数学必修4_第二章_平面向量知识点

数学必修4第二章 平面向量知识点
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
1. 向量：既有大小又有方向的量。
2. 向量的模：向 量的大小即向量的模（长度），如
AB,a
的模分别记作|
AB
|和
|a|
。
注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
3. 几类特殊向量
(1)零向量：长度为0的向量，记为
0
，其方向是任意的，
0
与任 意向量平行，
??
零向量
a
＝
0
?
｜
a
｜＝0。由于
0
的方向是任意的，且规定
0
平行于任何向量，
故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注
意与0的区别）
?
(2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量
a
0
为单位向量
?|a
0
|?1
。将一个
向量除以它的模即得到单位向量，如
a
的单位向量为：
e
a
?
a
|a|

?
?
(3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作
a
∥
b
。
规定：
0
与任何向量平等，

任 意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移
(即自由向量)，平行向量总可以 平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个 要素，起点可以任意
选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
??
（4）相反向量： 与
a
长度相等、方向相反的向量，叫做
a
的相反向量。记作
?a。

?
?
关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②
?(?a)
=
a
； ③
?
?
a?(?a)?0
；
④若
a
、
b
是互为相反向量，则
???
?
???
a
=
?b< br>,
b
=
?a
,
a
+
b
=
0
。
?
?
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为
a?b
。相等向量经过平移后
总可以重合。


2.2 平面向量的线性运算
1.向量加法
（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法 ?
设
AB?a,BC?b
，则
a
+
b
=
AB?BC
=
AC
。
?
??
?
?
规定：
0?a?a?0?a
；

（2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”
① 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量
是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。
② 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向
最后一个向量的终点的有向线 段就表示这些向量的和。
注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向
量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
AB?BC?CD??PQ?QR?AR
，但这时必须“首尾相连”。
（3）向量加法的运算律：
①交换律：
a?b?b?a
②结合律：
(a?b)?c?a?(a?c)

2.法向量的减
（1） 定 义：若
a?x?b
则向量
x
叫做
a
与
b
的 差，记为
b?a
。求两个向量
差的运算，叫做向量的减法。
（2） 向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”
?
① 三角形法则：当
a, b
有共同起点时，
a?b
表示为从减向量
b
的终
?
点指向被减向量
a
的终点的向量。
C
② 平行四边形法则：两个已知向量 是要共始点的，差向量是如图所
?
a?b
示的对角线。设
AB?a,AC?b
则
a
-
b
=
AB?AC?CB
.
b
3.实数与向量的积
B
A
a
?
（1） 定义 ：实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作
?
a
，它的长度与方向规定如下：
??
①
?
a?
?
?a
；
??
② 当
?
?0
时，
?
a
的方向与a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与< br>a
的方
?
?
向相反；当
?
?0
时，
?
a?0
，方向是任意的。
（2） 数乘向量的运算律
①
?< br>(
?
a)?(
??
)a
；②
(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a
；③
?
(a ?b)?
?
a?
?
b
。



2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任一 向量
a
，有且只有一对实数λ
1
，λ
?
2
使
?
a
=λ
1
e
1
+λ
2
e
2< br>.
注意：(1) 我们把不共线向量ｅ
１
、ｅ
２
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；

?
?
?
?
?
?
?
2.向量的夹角:已知两个非零向量
a
、
b
，作
OA?a
，
OB?b
，则∠AOB＝
?，叫向量
a
、
?
?
?
?
?
?
?
b
的夹角，当
?
=0°，
a
、
b
同向， 当
?
=180°，
a
、
b
反向，当
?
=9 0°，
a
与
b
垂直，
?
?
记作
a
⊥
b
。
3.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的 两个
单位向量
i,j
作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量
a
可表
示成
a?xi?yj
，由于
a
与数对(x,y)是 一一对应的，因此把(x,y)叫做向量
a
的
坐标，记作
a
=(x, y)，其中x叫作
a
的横坐标，y叫做作纵坐标。
规定：
①
i?(1,0)
，
j?(0,1)

② 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；
③ 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与
其相对位置有关
4.平面向量的坐标运算：
①若
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
；
②若
A
?
x
1
,y
1
?
,B?
x
2
,y
2
?
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
；
③若
a
=(x,y)，则
?
a
=(
?
x,
?
y)；
④若
a?(x
1
,y
1
),b ?(x
2
,y
2
)
，则
ab?x
1
y2
?x
2
y
1
?0
；
a?b?x
1< br>x
2
?y
1
y
2

⑤若
a?(x< br>1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
， 则
a?b?x
1
?x
2
,y
1
?y
2

附：向量的表示方法：
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如
AB
，注意起点在前，终点在后；
4. 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如
a
，
b
，
c
等；
5. 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与
x
轴、
y
轴方向相同的两个
单位向量
i
，
j
为基底， 则平面内的任一向量
a
可表示为
a?xi?yj?
?
x,y
?
，
称
?
x,y
?
为向量
a
的坐标，a
＝
?
x,y
?
叫做向量
a
的坐标表示。如果 向量的起点
在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
?
运算

向量形式
坐标形式：
a?
?
x
1
,y
1
?
；
?
b?
?
x
2
,y
2
?

