高中必修四三角函数知识点总结

.


§04. 三角函数 知识要点
1. ①与
?
（0°≤
?
＜360°）终边相同的角的集合（角
?
与角
?
的终边重合）：
?
?
|
?
?k?360
?
?
?
,k?Z

?
▲
y
2
sinx
1cosx
cosx
②终边在x轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
,k?Z

③终 边在y轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180?90,k?Z
④终边在坐标轴上的角的集合：
?
|
?
?k?90
?
, k?Z

⑤终边在y=x轴上的角的集合：
?
|
?
?k? 180
?
?45
?
,k?Z

⑥终边在
y??x
轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
?45< br>?
,k?Z

??
3
sinx
4
?
??
?
cosx
cosx
1
sinx
2
sinx< br>3
x
??
4
??
SINCOS
三角函数值大小关系图
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在区域
??
⑦若角
?
与角
?
的终边关于x轴对称，则角
?
与角
?
的关 系：
?
?360
?
k?
?

⑧若角
?与角
?
的终边关于y轴对称，则角
?
与角
?
的关系：< br>?
?360
?
k?180
?
?
?

⑨若角
?
与角
?
的终边在一条直线上，则角
?
与角
?
的关系：
?
?180
?
k?
?

⑩角< br>?
与角
?
的终边互相垂直，则角
?
与角
?
的 关系：
?
?360
?
k?
?
?90
?

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad＝
180
°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝
?
≈0.01745（rad）
?
180
3、弧长公式：
l?|
?
|?r
. 扇形面积公式：
s
扇形
?lr?|
?
|?r
2
< br>y
a
的终边
P（x,y)
r
1
2
1
2
4、三角函数：设
?
是一个任意角，在
?
的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则
sin
?
?
y
；
r
y
x
cos
?
?
；
tan
?
?
x
r
；
cot
?
?
x
；
sec
?
?
r
；.
csc
?
?
r
.
y
x
y
ox
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
y
-+
o
-+
x
余弦、正割
y
-
+
o
x
+-
正切、余切
O
y
y
P
T
M
A
x

6、三角函数线
.

.

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：
16. 几个重要结论
:
(1)
y(2)
y
|sinx|>|cosx|
sinx>cosx
O
x
|cosx|>|sinx|
O
|cosx|>|sinx|
x
co sx>sinx
|sinx|>|cosx|
?
(3) 若 o2
三角函数
f(x)?
sinx
f(x)?
cosx
f(x)?
tanx
f(x)?
cotx
f(x)?
secx
f(x)?
cscx
定义域
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?
1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k ?Z
?

1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且 x?k
?
,k?Z
?


8、同角三角函数的基本关系式：
sin
?
?tan
?

cos
?
cos
?
?cot
?

sin
?


tan
?
?cot
?
?1

csc??sin??1

sec??cos??1

sin
2
?
?cos
2
?
?1

sec
2
?
?tan
2
?
?1

csc
2
?
?cot
2
?
?1

9、诱导公式：
把
k
?

?
?
的三角函 数化为
?
的三角函数，概括为：
2
“奇变偶不变，符号看象限”








任意角的概念








.

应用
弧长公式
同角三角函数
的基本关系式
诱导
公式
应用
计算与化简
证明恒等式
应用
角度制与
弧度制
任意角的
三角函数
三角函数的
图像和性质
应用
已知三角函
数值求角
和角公式
应用
应用
倍角公式
差角公式
应用

.

三角函数的公式：（一）基本关系

公式组一
公式组二 公式组三
sinx
sin(2k
?
?x)?sinx
sin(?x)??sinx
sinx
·
csc
x
=1tan
x
=sin
2
x
+cos
2
x
=1
cosx
cos(2k
?< br>?x)?cosx
cos(?x)?cosx

cos

x

2

2

x
=cos
x
·< br>sec
x
=1
1+tan
x
=sec
x
ta n(2k
?
?x)?tanx
tan(?x)??tanx
sinx
cot(2k
?
?x)?cotx
cot(?x)??cotx
22
tan
x
·
cot
x
=1 1+cot
x
=csc
x
公式组四 公式组五 公式组六
sin(
?
?x)??sinxsin(2< br>?
?x)??sinxsin(
?
?x)?sinx
cos(
?
?x)??cosxcos(2
?
?x)?cosxcos(
?
? x)??cosx

tan(
?
?x)?tanxtan(2
?
?x)??tanxtan(
?
?x)??tanx
cot(
?
?x)?cotxcot(2
?
?x )??cotxcot(
?
?x)??cotx
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?si n
?
sin
?

