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高中数学必修3.4知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 12:01
tags:高中数学必修四知识点总结

高中数学几何概型教学视频-高中数学有向量叉乘吗

2020年9月19日发(作者:张佑赫)



高考圈-让高考没有难报的志愿



数学 必修3知识点
第一章 算法初步
1、算法概念:
1.1.1 算法的概念

在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,
这些程序或步骤必须是高中明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.
2. 算法的特点:
(1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的.
( 2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当
是模棱两可.
(3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个
确 定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步
都准确无误,才 能完成问题.
(4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经
过有限、事 先设计好的步骤加以解决.
1.1.2 程序框图
1、程序框图基本概念:
( 一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来
准确、直观地表 示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必 要文
字说明。
(二)构成程序框的图形符号及其作用
程序框

起止框
不可少的。
名称 功能
表示一个算法的起始和结束,是任何流程图



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输入、输出框


处理框
表示一个算法输入和输出的信息,可用在算
法中任何需要输入、输出的位置。
赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、
公式等分别写在不同的用以处理数据的处
理框内。

判断框

判断某一条件是否成立,成立时在出口处标
明“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”。
学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下:
1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外,
大多数流程 图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类,一 类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;
另一类是多分支判断,有几种不同的结 果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
(三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构:顺序结 构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下
的顺序进行的,它是由若干个依次执 行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一
种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而
下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A框和B
框是依次执行的,只有在执行完A框指定的操作后,才能接着执
行B框所指定的操作。
2、条件结构:
条件结构是指在算法中通过对条件的判断
根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论 P条件是否成立,只能执行A框或B框之
一,不可能同时执行A框和B框,也不可能A框、B框都不执行 。一个判断结构可以有多个
判断框。
3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始, 按照一定条件,反复执行某一处理
步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然, 循环结构中一定包含
条件结构。循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类:

A
B



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(1)、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件P成立时,执行A
框, A框执行完毕后,再判断条件P是否成立,如果仍然成立,再执行A框,如此反复执行
A框,直到某一次 条件P不成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。
(2)、另一类是直到型循环结构,如下右图 所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件
P是否成立,如果P仍然不成立,则继续执行A框,直到 某一次给定的条件P成立为止,此
时不再执行A框,离开循环结构。


当型循环结
直到型

要条件结构
A
P

循环结构
A
P
止循环,这就需
但不允许“死循
不成立
意:
成立
1循环结构要在某个条件下终
成立
来判断。因此,循环结构中一定包含条件结构,
不成立
环”。2在循环结构中都有一 个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数,累
加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般 是同步执行的,累加一次,计数一次。
1.2.1 输入、输出语句和赋值语句
1、输入语句
(1)输入语句的一般格式
图形计算器
格式
INPUT“提示内容”;变量 INPUT “提示内容”,变量
(2)输入语句的作用是 实现算法的输入信息功能;(3)“提示内容”提示用户输入什么样的
信息,变量是指程序在运行时其值 是可以变化的量;(4)输入语句要求输入的值只能是具体
的常数,不能是函数、变量或表达式;(5) 提示内容与变量之间用分号“;”隔开,若输入
多个变量,变量与变量之间用逗号“,”隔开。
2、输出语句
(1)输出语句的一般格式
图形计算器
格式
PRINT“提示内容”;表达式
Disp “提示内容”,变量
(2)输出语句 的作用是实现算法的输出结果功能;(3)“提示内容”提示用户输入什么样的
信息,表达式是指程序要 输出的数据;(4)输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及
字符。



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3、赋值语句
(1)赋值语句的一般格式


(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的 值赋给变量;(3)赋值语句中的“=”称作赋值
号,与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两 边不能对换,它将赋值号右边的表达
式的值赋给赋值号左边的变量;(4)赋值语句左边只能是变量名字 ,而不是表达式,右边表
达式可以是一个数据、常量或算式;(5)对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X是错误的。②赋值号左右
不能对 换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的
演算。(如化 简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
1.2.2条件语句
1、条件语句的一般格式有两种:(1)IF—THEN—ELSE语句;(2)IF—THEN语句。2、IF —
THEN—ELSE语句
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。




图形计算器
格式
变量=表达式
表达式
?
变量
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2


满足条件?

