高中数学怎么样提高成绩-高中数学老师资格证考试内容
高中数学必修4知识点总结
第二章 平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
r
r
r
r
r
r
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b.
r
rr
r
⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a
; r
r
r
rr
rr
r
r
rr
②结合律:
a?b?c?a?b?c
;③
a?0?0?a?a
.
????
C
r
r
r
r
⑸坐标运算
:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
r
a
r
b
?
r
r
r
r
⑵坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2,y
1
?y
2
?
.
uuur
设
?<
br>、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
??
?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2<
br>?
.
19、向量数乘运算:
r
r
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
①
?
ruuuruuur
r
r
uuu
a?b??C?????C
?
a?
?
a
;
rr
r
r
rr
r
r
②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;当
?
?0
时,
?
a?0
.
r
r
r
r
rrrrr
⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?<
br>a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b
.
??
⑶坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
.
rr
rr
r
rr
r<
br>20、向量共线定理:向量
aa?0
与
b
共线,当且仅当有唯一一个实
数
?
,使
b?
?
a
.
??
r
r
r
r
r
rr
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b?0
,则当且仅当
x
1
y<
br>2
?x
2
y
1
?0
时,向量
a
、<
br>bb?0
共线.
??
uruur
r
21、平面向量基本定理
:如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对
于这一平面内的任意向量
a
,
uruururuur
r
有且只有一对
实数
?
1
、
?
2
,使
a?
?
1<
br>e
1
?
?
2
e
2
.(不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基
1
底)
uuuruuur
22、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1<
br>?
,
?
x
2
,y
2
?
,当
?
1
??
?
??
2
时,点
?
的坐标是?
?
x
1
?
?
x
2
y
1?
?
y
2
?
,
时,就为中点公式。)
(当?
?1
?
.
1?
?
1?
?
??
23、平面向量的数量积:
⑴
a?b?abcos
?
a?0,
b?0,0?
?
?180
r
r
r
r
?
r<
br>r
r
r
oo
?
.零向量与任一向量的数量积为
0.
r
r
r
r
r
r
r
r
r<
br>r
r
r
r
r
⑵性质:设
a
和
b都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.②当
a
与
b
同向时,
a?b?ab
;当
a
与
b
反
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
rrr
向时,
a?b??ab
;
a?a?a?a
或a?a?a
.③
a?b?ab
.
r
r
rr
r
r
r
r
r
rr
r
rrr
r
r⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?
b?
?
a?b?a?
?
b
;③
a?b?c?a?c?b?c
.
??????
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x<
br>1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y1
y
2
.
r
r
r
r
r
r<
br>r
2
rr
22
22
若
a?
?
x,y
?
,则
a?x?y
,或
a?x?y
. 设
a??
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
r
r
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
r<
br>r
r
r
r
r
设
a
、
b
都是
非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
是<
br>a
与
b
的夹角,则
r
r
x
1
x2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?r
r
?
.
2222
ab
x
1
?y<
br>1
x
2
?y
2
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
⑶
sin
?
?
?
?
?
?si
n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;⑷<
br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
co
s
?
?cos
?
sin
?
;
⑸
tan<
br>?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan<
br>?
?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
t
an
?
?
);
1?tan
?
tan
?
t
an
?
?tan
?
?
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
).
1?tan
?<
br>tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
??
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴
sin2
?
?2
sin
?
cos
?
.
?1?sin2
?
?sin<
br>?
?cos
?
?2sin
?
cos
?
?(s
in
?
?cos
?
)
⑵
cos2
??cos
2
222
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
2
?
升幂公式
1?cos
?
?2cos2
?
22
cos2
?
?11?cos2
?
2<
br>,
sin
?
?
.
?
降幂公式
cos
2
?
?
22
⑶
tan2
?
?
,1?cos
?
?2sin
2
?<
br>
2tan
?
.
2
1?tan
?
万能公式
:
α
2
α
2tan1?tan
22
sinα?
;cosα?
αα
1?tan
2
1?tan
2
22
:
26、
半角公式
α1?cosαα1?cosα
cos??;sin??
2222
α
1
?
cos
α
sin
1
?
cos
α
α
tan????
2
1
?
cos
α
1
?
cos
α
sin
α
?
(后两个不用判断符号,更加好用)
27、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的
y?Asin(
?
x?
?
)?B
形式。
?sin<
br>?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
,其中
tan
?
?
?
.
?
28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要
学会创设条件,灵活运用三角
公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: <
br>(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差
,
倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:
①
2
?
是
?
的二倍;
4
?
是2
?
的二倍;
?
是
?
?
?
的二倍;是
的二倍;
224
30
o
?
?
②
15?45?3
0?60?45?
;问:
sin?
;
cos?
;
2
1212
ooooo
③
?
?(
?
?
?
)?
?
;④
?
4
?
?
?
?
2
?(
?
4
?
?
)
;
⑤<
br>2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(
?
4
?
?
)?(
?
4
?
?
)
;等等
(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同
名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常
化切为弦,变异名为同名。
(3)常数代换:在
三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的
代换变形有:
1?sin
?
?cos
?
?tan
?<
br>cot
?
?sin90?tan45
(4)幂的变换:降幂是三角变
换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用
降幂公式有:
; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式
22oo
1?
cos
?
常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ;
;
(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
如:
1?tan
?
1?tan
?
?_______
________
;
?______________
;
1?tan?
1?tan
?
tan
?
?tan
?
?___
_________
;
1?tan
?
tan
?
?_____
______
;
3
tan
?
?ta
n
?
?____________
;
1?tan
?
tan<
br>?
?___________
;
2tan
?
?
;
1?tan
2
?
?
; tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan
40
o
?
;
sin
?
?cos
?
?
= ;
(其中
asin
?
?bcos
?
?
= ;
)
tan
?
?
;
1?cos
?
?
;
1?cos
?
?
;
(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则是:见切化
弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值
与特殊角的三角函数互化
。
oo
如:
sin50(1?3tan10)?
;
tan
?
?cot
?
?
。
4