高中数学必修四平面向量知识点总结及训练题

必修四 平面向量
一、向量的相关概念：
1.向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫向量
注意：1?数量与向量的区别 ：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较 大小
2、
向量的表示方法：
几何表示法：①用有向线段表示；②用字母
a
、
b
等表示；③用有向
线段的起点与终点字母：
AB
；坐标 表示法：
a?xi?yj?(x,y)

?
?
?
3、向量的 模：
向量
AB
的大小――长度称为向量的模，记作|
AB
|. < br>4、特殊的向量：
①长度为0的向量叫零向量，记作
00
的方向是任意的②长度 为1个单位
长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
5、相反向量：
与
a
长度相同、方向相反的向量记作 ?
a

??
6、相等的向量：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量
a
与
b
相等，记作
a?b
；
7、平行向量(共线向量)：
方向相同或相反的向量，称为平行向量记作
ab
平行向量也称
?
??
??
为共线向量规定零向量与任意向量平行。
?
8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量
a
与
b
，作
OA
＝
a
，
OB
＝
b
，则
?
?
?
?AOB?
?
?
0?
?
?
?
?
叫
a
与
b
的夹角
?
?
说明：（1）当
?
?0
时，a
与
b
同向；（2）当
?
?
?
时，
a
与
b
反向；（3）当
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
时，
a
与
?
（4）注 意在两向量的夹角定义，两向量必
b
垂直，记
a
⊥
b
；规定 零向量和任意向量都垂直。
?
须是同起点的范围0?≤?≤180?
9、实数与向量 的积：
实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作
?
a
，它的长 度与方向规定如
下：

1
?
?

（Ⅰ）
?
a?
?
a
； （Ⅱ）当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方 向相同；当
?
?0
时，
?
a
的
??
??< br>??
?
方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0
，方向是任意的
?
10、两个向量的数量积：
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为
?
，则
a ?b?|a|?|b|cos
?

?
?
?
????
叫做
a
与
b
的数量积（或内积） 规定
0?a?0

?
??
11、向量的投影：
定义：|
b
|cos?叫做向量
b
在
a
方向上的投影，投影也是一个数量，不
是向量；当?为锐角时投影为 正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? =
0?时投影为 |
b
|；当? = 180?时投影为 ?|
b
|
??
?
??
??
?
bcos
?
?
a?b
|a|< br>?
?R
，称为向量
b
在
a
方向上的投影投影的绝对值 称为射影
?
?
二、重要定理、公式：
1、平面向量基本定理：
e
1
，
e
2
是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内< br>任一向量，有且仅有一对实数
?
1
,
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
???
??
（1）．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系 内，我们分别取与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
、
j
作为基
底任作一个向量
a
，由平面向量基本定理知，有且只有一对 实数
x
、
y
，使得
?
?
?
?
1

a?xi?yj
…………○
?
??
我们把
(x,y)
叫做向量
a
的（直角）坐 标，记作
?
2

a?(x,y)
…………○
??
2
式叫做向量的坐标表示 其中x
叫做
a
在
x
轴上的坐标，
y
叫做
a
在
y
轴上的坐标，○

2

a
与< br>．
相等的向量的坐标也为
．．．．．．．．．．
(x,y)

?
特别地，
i?(1,0)
，
j?(0,1)
，
0?(0, 0)

??
（2） 若
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?< br>
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
2、两个向量平行的充要条件
?

?
向量共线定理：向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使
?
b ?
?
a
设
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
ab?a?
?
b?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

?
??
????

3、两个向量垂直的充要条件
??

????
设
a?(x< br>1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2< br>)
，则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

4、平面内两点间的距离公式
（1）设< br>a?(x,y)
，则
|a|?x?y
或
|a|?x
2
?y
2

222
?
?
?
（2）如果表示向量
a
的有向线段的起点和终点的坐标分别为A
(x
1
,y
1
)
、B
(x
2
,y
2
)
，那么
?
|AB|?
?
?
x
1
?x
2
?
2
?
?
y
1
?y
2
?
2
(平面内两点间的距 离公式)
??
5、两向量夹角的余弦
（
0?
?
?
?
）
cos
?
?
?
a?b
?
?|a|?|b|

x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
?x
2
?y
22222

三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运
算的坐标表示和性质
rr
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)


运算
几何方法
类型
向
量
的
加
法

坐标方法 运算性质
????
1平行四边形法则
2三角形法则（首尾相接，首尾
连）

?
a?b?b?a
???
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

?
(a?b)?c?a?(b?c)

3
???

