必修4 平面向量知识点总结

平面向量基础知识复习
平面向量知识点小结
一、向量的基本概念
1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.
注意：不能说向量就是有向线段，为什么？

提示：向量可以平移.
????
?
举例1 已知
A(1,2)
，
B(4,2)< br>，则把向量
AB
按向量
a?(?1,3)
平移后得到的向量是____ _. 结果：
(3,0)

?
0
2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，规定：零向量的方向是任意的；
????
????
AB
?
）
3.单位向量：长度为一个单位 长度的向量叫做单位向量（与
AB
共线的单位向量是
?
???
；
|AB|
4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； < br>??
??
5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量
a
、
b
叫做平行向量，记作：
a
∥
b
，
规定：零向量和任何向量平行.
注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行 不包含两条直线重合；
?
③平行向量无传递性！（因为有
0
)；
????????
④三点
A、B、C
共线
?AB、 AC
共线.
6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.
a
的相 反向量记作
?a
.
举例2 如下列命题：（1）若
|a|?|b|
，则
a?b
.
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
?????????
（3）若
AB?DC
，则
ABCD
是平行四边形.
（4）若
ABCD
是平行四边形，则
AB?DC
.
??
?
?
??
（5）若
a?b
，
b?c
，则
a?c
.
?
?
?
?
??
（6）若< br>ab
，
bc
则
ac
.其中正确的是 . 结果：（4）（5）
?????????
?
?
??
?
?< br>二、向量的表示方法
????
1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如
A B
，注意起点在前，终点在后；
?
??
a
2.符号表示：用一个小 写的英文字母来表示，如，
b
，
c
等；
??
3.坐标表示 ：在平面内建立直角坐标系，以与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i,j
为基底，则平面内的
任一向量
a
可表示为
a?xi?yj? (x,y)
，称
(x,y)
为向量
a
的坐标，
a?(x,y )
叫做向量
a
的坐标表示.
结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
三、平面向量的基本定理
?
?????
a
是该平面内任一向量，< br>e?
?
e
定理 设
e
1
,e
2
同 一平面内的一组基底向量，则存在唯一实数对
(
?
1
,
?
2
)
，使
a?
?
.
1122
???
??< br>（1）定理核心：
a?λ
1
e
1
?λ
2
e< br>2
；（2）从左向右看，是对向量
a
的分解，且表达式唯一；反之，是对向量< br>a
的合成.
?
?????
（3）向量的正交分解：当
e1
,e
2
时，就说
a?λ
1
e
1
?λ
2
e
2
为对向量
a
的正交分解．

?
?
??
1
?
3
?
举例3 （1）若< br>a?(1,1)
，
b?(1,?1)
，
c?(?1,2)
，则
c?
. 结果：
a?b
.
?
?
??
?
?
?
22
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向 量基底的是 B
?
?
13
?
???????A.
e
1
?(0,0)
，
e
2
?(1,?2)
B.
e
1
?(?1,2)
，
e
2< br>?(5,7)
C.
e
1
?(3,5)
，
e
2
?(6,10)
D.
e
1
?(2,?3)，
e
2
?
?
,?
?