语句1
语句2

END IF
图1 图2
分析:在IF—THEN—ELSE语句中,“条件”表示判断的条件,“语句1”表示满足条件 时执
行的操作内容;“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF表示条件语句的结束 。
计算机在执行时,首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合,则执行THEN后面的语句1;若条件不符合,则执行ELSE后面的语句2。
3、IF—THEN语句
IF—THEN语句的一般格式为图3,对应的程序框图为图4。
IF 条件 THEN
语句
END IF
(图3)





满足条件?

语句

注意:“条件”表示判断的条件;“语句”表示满足条件时执行的操
作内容,条件不满足时,结 束程序;END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对

(图4)



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IF后的条件进 行判断,如果条件符合就执行THEN后边的语句,若条件不符合则直接结束该
条件语句,转而执行其它 语句。
1.2.3循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环 结构,一般程序设计
语言中也有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构。即WH ILE语句和UNTIL
语句。
1、WHILE语句
(1)WHILE语句的一般格式是 对应的程序框图是


WHILE 条件

循环体

满足条件?
WEND





循环体

(2)当计算机遇到WHILE语句时,先判断条件的真假,如果条件符 合,就执行WHILE与WEND
之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环 体,这个过程反复进
行,直到某一次条件不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接跳到WEND 语句后,
接着执行WEND之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。
2、UNTIL语句
(1)UNTIL语句的一般格式是 对应的程序框图是






DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
循环体
满足条件?


(2)直到型循环又称为“后测试型”循环,从UNTIL型循环结构分析, 计算机执行该语句
时,先执行一次循环体,然后进行条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体 ,然
后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环体,跳到
LOOP UNTIL语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。
分析:当型循环与直到型循环的区别:(先由学生讨论再归纳)
(1) 当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断;
在WHILE语句中,是当条件满足时执行循环体 ,在UNTIL语句中,是当条件不满足时执行循


1.3.1辗转相除法与更相减损术



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1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:
(1):用较 大的数m除以较小的数n得到一个商
为m,n的最大公约数;若
(3):若

R
S
0
和一个余数
R
0
;(2):若
0
= 0,则n
R
0
≠0,则用除数n除以余数
R
0
得到一个商< br>S
1
和一个余数
R
1

R
1
=0, 则
R
1
为m,n的最大公约数;若
R
1
≠0,则用除数R
0
除以余数
R
1
得到一个
S
2
和一 个余数
R
2
;?? 依次计算直至
R
n
=0, 此时所得到的
R
n?1
即为所求的最
大公约数。
2、更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术
求最 大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相减损,
求其等也,以等数 约之。
翻译为:(1):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执< br>行第二步。(2):以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减
小数 。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
分析:(略)
3、辗转相除法与更相减损术的区别:
(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以 除法为主,更相减损术以减法为主,
计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别 较大时计算次数的区别
较明显。
(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余 数为0则得到,而更相减损术
则以减数与差相等而得到
1.3.2秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念:
f(x)=a
n
x+a
n-1
x+ ?.+a
1
x+a
0
求值问题
f(x)=a
n
x +a
n-1
x+?.+a
1
x+a
0
=(a
nx+a
n-1
x+?.+a
1
)x+a
0
=(( a
n
x+a
n-1
x+?.+a
2
)x+a
1
)x+a
0

nn-1n-1n-2n-2n-3
nn-1
=......=(...( a
n
x+a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1)x+a
0

求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即v1
=a
n
x+a
n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即



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v
2
=v
1
x+a
n-2
v
3
=v
2
x+a
n-3
......