AB?BC?AC


向
量
的
减
法
????
三角形法则（首首相接，尾尾相
连，指向被减）

?
a?b?a?(?b)

a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

?
AB??BA

OB?OA?AB

实数λ与向量
a
的积是一个向量，
记作：
?
a

向
量
的
乘
法
（1）
?
a?
?
a

（2）
?
? 0
时，
?
a
与
a
同向；
当
?
?0
时，
?
a
与
a
异向；
当
?
?0
时，
?
a?0
。任意方向
?< br>?
?
(
?
a)?
?
??
?
a

?
??
?
?
a?(
?
x,
?
y)

??
?
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a

?
(a?b)?
?
a?
?
b

?
???

????
?
?
ab?a?
?
b

???
??
??
a?b?b?a

??????
? ?
??
a?b?|a|?|b|cos
?
，
??
??
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

(
?
a)?b?a?(
?
b)?
?
(a?b)

(a?b)?c?a?c?b?c

???????
向
量
的
数
量
积
?
0?
?
?
?
?

1
a?0
或
b?0
时,
向量的数量积的几何意
义：
数量积
a?b
等于
a
的
?
长度与
b
在
a
方向上投
?
?
??
?
|a|?a
或
|a|?x
2
?y
2

2
??
2
?
??
a?b?0

?
?
|a?b|?|a||b|

?
????
2
a?0
且
b?0
时,
?
影
|b|?cos
?
的乘积
?
a?b?a?b ?0
??
???
??
a?b?|a||b|cos?a,b?

????

cos
?
?

a?b
|a|?|b|
??

特别注意：（
1）结合律不成立：
a?(b?c)?(a?b)?c
；
??????

4

（2）消去律不成立
a?b?a ?c
??
????
不能得到
b?c

??
（3）< br>a?b?0
不能得到
a
=
0
或
b
=
0

乘法公式成立：
(a?b)(a?b)?a?b?|a|
2
?|b|
2

(a?b)?a?2a?b?b?|a|?2a?b?|b|
2

??
2
?
2
???
2
?
2
???
?????
2
?
2
??
线段的定比分点公式:
设点
P分有向线段
P
1
P
2
所成的比为
λ
，即
P
1
P
＝
λ
PP
2
，则

< br>?
x?
?
?
?
?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
,
1?
?
(线段 定比分点的坐标公式)
y
1
?
?
y
2
.
1 ?
?

x
1
?x
2
?
x?,
?< br>1
?
2
当
λ
＝1时，得中点公式：
OP
＝（
OP
1
＋
OP
2
）或
?
2
?y?
y
1
?y
2
.
?
2
?

?
平移公式：
设点
P
(x，y)按向量
a
＝（
ｈ
，
ｋ
）平移后得到点
P
′（x′，y′），
?
x
?
?x?h,
则
OP
?
＝
OP
+a或
?

?
y
?
?y?k.
曲线y＝f（x）按 向量
a
＝（
ｈ
，
ｋ
）平移后所得的曲线的函数解析式为：y －
ｋ
＝f（x－
ｈ
)
?

正弦定理
其中R表示三角形的外接圆半径）： （1）
（2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
（3）
sinA?
abc
???2R

sinAsinBsinC
abc
,sinAB?,sinC?,

2R2R2R
余弦定理
2
22
（1）
b
=
a?c?2accosB
b
2
?c
2
?a
2
（2）
cosA?

2bc
（3）
S?

11
11
a?h
a< br>；②
S?bcsinA
?absinC?acsinB
；
22
22
5

附：
△ABC的判定： < br>c
2
?a
2
?b
2
?
△ABC为直角△?
∠A + ∠B =
?