?
24
?
????????
????
?
????
?
??? ?
?
?
2
?
4
?
（3）已知
AD,BE< br>分别是
△ABC
的边
BC
，
AC
上的中线,且
AD?a
，
BE?b
,则
BC
可用向量
a,b
表 示为 . 结果：
a?b
.
33
????????? ???????????
（4）已知
△ABC
中，点
D
在
B C
边上，且
CD?2DB
，
CD?rAB?sAC
，则
r? s?
的值是 . 结果：0.
四、实数与向量的积
??实数
?
与向量
a
的积是一个向量，记作
?
a
， 它的长度和方向规定如下：
??
（1）模：
|
?
a|?|
?
|?|a|
；
????
（2）方向：当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同，当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反，当
?
?0时，
?
a?0
，
?
注意：
?
a?0
.
?
?
五、平面向量的数量积
?????
?
?
?? ?
?
?
?
?
1.两个向量的夹角：对于非零向量
a
，
b
，作
OA?a
，
OB?b
，则把
?AOB?< br>?
(0?
?
?
?
)
称为向量
a
，< br>b
的夹角.
当
?
?0
时，
a
，
b
同向；当
?
?
?
时，
a
，
b
反向 ；当
?
?
?
?
?
?
?
2
时，a
，
b
垂直.
?
?
??
??
??
2.平面向量的数量积：如果两个非零向量
a
，
b
，它们的夹 角为
?
，我们把数量
|a||b|cos
?
叫做
a
与
b
的数量积
?
?
?
?
?
?
（或 内积或点积），记作：
a?b
，即
a?b?|a|?|b|cos
?
.
规定：零向量与任一向量的数量积是0.
注：数量积是一个实数，不再是一个向量.
????????????
????????
举例4 （1）
△ABC中，
|AB|?3
，
|AC|?4
，
|BC|?5
，则
AB?BC?
_________. 结果：
?9
.
??
?
?
?
?
?
?
1
?
1?
?
??
?
?
（2）已知
a?
?
1,
?
，
b?
?
0,?
?
，
c?a?kb，
d?a?b
，
c
与
d
的夹角为，则
k? ____. 结果：1.
2
?
4
?
2
??< br>?
?
?
?
?
?
（3）已知
|a|?2
，
|b|?5
，
a?b??3
，则
|a?b|?
____ . 结果：
23
.
??
?
?
?
?
?
?
?
（4）已知
a,b
是两个非零向量，且
|a|?|b |?|a?b|
，则
a
与
a?b
的夹角为____. 结果：
30
?
.
1