加法 <1>平行四边形法则：起点相同，
对角线为和向量。
<2>三角形加法法则：首尾相连。
记：
AB?BC?AC

a? b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

减法 起点相同的两个向量的差，（箭头
指向被减向量）
记：
OA?OB?BA

a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

AB?AC?CB

数乘
?
a
是一个向量，
?
a?|
?
||a|

方向：与
a
同向；
?
?0
时，
?
?0时，
与
a
反向；
?
?0
时，
?
a?0

?
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
?

?
数量积
a?b?|a||b|cos
?

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

运算性
①交换律：
a?b?b?a
；②结合律：
a?b?c?a?b ?c
；③
质
????
a?0?0?a?a
。
加法：

C

a

b
?

?

a?b??C?????C
减法：
2.4 平面向量的数量积
（1） 平面向量的数量积的定义
①向量
a,b
，的夹角：已知两个非零向量
a,b
，过O点作
OA?a
，
OB?b,
则
∠AOB=θ（00
≤θ≤180
0
）叫做向量
a,b
，的夹角。当且仅当两个非 零向量
00
a,b
同方向时，θ=0，当且仅当
a,b
反方向时θ= 180，同时
0
与其它任何
非零向量之间不谈夹角这一问题。
②
a 与b
垂直；如果
a,b
的夹角为90
0
则称
a与b
垂直，记作
a?b
。
sc
?
叫做称
a与b
③a与b
的数量积：两个非零向量
a,b
，它们的夹角为θ，则
a?b?o
的数量积（或内积），记作
a?b
，即
a?b
=
a?b?c os
?
，规定
0?a
=0 非零向
b

b

o

?

P

a

P

o

?

a

量
a与b
当且仅当
a?b
时，θ=90
0
，这时
a?b
=0。 ④
b
在
a
方向上的投影：
OP?bcos
?
( ?
a?b
a
)?R
（注意
OP
是射影）所以，
a? b
的几何意义：
a?b
等于
a
的长度与
b
在
a
方向上的投影的乘积。
（2） 平面向量数量积的性质
设
a,b是两个非零向量，
e
是单位向量，于是有：①
e?a?a?e?acos
?
；②
a?b?a?b?0
；
③当
a与b
同向时，
a?b?a?b
；当
a与b
反向时，
a?b??a?b
，特别地，

a?a?a?a
。
④
cos
?
?
2
2
a?b
a?b
；⑤
a?b?a?b

(3)平面向量数量积的运算律
①交换律成立：
a?b?b?a
②对实数的结合律成立：
?
?
a
?
?b?
?
?a?b
?
?a?
?
?
b
?
?
?
?R
?

③分配律成立：
?
a?b
?
?c?a? c?b?c?c?
?
a?b
?

特别注意：（1）结合律不成立：< br>a?
?
b?c
?
?
?
a?b
?
?c
；（2）消去律不成立
a?b?a?c
不能得到
b?c?
（3）a?b
=0不能得到
a
=
0
或
b
=0
④但是乘法公式成立：
?
a?b
?
?
?
a?b< br>?
?a
2
?b?a?b
2
22
；
?
a?b
?
?a
22
?2a?b?b
?a?2a?b?b

2
2
2
（3） 平面向量数量积的坐标表示
①若
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y< br>2
)则
a?b
=x
1
x
2
+y
1< br>y
2

22
②若
a
=(x,y),则|
a< br>|
2
=
a
.
a
=x+y,
a?x
2
?y
2

③若A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
AB?
?
x
2
? x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2

④若
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
)则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
（注意与
a b
时条件区别，
ab
?x
1
y
2
?x
2< br>y
1
?0
）
若
a
=(x
1
,y< br>1
),
b
=(x
2
,y
2
)则
co s
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
22
x
2
?y
2
22



2.5 平面向量应用列举
1、 线段的定比分点
（1）定义：设P
1
,P
2
是直线L上的两点，点 P是L上不同于P
1
,P
2
的任意一点，
则存在一个实数
?
，使
p
1
p?
?
pp
2
，
?
叫做点P分有向线段
P
1
P
2
所成的比。当点P在线 段
P
1
P
2
上时，
?
?0
；当点P在线段
P
1
P
2
或
P
1
P
2< br>的延长线上时，
?
<0

（2）定比分点的坐标形式
x
1
?
?
x
2
?
x?
?
1??
,其中P
1
(x
1
,y
1
), P
2
(x
2
,y
2
), P (x,y)，向量形式呢？
?
y?
?
y
2
?
y?
1
1??
?
（3）中点坐标公式
x
1
?x
2
?x?
?
2
，向量形式呢？ 当
?
=1时，分点P为线段
P
的中点，即有
?
1
P
2
y?y
2
?y?
1
2
?
2、平移
（1）图形平移的定义：设F是坐标平面 内的一个图形，将图上的所有点按照同
一方向移动同样长度，得到图形F
’
，我们把这 一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的对 应点P
’
(x
’
,y
’’
)，
'
?
x?x?h
且
PP
'
的坐标为(h,k)，则有
?
'，这个公式叫做点的平移公式，它反映
?
y?y?k
了图形中的每一点在平移后的 新坐标与原坐标间的关系。