2
c
2
＜
a
2
?b
2
?
△ABC为钝角△
?
∠A + ∠B＜
?
2

c
2
＞
a
2
?b< br>2
?
△ABC为锐角△
?
∠A + ∠B＞
?
2

附：证明：
cosC?
a
2
?b
2
?c
2
2ab
，
得在钝角△ABC中，
c osC?0?a
2
?b
2
?c
2
?0?a
2
?b
2
?c
2

在△ABC中，有下列等式成立
tanA ?tanB?tanC?tanAtanBtanC
.
证明：因为
A?B?
?
?C,
所以
tan
?
A?B
?
?tan
?
?
?C
?
，所以
tanA?tanB
1?tanAtan B
??tanC
，
?
结论！
三角形的四个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点. 非零向量
a
与
a
有关系是
：
a
是
a< br>方向上的单位向量
aa











6

练习题：
一、平面向量的概念及其运算
1、若向量
a
、
b
满足
a?b?a?b
，则
a
与
b
必须满足的条件 为
a,b
方向相同
2、若
AB?b,AC?c
，则
BC
等于（ B ）
A．
b?c
B．
c?b
C．
b?c
D．
?b?c

3、正六边形ABCDEF中，
BA?CD?EF?
（ D ）
A．
0
B．
BE
C．
CD
D．
CF

4、在边长为1的正方形 ABCD中，设
AB?a,AD?b,AC?c
，则
a?b?c
= 2
5、在
?ABC
中，已知
BC?3BD
，则< br>AD
等于（ A ）
A．
1
3
(AC?2AB)
B．
1
3
(AB?2AC)
C．
1
4
(AC?3AB)

D．
1
4
(AC?2AB)

6、在
?ABC中，E、F分别是AB和AC的中点，若
AB?a,AC?b
，则
EF
等 于（ C ）
A．
1
(a?b)
B．
1
(a?b)
C．
1
(b?a)
D．
?
1
2
22
2
(a?b)

7、已知：向量
a,b
同向，且
a?3,b?7
，则
2a?b?
1
二、平面向量的基本定理及坐标表示
8、若
AB?3e
1
,CD? ?5e
1
，且
AD?BC
，则四边形ABCD是（ C ）
A．是平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰梯形

7

9、已知
A(?2,4) ,B(3,?1),C(?3,?4)
且
CM?3CA,CN?2CB
，试求点
M、N
和
MN
的坐标 199页
（答案：
M(0,20),N(9,2),MN?(?9,?18)
）
10、已知向量
a?(?3,?4)
，则与
a
同向的单位向量是（ A ）
A．
(?,?)
B．
(,)
C．
(?3,?4)
D．
(3,4)

3
5
4
5
34
5511、已知
A(?3,2),AB?(8,0)
，则线段AB中点的坐标是 （1，2）
12、若三点
P(1,1),A(2,?4),B(x,?9)
共线，求
x
（答案：
x?3
）
13、若向量
a?(x?3,x
2
?3x?4)
与
AB
相等地，已知
A( ?1,2),B(1,2)
，则
x
的值为（ A ）
A．-1 B．-1或-4 C．4 D．1或4
三、线段的定比分点 < br>14、已知A、B、C三点在同一条直线上，且A（3，-6），B（-5，2），若点C的横坐标为6， 求
点C分
AB
所成的比及点C的纵坐标
3
,?9
） 11
（答案：
?
??
15、若线段AB的端点
A(lgx,lg y),B(?6,3)
，中点
M(?2,0)
，则
x?
100 、
16、已知
O(0,0)
和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且
OP?
则点B的坐标为 （4，2）
17、已知直线
l
与
x
轴，
y
轴分别交于点A、B，
?AOB
的重心为（-1，3），则 AB中点坐标为
(?
39
,)

22
1
PA
，又P是
OB
的中点，
2
< br>18、已知三个点
A(?2,1),B(1,4),D(4,?3)
，点C在
A B
上，且
2AC?CB
，连结DC并延长至E，使
CE?
1
DE
，则E点的坐标为（ D ）
4
511811
） C．（0，1）或
(2,)
D．（
?
，）
3333
8
A．（0，1） B．（-8，
?