?
?
?< br>3.向量
b
在向量
a
上的投影：
|b|cos
?，它是一个实数，但不一定大于0.
?
?
?
?
?
?
12
举例5 已知
|a|?3
，
|b|?5
，且
a?b?12
，则向量
a< br>在向量
b
上的投影为______. 结果：.
平面向量基础知识复习
?
??
?
?
?
?
?
4.
a?b
的几何意义：数量积
a?b
等于
a
的 模
|a|
与
b
在
a
上的投影的积.
?
?
5.向量数量积的性质：设两个非零向量
a
，
b
，其夹角为
?
，则：
?
?
?
?
（1）
a?b?a?b?0
；
?
?
?
?
?
?
??????
（2）当
a< br>、
b
同向时，
a?b?|a|?|b|
，特别地，
a
2
?a?a?|a|
2
?|a|?a
2
；
?
?< br>?
?
?
?
a
a?b?|a|?|b|
是、
b
同向的充要分条件；
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
当
a
、
b
反向时，
a? b??|a|?|b|
，
a?b??|a|?|b|
是
a
、
b
反向的充要分条件；
?
?
?
?
?
?
当
?
为锐角时，
a?b?0
，且
a
、
b
不同 向，
a?b?0
是
?
为锐角的必要不充分条件；
?
??
?
?
?
当
?
为钝角时，
a?b?0
，且
a
、
b
不反向；
a?b?0
是
?
为钝 角的必要不充分条件.
?
?
?
?
a?b
?
??
?
（3）非零向量
a
，
b
夹角
?
的 计算公式：
cos
?
?
?
?
；④
a?b?|a|| b|
.
|a||b|
?
?
?
?
41
举例6 （1）已知
a?(
?
,2
?
)
，
b?(3
?
,2)
，如果
a
与
b
的夹角为锐角，则
?
的取值范 围是______. 结果：
?
??
或
?
?0
且
?
?
；
5
33
????????????
????
13
?
??
?
（2）已知
△OFQ
的面积为
S
，且
OF? FQ?1
，若
?S?
，则
OF
，
FQ
夹角
?
的取值范围是_________. 结果：
?
,
?
； < br>22
?
43
?
?
?
?
?
?
?
（3）已知
a?(cosx,sinx)
，
b?(cosy,siny)< br>，且满足
|ka?b|?3|a?kb|
（其中
k?0
）.
?
?
?
?
?
?
1
?
?
k
2
?1
①用
k
表示
a?b
；②求
a?b
的 最小值，并求此时
a
与
b
的夹角
?
的大小. 结果：①
a?b?(k?0)
；②最小值为，
?
?60
?
.
2
4k
六、向量的运算
1.几何运算
（1）向量加法
运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.
作图：略.
注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.
?
????
?
??? ?
?
?????????????
?
?
???
?
运 算形式：若
AB?a
，
BC?b
，则向量
AC
叫做
a
与
b
的和，即
a?b?AB?BC?AC
；
（2）向量的减法
运算法则：三角形法则.
????
?
????
?
?????????
?
?
???
运算形式：若
A B?a
，
AC?b
，则
a?b?AB?AC?CA
，即由减向量的终 点指向被减向量的终点.
作图：略.
注：减向量与被减向量的起点相同.
??? ?????????????
????
????
????????????????? ????????
?
举例7 （1）化简：①
AB?BC?CD?
；②
AB?AD?DC?
；③
(AB?CD)?(AC?BD)?
. 结果：①
AD
；②
CB
；③
0
；
? ???
?
????
?
????
?
?
?
?< br>（2）若正方形
ABCD
的边长为1，
AB?a
，
BC?b< br>，
AC?c
，则
|a?b?c|?
. 结果：
22
；
（3）若
O
是
△ABC
所在平面内 一点，且满足
OB?OC?OB?OC?2OA
，则
△ABC
的形状为
.
结果：直角三角形；
????
?????????????
|AP|
（4）若
D
为
△ABC
的边
BC
的中点，
△ABC
所在平面内有一点
P
，满足
PA?BP?CP?0
，设
????
?
?
，则
?
的值为 . 结果：2；
|PD|
?????????????
（5）若点
O
是
△ABC
的外心，且
OA?OB?CO?0
，则
△ABC
的 内角
C
为 . 结果：
120
?
.
???? ????????????????
?
?
2.坐标运算：设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
?
?
?
?
（1）向量的加减法运算：
a? b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
，
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
????????????
举例8 （1）已知点
A(2, 3)
，
B(5,4)
，
C(7,10)
，若
AP?AB?< br>?
AC(
?
?R)
，则当
?
?
____时， 点
P
在第一、三象限的角平分线上. 结果：
（2）已知
A(2,3 )
，
B(1,4)
，且
?
1
???
??
?
?
AB?(sinx,cosy)
，
x,y?(?,)
，则
x?y?
.结果：或
?
；
22262
?????????????????????
1
；
2
（3）已知作用在点
A(1,1)
的三个力
F
1
?(3,4 )
，
F
2
?(2,?5)
，
F
3
?(3, 1)
，则合力
F?F
1
?F
2
?F
3
的终 点坐标是 . 结果：
(9,1)
.
（2）实数与向量的积：
?
a?
?
(x
1
,y
1
)?(
?
x
1
,
?
y
1
)
.
（3）若
A (x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?(x
2
?x
1
,y
2?y
1
)
，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点
坐标减 去起点坐标.
????????
????
1
????
11
举例9 设< br>A(2,3)
，
B(?1,5)
，且
AC?AB
，
A D?3AB
，则
C,D
的坐标分别是__________. 结果：
(1,),(?7,9)
.
?
????
?
?
（4）平面向量数量积：
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.
（1）若
x?
?
3
33
?
??
举例10 已知向量
a?(sinx,cosx)
，
b?(sinx,sinx)
，c?(?1,0)
.
??
，求向量
a
、
c
的夹角；
?
?3
??
11
（1）
150
?
；（2）或
?2? 1
.
,]
，函数
f(x)?
?
a?b
的最大值为 ，求
?
的值.结果：
8422
（2）若
x?[?
???（5）向量的模：
a
2
?|a|
2
?x
2
?y
2
?|a|?x
2
?y
2
.
2

平面向量基础知识复习
?
?
?
?
举例11 已知
a,b
均为单位向量，它们的夹角为
60
?
，那么
|a ?3b|?
＝ . 结果：
13
.
（6）两点间的距离： 若
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
|AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
.
举例12 如图，在平面斜坐标系
xOy
中，
?xOy?60
?< br>，平面上任一点
P
关于斜坐标系
????
??
??
的斜坐标是这样定义的：若
OP?xe
1
?ye
2
，其中
e
1
,e
2
分别为与
x
轴、
y
轴同方向的单
位向量，则
P
点斜坐标为
(x,y)
.
（1）若点
P
的斜坐标为
(2,?2)
，求
P
到
O
的距离< br>|PO|
；
（2）求以
O
为圆心，1为半径的圆在斜坐标系
xOy
中的方程.
结果：（1）2；（2）
x
2
?y
2
?xy?1?0
.
60
?
O

