
2
?

tan
?
?tan
?
tan(
?
?
?
) ?
1?tan
?
?tan
?
tan2
?
?


2tan
?
1?tan
2
?

和差化积公式

sin
?
+sin
?
=







升幂公式
1+cos
?
=
2co s
1-cos
?
=
2sin
1±sin
?
=(sin
2
2
积化和差公式
1
[sin(
?
+
?
)+sin(
?
-
?
)]
2
1
cos
?
·sin
?
=[sin(
?
+
?
)-sin(
?
-
?
)]
2
1
cos
?
·cos
?
=[cos(
?
+
?
)+cos(< br>?
-
?
)]
2
1
sin
?
·sin
?
= -[cos(
?
+
?
)-cos(
?
-
?
)]
2
sin
?
·cos
?
=
半角公式
si n
?
2
??
1?cos
?
2
1?cos
?
1?cos
?
，
cos
?
2
??
1?co s
?
2

tan
?
2
??
=
1? cos
?
sin
?

?
sin
?
1?cos
?
?
2

22

?
?
??
?
?
sin
?< br>-sin
?
=
2cos

sin
22
??
??
?
?
cos
?
+cos
?
=< br>2coscos
22

?
?
??
?
?
cos
?
-cos
?
= -
2sinsin
22

12

tan
?
+ cot
?
=
?
sin
?
?cos
?
sin2
?

tan
?

- cot
?
= -2cot2
?

2
?


2

2
?

1-cos
?
=
2sin

2sin
?
?
?
cos
?
?
?

?
2
?
2
1=sin
2
?
+ cos
2
?

sin
?
=
2sin
降幂公式
?cos
?
2
)
2
?
2
cos
?
2

1+cos
?
=
2cos
2


1±si n
?
=(
sin
?
?cos
?
)
2

22

3
1?cos2
?

2
1?cos2
?
cos
2
?
?

2
sin
2
?
+ cos
2
?
=1 1
sin
?
·cos
?
=
sin2
?

2
sin
2
?
?
三倍角公式：
sin3
?
?3sin
?
?4sin
?
；
cos3
?
?4cos
?
?3cos
?
；
3
五、三角恒等变换：

三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高 三角变换能力，要学会创设条件，灵
活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方 法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据 角与角
之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使
问题获解，对角的变形如：
①
2
?
是
?
的二倍；
4
?
是
2
?
的二倍；
?
是
??
?
3
?
的二倍；是的二倍；
3
?
是的二
2242

倍；
??
?
?
是的二倍；
?2
?
是
?
?
的二倍。
3624
oooo
30
o
?
?
②
15?45?30?60?45?
；问：< br>sin

?
；
cos?
；
2
1212
o
③
?
?(
?
?
?
)?
?
；④
?
4
?
?
?
?
2
?(
?
4
?
?
)
；
⑤
2< br>?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(
?
4
?
?
)?(
?
4
?
?
)
；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是
基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函 数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常
数“1”的代换变形有：

1?sin
?
?cos
?
?sec
?
?tan?
?tan
?
cot
?
?sin90?tan45
< br>（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的
方 法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对， 有时需要
升幂，如对无理式
2222oo
1?cos
?
常用升幂化为 有理式，常用升幂公式
有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：
1?tan
?
1?tan
?
?_______ ________
；
?______________
；
1?tan?
1?tan
?
tan
?
?tan
?
?___ _________
；
1?tan
?
tan
?
?_____ ______
；
tan
?
?tan
?
?________ ____
；
1?tan
?
tan
?
?__________ _
；
2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
； tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan 40
o
?
；
sin
?
?cos
?
?
= ；
asin
?
?bcos
?
?
= ；
（其中
tan
?
?
；）
1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次 ，无理化有
理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。
oo
如：
sin50(1?3tan10)?
；
tan
?
?cot
?
?
；

cos
2
?
4
?
cos?
；
999
?
3
?
5
?
cos?cos?cos?
；推广：
777
2
?
4
?
6
?
cos?cos?cos?
；推广：
777
cos
?