19、已知点A
(x,5)
关于
P(1,y)
R 对称点是
B(?2,?3)
，则点
(x,y)
到原点的距离是（ D ）
A．
13
B．
15
C．4 D．
17

四、平面向量的数量积
20、已知，a?2,b?3,a?b?33
，则
a
与
b
的夹角等于
30
o

21、已知ABCD为菱形，则
(AB?BC)?(AB?AD)
的值为 0
22、已知
b?5
，且
a?b?12
，则向量
a
在
b
方向上的投影为
23、已知向量
a
与
b
的夹角为
120
o
，且
a?4,b?2
，
（1）求
a
在
b
方向上的投影
（2）求
3a?4b

（3）若向量
a?kb
与
5 a?b
垂直，求实数
k
的值
（答案：（1）-2，（2）
47
，（3）
19
）
4
12

5
24、已知
a
、< br>b
满足
a?1,b?1
且
(a?b)
2
?3
，则
a?b?

?
25、若
a ?b?a?b
，且
a
与
b
不共线，则
a
与
b
的夹角为
90
o

26、已知
a?213,b?(?2,3)
，且
a?b
，求
a
的坐标
1

2

27、 已知
a?(?2,?1),b?(
?
,1)
，若
a
与
b
的夹角为钝角，则
?
的取值范围是（ A ）
A．
(?,2)?(2,??)
B．
(2,??)
C．
(?,??)
D．
(??,?)

28、已知< br>a?(6,0),b?(?5,5)
，则
a
与
b
的夹角为
135
o

29、已知
A(3,2),B(?1,?1)
， 若点
P(x,?)
在线段AB的中垂线上，则
x
=
1
2
7

4
1
2
1
2
1
2
五、平移

30、把点A（3，4），按
a?(1,2)
平移，求对应点
A
?
的坐标
(x
?
,y
?
)
（答案（4，6））
31、把函数
y?
2x?12x?7
的图象
l
按
a ?(?1,2)
平移得到
l
?
，求
l
?
的函数解析 式（答案
y?
）
33
32、一个向量把点（2，-1）平移到（-2，1），它把点（-2，1）平移到（ A ）
A．
(2,?1)
B．（-2，1） C．（6，-3） D．（-6，3）

9

33、 若向量
a
使点（3，-9）平移到点（1，1），则将函数
y?3x
2
?12x?2
的图象，按
a
平移后的
解析式为（ A ）
A．
y?3x
2
B．
y?3(x?2)
2
C．
y?3(x?2)
2
?10
D．
y?3(x?2)
2
?10

34、已知A（5，7）、B（ 2，3），将
AB
按向量
a?(4,1)
平移后的坐标为 （-3，-4）
六、解斜三角形
35、在
?ABC
中，已知
C?45
o
,A?30
o
,a?22
，求
b
（ 答案：
23?2
）
36、在
?ABC
中，已知
B?45
o
,b?2,c?1
，求
a
（答案
6?2
）
2
37、在
?ABC
中，已知
B?15 0
o
,a?33,c?2
，求
b
（答案7）
38、在
?ABC
中，
（1）
A?120
o
,b ?3,c?5
，求
sinB?sinC

（2）
(a?b?c)(a?b?c)?3ab
，求C
（答案：（1）
43
（2）
C?60
o
）
7
39、若三角形的三边长分别为，5，6，则此三角形一定是（ A ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
40、在
?ABC
中，若
a?2bcosC
，则
?ABC
为（ B ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
41、在
?ABC
中，
S
?ABC
?3,A?60
o
,b?1
，则
a
的值为（ C ）
A．
13
B．13 C．
3
D．9
42、已知三点A（1，2），B（3，1），C（-1，0）
（1）若ABCD为平行四边形，求D点坐标；
（2）若P在直线AB上，且
PA?3PB
，求P的坐标
（3）求A的大小（用反三角表示）
（答案：（1）（-3，1）；（2）
P(,)
或
P(4,)
；（3）
A?
?
?arccos




10
55
24
1
2
10
）
10

43、已知
?ABC
的三个内角A、B、C所对的边的长分别为
a
、
b
、
c，设向量
m?(a?c,a?b)
，
n?(a?b,c)

且
mn

（1）求
?B

（2）若
a?1,b ?3
，求
?ABC
的面积（答案：（1）
?
3
； （2））
3
2








44、设函数
f(x)?a?(b?c)
，其中向量
a?(sin x,?cosx),b?(sinx,?3cosx),c?(?cosx,sinx),x?R
，求函数
f(x)
的最大值和最小正周期（答案：（1）
2?2
； （2）
?
）



11