y


x

七、向量的运算律
?
??
??
??
?
??
1.交换律：
a?b?b?a
，
?
(
?
a)?(
??
)a
，
a?b?b?a
；
?
?
?
? ?
?
??
?
??
?
??
?
?
?< br>?
2.结合律：
a?b?c?(a?b)?c
，
a?b?c?a?(b ?c)
，
(
?
a)b?
?
(a?b)?a?(
?< br>b)
；
?
???
?
?
??
?
?< br>??
?
?
3.分配律：
(
?
?
?
) a?
?
a?
?
a
，
?
(a?b)?
?a?
?
b
，
(a?b)?c?a?c?b?c
.
举例13 给出下列命题：①
a?(b?c)?a?b?a?c
；②
a?(b?c)?(a?b)?c
；③
(a?b)
2
?|a|2
?2|a||b|?|b|
2
；
?
?
???
?
?
?
?
?
??
??
a?bb
???
?
?
?
?
?
?
?
④ 若
a ?b?0
，则
a?0
或
b?0
；⑤若
a?b?c?b
则
a?c
；⑥
|a|
2
?a
2
；⑦
?< br>2
?
?
；⑧
(a?b)
2
?a
2
? b
2
；⑨
(a?b)
2
?a
2
?2a?b?b2
.
aa
?
??
?
?
??
?
???
?
??
?
??
?
??
??
其中正 确的是 . 结果：①⑥⑨.
说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也 有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个
向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；
?< br>?
??
?
?
（2）向量的“乘法”不满足结合律，即
a?(b ?c)?(a?b)?c
，为什么？
八、向量平行(共线)的充要条件
?
?
?
?
?
?
?
?
ab?a
?
b? (a?b)
2
?(|a||b|)
2
?x
1
y
2< br>?y
1
x
2
?0
.
????????????
?
?
?
?
举例14 (1)若 向量
a?(x,1)
，
b?(4,x)
，当
x?
_____ 时，
a
与
b
共线且方向相同. 结果：2.
??
??
?
????
?
（2）已知
a?(1,1)
，
b?(4,x)
，
u?a?2b
，
v?2a?b
，且< br>uv
，则
x?
. 结果：4.
（3）设
PA?(k,12)
，
PB?(4,5)
，
PC?(10,k)，则
k?
_____时，
A,B,C
共线. 结果：
?2
或11.
九、向量垂直的充要条件
?
?
?< br>?
?
?
?
?
a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|? x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
. < br>????????????????
?
ABAC
??
ABAC
?
????
?
????
?
?
?
????
?
????
?
.
特别地
?
?
|AB||AC|??
|AB||AC|
?
????
????????
????? ???
3
举例15 (1)已知
OA?(?1,2)
，
OB?(3 ,m)
，若
OA?OB
，则
m?
.结果：
m?
；
2
（2）以原点
O
和
A(4,2 )
为两个顶点作等腰直角三角形
OAB
，
?B?90?
，则点
B
的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；
???
???
（3）已知
n?(a,b)
向量
n?m
，且
|n|?|m|
，则
m?
的坐标是 .结果：
(b,?a)
或
(?b,a)
.
十、线段的定比分点 < br>????????
1.定义：设点
P
是直线
P
1
P< br>2
上异于
P
1
、
P
2
的任意一点，若存在一 个实数
?
，使
PP?
?
PP
2
，则实数
?
叫做点
P
1
分有向线段
P
1
P
2
所成的比
?
，
P
点叫做有向线段
P
1
P
2
的以定比为
?
的定比分点.
2.
?
的符号与分点
P
的位置之间的关系
?????（1）
P
内分线段
P
1
P
2
，即点
P
在线段
P
1
P
2
上
?
?
?0；
?????
（2）
P
外分线段
P
1
P2
时，①点
P
在线段
P
1
P
2
的延长 线上
?
?
??1
，②点
P
在线段
P
1P
2
的反向延长线上
??1?
?
?0
.
?? ????????
注：若点
P
分有向线段
PP
所成的比为
?
，则点
P
分有向线段
PP
所成的比为
1
.
1221
??????????
?
????????
37
举例16 若点
P
分
AB
所成的比为，则
A
分
BP
所 成的比为 . 结果：
?
.
43
3.线段的定比分点坐标公式：
?
x?
?
?????
?
设
P
点
P(x,y)
分有向线段
P
1< br>P
2
所成的比为
?
，则定比分点坐标公式为
?
1(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
?
y?
?
?
x1
?
?
x
2
,
1?
?
(
?< br>??1)
.
y
1
?
?
y
2
.< br>1?
?
x
1
?x
2
?
x?,
??
2
特别地，当
?
?1
时，就得到线段
P
1< br>P
2
的中点坐标公式
?

