球磨公式特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式

2020年9月19日发(作者：糜镛)
特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式
平行四边形
1.平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，不是轴对称图形。（关于对称性的）
（2）平行四边形的对角相等；（关于角的）
（3）平行四边形的邻角互补；（关于角的）
（4）平行四边形的对边相等；（推论：夹在两条平行线间的平行线段。）（关于边的）
（5）平行四边形的对边平行；（关于边的）
（6）平行四边形的对角线互相平分。（关于对角线的）
（7）连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（关于中点四边形的）
3.平行四边形的判定方法：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（定义判定法）
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4. 相关计算公式：
平行四边形的面积公式：
底×高；如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积，则S=ah
平行四边形周长：
2×（底1+底2）；如用“a表示底1，“b”表示底2，“c“表示平 行四边形周长，则C=2（a+b）
5.平行四边形中常用辅助线的添法：
（1）连结对角线或平移对角线；
（2）过顶点作对边的垂线构成直角三角形；
（3）连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线；
（4）连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
矩形
1.矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形的性质：

（1）矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是通过对 边中点的直线，对称轴共有两条；（关于对称
性的）
（2）矩形的对角相等；（关于角的）
（3）矩形的邻角互补；（关于角的）
（4）矩形的对边相等；（关于边的）
（5）矩形的对边平行；（关于边的）
（6）矩形的对角线互相平分；（关于对角线的）
（7）矩形的四个角都是直角；（关于角的）
（8）矩形的对角线相等。（关于对角线的）
（9）矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
3.矩形的判定方法：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（定义判定法）
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形
（4）对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个内角都相等的四边形为矩形；
（7）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（8）对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。
4.相关计算公式

矩形面积：S=ah(注:a为边长,h为该边上的高)S=ab(注:a为长,b为宽)
矩形周长：C=2(a+b)(注:a为长,b为宽)
顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。
菱形
1.菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.菱形的性质：
（1）菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；
（2）在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。
（3）菱形的对角相等；（关于角的）
（4）菱形的邻角互补；（关于角的）
（5）菱形的对边相等；（关于边的）
（6）菱形的对边平行；（关于边的）
（7）菱形的对角线互相平分；（关于对角线的）
（8）菱形的四边都相等；（关于边的）
（9）菱形的对角线互相垂直，且平分各内角；（关于对角线的）
（10）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形。（关于中点四边形的）
3.菱形的判定方法：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（定义判定法）
（2）对角线相互垂直的平行四边形是菱形；
（3）关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；
（4）四条边都相等的四边形是菱形。
4. 相关计算公式：
菱形的面积：菱形的面积等于两对角线乘积的一半。（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）
正方形
1.正方形的定义：
（1）四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（3）有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。
（4）有一个角为直角的菱形是正方形。
（5）对角线平分，垂直且相等，并且交角为直角的四边形为正方形。
2.正方形的性质：
（1）既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；（关于对称性的）
（2）正方形的对角相等；（关于角的）
（3）正方形的邻角互补；（关于角的）
（4）正方形的对边相等；（关于边的）
（5）正方形的相邻边互相垂直；（关于边的）
（6）正方形的对边平行；（关于边的）
（7）正方形的对角线互相平分；（关于对角线的）
（8）正方形的四个角都是直角；（关于角的）
（9）正方形的对角线相等。（关于对角线的）
（10）正方形的四边都相等；（关于边的）
（11） 正方形的对角线互相垂直，且平分各内角。（关于对角线的）
3.正方形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（3）有一个角为直角的菱形是正方形；
（4）对角线相等的菱形是正方形；
（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
（6）四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形；
（7）四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形；
（8）对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形。
4.相关计算公式：


面积计算公式：S=边长×边长 或：S=对角线×对角线÷2
周长计算公式: C=4×边长
顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。
等腰三角形
1.等腰三角形的定义：
有两边相等的三角形是等腰三角形。
2. 等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等； （简写成“等边对等角”）
（2）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合；（简写成“三线合一”）
（3）等腰三角形的两底角的平分线相等；（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）
（4）等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等；
（5）等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；
（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高；(需用等面积法证明)
（7）等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
3. 等腰三角形的判定方法：
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）
等边三角形
1.等边三角形的定义：

三边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。
（注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）
2.等边三角形的性质：

（1）等边三角形的内角都相等，且为60度；

（2）等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合；（三线合一） < br>（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在 直线。
3.等边三角形的判定方法：


（首先考虑判断三角形是等腰三角形）
（1）三边相等的三角形是等边三角形；（定义）
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；
（4）等边三角形是锐角三角形；
（5）有两个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。
等腰梯形
1.等腰梯形的定义:
一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形。
2.等腰梯形的性质：
（1）等腰梯形只有一条对称轴，上底和下底的中垂线就是它的对称轴；
（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等；
（3）等腰梯形的两腰相等；
（4）等腰梯形的两底平行；
（5）等腰梯形的两个底角相等；
（6）等腰梯形的对角线相等；
（7）等腰梯形内接于圆。
3. 等腰梯形的判定方法：
（1）一组对边不平行边相等的梯形是等腰梯形；
（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形；
（4）一组对边平行（不相等），另一组对边相等（不平行）的四边形是等腰梯形；
（5）对角线相等，形成两个等腰三角形。
4.相关计算公式

等腰梯形的中位线长是上下底边长度和的一半 ；
等腰梯形的面积公式等于上底加下底和一半乘高,也等于中位线乘高。
直角三角形
1.直角三角形的定义：
有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
2.直角三角形的性质
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）在直角三角形中，两个锐角互余。
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一 半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R
＝C2）。
（4）直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
（5）在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
3.直角三角形的判定方法：
（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形；
（ 2）一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形； （3）若a的平方＋b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形；（勾股 定理
的逆定理）。
（4）若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形 是以这条长边为斜边的直角三角形；
（5）两个锐角互余的三角形是直角三角形。