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1? 1?2sin
2
?

sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

tan2
?
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

sin
2tan
?
1?tan
2
?

?
2
??
1?cos
?

2
tan(?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?< br>1?cos
?

cos??

1 ?tan
?
tan
?
22
tan
?
?tan
?

tan

?
??
1?cos< br>?
?
sin
?
?
1?cos
?
1?tan< br>?
tan
?
21?cos
?
1?cos
?
s in
?
tan(
?
?
?
)?
公式组三 公式组四 公式组五
1
sin
?
cos
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?< br>?
1
?
2
cos(
?
?
?
)?si n
?
2tan
2
1
2
sin
?
?

cos

?
sin
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
?
2
1
1?tan
2
sin(
?
?
?
)?cos
?
2
1
2
cos?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
2
1
2
?
tan(
?
?
?
)?cot
?
1
1?tan
2
2

sin
?
sin
?
??
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
cos
?
?
2
?
?
?
??
?
?
1
1?tan
2
sin
?
?sin
?
?2sincoscos(
?
?
?
)??sin
?
2
22
2
?
?
??
?
?
sin
?
?sin?
?2cossin
1
?
22
tan(
?
?< br>?
)??cot
?
2tan
2
2

cos
?
?cos
?
?2cos
?
?
?
cos
?
?
?
tan
?
?
22
?
1
1?tan
2
?
?
??
?
?
sin(< br>?
?
?
)?cos
?
cos
?
?cos?
??2sinsin
2
2
22
sin15
?
?cos75
?
?
6?2
,
sin75
?
?cos 15
?
?
4
6?2
,
tan15
?
?co t75
?
?2?3
,
tan75
?
?cot15
?
?2?3
.
4



.

.

3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
令
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
????sin2
?
?2sin
?
cos
?

令
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
????cos2< br>?
?cos
2
?
?sin
2
?
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　??2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
tan
?
?tan
?
1+cos2
?
　　　　　　　?cos
2
?
＝
1tan
?
tan
?
2
1?cos2
?
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?sin< br>2
?
＝
2
2tan
?
　　　tan2
??
1?tan
2
?
　tan
?
?
?
?
?
?
★★2.正、余弦定理：在
?ABC
中有:
①正弦定理：

abc
???2R
（
R
为
?ABC
外接圆半径）
sinAsinBsinC
a
?
sinA?
?
2R
?
a?2RsinA
?
b
?
?
注意变形应用
?
b?2RsinB

?

?
sinB?
2R
?
c?2RsinC
?
?
c
?
sin C?
?
2R
?
②面积公式：
S
?ABC
?
111
abssinC?acsinB?bcsinA

222
?
b
2
?c
2
?a
2
cosA?
?
2bc?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
?
?
2
a
2
?c
2
?b
2
?< br>22
③余弦定理：
?
b?a?c?2accosB

?

?
cosB?

2ac
?
?< br>c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
??
a
2
?b
2
?c
2
?
cosC?< br>2ab
?
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

定义域
值域
周期性
奇偶性

y?sinx

y?cosx
R
[?1,?1]


y?tanx
1
?

?
?
x|x?R且x?k?
?
?
,k?Z
?
2
??

y?cotx

?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
R
?

y?Asin
?
?
x?
?
?

（A、
?
＞0）
R R
[?1,?1]

R
?

?
?A,A
?


?
当
?
?0,
非奇非偶
当
?
?0,
奇函数
2
?

2
?

奇函数
2
?

偶函数 奇函数 奇函数
.

.







单调性
[ ?
?
2
?2k
?
,
[
?
2k?1
?
?
,
2k
?
]
；
?
?
?
?
?
?
?k
?
,?k
?
?
2
?
2
?
?
k
?
,
?
k?1
?
?
?
上为减函
数（
k?Z
）
?
2
?2 k
?
]
上为增函
数；
[?2k
?
,
23
?
?2k
?
]
2
上为增函
数
[2k
?
,