v
n
=v
n-1
x+a
0
这样,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
2、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想:插入排 序的思想就是读一个,排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中,以
后读入的数与已存入数组的数进 行比较,确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置
以及以后的元素向后推移一个位置,将读入的 新数填入空出的位置中.(由于算法简单,可
以举例说明)
2、冒泡排序
基本思想 :依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2
个数,大数放前,小 数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟
结束,最小的一定沉到 最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数...... 由于在
排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.
1.3.3进位制
1、概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的 数值。可使用数
字符号的个数称为基数,基数为n,即可称n进位制,简称n进制。现在最常用的是十进 制,
通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表
示。比如:十进数57,可以用二进制表示为111001,也可以用八进制表示为71、用十六进
制 表示为39,它们所代表的数值都是一样的。
一般地,若k是一个大于一的整数,那么以k为基数的k进制可以表示为:
a
na
n?1
...a
1
a
0(k)
(0?a
n< br>?k,0?a
n?1
,...,a
1
,a
0
?k)< br>,
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
(2)
表示二进制数,34
(5)
表示5进
制数
第二章 统计
2.1.1简单随机抽样
1.总体和样本
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体.
把每个研究对象叫做个体.
把总体中个体的总数叫做总体容量.



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, , , 为了研究总体的有关性质,一般从总体中随 机抽取一部分:
研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.
2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随
机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等),样本的每
个单位完全独立 ,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基
础。通常只是在总体单位之间 差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。
3.简单随机抽样常用的方法:
(1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容 量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;
③概率保证程度。
4.抽签法:
(1)给调查对象群体中的每一个对象编号;
(2)准备抽签的工具,实施抽签
(3)对样本中的每一个个体进行测量或调查
例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5.随机数表法:
例:利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
2.1.2系统抽样
1.系统抽样(等距抽样或机械抽样):
把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按 照这一固定的抽样距离抽取样本。
第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K(抽样距离)=N(总体规模)n(样本规模)
前提条件:总体中个体的排列对于研究的变 量来说,应是随机的,即不存在某种与研究
变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样 本开始抽样,对比几次样本的
特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这 种循环和抽样距
离重合。
2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为 它对抽样框的要求较低,
实施也比较简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使 用,总体单
元按辅助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。



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2.1.3分层抽样
1.分层抽样(类型抽样):
先将总体中的所有单位按照某种 特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,
然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系 用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将
这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法:
1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2.先以 分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最
后用系统抽样的方法抽取样 本。
2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体
中的样本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。
分层标准:
(1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
(2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分
层变量。
(3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
3.分层的比例问题:
(1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取
子样本的方法。
(2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采
用 该方法,主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资
料推断总体时, 则需要先对各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比例,使数据
恢复到总体中各层实际的比例 结构。

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、本均值:
x?
x
1
?x
2
?
?
?x
n
< br>n
2
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x )
2
?
?
?(x
n
?x)
2
2、.样本标 准差:
s?s?

n



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3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样 本可以反映总体的信息,但从样
本得到的信息会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、
均值和标准差,而只是一 个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时,
它们确实反映了总体的信息。
4.(1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变
(2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k,标准差变为原来的k倍
(3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间
3.直线回归方程的应用
(x?3s,x?3s)
的应用;
“去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理
2.3.2两个变量的线性相关
1、概念:
(1)回归直线方程
(2)回归系数
2.最小二乘法
(1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存
的数量关系
(2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量x)代入回归方程对预报量(即因变量Y)进行估计,即可得到个体Y值的容许区间。
(3)利用回归方程进行统计 控制规定Y值的变化,通过控制x的范围来实现统计控
制的目标。如已经得到了空气中,总在某个常数附 近摆动,且随着试验次数的
不断增多,这种摆动幅度NO
2
的浓度和汽车流量间的回归 方程,即可通过控制
汽车流量来控制空气中NO
2
的浓度。
4.应用直线回归的注意事项
(1)做回归分析要有实际意义;
(2)回归分析前,最好先作出散点图;
(3)回归直线不要外延。
第三章 概 率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念:



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(1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件;
(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件;
(3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;
(4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件;
( 5)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试
验中事件A出现 的次数nA为事件A出现的频数;称事件A出现的比例
n
A
fn(A)=
n< br>为事件A出现的概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数
的增加,事件A发生的频率fn (A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),
称为事件A的概率。
(6)频率与概率 的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数nA与试验总次数n
n
A
的比值
n
,它具有一定的稳定性越来
(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件A与B为对立事
件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;
2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);
3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于
是有P(A)=1—P(B);
4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互 斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会
同时发生,其具体包括三种不同的情形:(1)事件A发生 且事件B不发生;(2)事件A不
发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生,而对立事件是 指事件A 与事件
B有且仅有一个发生,其包括两种情形;(1)事件A发生B不发生;(2)事件B发 生事件
A不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机 数的产生越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率
从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 。频率在大量重复试验的前提下
可以近似地作为这个事件的概率
3.1.3 概率的基本性质



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1、基本概念:
(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件
(2)若A∩B为不可能事件,即A∩B=ф,那么称事件A与事件B互斥;
(3)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件;
1、(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
(2)古典概型的解题步骤;
①求出总的基本事件数;
A包含的基本事件数
②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式P(A)=
总的基本事件个数

3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念:
(1)几何 概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)
成比例,则称这样的概率 模型为几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式:
构成事件A的区域长度(面积或体积)
的区域长度(面积或体积)
P(A)=
试验的全部结果所构成

(2) 几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每
个 基本事件出现的可能性相等.
高中数学 必修4知识点
第一章 三角函数
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?< br>2、角
?
的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落 在第几象限,则称
?
为第几象限角.
??
第二象限角的集合为
?< br>?
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的 集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k? 360?90,k??

????
???
????



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第四象限角的集 合为
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
< br>?
????
?
??
终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
??
?k?180,k??
< br>??
?
?
?
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1弧度.
5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
l

r
?
180
?
?
?
6、弧度制与角度制的换算公式:
2
?
?360

1?

1?
?
?57. 3
?

?
180
?
?
?
7、若扇形的圆 心角为
?
?
?
?
?
为弧度制
?
,半径为< br>r
,弧长为
l
,周长为
C
,面积为
S
,则< br>11
l?r
?

C?2r?l

S?lr?
?
r
2

22
8、设
?
是一个任意大小的角,< br>?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
,它与原点的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
,则
s in
?
?
?
?
yxy

cos
?
?

tan
?
?
?
x?0
?

rrx
y
P
T
O
系:

M
A
x< br>9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,
第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
10、三角函数线:
sin
????

cos
?
???

tan
?
???

11、角三角函数的基本关
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
2
?
sin
?
?tan
?
cos
?
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1? sin
2
?
?
sin
?
??
sin
??tan
?
cos
?
,cos
?
?
??

tan
?
??
12、函数的诱导公式:
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin?

cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?

tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?

?
2?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?< br>,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?

tan
?
?
?
?
?
?tan
?

?
3
?
sin
?
?
?
???sin
?

cos
?
?
?
?
?c os
?

tan
?
?
?
?
??tan?

?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?

cos
?
?
?
?
?
??cos
?

tan
?
?
?
?
?
??tan
?

口诀:函数名称不变,符号看象限.



高考圈-让高考没有难报的志愿


?< br>,
?
5
?
sin
?
?
?
?
?
?
?cos
?
?
2
?
?

?< br>?
?
cos
?
?
?
?
?sin
?< br>?
2
?

?
6
?
sin
?
?
?
?
?
?
?cos
?
?
2
?< br>?
?
?
cos
?
?
?
?
??sin
?