y?y
2
?
y?
1
.
?
?2
说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明 确
(x,y)
，
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
)
的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标. < br>（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比
?
.
举例17 （1）若
M(?3,?2)
，
N(6,?1)
，且
MP??MN
，则点
P
的坐标为
.
结果：
(?6,?)
；
??????
1
????
3
7
3
3

平面向量基础知识复习
??????????
?
1
（2）已知
A(a,0)
，
B(3,2?a)
，直线
y?ax
与线段
AB
交于
M
，且
AM?2MB
，则
a?< br> . 结果：２或
?4
.
2
十一、平移公式 < br>??
x
?
?x?h,
如果点
P(x,y)
按向量a?(h,k)
平移至
P(x
?
,y
?
)
，则
?
；曲线
f(x,y)?0
按向量
a?(h,k)
平移得曲 线
?
?
y
?
?y?k.
f(x?h,y?k)?0
.
说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别 忘了啊！
??
举例18 （1）按向量
a
把
(2,?3)
平移到
(1,?2)
，则按向量
a
把点
(?7,2)
平移 到点______. 结果：
(?8,3)
；
??
?
（2） 函数
y?sin2x
的图象按向量
a
平移后，所得函数的解析式是
y ?cos2x?1
，则
a?
________. 结果：
(?,1)
.
4
十二、向量中一些常用的结论
1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
??
??
?
?
2.模的性质：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
. ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
b
反向或
a、 b
中有
0
?|a?b|?|a|?|b|
； （2）左边等号成立条件：
a、
??
?
?
??
?
?
b
不共线
?|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
. （3）当
a、
b
同向或
a、 b
中有
0
?|a?b|?|a|?|b|
； （1）右边等号成立条件：
a、
3.三角形重心公式
在
△ABC
中 ，若
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，
C(x
3
,y
3
)
，则其重心的坐标为
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
?
33
?
?
24
?
举例19 若< br>△ABC
的三边的中点分别为
A(2,1)
、
B(?3,4)
、
C(?1,?1)
，则
△ABC
的重心的坐标为 .结果：
?
?,
?
.
5.三角形“三心”的向量表示
? ????????????
????
1
????????????
（1）PG?(PA?PB?PC)?G
为
△
ABC
的重心，特别地
P A?PB?PC?0?G
为
△
ABC
的重心.
3
???? ????????????????????
PA?PB?PB?PC?PC?PA?P
为△
ABC
的垂心. （2）
????????
???????????? ???????????????
?
ABAC
?
??????????
?
?
（3）
|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P
为
△
ABC
的内心；向量
?
?
?
|AB||AC
?
(
?
?0)
所在直线过
△
ABC
的内
|< br>??
心.
??????????
????
MP?
?
MP
?????
2
设点
P
分有向线段
P
1
P
2
所成的比为
?
，若
M
为平面内的任一点，则
M P?
1
，特别地
P
为有向线段
1?
?
?????? ????
?????
????
MP?MP
12
.
P
1
P
2
的中点
?MP?
2
????????????????????????
7. 向量
PA,PB,PC
中三终点
A,B ,C
共线
?
存在实数
?
,
?
，使得
PA?
?
PB?
?
PC
且
?
?
?
?1< br>．
举例20 平面直角坐标系中，
O
为坐标原点，已知两点
A(3 ,1)
，
B(?1,3)
，若点
C
满足
OC?
?< br>1
OA?
?
2
OB
,其中
?
1
,< br>?
2
?R
且
?
1
?
?
2
? 1
,则点
C
的轨迹是 .
结果：直线
AB
.
????????????
?????
6.点
P
分有向线段
P
1
P
2
所成的比
?
向量形式


4