?
2k?1
?
?
]
上为减函
数
（
k?Z
）

上为增函数
（
k?Z
）
?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2
(A),
?
?
?
?
1
?
?
?
?
?
2
(?A)?
?
?
??
?
?
?
上为增函数；
?
?
2k
?
??
?
?
上为减函
数（
k?Z
）
?
?
2
(A),
??
?
??< br>??
3
?
2k
?
?
2
?
?
?
?
(?A)
??
?
??
上为减函数
（
k ?Z
）
注意：①
y??sinx
与
y?sinx
的单调性 正好相反；
y??cosx
与
y?cosx
的单调性也同样相
反.一 般地，若
y?f(x)
在
[a,b]
上递增（减），则
y??f(x )
在
[a,b]
上递减（增）.
▲
②
y?sinx
与
y?cosx
的周期是
?
.
③
y?sin(
?
x?
?
)
或
y?cos(
?
x?
?)
（
?
?0
）的周期
T?
2
?
y?
.
O
x
x
y?tan
的周期为2
?
（
T?
?
?T?2
?
，如图，翻折无效）.
2
?
④
y?sin(
?
x?
?
)
的对称轴方程是< br>x?k
?
?
?
2
（
k?Z
），对称中心（< br>k
?
,0
）；
y?cos(
?
x?
?
)
的
对称轴方程是
x?k
?
（
k?Z
），对称中 心（
k
?
?
1
?
,0
）；
y?tan(< br>?
x?
?
)
的对称中心（
2
k
?
.
,0
）
2
y?cos2x?
原点对称
????y??cos (?2x)??cos2x

⑤当
tan
?
·
tan
?
?1,
?
?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
；
tan
?
·
tan
?
??1 ,
?
?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z )
.
?
?
⑥
y?cosx
与
y?sin
?
?
x??2k
?
?
是同一函数,而
y?(
?x?
?
)
是偶函数，则
2
??
1
y?(?
x?
?
)?sin(
?
x?k
?
?
?
)??cos(
?
x)
.
2
⑦函数
y?tanx
在
R
上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
y?tanx
为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对 称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定
义域关于原 点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
f(?x)?f(x)
，奇函数：
f(?x)??f(x)
）
1
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：
y? tanx
是奇函数，
y?tan(x?
?
)
是非奇非偶.（定
3
义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若
0?x
的定义域，则
f(x)
一定有
f(0)?0
.（
0?x
的定义域，则无此性 .

.

质）
▲
⑨
y?sinx
不是周期函数；
y ?sinx
为周期函数（
T?
?
）；
；
y?cosx
为周期函数（
T?
?
）；
y?c osx
是周期函数（如图）
y
▲
y
x
12
x
y=cos|x|图象
1
，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
y?co s2x?
的周期为
?
（如图）
2
y=|cos2x+12|图象y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.
⑩
y?acos
?
?bsin
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)?cos
?
?
11、三角函数图象的作法：
１）、几何法：
b
有
a
2
?b
2
?y
.
a
２）、描点法及 其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲
线）.
３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的 振幅|A|，周期
T?
2
?
，频率
f?
1
?
|
?
|
，相位
?
x?
?
;
初相
?
|
?
|
T2
?
（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω ＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（ 当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|
＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅 变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用yA
替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不 变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）
到原来的
|
1
|< br>倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx
?
替换x)
由y＝si nx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，
得到y＝sin（ x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
由y＝sinx的图象 上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，
得到y＝sinx＋b的图象 叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝A sin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的
图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后 顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区
别。
4、反三角函数：
函数y＝sinx ，
?
?
??
?
?
的反函数叫做反正弦函数，记作
? ?
?
x?
?
?
2
，
?
2
?
??
??
y＝arcsinx，它的定义域是［－1，
1］，值域是
?－
?
，
?
?
．
?
?
22
?
?
函数y＝cosx，（x∈［0，
π
］）的反应函数叫做反余弦函数，记作 y＝arccosx，它的定
义域是［－1，1］，值域是［0，
π
］．
.

.