?
2
?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13、①的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度,得到函数
y?sin?
x?
?
?
的图象;
再将函数
y?sin
?< br>x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
?
倍(纵坐标不
变),得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
??
的图象上所有点的纵坐
标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标不变), 得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
②数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
到函数 < br>1
?
倍(纵坐标不变),得
y?sin
?
x
的图象; 再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度,
?
得到函数
y?sin
?
?
x?
?< br>?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸
长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标不变),得到 函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
14、函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0 ,
?
?0
?
的性质:
①振幅:
?
;②周期:??
2
?
?
;③频率:
f?
1
?
?< br>;④相位:
?
x?
?
;⑤初相:
?

?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
,当
x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当
x?x
2
时,取得最大值

y
max
,则??
11?
?
y
max
?y
min
?

??
?
y
max
?y
min
?

?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?

222

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:



y?sinx



y?cosx

y?tanx



高考圈-让高考没有难报的志愿












R

R

?
?
?
?
xx?k?
?,k??
?

2
??
R

?
?1,1
?


x?2k
?
?
时,
?
?1,1
?

?
k??
?

x?2k
?
?
k??
?
时,
?
2


y
max
?1
;当
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
x?2k
?
?
?
2

?
k??
?
时,
y
min
??1

?

?
k??
?
时,
y
min
??1







2
?

2
?

奇函数 偶函数 奇函数

?
2k
?
?
?
?
?
2
,2k
?
?
?< br>?
2
?
?


?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?

是增 函数;在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?


?
k??
?
上是增函数;在

?
3
?
?

?
2k
?
?,2k
?
?
??


?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2
?
?
22
?
?
k??
?
上是减函数.
?
k??
?
上是增函数.
?
k??
?
上是减函数.
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?


对称

?

x?k
?
?
?
k??
?


对称 中心
对称中心
?
??
k
?
?,0
?
?k??
?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?

第二章 平面向量

?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
?
2
?
无对称轴
2



高考圈-让高考没有难报的志愿


16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.

17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
?
?
?
?
?
?
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b
?
??
?
⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a

②结合律:
a?b?c?a?b?c
;③
a?0?0?a?a
. < br>?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
C

?
a

??
?
?
⑸坐标运算:设
a?
?
x
1
, y
1
?

b?
?
x
2
,y
2?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y< br>1
?y
2
?

18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
?
b

?

?

?
?
?
?
⑵ 坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?< br>?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

????

?

?
两点的坐标分别为?
x
1
,y
1
?

?
x
2< br>,y
2
?
,则
????
?
x
1
x< br>2
y,
1
?y
2

?

?????
?
?
???????
a?b??C?????C

19、向量数乘运算:
??
⑴实数
?
与向量
a
的 积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a


?
a?
?
a

????
??
②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相 同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向 相反;当
?
?
?
?0
时,
?
a?0
. < br>?
?
?
?
?????
⑵运算律:①
?
??
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b

??< br>⑶坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?y
?

??
??
??
?
?
20、向 量共线定理:向量
aa?0

b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?< br>,使
b?
?
a

??
?
?
??
??
?
?
bb?0

a?
?
x1
,y
1
?
,其中
b?0
,则当且仅当
x1
y
2
?x
2
y
1
?0
时,向量a

b?
?
x
2
,y
2
?

??
共线.
??
???
21、平面向量基本定理:如果
e
1

e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面
??
??
?????
?
?
?
内的任意向量
a,有且只有一对实数
?
1

?
2
,使
a??
1
e
1
?
?
(不共线的向量
e
1< br>、
e
2

2
e
2



高考圈-让高考没有难报的志愿


为这一平面内所有向量的一组基底)
22、分点坐标公式:设点
?
是线段< br>?
1
?
2
上的一点,
?
1

?2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
,< br>?
x
2
,y
2
?

????????
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y2
?
时,就为中点公式。)

?
1
??
???
2
时,点
?
的坐标是
?
1
(当
?
?1

,
?

