高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总教师版

任意角与弧度制
知识梳理:
一、任意角和弧度制
1、角的概念的推广
定义：一条射线OA由原来的位置，绕着 它的端点O按一定的方向旋转到另一
位置OB，就形成了角
?
，
记作：角?
或
?
?
可以简记成
?
。

注意：
（1）“旋转”形成角，突出“旋转”
（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于
x
轴正半轴
（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
??
例1、若
90?
?
?
?
?135
，求
?
?
?
和
?
?
?
的范围。（0,45） （180,270）
2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、
零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960
（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是
3、 “象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标
原 点，角的始边合于
x
轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角
角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限
角
585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=
④
（填序号）.
?
3
．
1 8

①{小于90°的角}
③ {第一象限的角}


②{0°～90°的角}
④以上都不对
（2）已知A={第一象 限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关
系是（B）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．A
?
C D．A=B=C
例3、写出各个象限角的集合：
例4、若
?
是第二象限的角，试分别确定2
?
,
?
的终边所在位置.
2
解 ∵
?
是第二象限的角，
∴k·360°+90°＜
?
＜k·360°+180°（k∈Z）.
（1）∵2k·360°+180°＜2
?
＜2k·360°+360°（k∈Z），
∴2
?
是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.
（2）∵k·180°+45°＜
当k=2n（n∈Z）时，
n·360°+45°＜
?
＜k·180°+90°（k∈Z），
2
?
＜n·360°+90°；
2
当k=2n+1（n∈Z）时，
n·360°+225°＜
∴
?
＜n·360°+270°.
2
?
是第一或第三象限的角.
2
3
拓展：已知
?
是第三象限角，问
?
是哪个象限的角？
∵
?
是第三象限角 ，∴180°+k·360°＜
?
＜270°+k·360°（k∈Z），
60°+k·120°＜
?
＜90°+k·120°.
3
①当k=3m(m∈Z)时，可得
60°+m·360°＜
故
?
＜90°+m·360°（m∈Z）.
3
?
的终边在第一象限.
3
②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得
180°+m·360°＜
故
?
＜210°+m·360°（m∈Z).
3
?
的终边在第三象限.
3
③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得
300°+m·360°＜
?
＜330°+m·360°（m∈Z）.
3
2 8