函数y＝tanx，
?
记作
?
??
?
?
的反函数叫做反正切函数，
?
?
?
?
x?
?< br>?
2
，
?
2
?
?
?
?
?< br>?
?
22
?
y＝arctanx，它的定义域是（－
∞，＋∞ ），值域是
?
?
?
，
?
?
．
函数y＝c tgx，［x∈（0，
π
）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域
是（－∞，＋∞），值域是（0，
π
）．

II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数：⑴反正弦函数
y?arcsinx
是 奇函数，故
arcsin(?x)??arcsinx
，（一
?
x?
?
?1,1
定要注明定义域，若
x?
?
??,??
?
，没有
x
与
y
一一对应，故
y?sinx
无反函数） < br>注：
sin(arcsinx)?x
，
x?
?
?1,1
?
，
arcsinx?
?
?
?
,
?
?< br>.
?
?
22
?
?
⑵反余弦函数
y?arc cosx
非奇非偶，但有
arccos(?x)?arccos(x)?
?
? 2k
?
，
x?
?
?1,1
?
.
注：①< br>cos(arccosx)?x
，
x?
?
?1,1
?
，
arccosx?
?
0,
?
?
.
②
y ?cosx
是偶函数，
y?arccosx
非奇非偶，而
y?sinx
和
y?arcsinx
为奇函数.
⑶反正切函数：
y?arctanx< br>，定义域
(??,??)
，值域（
?
arctan(?x)??arc tanx
，
x?
(??,??)
.
??
，
y?arctanx
是奇函数，
,
）
22
注：
tan(arctanx)?x
，
x?
(??,??)
.
⑷反余切函数：
y?arccotx
，定义域
(??,??)
， 值域（
?
??
22
,
），
y?arccotx
是非 奇非偶.
arccot(?x)?arccot(x)?
?
?2k
?
，
x?
(??,??)
.
注：①
cot(arccotx)?x
，
x?
(??,??)
.
②
y?arcsinx
与
y?arcsin(1?x)
互为奇函数，
y?arctanx
同理为奇而
y?arccosx
与
y?arccotx
非奇非偶但满足
arcc os(?x)?arccosx?
?
?2k
?
,x?[?1,1]arcco tx?arccot(?x)?
?
?2k
?
,x?[?1,1]
.

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
a
的取值范围 解集
a
的取值范围 解集
①
sinx?a
的解集 ②
cosx?a
的解集
a
＞1
?

=1
?
x|x?2k
?
?arcsina,k?Z
?

＜1
x|x?k
?
?
?
?1
?
k
arcsina,k?Z

a
a
＞1
?

a
=1
?
x|x?2k
?
?arccosa,k?Z
?

a
??
a
＜1
?
x|x?k
?
?arccosa,k?Z
?

③
tanx?a
的解集：
?
x|x?k
?
?arctana, k?Z
?
③
cotx?a
的解集：
?
x |x?k
?
?arccota,k?Z
?

二、三角恒等式.
sin2
n?1
?
组一
n
cos
?
co s2
?
cos4
?
...cos2
?
?
n?12sin
?

组二
.

sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?cos
2
?
?cos
2
?

.

n
?
k?1
cos
?
2
k
?cos
?
2
cos
?
4
cos
?
8?
cos
?
2
n
?
sin
?
2
n
sin
?
2
n

?
k?0
n
n
cos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)?
sin(( n?1)d)cos(x?nd)

sind
?
sin(x?kd)?sin x?sin(x?d)???sin(x?nd)?
k?0
sin((n?1)d)sin(x ?nd)

sind
tan(
?
?
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?tan
?
?t an
?
tan
?
tan
?

1?tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?
tan
?
组三 三角函数不等式
?
sinx
在
(0,
?
)
上是减函数
sinx
＜
x
＜
tanx,x?(0,)

f(x)?
2
x
若
A?B?C?
?
，则
x
2
?y
2
?z
2
?2yzcosA?2xzcosB?2x ycosC


积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)
sinx- siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)
cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)
cosx- cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)
我们背公式时往往要么不是死记硬 背，要么便是不停的推导增强熟练度来记忆，其实我们可
以通过公式的逻辑结构来记忆，这个公式其实对 于高中生用得更多一些，不久前做了一道满
综合的题目是无意中想起了当时总结的记忆法，只要大家按我 说的方法来记忆，保证20秒
内牢记这些公式，下面我来说说记忆的方法：
对于积化合差公式 来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边
同名，等号右边全是cos， 其次，右边中间的和与差取决于左边第二项，若是cos，则是+，
若是sin，则是-，最后记得si n*sin时要添上一个负号。
对于和差化积公式来说，第一，若等号左边全是sin，则右边异名， 若等号左边全是cos，则
等号右边同名，第二，等号左边中间的正负号决定了右边第二项，若是正，则 是cos，若是
负，则是sin，然后可以根据第一条原则写出完整的右边式子，最后记得cos- cos要添一个负
号。

.