1?
?
1?
???
23、平面向量的数量积:
?
?
?
?
?
?
?
?
??

a?b?abcos
?
a?0,b? 0,0?
?
?180
.零向量与任一向量的数量积为
0

??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a?b?ab
;⑵性质:设
a

b
都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.②当
a

b
同 向时,
???
2
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???

a

b
反向时,
a?b??ab

a?a?a?a

a?a? a
.③
a?b?ab

⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
;③
a?b?c?a?c?b?c

?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?< br>?
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

22

a?
?
x,y
?
,则
a?x?y
,或
a?
?
?
2
?
?
?x
2
?y
2
. 设
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
?
?
a?b?x
1
x
2
? y
1
y
2
?0

?
?
?
??
?

a

b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?

?

a

b的夹角,则
?
?
x
1
x
2
?y
1y
2
a?b
cos
?
?
?
?
?

2222
ab
x
1
?y
1
x
2?y
2
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: < br>⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?< br>cos
?
?sin
?
sin
?
;⑵
cos< br>?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?


sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?


tan
?
?
?
?
??
tan
?
?tan
?

?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?< br>??
1?tan
?
tan
?
?
);
1?t an
?
tan
?
tan
?
?tan
?

?

tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
??
).
1?tan
?
tan
?

tan?
?
?
?
?
?
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

sin2
?
?2sin
?
cos
?
.< br>?1?sin2
?
?sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos< br>?
)
2


cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1 ?2sin
2
?



高考圈- 让高考没有难报的志愿


?
升幂公式
1?cos
?
?2cos
2
?
22
cos2
?
?11?cos2
?
2

sin
?
?

?
降幂公式
cos
2
?
?
22

tan2
?
?
,1?cos
?
?2sin
2
?< br>
2tan
?

1?tan
2
?
26、
半角公式:

α1?cosαα1?cosα
;sin?? cos??
2222

α1?cosαsinα1?cosα
tan????

21?cosα1?cosαsinα

?
(后两个不用判断符号,更加好用)


万能公式:

αα
2tan1?tan
2

2
;cosα?
2

sinα?
αα

1?tan
2
1?tan
2
22


27、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的
y?Asin(
?
x?
?
)?B
形式。
?sin< br>?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
,其中
tan
?
?
?

?
28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要 学会创设条件,
灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:

(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角< br>与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的
差异,使问题 获解,对角的变形如:


2
?

?
的二倍;< br>4
?

2
?
的二倍;
?

???
的二倍;是的二倍;
224
?
30
o
?
;②
15?45?30?60?45?
;问:
sin
12
2
ooooo
cos
?
12
?

③< br>?
?(
?
?
?
)?
?
;④
?
4
?
?
?
?
2
?(
?
4
??
)


2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(
?
4
?
?< br>)?(
?
4
?
?
)
;等等



高考圈-让高考没有难报的志愿


(2)函数名称 变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余
弦是基础,通常化切为弦,变 异名为同名。

(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三 角函数值,例
如常数“1”的代换变形有:

1?sin
?
?cos
?
?tan
?
cot
?
?sin90?tan4 5


(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般 采用降幂处
理的方法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,
有时需要升幂,如对无理式
1?cos
?
常用升幂化为有理 式,常用升幂公式
有: ; ;

(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
如:
22oo
1?tan
?
1?tan
?
?_______________

?______________

1?tan
?
1?tan
?
tan
?
?tan
?
?____________

1?tan
?
tan
??___________

tan
?
?tan
?
? ____________

1?tan
?
tan
?
?__ _________

2tan
?
?

1?tan
2
?
?
tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan 40
o
?

sin
?
?cos
?
?
= ;
asin
?
?bcos
?
?
= ;(其

tan
?
?
;)
1?cos
?
?

1?cos
?
?


(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则 是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理
化有理,特殊值与特殊角的三 角函数互化。
如:
sin50
o
(1?3tan10
o
)?

tan
?
?cot
?
?



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